Nella teoria del portafoglio beta di un titolo è un indicatore della componente di rischio sistematico del titolo stesso.
Tale concetto è assolutamente centrale all’interno della teoria generale del CAPM (Capital Asset Pricing Model).
In particolare nella formula della SML (Security Market Line)
Maggiore è il beta e più alto è il rischio associato a questo titolo e ovviamente vale il viceversa.
In particolare il beta di un titolo indica la variazione percentuale media che un titolo ha in risposta ad un aumento di un punto percentuale del mercato.
Ad esempio se un titolo che presenta un beta pari a 1,30 (non è in percentuale) ci aspetteremo che il suo rendimento cresca dell’1,3% quando il mercato aumenta dell’1%.
I titoli che presentano un beta maggiore di 1 hanno quindi una risposta media più che proporzionale rispetto al mercato.
Ed in quanto tali sono ritenuti più rischiosi rispetto al mercato.
Se un titolo presenta invece un beta pari ad 1 (beta unitario) le aspettative di crescita (o decrescita) su questo titolo saranno esattamente pari a quelle del mercato di riferimento.
Quindi se in un dato anno ci aspettiamo che il mercato cali del 5% allora ci aspetteremo un identico calo di questo titolo.
I titoli che presentano un beta inferiore ad 1 sono considerati (in termini sistematici) meno rischiosi rispetto al mercato.
Per esempio se rileviamo che un titolo ha un beta pari a 0,75 significa che ogni volta che il mercato aumenta dell’1% il titolo tenderà a guadagnare 0,75%.
Quindi se le aspettative di crescita sul mercato per l’anno in corso è del 10% ci si aspetterà anche che questo titolo guadagni il 7,5%.
INDICE
CALCOLO DEL BETA DI UN TITOLO
La formula per calcolare il beta di un titolo è:
$$ \mathbf{\beta_i = \frac{\text{cov}(r_i, r_m)}{\text{var}( r_m)}= \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma^2_m}}\\ \text{cov}(r_i, r_m) \text{ o } \sigma_{i,m} = \text{covarianza tra i rendimenti del titolo i del mercato} \\ \text{var}( r_m) \text{ o } \sigma^2_{m} = \text{varianza dei rendimenti di mercato} $$
Il beta è dunque calcolato come il rapporto tra la covarianza dei rendimenti del titolo con il mercato e la varianza del mercato.
Ricordando il fatto che la covarianza tra i rendimenti del titolo e con il mercato può essere visto come il prodotto tra gli scarti dei rendimenti del titolo e del mercato e la loro correlazione:
$$ \sigma_{i,m} = \sigma_i \cdot \sigma_m \cdot \rho_{i,m} \\ \sigma_i \text{ o } \sigma(r_i) = \text{dev. st. dei rendimenti del titolo i} \\ \sigma_m \text{ o } \sigma(r_m) = \text{dev. st. dei rendimenti del titolo di mercato} \\ \sigma_{i,m} \text{ o } \sigma(r_i, r_m) = \text{covarianza dei rendim. del titolo i con il mercato} $$
Allora la formula per il beta diventa:
$$ \beta_i = \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma^2_m} = \frac{\sigma_i \cdot \sigma_m \cdot \rho_{i,m}}{\sigma^2_m} = \frac{\sigma_i}{\sigma_m} \cdot \rho_{i,m}$$
Ovvero in ultima analisi il beta del titolo può essere visto come il rapporto tra gli scarti dei rendimenti del titolo e del mercato, moltiplicato per la loro correlazione.
CALCOLO DEL BETA – ESEMPIO
Ricapitolando la formula del beta è:
$$ \beta_i = \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma^2_m} $$
Per calcolare il beta di un titolo servono dunque i rendimenti del titolo e i rendimenti del mercato.
In questo semplice esempio prendiamo a riferimento i tassi di rendimento relativi al mercato.
