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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog vediamo come calcolare il valore attuale di una rendita anticipata..

È doveroso informarvi  che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita perpetua.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Posticipata 
  • Regime composto

Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

La rendita di cui andremo a parlare è immediata e posticipata cioè decorre a partire da oggi e la prima rata è pagata al tempo 1.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica significa che ad intervalli di tempo costanti viene pagata (o riscossa) una rata di pari importo.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 500 euro al mese per 10 anni, questo è un esempio di  rendita periodica.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

GRAFICAMENTE

Possiamo rappresentare questa situazione nel seguente modo.

Dopo aver rappresentato l’asse die tempi disponiamo i tempi da 1 a infinito.

Non riuscendo a rappresentarli tutti mettiamo dei puntini dopo il tempo 3, inseriamo un generico tempo k.

Dopo il tempo k altri puntini e il imbolo dell’infinito.

Sotto tali tempi mettiamo l’importo della rata costante R.

Con frecce verdi che partono da ogni rata rappresentiamo la situazione in cui portiamo queste rate al tempo 0.

FORMULA

Per calcolare il valore attuale della rendita useremo la formula del calcolo del valore attuale di una rendita posticipata.

Con la sola differenza che in questo caso la rendita è perpetua e quindi il numero delle rate infinito.

Pertanto useremo la notazione 

Il fattore attualizzante lo chiameremo “a figurato infinito al tasso i”.

Possiamo vedere “a figurato infinito al tasso i” come il limite per n che tende ad infinite di a figurato al tasso i.

Il risultato sorprende per la sua semplicità:

A questo punto i giochi sono tratti e abbiamo il calcolo del nostro valore attuale.

Il valore attuale di una rendita perpetua si ottiene semplicemente dividendo la rata per il tasso di interesse.

ESEMPIO

Ora che siamo ormai esperti, vediamo un esempio pratico sul calcolo del valore attuale di una rendita perpetua.

Dovete valutare il prezzo di un terreno, sapendo che frutta semestralmente 500 euro.

Quale prezzo gli attribuireste sapendo che il tasso nominale convertibile semestralmente è del 10%

GRAFICO

Rappresentiamo graficamente la situazione collocando sotto i tempi (in semestri) da 1 a infinito le rate di 500 euro.

Le frecce in verde ci fanno capire che dobbiamo attualizzare le rate al tempo zero.

TASSO SEMESTRALE

Dal momento che le rate sono semestrali per applicare la formula per il calcolo del valore attuale ci serve il tasso effettivo semestrali.

Il testo ci da il tasso nominale convertibile semestralmente.

Per calcolare il tasso effettivo semestrale dividiamo per 2 quello nominale, ottenendo il 5%.

VALORE DEL TERRENO

A questo punto siamo pronti per calcolare il valore attuale del terreno che si ottiene dividendo la rata semestrale per il tasso semestrale.

Il valore oggi del terreno è pari a 10.000 euro.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.

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37 Comments

  • Gianluca ha detto:

    Buongiorno,
    vorrei capire il valore di una rendita annuale di euro 12.000 per 14 anni al tasso del 2%.
    Cordiali saluti
    Gianluca Giannone

    • Andrea ha detto:

      Supponendo che la rendita sia posticipata e che agiamo nel regime composto, il valore attuale della rendita è pari a 12.000*(1-1,02^-14)/0,02=145.275 euro ;)

      • Sofia ha detto:

        Si considerino due rendite perpetue con rata semestrale, la prima, r, è anticipata con rata R, la seconda, r’, ha rata R’ ed è posticipata. Siano P=2400 € e P=1600 € i rispettivi prezzi di acquisto. Sapendo che le operazioni finanziarie di acquisto delle due rendite sono entrambe eque secondo la legge esponenziale di tasso annuo i=2.5%, si determini l’importo delle rate R e R’. Si calcoli il prezzo P” che risulta equo, secondo la stessa legge, per acquistare un’attività finanziaria che garantisce il flusso di entrate previsto dalla somma delle due rendite, R”= (R+R’) nei primi 10 anni.
        Si calcoli il tasso interno di rendimento i* dell’operazione di acquisto di entrambe le rendite perpetue al prezzo di 3500 € e lo si esprima in forma percentuale e su base annua.

