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frontiera dei portafogli con due titoli: immagine

Un portafoglio con due titoli è un insieme formato da due titoli finanziari (azioni o obbligazioni).

Le caratteristiche fondamentali che ci interessa analizzare di tale portafoglio sono il rischio e il rendimento.

È possibile calcolare tali valori a partire dal tasso di rendimento, dal tasso di rischio dei loro titoli e dalla correlazione esistente tra tali titoli.

È possibile calcolare questi dati primari attraverso un’analisi ex post, oppure un’analisi ex ante.

PORTAGLIO DI TITOLI

Un portafoglio di titoli è un insieme composto da un certo numero di titoli di varia natura (azioni e obbligazioni principalmente).

Ad esempio se noi avessimo a disposizione 1.000 euro potremmo investirne:

  • 200 euro in Bund tedeschi
  • 300 euro in obbligazioni della Mc Donald’s
  • 100 euro in oro
  • 150 in azioni Saipem
  • 200 euro in Bitcoin
  • 50 euro in Ethereum

In questo caso le quote percentuali che sono presenti all’interno del nostro portafoglio titoli sono:

  • 20% in Bund tedeschi
  • 30% in obbligazioni della Mc Donald’s
  • 10% in oro
  • 15% in azioni Saipem
  • 20% euro in Bitcoin
  • 5% euro in Ethereum

Cosa ci interessa sapere di un portafoglio?

Certamente le caratteristiche più importanti da valutare in un portafoglio sono ilrischio e il rendimento.

Che sono anche le caratteristiche di un singolo titolo.

La cosa che rende più complesso il calcolo è il fatto che l’andamento di un titolopresente in un portafoglio può essere influenzato dall’andamento di un altro titolo.

Per questo motivo dobbiamo valutare anche la covarianza e la correlazione presente tra ogni coppia di titoli del portafoglio.

PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Il modo migliore per cominciare a studiare i portafogli è quello di considerare ilportafoglio più semplice.

Ovvero quello composto da due soli titoli.

Immaginiamo di aver già fatto un’analisi (ex ante oppure ex post) che ci permettono di avere le informazioni sul rendimento medio e sulla volatilità (rischio) dei due titoli A e B.

E immaginiamo anche di avere a disposizione la covarianza tra i rendimenti dei due titoli:

Ricordiamo inoltre che la covarianza è data dal prodotto delle deviazioni standard per la correlazione lineare (ρ)

correlazione

Dunque potremmo anche possedere la correlazione anziché la covarianza.

Se rappresentiamo graficamente questa situazione nel grafico rischio-rendimento abbiamo una rappresentazione di questo tipo:

frontiera dei portafogli con due titoli; rappresentazione dei due titoli

Per costruire un qualsiasi portafoglio tra questi due titoli servono inoltre le quote percentuali di A e B.

Al variare di tali quote di portafogli cambierà anche il rendimento e la volatilità (rischio) del portafoglio stesso.

RENDIMENTO E RISCHIO DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Il tasso di rendimento di un portafoglio con due titoli dipende sai tassi di rendimento e dalle quote del portafoglio.

In particolare può essere calcolato come la media dei rendimenti dei titoli ponderata per le quote.

In formula matematiche possiamo anche scrivere:

Per quanto riguarda invece la deviazione standard (rischio del portafoglio) in generale non vale la stessa cosa.

La deviazione standard non è la media delle deviazione standard dei titoli ponderata per le quote:

Possiamo invece calcolare la deviazione standard come la radice quadrata della varianzadel portafoglio.