Per prima cosa ci calcoliamo la media dei rendimenti per entrambi i titoli applicando la seguente formula:
$$ E(r) = \bar r = \sum_{t_1}^n \frac{r_t}{n} $$
(al denominatore abbiamo scritto 10 poiché la numerosità dei titoli è pari a 10)
Per quanto riguarda il mercato:
$$ \bar r _m = \frac{0,0236-0,0469+ \cdots + 0,2015}{10} = 0,0324 $$
Mentre per il titolo abbiamo:
$$ E(r_i) = \bar r_i = \frac{-0,1084-0,188+ \cdots +0,1101}{10} = -0,0398 $$
in secondo luogo calcoliamo la varianza (corretta campionaria) utilizzando la formula:
$$ \text{var} (r_i) = \sigma^2_i = \frac{\sum (r_{it})^2}{n-1} – \bar r_i \cdot \frac{n}{n-1} $$
Nel caso della varianza dei rendimenti del mercato ( o varianza del mercato) abbiamo:
$$ \text{var} (r_m) = \sigma^2_m= \frac{0,0236^2 + 0,09469^2 + \cdots + 0,2015^2}{10-1} – 0,0324^2 \cdot \frac{10}{10-1} \\ \ \\ \bf{\sigma^2_m=0,04196} $$
Mentre per la varianza dei rendimenti del titolo (o varianza del titolo) abbiamo:
$$ \sigma^2_i = \frac{0,1083^2+0,1883^2+\cdots + 0,1101^2}{10-1} – 0,0398^2 \cdot \frac{10}{10-1} \\ \ \\ \bf {\sigma^2_i =0,02254 } $$
Notiamo bene che questo ultimo calcolo non è necessario ai fini del calcolo del beta.
Ma comunque successivamente all’analisi vogliamo vedere anche il metodo alternativo per il calcolo del beta.
A questo punto non ci resta che calcolare la covarianza dei rendimenti tra il mercato e il titoli i.
$$ \text{cov}(r_i, r_m) = \sigma_{i,m} = \frac{\sum r_{it} \cdot r_{mt}}{n-1} – \bar r_i \cdot \bar r_m \cdot \frac{n}{n-1} $$
Applicando la formula otteniamo:
$$ \sigma_{im} = \frac{0,0236 \cdot (-0,1084) + \cdots + 0,2015 \cdot 0,1101}{10-1} – 0,0324 \cdot (-0,0398) \cdot \frac{10}{10-1} \\ \ \\ \bf{ \sigma_{im} =0,0212} $$
Ora abbiamo finalmente tutti gli elementi che ci permettono di trovare il nostro beta:
$$ \beta_{im} = \beta _i = \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma^2_m}= \frac{0,0212}{0,04196}= 0,5056$$
Questo significa che la rischiosità sistematica del titolo è pari a 0,5056
Ovvero per ogni aumento dell’1% del mercato il titolo tenderà mediamente a crescere dello 0,5056%.
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INTERPRETAZIONE GRAFICA DEL BETA
Se proviamo a rappresentare graficamente i dati dei rendimenti a nostra disposizione:
Ci rendiamo conto di trovarci di fronte ad una nube di dati abbastanza scomposta.
In realtà se andiamo ad eleminare il punto che si trova in basso a sinistra il trend della nubediventa ben posizionato in senso crescente.
Se proviamo infatti a rappresentare graficamente la retta di regressione, ovvero quella che minimizza la somma dei quadrati degli scarti dalla media:
Possiamo notare l’andamento crescente di questa retta.
Il che indica la correlazione tendenzialmente positiva che esiste tra i rendimenti del titolo i con il mercato.
per avere un’idea matematica più precisa di quello che sta succedendo possiamo calcolarci l’indice di correlazione lineare.
Per calcolarla utilizziamo la seguente formula:
$$ \rho_{i,m} = \frac{\sigma_{i,m}}{ \sigma_i \cdot\sigma_m} = \beta_i \cdot \frac{sigma_m}{\sigma_i} \\ \sigma_i = \text{deviazione standard dei rendimenti del titolo i} \\ \sigma_m= \text{deviazione standard dei rendimenti del mercato} $$
In pratica dividiamo la covarianza dei rendimenti per il prodotto le deviazioni standard dei titoli.
Oppure se conosciamo il beta del titolo lo moltiplichiamo per il rapporto tra la deviazione standard dei rendimenti di mercato e la deviazione standard dei rendimenti del titolo.