        • Andrea ha detto:

          Ciao Sofia,
          Per prima cosa cominciamo a calcolare il tasso semestrale equivalente al tasso annuo del 2,5%.
          Usiamo dunque la formula di trasformazione dei tassi del regime composto
          i2 = (1+i)^(1/2)-1 = 1,025^(1/2) -1 = 0,012422837
          A questo punto ci occupiamo del calcolo delle due rate R e R’.
          La prima rendita è perpetua e anticipata dunque seguiremo la formula:
          P = R*(1+i)/i (da notare che i è il tasso semestrale)
          Invertendo la formula otteniamo la rata
          R = P*i/(1+i) = 2400*0,012422837/1,012422837 = 29,449

          Passiamo ora alla rata R’. Essendo la rendita posticipata e perpetua usiamo la formula
          P’ = R’*/i da cui ricaviamo la rata R’
          R’ = P’*i = 1600*0,012422837 = 19,877

          Adesso vogliamo calcolare il prezzo di una rendita di 10 anni che ha come rata R” che è la somma di R e R’, dunque
          R” = 49,326
          Ipotizzando che la rendita sia ancora semestrale e posticipata troviamo il prezzo P” come valore attuale delle rate
          P” = R”*a(20, 0,012422837)
          dove a(20, 0,012422837) è il fattore attualizzante delle rendite “a figurato n al tasso i”
          Applicando la formula otteniamo il valore di P”
          P” = 868,81

          L’ultima richiesta ci chiede di calcolare il tasso di interesse per acquistare entrambe le rendite di modo che il prezzo sia di 3500
          In questo caso se teniamo i tempi delle rate esattamente come presentati dal testo la prima rata è separata dalle altre
          Dunque esprimiamo il prezzo come valore attuale delle rate e scriviamo
          P” = R + R”/i (dove i indica il tasso semestrale dell’operazione
          Invertendo la formula troviamo che il tasso semestrale risulta
          i = R”/(P”-R) = 49,328/(3500 – 29,449) = 0,0142133
          Calcoliamo infine il tasso su base annua con la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto
          i = 1,0142133^2 -1 = 0,02863
          Dunque il tasso annuo espresso percentualmente risulta del 2,863%

          Se la risposta ti è piaciuta ti invito a mettere una bella recensione positiva per questo sito nella risposta ;)

          • Sofia vada ha detto:

            Grazie mille, ma invece questo qui come si fa?
            Si considerino due operazioni finanziarie che prevedono l’investimento di un capitale iniziale C=530 euro e C’=350 euro rispettivamente al tasso di interesse annuo i=2,55% e i’=7,65%. Calcolare dopo quanti anni le due operazioni producono lo stesso montante in legge lineare e dopo quanti anni le due operazioni producono lo stesso montante in legge iperbolica.

          • Sofia vada ha detto:

            Le volevo chiedere se era possibile contattarla in altri modi?

          • Andrea ha detto:

            Certo
            scrivendo una mail ad andreailmatematico@gmail.com

          • Sofia vada ha detto:

            Non ho capito quest’ultima parte: L’ultima richiesta ci chiede di calcolare il tasso di interesse per acquistare entrambe le rendite di modo che il prezzo sia di 3500
            In questo caso se teniamo i tempi delle rate esattamente come presentati dal testo la prima rata è separata dalle altre
            Dunque esprimiamo il prezzo come valore attuale delle rate e scriviamo
            P” = R + R”/i (dove i indica il tasso semestrale dell’operazione
            Invertendo la formula troviamo che il tasso semestrale risulta
            i = R”/(P”-R) = 49,328/(3500 – 29,449) = 0,0142133
            Calcoliamo infine il tasso su base annua con la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto
            i = 1,0142133^2 -1 = 0,02863
            Dunque il tasso annuo espresso percentualmente risulta del 2,863%

          • Andrea ha detto:

            La rata della prima rendita era anticipata dunque veniva pagata al tempo di inizio della rendita.

