IL REGIME AD INTERESSE SEMPLICE

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI
• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI
• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



Visita il canale YouTube!

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI
• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI

ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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SCOPRI IL CORSO: CONCETTI BASE REGIMI
• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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Quando parliamo di matematica finanziaria il primo concetto complesso che ci troviamo ad affrontare è il regime finanziario.

Per regime finanziario intendiamo un insieme di regole particolari, esprimibili con formule, che caratterizzano processi di capitalizzazione e di attualizzazione

I regimi che si studiano all’interno della matematica finanziaria sono:

• Regime semplice 
• Regime composto
• Regime anticipato 

Ogni regime che noi vedremo ha in se i concetti di 

• Capitalizzazione
• Attualizzazione

Possiamo sinteticamente concepire questo concetto attraverso la seguente tabella:



REGIME SEMPLICE

Il regime ad interesse semplice è il più elementare tra i tre regimi finanziari.

Vediamo di particolare subito con il concetto di capitalizzazione applicato a questo regime.

CAPITALIZZAZIONE

Nel processo di Capitalizzazione a interesse semplice, chiamato anche capitalizzazione lineare

Gli interessi crescono in modo direttamente proporzionale a tre fattori

Capitale =C

Tasso di interesse= i

Tempo impiegato= t

La formula che esprime gli interessi nel regime semplice è la seguente:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Dunque possiamo allora calcolare anche in montante in funzione del tasso del capitale e del tempo.

Siccome per definizione il montante è dato dalla somma del capitale e degli interessi:

$$ M = C + I $$

Allora possiamo sostituire al posto della I rappresentante gli interessi, la formula che abbiamo definito in precedenza:

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

Raccogliendo a fattor comune il capitale avremo:

$$ M = C \cdot (1+i \cdot t ) $$

Ecco la formula più conosciuta dagli studiosi di questa materia!

NOTA MOLTO IMPORTANTE-IMPORTANTISSIMA!!!

Quando operiamo nella matematica finanziaria c’è una regola di fondamentale importanza, che viene sempre applicata indipendentemente dal regime in cui stiamo operando:

Il tasso di interesse deve essere sempre coordinato con l’unità di tempo !!!!

Quando ad esempio utilizziamo il tasso di interesse annuo allora metteremo il tempo espresso in anni.

Quando invece utilizziamo il tasso semestrale trasformeremo tutto il tempo in semestri, e così via.

Lo schema che segue vi aiuterà a concettualizzare meglio questo concetto



Come potete notare ogni tasso di interesse presenta un numero come pedice.

Quando scriviamo ad esempio il tasso i2, intendiamo dire il tasso semestrale.

Questo ci ricorda il fatto che in un anno vi sono 2 semestri.

Quando utilizziamo la scrittura i3, intendiamo dire il tasso quadrimestrale, ad indicare il fatto che in un anno vi sono 3 quadrimestri.

PASSAGGI TRA I TEMPI

Quando ci troviamo ad operare all’interno dei regimi finanziari diventa dunque di vitale importanza trasformare tutti i tempi nella stessa unità di misura.

Diventano pertanto molto importanti le relazioni esistenti tra i tempi.

Ad esempio noi sappiamo che in un anni vi sono:

• 2 semestri 
• 3 quadrimestri
• 4 trimestri
• 6 bimestri
• 12 mesi

Sappiamo altrettanto bene che possiamo esprime questi periodi temporali in mesi:

• un bimestre equivale a 2 mesi
• un trimestre equivale a 3 mesi
• un quadrimestre sono 4 mesi
• un semestre sono 6 mesi

Quando consideriamo i giorni sappiamo inoltre che 

• un anno equivale a 365 giorni quando utilizziamo la convenzione civile
• un anno equivale a 360 giorni quando usiamo la convenzione commerciale (ipotizziamo cioè che ogni mese sia composto da 30 giorni)
• Un mesi equivale a 30 giorni mediamente.

Lo schema che segue aiuta a fare chiarezza su quanto appena detto.



Questo schema è molto utile non tanto per capire le relazione che abbiamo appena citato quanto per comprendere che anni, mesi e giorni possono essere utilizzate come dei “ponti di comunicazione” tra le varie unità temporali.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare il numero di trimestri presenti in quadrimestre.

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = x \ \text{trimestri} $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 1/3 di anno, e che un anno sono 4 trimestri.

