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beta di un titolo: immagine di apertura

Nella teoria del portafoglio  beta di un titolo è un indicatore della componente di rischio sistematico del titolo stesso.

Tale concetto è assolutamente centrale all’interno della teoria generale del CAPM (Capital Asset Pricing Model).

In particolare nella formula della SML (Security Market Line)

Maggiore è il beta e più alto è il rischio associato a questo titolo e ovviamente vale il viceversa.

In particolare il beta di un titolo indica la variazione percentuale media che un titolo ha in risposta ad un aumento di un punto percentuale del mercato.

Ad esempio se un titolo che presenta un beta pari a 1,30 (non è in percentuale) ci aspetteremo che il suo rendimento cresca dell’1,3% quando il mercato aumenta dell’1%.

I titoli che presentano un beta maggiore di 1 hanno quindi una risposta media più che proporzionale rispetto al mercato.

Ed in quanto tali sono ritenuti più rischiosi rispetto al mercato.

Se un titolo presenta invece un beta pari ad 1 (beta unitario) le aspettative di crescita (o decrescita) su questo titolo saranno esattamente pari a quelle del mercato di riferimento.

Quindi se in un dato anno ci aspettiamo che il mercato cali del 5% allora ci aspetteremo un identico calo di questo titolo.

I titoli che presentano un beta inferiore ad 1 sono considerati (in termini sistematici) meno rischiosi rispetto al mercato.

Per esempio se rileviamo che un titolo ha un beta pari a 0,75 significa che ogni volta che il mercato aumenta dell’1% il titolo tenderà a guadagnare 0,75%.

Quindi se le aspettative di crescita sul mercato per l’anno in corso è del 10% ci si aspetterà anche che questo titolo guadagni il 7,5%.

CALCOLO DEL BETA DI UN TITOLO

La formula per calcolare il beta di un titolo è:

beta di un titolo: formula

Questa formula la possiamo scrivere anche il questo modo:

beta di un titolo: formula con scrittura alternativa

Dove:

beta di un titolo: covarianza formula
beta di un titolo: formula della varianza del mercato

Il beta è dunque calcolato come il rapporto tra la covarianza dei rendimenti  del titolo con il mercato e la varianza del mercato.

Ricordando il fatto che la covarianza tra i rendimenti del titolo e con il mercato può essere visto come il prodotto tra gli scarti dei rendimenti del titolo e del mercato e la loro correlazione:

beta di un titolo: correlazione lineare

Allora la formula per il beta diventa:

beta di un titolo: formula completa

Ovvero in ultima analisi il beta del titolo può essere visto come il rapporto tra gli scarti dei rendimenti del titolo e del mercato, moltiplicato per la loro correlazione.

CALCOLO DEL BETA – ESEMPIO

Ricapitolando la formula del beta è:

beta di un titolo: formula

Per calcolare il beta di un titolo servono dunque i rendimenti del titolo e i rendimenti del mercato.

In questo semplice esempio prendiamo a riferimento i tassi di rendimento relativi al mercato.

beta di un titolo: dati sui rendimenti del titolo e del mercato

Per prima cosa ci calcoliamo la media dei rendimenti per entrambi i titoli applicando la seguente formula:

beta di un titolo: tasso di rendimento medio

(al denominatore abbiamo scritto 10 poiché la numerosità dei titoli è pari a 10)

Per quanto riguarda il mercato:

beta di un titolo: media del mercato

Mentre per il titolo abbiamo:

in secondo luogo calcoliamo la varianza utilizzando la formula:

Nel caso del mercato abbiamo:

beta di un titolo: varianza dei rendimenti di mercato

Mentre per la varianza del titolo abbiamo:

beta di un titolo: varianza del titolo formula

Notiamo bene che questo ultimo calcolo non è necessario ai fini del calcolo del beta.

Ma comunque successivamente all’analisi vogliamo vedere anche il metodo alternativo per il calcolo del beta.

A questo punto non ci resta che calcolare la covarianza dei rendimenti tra il mercato e il titoli i.

beta di un titolo: formula della covarianza tra i rendimenti del titolo e del mercato

Ora abbiamo finalmente tutti gli elementi che ci permettono di trovare il nostro beta:

beta di un titolo: formula generale
beta di un titolo: calcolo

Questo significa che la rischiosità sistematica del titolo è pari a 0,5056

Ovvero per ogni aumento dell’1% del mercato il titolo tenderà mediamente a crescere dello 0,5056%.

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INTERPRETAZIONE GRAFICA DEL BETA

Se proviamo a rappresentare graficamente i dati dei rendimenti a nostra disposizione:

beta di un titolo: grafico a dispersione con i dati dei rendimenti

Ci rendiamo conto di trovarci di fronte ad una nube di dati abbastanza scomposta.

In realtà se andiamo ad eleminare il punto che si trova in basso a sinistra il trend della nubediventa ben posizionato in senso crescente.

Se proviamo infatti a rappresentare graficamente la retta di regressione, ovvero quella che minimizza la somma dei quadrati degli scarti dalla media:

beta di un titolo: scattare plot con la retta di regressione

Possiamo notare l’andamento crescente di questa retta.

Il che indica la correlazione tendenzialmente positiva che esiste tra i rendimenti del titolo i con il mercato.

 per avere un’idea matematica più precisa di quello che sta succedendo possiamo calcolarci l’indice di correlazione lineare.

Per calcolarla utilizziamo la seguente formula:

In pratica dividiamo la covarianza dei rendimenti per le deviazioni standard dei titoli.

Quello che ci manca per fare questo calcolo sono le deviazioni standard dei rendimenti dei titoli.

Mettendo sotto radice le varianze è possibile calcolare le deviazioni standard:

beta di un titolo: formula della deviazione standard

Tali deviazioni standard sono rispettivamente:

A questo punto procediamo con il calcolo della correlazione lineare di Pearson.

beta di un titolo: calcolo della correlazione lineare tra il titolo e il mercato

Il numero trovato indica una buona correlazione positiva delle due variabili.

Se volessimo la bontà di adattamento eleviamo alla seconda questo valore calcolando in questo modo l’indice di determinazione del modello (R2)

beta di un titolo: indice di determinazione

Il che indica che con il rendimento del mercato siamo in grado di spiegare il 47,58% della variabilità dei rendimenti del titolo preso a riferimento.

Quasi la metà insomma!

Vediamo ora che con questi dati a nostra disposizione possiamo calcolare il beta del titolo.

Possiamo farlo facendo il rapporto tra la deviazione standard dei rendimenti del titolo e quella del mercato moltiplicandolo per la correlazione.

beta di un titolo: formula con le deviazioni standard e la correlazione

Inserendo i dati otteniamo che:

beta di un titolo: calcolo con le deviazioni standard e la correlazione

IL BETA DI UN TITOLO NELLA SML E NEL CAPM

Il concetto di beta trova ampio spazio all’interno del CAPM, ovvero il Capital Asset Pricing Model.

Tale modello stabilisce in condizioni di equilibrio dei mercati quale dovrebbe essere la corretta prezzatura di un titolo.

In particolare per prevedere il rendimento di un titolo sulla base dei rendimenti del mercato utilizziamo la formula della Security Market Line (SML).

beta di un titolo nella security market line

Dove:

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Se hai qualche domanda sul beta falla sotto nei commenti.

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