          • Sofia vada ha detto:

            mi puoi spiegare l’ultima parte non capisco come hai trovato il tasso di rendimento

          • Andrea ha detto:

            Dalla formula
            P” = R + R”/i
            Abbiamo che
            R”/i= P” – R
            Ribaltando le frazioni otteniamo
            i/R”=1/(P”-R)
            Moltiplicando per R” otteniamo
            i= R”/(P”-R)

          • Sofia vada ha detto:

            si ho capito la formula inversa ma non capisco da dove esca questa formula qua P” = R + R”/i e non mi ricordo i valore attuale delle rate come si calcola

  • Dario ha detto:

    Ho da poco sostenuto l’esame di Matematica Finanziaria con successo grazie ai tuoi video che sono fatti in modo semplice e chiaro, in poche parole efficaci. Ti sono immensamente grato

    • Andrea ha detto:

      Un fantastico successone direi;)
      Penso che non ci sia cosa migliore che superare un grande ostacolo seguendo un percorso come quello che hai fato tu.
      La gratitudine è mia nei tuoi confronti perché decidendo di fare questo importante acquisto hai deciso di investire sulla tua persona e sul tuo miglioramento personale.
      Grazie a persone come te il progetto della produzione video può diventare una realtà al fine di aiutare tante altre persone a raggiungere i propri obiettivi e superare le proprie paure.
      Molto spesso si crede che le materie tecniche sia difficile così la gente si allontana.
      Tu hai fatto il contrario.
      Un fortissimo abbraccio ;)

      • Sofia ha detto:

        Ciao scusami se ti disturbo non riesco a fare questo esercizio riesci ad aiutarmi? Si consideri una rendita anticipata temporanea con rata quadrimestrale DIFFERITA DI 8 MESI, DURATA DI 1 anno.
        SApendo CHE V(o,r)=700€ CALCOLA LA RATA SAPENDO CHE:
        a)iA=3% in Legge lineare b) δ(t,s)= 0,06-0,0013 S^2 ANNI^-1. c) itrim=1,3% in Legge esponenziale

        • Andrea ha detto:

          Ciao sempre tu vedo…
          Sappiamo che il valore attuale di una rendita quadrimestrale di durata 1 anno pari a 700 e vogliamo calcolare le rate.
          Partiamo dal fattore che si tratta di tre rate costanti quadrimestrali, di conseguenza avremo bisogno dei relativi tassi quadrimestrali (non sarebbero obbligatori dipende dalla procedura adottata)

          Consideriamo la situazione a) LEGGE LINEARE
          Ricaviamo il tasso quadrimestrale equivalente in legge lineare (regime semplice) al 3% annuo, dunque dividiamo semplicemente per 3 ottenendo l’1% quadrimestrale.
          Attenzione a questo punto nel non cadere nell’errore di considerato a figurato n al tasso i, poiché questa legge vale solo nel regime composto.

          Impostiamo dunque l’attuazione delle tre rate nel regime semplice ottenendo
          R/(1+i·1) + R/(1+i·2) + R/(1+i·3)= V
          Risolvendo l’equazione per R troviamo il valore di 237,985

          Passiamo al punto c)
          Essendo il regime composto trasformiamo il tasso trimestrale nel corrispondente tasso quadrimestrale usando la formula
          i3 = (1+i4)^(4/3) – 1 = 0,01737078
          Essendo il regime composto basta usare la formula inversa per la rata costante di una redita
          R = V/a(3,i) da cui troviamo la rata di 241,48623