Quindi quello che dobbiamo fare è dividere per 3 e moltiplicare per 4, ovvero moltiplichiamo per 4/3, quindi:

$$ 1 \ \text{quadrimestre} = \frac{4}{3} \ \text{trimestri} $$

Potremo fare la stessa cosa usando il mese come ponte di comunicazione.

Torniamo al problema iniziale:

$$ 1 \ quadrimestre = x \ trimestri $$

Sappiamo che un quadrimestre sono 4 mesi, e che un mese è 1/3 di trimestre.

Ancora una volta quindi moltiplichiamo per 4 e dividiamo per 3, giungendo alla stessa conclusione:

$$ 1 \ quadrimestre = \frac{4}{3} \ trimestri $$

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ESERCIZI PRATICI

Torniamo ora all’argomento principale ovvero il calcolo del montante nel regime ad interesse semplice e cerchiamo di dare un’applicazione pratica alla formula:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) $$

Svolgiamo dunque degli esercizi pratici per tenerci in allenamento.

• 1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%
• 1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%
• 2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%
• 5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

Pariamo dal punto A)

1.000 euro impiegati per 3 anni al tasso annuo del 12%

In questo caso non ci sono problemi di armonizzazione tra il tasso e il tempo.

Quindi procediamo in modo diretto al calcolo del montante.

I dati forniti dal testo sono:

$$ C = 1.000 \ \quad i=12 \% \quad t=3 $$

Per il calcolo del montante otteniamo:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.000 \cdot (1 + 0,12 \cdot 3) = 1.360 $$

Dunque l’interesse prodotto risulta:

$$ I = M – C = 1.360 – 1.000 = 360 $$

Chiaramente avremmo potuto procedere prima al calcolo degli interessi e successivamente sommarli al capitale e avremmo trovato lo stesso risultato.

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.000 \cdot 0,12 \cdot 3 = 360 $$

Punto B)

1.350 euro impiegati per 2 anni e 8 mesi al tasso quadrimestrale del 3%

Attenzione che in questo caso le cose cambiano leggermente.

Infatti in questa situazione il tasso del 3% è quadrimestrale, mentre il tempo è espresso in anni e mesi.

Risulta pertanto necessario esprimere il tempo tutto in quadrimestri.

Sapendo che in un anno vi sono 3 quadrimestri moltiplichiamo per 3 il numero di anni.

Avremo pertanto 3*2 anni = 6 quadrimestri.

Sapendo che in un mese sono 1/4 di quadrimestri dividiamo per 4 (o moltiplichiamo per 1/4) il numero di mesi. 

Avremo perciò che 8 mesi sono 8/4=2 quadrimestri.

Sommando dunque i 6 quadrimestri ai 2 quadrimestri otteniamo 8 quadrimestri che sarà il nostro tempo.

Applicando dunque le formule per il calcolo del montante e degli interessi avremo:

Riportiamo quindi i dati

$$ C = 1.350 \quad i_3 = 3 \% = 0,03 \quad t = 2\cdot 3 + \frac{8}{4} = 8 \text{ quadrimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 1.350 \cdot (1 + 0,03 \cdot 8) = 1.674 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 1.350 \cdot 0,03 \cdot 8 = 324 $$

Punto C)

2.800 euro impiegati per 4 anni e 7 mesi al tasso trimestrale del 2,25%.

In questo caso abbiamo il tasso trimestrale, ma il tempo espresso in anni e mesi.

Moltiplichiamo dunque gli anni per 4  ( vi sono 4 trimestri in un anno) il numero di mesi per 1/3 ( un mese è una terza parte di trimestre).

Quindi il risultato in trimestri sarà 4*4+7/3=55/3

Dunque i dati sono:

$$ C = 2.800 \quad i_4 = 2,25 \% = 0,0225 \quad t = 4 \cdot 4 + \frac{7}{3} = 18,333 \text{ trimestri}$$

Il montante risulta:

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 2.800 \cdot (1 + 0,0225 \cdot 18,333) = 3.955 $$

Mentre l’interesse

$$ I = C \cdot i \cdot t = 2.800 \cdot 0,0225 \cdot 18,333 = 1.155 $$

Punto D)

5.000 euro impiegati per 5 anni 4 mesi e 18 giorni al tasso mensile dello 0,874%

In questo caso, essendoci il tasso mensile, dobbiamo esprimere il tempo in mesi.

5 anni e due mesi diventeranno 5*12+4+18/30.