Tale varianza è data dalla sommatoria delle varianze dei titoli ponderata per i quadrati delle quote cui si aggiunge il doppio prodotto della covarianza per le quote.

varianza di un portafoglio con due titoli

Ricordando la relazione che lega la covarianza alla correlazione:

correlazione tra due titoli

Possiamo riscrivere la varianza anche come:

Dunque la deviazione standard o rischio del portafoglio è:

deviazione standard di un portafoglio con due titoli

In un portafoglio in cui sono presenti solamente due titoli deve per forza valere la relazione per cui la somma delle quote percentuali sia pari al 100% ovvero 1:

quote di un portafoglio con due titoli

Quindi possiamo anche leggere la quota del titolo B come:

In tal caso la formula del rendimento medio diventa:

Mentre la formula della deviazione standard:

deviazione standard di un portafoglio con due titoli con la correlazione

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In particolare troverai questo argomento nel corso dedicati ai titoli, portafogli e mercato.

ESEMPIO DI COSTRUZIONE DI UN PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Vogliamo costruire un portafoglio con due titolo A e B che contenga il 70% del titolo A.

A tal proposito riportiamo le informazioni riguardo all’andamento degli ultimi 12 mesi:

portafoglio con due titoli. rendimenti storici

Grazie all’analisi ex-post è possibile calcolare il rendimento medio e la volatilità dei due titoli.

In particolare i rendimenti medi sono pari a:

Mentre la volatilità risulta:

Per quanto riguarda la correlazione tra i due titoli, calcolata come:

formula della correlazione tra due titoli

A questo punto vogliamo costruire un portafoglio che contenga il 70% di quote del titolo A.

Quindi possiamo dire che le quote dei titoli sono:

Per calcolare il tasso di rendimento atteso del portafoglio usiamo la formula:

Inserendo i dati otteniamo:

rendimento di un portafoglio on due titoli

Per quanto riguarda la volatilità usiamo la formula:

deviazione standard di un portafoglio con due titoli, formula
calcolo della deviazione standard di un portafoglio con due titoli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI

Possiamo rappresentare questa situazione nel grafico rischio-rendimento.

Se modifichiamo le quote del portafoglio possiamo ottenere quella che si chiama la frontiera dei portafoglio.

Ipotizzando dunque gli stessi dati di partenza, ovvero:

Vediamo cosa succede quando la quota di portafoglio del titolo A, varia assumendo i valori:

quote del portafoglio con due titoli

Riportiamo i dati relativi ai calcoli.

tabella con rendimenti e deviazioni standard della frontiera di un portafoglio con due titoli

È possibile visualizzare questo insieme di portafogli come una frontiera di portafogli.

frontiera di portafogli con due titoli

La forma di questa frontiera assomiglia molto ad una parabola rovesciata.

In realtà andremo a mostrare nell’articolo sulla frontiera che la sua forma dipende dalla correlazione esistente tra i titoli.

HAI QUALCHE DOMANDA SUL PORTAFOGLIO CON DUE TITOLI?

Se hai qualche domanda sui portafogli con due titoli scrivila nei commenti.

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10 Comments

  • Alessandro ha detto:

    Ciao Andrea, domanda un po’ banale, se conosco già il rendimento atteso del portafoglio, come riesco a ricavare le quote di a e di b? Esempio: 12% x + 6% (1-x) = 10%. In questo caso come ricavo la quota x? Grazie mille in anticipo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessandro,
      Grazie per il quesito
      Per trovare la x,ovvero la quota del primo titolo risolviamo un’equazione di primo grado
      12% x + 6% (1-x) = 10%
      Diventa
      12%x + 6% -6%x = 10%
      Se lasciamo le x a sinistra e spostiamo i numeri a destra abbiamo che :
      12%x -6%x = 10% – 6%
      Quindi
      6%x = 4%
      Da qui ricavi la x
      X= 4% / 6% = 2/3 =0,667
      Questa è la quota del primo titolo

      anziché il simbolo
      Percentuale puoi usare anche la scrittura decimale
      Ad esempio 6%=0,06
      L’equazione di partenza
      12% x + 6% (1-x) = 10%
      può anche essere scritta come segue:
      0,12x+0,06*(1-x)=0,10
      Da che
      0,12x+0,06-0,06x=0,10
      0,06x=0,04
      Se moltiplichi per 100
      6x=4
      Che ti da sempre
      x=4/6=0,667

      La quota del primo titolo è dunque il 66,7%
      Mentre quella del secondo 33,3%