          Il quesito b) è il più difficile
          Conosciamo l’intensità istantanea 𝛿(s) che dipende dalla scadenza s
          ricordiamo che il fattore di montante risulta da un processo di integrazione che ci porta alla formula
          f(s)= e^(∫𝛿(s))ds
          Da cui otteniamo
          f(s) = C*e^(0,06s – 0,0013/3s^3) con la costante integrativa C che vale 1 per il fatto che f(0)=1
          A questo punto il fattore attualizzante v(s) non è altro che il reciproco di f(s) ovvero
          v(s) = (f(s))^-1
          A questo punto otteniamo la rata dall’imposizione del valore attuale delle rate uguale a V otteniamo che

          R = V/(v(1/3)+v(2/3) +v(1)) = 242,777

  • Marco Ambrosio ha detto:

    Ciao, sono Marco e avrei un dubbio. Che differenza c’è tra il valore attuale di un montante di n anni ed il valore attuale di una rendita di n anni, ossia finita. Perché la formula è diversa? In teoria, non sto scontando sempre dei flussi di capitale ma mentre nel primo caso il valore ( come è giusto che sia) diminuisce, nel caso della rendita, invece, aumenta? Grazie in anticipo. Un cordiale saluto.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco.
      Quando attualizzi un singolo importo di n anni applichi il fattore di sconto
      *(1+i)^-n nel regime composto.
      Quando stai attualizzando una rendita stai attualizzando n importi.
      Per tanto a parità di rata il valore attuale della rendita sarà maggiore dell’attualizzazione del singolo versamento.
      Comunque minore della rata moltiplicata per n

  • Marco Ambrosio ha detto:

    Ciao Andrea e grazie per la risposta. Qui voglio essere più preciso, infatti mi riferisco a queste due formule: V = R ·1− (1+𝑖)^−𝑛/𝑖 e Va=∑(𝐹𝑡/(1+𝑖)^𝑡… La prima, come tu insegni, e il Valore attuale di più rendite posticipate e la seconda è il Valore attuale di una serie di flussi di cassa. Entrambe attualizzano più flussi ma abbiamo due risultati completamente diversi. Grazie ancora per la tua squisita gentilezza. Marco

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco ti faccio notare che la prima formula che mi hai presentato è SPECIFICA
      V = R ·(1− (1+𝑖)^−𝑛)/𝑖
      E RIGUARDA IL CASO IN CUI LA REBDITA è immediata e posticipata a rata costante.
      Mentre la seconda rendita è GENERICA
      Va=∑(𝐹𝑡/(1+𝑖)^𝑡
      questa si applica ad ogni situazione.
      Le due formula conducono allo stesso risultato quando la rendita è immediata, posticipata a rata costante.
      Ti faccio un esempio.
      Calcoliamo il Valore attuale di una rendita di tre rate da 500 euro al tasso del 8% con rate ai tempi 1,2,3.
      Se usiamo la FORMULA GENERICA, avremo che:
      VA=500/1,08+500/1,08^2+500/1,08^3 = 1.288,59
      Se utilizziamo la formula SPECIFICA:
      V = R ·(1− (1+𝑖)^−𝑛)/𝑖
      v=500*(1-1,08^-3)/0,08=1.288,59
      otteniamo Cioè LO STESSO RISULTATO
      ;)

  • samuele palla ha detto:

    Ciao ho visto il tuo sito e mi sembra molto interessante.

    Io avrei un domanda da farti.

    Nella foto sotto ci sono tre tipi di rendite:

    1)rendita perpetua o a tempo indeterminato
    2) rendita o pensione a tempo determinato
    3)rendita o pensione vitalizia. Questa credo di aver capito come trovare la base imponibile. Moltiplico l’ammontare del capitale per il coefficiente in tabella relativo agli anni del soggetto.

    Avrei bisogno di capire come si trova la base imponibile di queste rendite. Potresti farmi degli esempi?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Samuele
      Grazie della domanda
      Premetto subito che la domanda che mi hai fatto non è semplice ed esauribile in poche righe e che si potrebbe scrivere un libro di 100 pagine su questo argomento, ma ci proverò.