Quello che ci manca per fare questo calcolo sono le deviazioni standard dei rendimenti dei titoli.
Mettendo sotto radice le varianze è possibile calcolare le deviazioni standard:
$$ \sigma_i = \sqrt{\sigma^2_i} $$
Tali deviazioni standard sono rispettivamente:
$$ \sigma_i = \sqrt{0,02254}= 0,1501 \quad \sigma_m = \sqrt{0,04196}= 0,2048 $$
A questo punto procediamo con il calcolo della correlazione lineare di Pearson.
$$ \rho_{i,m} = \frac{\sigma_{i,m}}{ \sigma_i \cdot\sigma_m} = \frac{0,0212}{0,1501 \cdot 0,2048 } = 0,6897 $$
Il numero trovato indica una buona correlazione positiva delle due variabili.
Se volessimo la bontà di adattamento eleviamo alla seconda questo valore calcolando in questo modo l’indice di determinazione del modello (R2)
$$ R^2 = \rho^2 $$
Nel nostro caso l’indice di determinazione tra il titolo ed il mercato vale:
$$ R_{i,m}^2 = \rho^2_{i,m} = 0,6897^2 = 0,4758 $$
Il che indica che con il rendimento del mercato siamo in grado di spiegare il 47,58% della variabilità dei rendimenti del titolo preso a riferimento.
Quasi la metà insomma!
Vediamo ora che con questi dati a nostra disposizione possiamo calcolare il beta del titolo.
Possiamo farlo facendo il rapporto tra la deviazione standard dei rendimenti del titolo e quella del mercato moltiplicandolo per la correlazione.
$$ \beta_i = \frac{\sigma_i}{\sigma_m} \cdot \rho_{i,m} $$
Inserendo i dati otteniamo che:
$$ \beta_i = \frac{0,1501}{0,2048} \cdot 0,6897 = 0,5056 $$
IL BETA DI UN TITOLO NELLA SML E NEL CAPM
Il concetto di beta trova ampio spazio all’interno del CAPM, ovvero il Capital Asset Pricing Model.
Tale modello stabilisce in condizioni di equilibrio dei mercati quale dovrebbe essere la corretta prezzatura di un titolo.
In particolare per prevedere il rendimento di un titolo sulla base dei rendimenti del mercato utilizziamo la formula della Security Market Line (SML).
$$ r_i = r_f + \beta_i \cdot (r_m – r_f) \\ r_i = \text{ rendimento atteso del titolo i} \\ r_f = \text{ rendimento atteso del titolo risk free} \\ r_m = \text{ rendimento atteso del mercato} \\ \beta_i = \text{ beta del titolo i con il mercato}$$
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda sul beta falla sotto nei commenti.
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4 risposte
Ciao un aiutino:
Il titolo azionario A dell’esercizio precedente ha un Beta di 1,20. Il tasso privo di rischio è del 5,2% e il premio per il rischio di mercato è del 9%. Il titolo zero coupon è stato emesso a un prezzo di 60 e rimborsa 100 dopo 10 anni. L’aliquota fiscale di A è del 35%. Determinare il WACC della società utilizzando sia i pesi determinati in base ai valori contabili che i pesi determinati in base ai valori di mercato risultanti dall’esercizio precedente. Commentare le differenze
Ciao Michela.
Ricordiamo per prima cosa la formula per il calcolo del WACC, ovvero il costo medio ponderato del capitale.
WACC = re * E/V + rd * D/V *(1-tc)
Dove
re è il rendimento atteso del titolo azionari (non lo conosciamo direttamente)
rd è il rendimento atteso del titolo di debito (non lo conosciamo direttamente)
rf è il tasso privo di rischio ( è pari al 5,20%)
rm -rf è il premio di mercato (è pari al 9%)
E/V peso delle azioni nel valore della società (ignoto)
D/V peso del debito nel valore della società (ignoto)
tc è l’aliquota fiscale (è pari al 35%)
Partiamo dal primo dat, re
In questo caso re è pari al tasso atteso delle azioni A e lo ricaviamo con la formula della SML
re = rA = rf + 𝛽A * (rm -rf) = 5,20% +1,20 * 9% = 16%
In secondo luogo calcoliamo il tasso sul debito rd
In questo caso calcoliamo il tasso di interesse nel regime composto che serve per trasformare un capitale iniziale di 60 (prestito iniziale) per ricavare un montante di 100 (valore di restituzione) nel tempo di 10 anni
rd = (100/60) ^ (1/10) -1 = 0,0524
Si tratta di un tasso leggermente più al alto del tasso primo di rischio, ad indicare un beta sul prestito molto piccolo.