Ricordiamo a proposito dei giorni che un giorno è una trentesima parte di mese

Passiamo subito ai calcoli

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t) = 5.000 \cdot \left(1 + 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right) \right) = 3.955 $$

$$ I = C \cdot i \cdot t = 5.000 \cdot 0,00874 \cdot \left( 5 \cdot 12 +4 + \frac{18}{30} \right)= 1.155 $$

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE-FORMULE E GRAFICI

Facciamo un breve riassunto delle due formule principali viste fino ad ora riguardo al calcolo dell’interesse e del montante



FORMULE INVERSE

Un aspetto importante dell’utilizzo di queste formule è che esse possono essere invertite.

Le formule inverse permettono infatti di ricavare un dato che nel nostro caso non riusciamo direttamente a trovare quando applichiamo le formule appena viste.

Prendendo ad esempio in esame la formula più basilare che riguarda l’interesse semplice:

$$ I = C \cdot i \cdot t $$

Come facciamo a calcolare il capitale?

Essendo che l’interesse è il prodotto semplice tra il capitale, il tasso e il tempo, possiamo ottenere uno di questi tre dividendo l’interesse per il prodotto degli altri due.

Così, se vogliamo trovare il capitale dobbiamo dividere l’interesse per il prodotto tra il tasso  e il tempo.

$$ C = \frac {I}{ i \cdot t} $$

Analogamente se vogliamo trovare il tasso dividiamo I per il prodotto tra C e t.

$$ i = \frac {I}{ C \cdot t} $$

Allo stesso modo facciamo per trovare il tempo, ovvero dividiamo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tasso.

$$ t = \frac {I}{ C \cdot i} $$

Ecco sotto uno schema che vi chiarirà le idee:



GRAFICI

Un altro problema sorge spontaneo.

Esiste un modo per rappresentare graficamente l’interesse e il montante?

Il modo certamente più utilizzato per farlo consiste nel rappresentare un grafico cartesiano dove sull’asse delle ascisse rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse delle ordinate l’interesse o il montante.

Prendendo in esame la formula per il calcolo dell’interesse:

$$ M = C \cdot i \cdot t $$

Possiamo vederla come una retta del tipo y=mx, dove il coefficiente angolare vale C*i ovvero il prodotto tra il capitale e il tasso di interesse.

Per quanto riguarda la formula del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

possiamo riscriverla nel seguente modo

$$ M = C + C \cdot i \cdot t $$

che è una retta del tipo y=mx+q.

In questo caso l’intercetta all’origine si identifica con il capitale e dunque il montante rappresenta una traslazione verso l’alto della funzione rappresentante l’interesse.

Ecco nel grafico sottostante che visualizziamo la rappresentazione del montante e dell’interesse nello stesso grafico cartesiano.



FATTORE DI MONTANTE

Ritorniamo per un attimo alla formula per il calcolo del montante 

$$ M = C \cdot \left( 1 + i \cdot t \right) $$

Ricordiamo inoltre che il fattore di montante è quel fattore (o funzione) che moltiplicato al capitale mi fa ottenere il montante.

Pertanto il fattore di montante nel regime a interesse semplice è :

$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$

Come possiamo vedere dal grafico sottostante tale funzione è lineare.

Potremmo considerarla come una riproduzione in scala di capitale della funzione montante.



Ma vediamo meglio ora alcuni esercizi in cui metteremo in pratica tutto quello che abbiamo imparato fino ad ora.

ESERCIZIO 1

In questo esercizio vedremo come si calcola il capitale investito quando conosciamo il valore dell’interesse, del tasso di interesse e del tempo.

Determina il capitale che Marco deve impiegare per produrre in 5 anni e 8 mesi un interesse semplice pari a 380 euro al tasso annuo del 9,5%.

Per prima cosa procederemo al calcolo del tempo in anni (essendo il tasso di riferimento annuo).

$$ t = 5 \ \text {anni} \ 8 \ \text{mesi} \ to \ t = 5 + \frac{8}{12} \text{mesi} $$

Calcoliamo il capitale con la formula inversa ricavata sopra:



Se usate una calcolatrice del tipo più moderna vi do qualche indicazione sui tasti da premere.



Il tastino verde serve per creare la frazione, mentre i tastini rossi per le parentesi.

Il cursore in giallo serve per posizionarsi nel punto in cui si intende modificare la formula.

Se invece avete a disposizione una calcolatrice tradizionale potete scrivere in questo modo.