      Una rendita perpetua è una rendita che ha inizio e non ha una fine.
      E come sappiamo una rendita è fonte di reddito, e quando c’è un reddito sappiamo che c’è un tizio ingordo che si chiama stato e che ne vuole sempre una fetta.
      Ora devi sapere che una rendita perpetua si genera da cose che noi riteniamo di durata infinita, come un terreno, uno stabile o un’azienda.
      Succede spesso che se conosciamo il valore di mercato di quell’oggetto e il tasso di riferimento di quello specifico mercato siamo in grado di determinare il reddito prodotto, e quindi la base imponibile
      Per fare un esempio banale
      Se il terreno agricolo che possiedi vale 100.000 euro e il tasso del mercato agricolo è il 5% per lo stato tu sei in grado di guadagnare 5.000 euro all’anno (il 5% di 100.000) e quello sarà oggetto di tassazione.
      In realtà quindi c’è una vasta classificazione di beni e un continuo aggiornamento di tassi ( a seconda dei settori e di altri parametri)
      Oltre che casi eccezioni, altri fattori correttivi (in base a reddito, altri redditi, altre cose che nemmeno io so)
      Questi fattori sono continuamente aggiornati e per comodità vengono create queste tabelle (che onestamente non ho mai visto)
      E allora si dice
      Moltiplica il valore del bene per il coefficiente della tabella.

      Per la pensione come mi hai riportato CCR ne sono due tipi
      – tempo determinato
      – tempo indeterminato

      Anche qui le cose dette in modo semplice funzionano più o meno così
      Se tu hai diritto ad una pensione vuol dire che hai versato dei contributi per averla.
      E questi contributi sono proporzionali al tuo reddito.
      1) Calcoli il montante di questi contributi
      2) dividi il montante per il fattore attualizzante
      3) trovi il reddito

      Ad esempio tu hai lavorato 20 anni
      Ha preso 20.000 euro all’anno di reddito lordo di cui il 30% in contributi
      Quindi ogni anno hai versato 6.000 euro
      Il tasso di riferimento medio (credo prossimo all’inflazione) è il 2%
      La prima cosa da fare è calcolare il montante di questa rendita
      Ti scrivo solo il calcolo
      6.000*(1-(1,02)^(-20))/0,02
      Questo è il valore attuale della futura pensione

      Supponiamo che la pensione è a tempo determinato ad esempio per 10 anni
      Prendi questa cifra ottenuta e la dividi per il fattore attualizzante di una rendita a 10 anni.

      Se è vitalizia lo dividi per un altro fattore che riguarda le rendite vitalizia

      La realtà come sempre è più complessa:
      Infatti:
      – i contributi variano di anno in anno
      – il sistema contributivo non è stato sempre in vigore (prima c’era quello retributivo) e bisogna vedere in che anno hai cominciato a lavorare
      – hai avuto disoccupazione ??? Per quanto tempo???
      – diverse categorie hanno i loro tassi contributivi
      – i tassi di inflazione variano di anno in anno
      – quando parli di pensione bisogna rifarsi ai calcoli delle probabilità di vita ( dunque servono le tavole di vita)

      Dunque come al solito questi calcoli possono essere svolti solo da software che sono programmati con
      – formule finanziarie
      – dati di mortalità
      – dati fiscali
      Che sono continuamente aggiornati

      Come sempre per semplificare la cosa ci sono queste famose tabelle che servono un po’ a semplificare i conti

      Ma credo che comunque si vada verso la strada per linformatizzazione

      Insomma se un minimo di matematica finanziaria ce l’hai in sennò quello che potresti fare è fornire un stima approssimativa

      Anche le tabelle possono offrono una stima approssimativa

      Spero di esserti stato di aiuto

  • johnny ha detto:

    Il terreno frutta 500 euro semestrali il tasso semestrale è il 5%, si applica R/I e si calcola il valore del terreno. Bene
    quello che vorrei sapere se il tasso da applicare per la determinazione del valore è quello nominale o quello reale al netto del tasso d’inflazione
    Grazie dell’attenzione