      La formula può anche essere generalizzata
      Ra*xa + Rb*xb = Rp
      Con Ra, Rb, Rp che sono i rendimenti dei titoli (a,b) e del portafoglio p
      Mentre xa è xb sono le quote
      Se imponi xa=x
      La quota xb diventa 1-x
      Dunque l’equazione è
      Ra x+ Rb (1-x)= Rp
      Raccogliendo la x a sinistra e spostando il resto a destra otteniamo che
      x(Ra-Rb)=Rp-Rb
      Dunque la quota di a diventa
      x=(Rp-Rb)/(Ra-Rb)
      Con i tuoi dati avremo che
      x=(10%-6%)/(12%-6%)=4%/6%=4/6=2/3=0,667

      Spero sia chiaro 😉

  • Valeria ha detto:

    Ciao Andrea, volevo sapere dove è possibile reperire i valori di rendimento dei titoli. Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valeria
      Un sito interessante è investing.com
      Finché sono titoli importanti va bene
      Quando diventano titoli più specifici la ricerca può farsi un po’ più ardua

  • andrea ha detto:

    Ciao Andrea, mi aiuteresti a capire e a svolgere questo esercizio. Grazie
    I prezzi di due titoli azionari A e B, osservati nel corso di 5 anni consecutivi sono i seguenti:
    A: 98 102 106 103 107
    B: 100 95 93 103 115
    Indicando con xa e xb la percentuale di ricchezza investita rispettivamente nel titolo A e nel titolo
    B, trovare il portafoglio a rischio minimo e calcolarne il rischio e rendimento. Fornire anche
    un’illustrazione grafica.

    • Andrea ha detto:

      ciao Andrea
      In primo luogo devi calcolare il tasso di rendimento medio e la varianza dei titolo
      Per farlo ti devono i tassi di rendimento annuì dei titoli calcolati così
      Rt= Delta PREZZO/prezzo iniziale
      In secondo luogo
      Media rendimenti = somma rendimenti/n
      Varianza rendimenti = somma quadrati rendim/(n-1) – media^2*(n/(n-1))

      Ovviamente fai il ragionamento per entrambi i titoli

      Poi calcoli la covarianza dei rendimenti con la formula
      COV(AB) = somma (rtA*rtB)/(n-1) -mediaA*media B*n/(n-1)

      La quota di minimo rischio di A è
      (VARB – COV AB)/ (VARA + VARB – 2 cov(AB))

  • Giada Frassineti ha detto:

    Ciao, avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio.
    Siano a1 e az due titoli rischiosi caratterizzati da μ1 = 0.11, μ2 = 0.08, σ1 = 0.012, σ2 = 0.009
    e p= 0.6. Calcolare il rendimento atteso e la volatilita’ del portafoglio (0.321, 0.679).
    Cosa
    succede al rendimento atteso e alla varianza del portafoglio se si aumenta la quota investita nel titolo 1 e si diminuisce quella investita nel titolo 2?

    • Andrea ha detto:

      Ciao
      Per calcolare il rendimento medio usi la formula
      RP= R1*x1+R2*x2 (quindi ti servono le quote X1 e X2
      Per la volatilità
      𝜎= rada(𝜎1^2 *x1^2 + 𝜎2^2*x^2 +2*𝜎1*𝜎2*p*X1*x2)
      (anche in questo caso ti servono le quote del titolo
      Per capire cosa succede alla volatilità del titolo se aumenta la quota del titolo 2 è semplice
      Siccome la correlazione è positiva un incremento del titolo 2(quello con volatilità minore farà scendere la volatilità)
      Mentre per il rendimento questo scende certamente.
      Infatti il rendimento è semplicemente la media ponderata dei rendimenti.
      Prova ad esempio a vedere cosa succede nel caso di quote equiponderate (x1=0,5, x2=0,5)
      Poi prova a rifare i calcoli aumentando la quota del titolo 2 (ad esempio x1=0,4 e x2=0,6)

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