Occhio alle parentesi;)

ESERCIZIO 2

Vediamo insieme questo secondo esercizio:

Determina in quanto tempo un capitale di 7.825 euro investito in regime a interesse semplice determina un montante di 12.000 euro al tasso trimestrale del 4%

In questo caso applichiamo la formula per calcolare il tempo ma ricordiamoci che il tasso utilizzato è trimestrale.



Se usi il tasso trimestrale, calcolerai il tempo in trimestri!!!

L’interesse è certamente la differenza tra il montante e il capitale

$$ I = M – C = 12.000 \ – 7.825 = 4.175 $$

Sfruttiamo la formula inversa per il calcolo del tempo:

$$ t = \frac{I}{ C \cdot i} = \frac{4.175}{ 7.825 \cdot 0,04} = 12,338658 \ \text{trimestri !!!} $$

Ora dividiamo per 4 tale tempo per ricavare il numero di anni

Registriamo la parte intera che sono tre anni.

Dopo di che sottraiamo tale parte intera e ci restano 0,33466 anni che moltiplichiamo per 12 per ricavare il numero di mesi.

Arrivati a questo punto ci restano 4,01597 mesi.

Registriamo la parte intera, ovvero 4 mesi



Arrivati a questo punto togliamo la parte intera ovvero 4 e ci restano 0,01597 mesi.

Moltiplichiamo per 30 per ricavare il numero di giorni, ottenendo 0,479 giorni.

Ora arrotondiamo per difetto oppure per eccesso.

In questo caso essendo che lo scarto è minimo possiamo decidere in maniera indipendente cosa fare.

A meno che qualcuno di voi decida di tenere 0 giorni e di moltiplicare 0,479 per 24 per ricavare il numero di ore.

Si potrebbe arrivare persino ai minuti e ai secondi (moltiplicando per 60), ma penso che a nessuno di voi interessi.



ESERCIZIO3

Dopo aver visto il calcolo del capitale e del tempo ora tocca al calcolo del tasso di interesse.

Determina il tasso di interesse semestrale in regime di c.s. per cui investendo 12.000 euro trovo un montante di 14.000 in 3 anni  e 9 mesi



Facciamo attenzione che il testo mi richiede il tasso semestrale (i2).

Quindi dobbiamo cercare di adeguare il tempo al tasso.

Esprimiamo perciò il tempo in semestri ottenendo 7,5 semestri

$$ t_{sem} = 3 \cdot 2 + \frac{9}{6} = 7,5 $$

A questo punto il gioco è fatto poiché calcoliamo il tasso dividendo l’interesse per il prodotto tra il capitale e il tempo.



Ed eccoci arrivati alla soluzione!

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REGIME SEMPLICE: ATTUALIZZAZIONE o SCONTO RAZIONALE

Ricordiamo che ogni regime incorpora oltre che il procedimento della capitalizzazione anche il procedimento dell’attualizzazione.

Pertanto anche nel regime semplice la situazione è questa.

Molti libri di testo utilizzano la dizione “sconto razionale”, che sarebbe il termine tecnico opportuno.

Io sinceramente preferisco parlare di procedimento di attualizzazione nel regime semplice.

Comunque alla fine poco cambia perché si tratta della formula inversa applicata dalla formula base per il calcolo del montante.

Molti libri di testo preferiscono indicare con C, il capitale finale e V il valore attuale in questo caso, essendo attualizzazione.

Ritrovo un attimo più comodo utilizzare M per il capitale finale e C come capitale attuale del montante.

Comunque sia la questione non spaventatevi perché si tratta della stessa formula invertita.

A partir della formula della capitalizzazione del regime semplice 

$$ M = C \cdot (1 + i \cdot t )



Ricaviamo la formula inversa 

$$ C = \frac{M}{1+ i \cdot t} $$

Dove il fattore di attualizzazione, ovvero quel fattore v(t) da moltiplicare al capitale finale (M) per ottenere il capitale attuale (C) è 

$$ v(t) = \frac{1}{1+ i \cdot t} $$

Dalla formula della capitalizzazione



FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE



Il grafico di tale fattore v(t) è un grafico iperbolico.

Di questo grafico noi vediamo solamente il quadrante positivo, proprio perché il tempo è definito nella parte positiva [0;t)



ESERCIZIO 4

Per concludere in bellezza facciamo un esercizio per calcolare il valore attuale oggi di una cifra ad un’epoca futura.

Calcola il capitale che deve essere versato per ottenere un montante di 15.000 in 4 anni e 130 giorni  al tasso annuo del 7% nel regime semplice.

Vi lascerò l’onore di capire i calcoli sottostanti.



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