    • Andrea ha detto:

      Ciao Johnny
      Dipende da come consideri i 500 euro
      Se li
      Consideri come un flusso di cassa nominale userai il tasso nominale
      Diversamente se li consideri come un flusso di cassa reale utilizzi il tasso reale

      Supponiamo che i 500 euro siano nominali e il tasso del 5% fosse nominale
      Il valore del terreno sarà
      V= 500/0,05 = 10.000
      Se i flussi fossero reali e il tasso fosse nominale del 5% ti servirebbe il tasso di inflazione semestrale
      Supposto che questo sia pari al 1%
      Il valore del terreno sarà:
      V = 500/(0,05-0,01)=12.500

      • Johnny ha detto:

        Grazie, l’esempio è molto chiaro ma come faccio a stabilire se il flusso è reale o nominale?
        Grazie dell’attenzione

  • johnny ha detto:

    grazie del chiarimento ma come faccio a considerare un reddito reale o nominale?

    grazie dell’attenzione

  • Veronica ha detto:

    Buongiorno, se abbiamo un’obbligazione con cedola del 7% con pagamenti semestrali e un rendimento alla scadenza del 7.73%. Le obbligazioni scadono tra 9 anni. Qual è il prezzo di mercato di un’obbligazione dal valore nominale di € 1000? c’è un metodo più veloce di attualizzare tutti i 18 flussi di cassa?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Veronica, si esiste un modo più veloce dal momento che hai un solo tasso.
      Se chiami C la cedola e VN il valore nominale, i il tasso
      La formula del valore attuale è:
      V = C* (1-(1+i)^-n)/i +VN*(1+i)^(-t)
      Una precisazione sul tasso.
      Essendo i flussi semestrali utilizzi certamente il tasso semestrale per le cedole.
      i2 = 1,0773^(1/2) -1
      Mentre per l’attualizzazione del tempo finale puoi tenere il 7,73% ma usare il tempo t=9
      Oppure quello semestrale e il tempo t esprimerlo in semestri

  • alessandro ha detto:

    ciao, mi potresti aiutare per favore con questa? Rendita mensile, differita 20 anni, anticipata, perpetua, rata pari a 400$. Calacolare il Valore attuale

    • Andrea ha detto:

      Ciao Alessandro
      In questo caso devi usare la seguente formula
      V= R*/i*(1+i)^(-k+1)
      Dove k è il numero di periodo di differimento

      Nel tuo caso k è pari a 20*12=240 quindi il valore attuale è
      V= 400/i * (1+i)^(-239)
      Il problema del tuo testo è che manca il tasso di interesse
      Ad esempio consideriamo un tasso annuo del 5%
      Dovresti trasformare il tasso in mensile
      i12=1,05^(1/12)-1
      Se il tasso fosse nominale convertibile mensilmente allora lo dividi per 12 per trovare quello mensile
      Se il tasso è già mensile usi quello

  • valentino ha detto:

    Ciao mi puoi aiutare su questi quesiti?
    -Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a? e il montante?
    -data una rendita unitaria anticipata di 10 anni in regime di capitalizzazione composta al tasso del 2%,, il valore attuale e il montante sono pari a ?
    -data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a ?
    -data una rendita unitaria posticipata perpetua, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2% il valore attuale è?

    ti ringrazio.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valentino
      Per il primo quesito applichi la seguente formula
      VALORE ATTUALE = 1·[1-1,02^(-10)-1]/0,10= 8,9825
      MONTANTE = 1·[1,02^10 -1]/0,1 = 10,9497
      Per la rendita anticipata basta che moltiplichi i risultati precedenti per 1,02
      Se la rendita è posticipata e differita di 5 anni moltiplichi i primi due risultati per 1,02^(-5)
      Quando la rendita è anticipata e differita di 5 anni moltiplichi sempre i primi due risultati per 1,02^(-4)

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