A questo punto dovremmo utilizzare la formula:
WACC = re * E/V + rd * D/V *(1-tc)
Il problema è che non conosciamo la quota di debito e di equity nella società.
Immagino che i valori contabili o quelli del mercato si possano ricavare da qualche altro dato noto precedentemente.
La società alfa presenta un attivo Con valore di mercato pari a 30.000 euro, finanziato per il 40% da debito, risk free emesso al tasso 5% e per l’altra parte da azioni. Il beta levered della società è pari a 1,2. Il tasso di rendimento dei titoli di Stato è pari al 5%, mentre il premio per il rischio è del 4%. L’aliquota d’imposta è 30%. Determinare il rendimento atteso dei titoli azionari della società, il costo medio ponderato della società, costo medio ponderato nell’ipotesi in cui il debito aumenta al 50% a parità di capitale investito, il premio per il rischio finanziario, considerando il beta unlevered, è pari a 0,7.
Dati forniti:
* **Valore di mercato dell’attivo** ($V$) = €30.000
* **Percentuale di finanziamento con debito** ($D/V$) = 40%
* **Tasso risk-free** ($r_f$) = 5%
* **Beta levered** ($\beta_L$) = 1,2
* **Premio per il rischio di mercato** ($RPM$) = 4%
* **Aliquota d’imposta** ($t$) = 30%
* **Beta unlevered dato per il calcolo del premio per il rischio finanziario** ($\beta_{U,dato}$) = 0,7
### 1. Determinare il rendimento atteso dei titoli azionari della società ($r_E$)
Per calcolare il rendimento atteso dei titoli azionari, usiamo il Capital Asset Pricing Model (CAPM):
$r_E = r_f + \beta_L \times RPM$
Sostituendo i valori:
$r_E = 0,05 + 1,2 \times 0,04$
$r_E = 0,05 + 0,048$
$\mathbf{r_E = 0,098 \quad \text{o} \quad 9,8\%}$
—
### 2. Determinare il costo medio ponderato della società (WACC)
Prima di calcolare il WACC, determiniamo il valore del debito ($D$) e del capitale proprio ($E$):
$D = V \times (D/V) = 30.000 \times 0,40 = \text{\euro} 12.000$
$E = V – D = 30.000 – 12.000 = \text{\euro} 18.000$
Il **costo del debito** ($r_D$) è pari al tasso risk-free, dato che il debito è risk-free:
$r_D = 0,05$
La formula del WACC è:
$WACC = \left(\frac{E}{V}\right) \times r_E + \left(\frac{D}{V}\right) \times r_D \times (1 – t)$
Sostituendo i valori:
$WACC = \left(\frac{18.000}{30.000}\right) \times 0,098 + \left(\frac{12.000}{30.000}\right) \times 0,05 \times (1 – 0,30)$
$WACC = 0,6 \times 0,098 + 0,4 \times 0,05 \times 0,7$
$WACC = 0,0588 + 0,014$
$\mathbf{WACC = 0,0728 \quad \text{o} \quad 7,28\%}$
—
### 3. Costo medio ponderato nell’ipotesi in cui il debito aumenta al 50% a parità di capitale investito
Nella nuova ipotesi, la percentuale di finanziamento con debito è 50%. Ricalcoliamo il valore del debito ($D’$) e del capitale proprio ($E’$):
$D’ = V \times (D/V)’ = 30.000 \times 0,50 = \text{\euro} 15.000$
$E’ = V – D’ = 30.000 – 15.000 = \text{\euro} 15.000$
Per calcolare il nuovo WACC, dobbiamo prima determinare il beta unlevered ($\beta_U$) dalla situazione iniziale e poi il nuovo beta levered ($\beta_L’$).
