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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog vediamo come calcolare il numero di rate in una rendita posticipata.

È doveroso informarvi  che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se fate fatica a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica significa che ad intervalli di tempo costanti viene pagata (o riscossa) una rata di pari importo.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 500 euro al mese per 10 anni, questo è un esempio di  rendita periodica.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA

ESEMPIO

Vediamo un esempio pratico in cui dovremo calcolare il numero di rate di una rendita posticipata.

Andrea deve restituire un capitale preso a prestito di 13.500 euro.

Quante rate annue posticipate di 3.500 occorre che versi affinché il debito si consideri estinto al tasso composto del 10%?

GRAFICO

Sulla linea del tempo inseriamo i tempi da 0 a 4, e sotto i tempi che vanno da 1 a 4 inseriamo l’importo della rata pari a 3.500.

Le frecce verdi trasportano tali rate al tempo 0

Il valore attuale della rendita è l’importo che è stato finanziato ad Andrea pari a 13.500 euro.

FORMULA INVERSA PER IL NUMERO DI RATE

Per ricavare il numero di rate partiamo dalla formula del valore attuale di una rendita posticipata.

Tale valore è ottenuto moltiplicando la rata per  il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.

A questo punto  esplicitiamo il fattore attualizzante:

Moltiplichiamo entrambi i membri per i/R:

Ora scambiamo di posizione -(1+i)^(-n) con V/R*i ovviamente ricordandoci di cambiare i segni:

A questo punto otteniamo che -n è l’esponente da dare alla base (1+i) per ottenere 1-V/R*i.

Per la definizione di logaritmo avremo dunque che -n è uguale al logaritmo in base (1+i) di 1-V/R*i

Cambiando i segni a destra e a sinistra e applicando la regola per il cambio di base dei logaritmi potremo scrivere:

CALCOLO NUMERO DI RATE

Ora procediamo al calcolo del numero delle rate:

Abbiamo ottenuto 4,795 cioè un risultato con la virgola.

Siccome il risultato deve essere un numero intero approssimiamo per eccesso il numero a 5.

Servo 5 rate posticipate per estinguere un debito di almeno 13.500 euro.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.

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11 Comments

  • Nino Raffa ha detto:

    Una rendita annua anticipata, composta da quattro termini, del valore attuale di 1.000 euro, richiede, ad un tasso i=12% una rata data da R diviso per a anticipato figurato n al tasso i.
    Credevo che n fosse uguale a 4, ma il testo dal quale ho preso questo esempio mi riporta n= 5. Perché?
    La ringrazio anticipatamente se mi darà una risposta
    Testo della cattolica Milano – autori Stefani-Torriero – Zambruno- Elementi di matematica finanziaria

    • Andrea ha detto:

      Non mi è molto chiara la richiesta.
      Comunque se il testo è quello che hai detto la rendita deve avere 4 rate.
      Il suo valore attuale è 10.000 diviso per a figurati n al tasso i moltiplicato per (1+i) dal momento che è anticipata

  • Daniele ha detto:

    Si considera una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 per i primi 5 anni e di 10.000 per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari a 12%.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Daniele
      L’equazione da impostare è la seguente
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
      Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
      a(n,0.12) = (1-1,12^-n)/0,12
      n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
      A me esce n=19,29
      Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
      A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000

  • Daniele ha detto:

    Si considera una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 per i primi 5 anni e di 10.000 per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari a 12%.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Daniele
      L’equazione da impostare è la seguente
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
      Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
      a(n,0.12) = (1-1,12^-n)/0,12
      n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
      A me esce n=19,29
      Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
      A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000

  • Sabrina ha detto:

    Si consideri una rendita annuale di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n successivi.
    Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari al 12%

    • Andrea ha detto:

      Ciao Sabrina,
      L’equazione da impostare è la seguente
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
      Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
      a(n,0.12) = (1-1,12^-n)/0,12
      n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
      A me esce n=19,29
      Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
      A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000
      Per calcolare la rata R usiamo la formula inversa:
      R*=[60.000-5.000*a(5,0.12)-10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)]/1,12^(-25)
      R = 3.072,30

  • Lorenzo ha detto:

    Ciao caro, ho un problema

    Un finanziamento di 10 000 é ammortizzato con 15 rate annue, costanti di importo
    1700 e, la prima delle quali sarà versata dopo 2 anni dalla concessione del finanziamento.
    Trovare il tasso di interesse

    Io so che l’equazione è
    10000= 1700*[(1-(1+x)^(-15))x]*(1+x)^(-1)
    La risposta è circa 0.1254 quindi il 12,54% ma non riesco proprio a capire quali siano stati i passaggi.
    Se me li chiarissi te ne sarei estremamente grato

    • Andrea ha detto:

      Ciao Lorenzo per affrontare il problema del tasso di interesse la cosa non è così immediata e scontata.
      Considera che quando bisogna calcolare il TIR (tasso interno di rendimento) non esistoni formulette veloci.
      (a meno che il problema non sia particolarmente semplici)
      Piuttosto esisteno metodi generali.
      Ti elenco le procedure più utilizzate:
      – interpolazione lineare
      – metodo delle secanti
      Metodo delle tangenti
      La prima procedura consiste nel imporre dei tassi di interesse a caso al posto della funzione fino ad avvicinarsi sempre di più al valore desiderato (ad esempio lo zero)
      Quando si hanno trovato due tassi molto vicini, il primo dei quali da un valore leggermente superiore e l’altro leggermente inferiore si procede per interpolazione.
      Gli altri due metodi (che sfruttano sempre l’interpolazione sono degli algoritmi
      Ovvero delle procure che continuando a ripeterle si arriva sempre di più al valore desiderato
      Il primo sfrutta direttamente il valore della funzione (metodo delle secanti)
      Il secondo è un po’ più tecnico ed incorpora l’utilizzo delle derivate prime nel calcolo
      Ti lascio alcuni link di riferimento per approfondire meglio la questione
      https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_secanti
      https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti
      https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/2597-metodo-delle-tangenti.html
      Ovviamente devi pensare che dietro al valore della x vi sia il tasso di riferimento che devi cercare

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