**Calcolo del Beta Unlevered ($\beta_U$) dalla situazione iniziale** (con $\beta_L = 1,2$):
$\beta_U = \frac{\beta_L}{1 + (D/E) \times (1 – t)}$
$\beta_U = \frac{1,2}{1 + (12.000 / 18.000) \times (1 – 0,30)}$
$\beta_U = \frac{1,2}{1 + 0,6667 \times 0,7}$
$\beta_U = \frac{1,2}{1 + 0,4667}$
$\beta_U \approx 0,8182$
**Calcolo del nuovo Beta Levered ($\beta_L’$):**
$\beta_L’ = \beta_U \times [1 + (D’/E’) \times (1 – t)]$
$\beta_L’ = 0,8182 \times [1 + (15.000 / 15.000) \times (1 – 0,30)]$
$\beta_L’ = 0,8182 \times [1 + 1 \times 0,7]$
$\beta_L’ = 0,8182 \times 1,7$
$\beta_L’ \approx 1,3910$
**Calcolo del nuovo Rendimento atteso dei titoli azionari ($r_E’$):**
$r_E’ = r_f + \beta_L’ \times RPM$
$r_E’ = 0,05 + 1,3910 \times 0,04$
$r_E’ = 0,05 + 0,05564$
$r_E’ = 0,10564 \quad \text{o} \quad 10,564\%$
**Calcolo del nuovo WACC (WACC’):**
$WACC’ = \left(\frac{E’}{V}\right) \times r_E’ + \left(\frac{D’}{V}\right) \times r_D \times (1 – t)$
$WACC’ = \left(\frac{15.000}{30.000}\right) \times 0,10564 + \left(\frac{15.000}{30.000}\right) \times 0,05 \times (1 – 0,30)$
$WACC’ = 0,5 \times 0,10564 + 0,5 \times 0,05 \times 0,7$
$WACC’ = 0,05282 + 0,0175$
$\mathbf{WACC’ = 0,07032 \quad \text{o} \quad 7,032\%}$
—
### 4. Premio per il rischio finanziario, considerando il beta unlevered, è pari a 0,7.
Questo punto richiede di calcolare il premio per il rischio finanziario basandosi su un beta unlevered fornito ($\beta_{U,dato} = 0,7$).
Prima calcoliamo il **Premio per il rischio operativo** (o premio per il rischio dell’attivo), che è il rischio della società senza debito:
$\text{Premio per il rischio operativo} = \beta_{U,dato} \times RPM$
$\text{Premio per il rischio operativo} = 0,7 \times 0,04 = 0,028 \quad \text{o} \quad 2,8\%$
Poi calcoliamo il Beta Levered ($\beta_L^{**}$) che sarebbe consistente con il $\beta_{U,dato} = 0,7$ e la struttura del capitale iniziale ($D/E = 12.000/18.000 = 0,6667$):
$\beta_L^{**} = \beta_{U,dato} \times [1 + (D/E) \times (1 – t)]$
$\beta_L^{**} = 0,7 \times [1 + (12.000 / 18.000) \times (1 – 0,30)]$
$\beta_L^{**} = 0,7 \times [1 + 0,6667 \times 0,7]$
$\beta_L^{**} = 0,7 \times [1 + 0,4667]$
$\beta_L^{**} = 0,7 \times 1,4667$
$\beta_L^{**} \approx 1,0267$
Il **Premio per il rischio azionario** (con leva) è:
$\text{Premio per il rischio azionario} = \beta_L^{**} \times RPM$
$\text{Premio per il rischio azionario} = 1,0267 \times 0,04 \approx 0,041068 \quad \text{o} \quad 4,1068\%$
Il **Premio per il rischio finanziario** (derivante dalla leva) è la differenza tra il premio per il rischio azionario e il premio per il rischio operativo:
$\text{Premio per il rischio finanziario} = \text{Premio per il rischio azionario} – \text{Premio per il rischio operativo}$
$\text{Premio per il rischio finanziario} = 0,041068 – 0,028$
$\mathbf{\text{Premio per il rischio finanziario} = 0,013068 \quad \text{o} \quad 1,3068\%}$