In questo articolo vediamo come si calcola il valore attuale di una rendita perpetua a rata costante posticipata ed immediata nel regime composto.
INDICE
PREMESSA IMPORTANTE
In questo blog vediamo come calcolare il valore attuale di una rendita anticipata..
È doveroso informarvi che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita perpetua.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Posticipata
- Regime composto
GRAFICAMENTE
Possiamo rappresentare questa situazione nel seguente modo.
Dopo aver rappresentato l’asse die tempi disponiamo i tempi da 1 a infinito.
Non riuscendo a rappresentarli tutti mettiamo dei puntini dopo il tempo 3, inseriamo un generico tempo k.
Dopo il tempo k altri puntini e il imbolo dell’infinito.
Sotto tali tempi mettiamo l’importo della rata costante R.
Con frecce verdi che partono da ogni rata rappresentiamo la situazione in cui portiamo queste rate al tempo 0.
FORMULA
Per calcolare il valore attuale della rendita useremo la formula del calcolo del valore attuale di una rendita posticipata.
$$ V = R \cdot a_{ n \rceil i} $$
Con la sola differenza che in questo caso la rendita è perpetua e quindi il numero delle rate infinito.
Pertanto useremo la notazione
$$ V = R \cdot a_{ \infty \rceil i} $$
Il fattore attualizzante lo chiameremo “a figurato infinito al tasso i”.
Possiamo vedere “a figurato infinito al tasso i” come il limite per n che tende ad infinite di a figurato al tasso i.
Il risultato sorprende per la sua semplicità:
$$ \lim_{n to \infty} \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1}{i} $$
A questo punto i giochi sono tratti e abbiamo il calcolo del nostro valore attuale.
$$ V = R \cdot \frac{1}{i} = \frac{R}{i} $$
Il valore attuale di una rendita perpetua si ottiene semplicemente dividendo la rata per il tasso di interesse.
ESEMPIO
Ora che siamo ormai esperti, vediamo un esempio pratico sul calcolo del valore attuale di una rendita perpetua.
Dovete valutare il prezzo di un terreno, sapendo che frutta semestralmente 500 euro.
Quale prezzo gli attribuireste sapendo che il tasso nominale convertibile semestralmente è del 10%
GRAFICO
Rappresentiamo graficamente la situazione collocando sotto i tempi (in semestri) da 1 a infinito le rate di 500 euro.
Le frecce in verde ci fanno capire che dobbiamo attualizzare le rate al tempo zero.
TASSO SEMESTRALE
Dal momento che le rate sono semestrali per applicare la formula per il calcolo del valore attuale ci serve il tasso effettivo semestrali.
Il testo ci da il tasso nominale convertibile semestralmente.
Per calcolare il tasso effettivo semestrale dividiamo per 2 quello nominale, ottenendo il 5%.
$$ i_2 = \frac{j_2}{2} = \frac{0,10}{2} = 0,05 $$
VALORE DEL TERRENO
A questo punto siamo pronti per calcolare il valore attuale del terreno che si ottiene dividendo la rata semestrale per il tasso semestrale.
$$ V = \frac{R}{i_2} = \frac{500}{0,05} = 10.000 $$
Il valore oggi del terreno è pari a 10.000 euro.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
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45 risposte
Buongiorno,
vorrei capire il valore di una rendita annuale di euro 12.000 per 14 anni al tasso del 2%.
Cordiali saluti
Gianluca Giannone
Supponendo che la rendita sia posticipata e che agiamo nel regime composto, il valore attuale della rendita è pari a 12.000*(1-1,02^-14)/0,02=145.275 euro 😉
Si considerino due rendite perpetue con rata semestrale, la prima, r, è anticipata con rata R, la seconda, r’, ha rata R’ ed è posticipata. Siano P=2400 € e P=1600 € i rispettivi prezzi di acquisto. Sapendo che le operazioni finanziarie di acquisto delle due rendite sono entrambe eque secondo la legge esponenziale di tasso annuo i=2.5%, si determini l’importo delle rate R e R’. Si calcoli il prezzo P” che risulta equo, secondo la stessa legge, per acquistare un’attività finanziaria che garantisce il flusso di entrate previsto dalla somma delle due rendite, R”= (R+R’) nei primi 10 anni.
Si calcoli il tasso interno di rendimento i* dell’operazione di acquisto di entrambe le rendite perpetue al prezzo di 3500 € e lo si esprima in forma percentuale e su base annua.
Ciao Sofia,
Per prima cosa cominciamo a calcolare il tasso semestrale equivalente al tasso annuo del 2,5%.
Usiamo dunque la formula di trasformazione dei tassi del regime composto
i2 = (1+i)^(1/2)-1 = 1,025^(1/2) -1 = 0,012422837
A questo punto ci occupiamo del calcolo delle due rate R e R’.
La prima rendita è perpetua e anticipata dunque seguiremo la formula:
P = R*(1+i)/i (da notare che i è il tasso semestrale)
Invertendo la formula otteniamo la rata
R = P*i/(1+i) = 2400*0,012422837/1,012422837 = 29,449
Passiamo ora alla rata R’. Essendo la rendita posticipata e perpetua usiamo la formula
P’ = R’*/i da cui ricaviamo la rata R’
R’ = P’*i = 1600*0,012422837 = 19,877
Adesso vogliamo calcolare il prezzo di una rendita di 10 anni che ha come rata R” che è la somma di R e R’, dunque
R” = 49,326
Ipotizzando che la rendita sia ancora semestrale e posticipata troviamo il prezzo P” come valore attuale delle rate
P” = R”*a(20, 0,012422837)
dove a(20, 0,012422837) è il fattore attualizzante delle rendite “a figurato n al tasso i”
Applicando la formula otteniamo il valore di P”
P” = 868,81
L’ultima richiesta ci chiede di calcolare il tasso di interesse per acquistare entrambe le rendite di modo che il prezzo sia di 3500
In questo caso se teniamo i tempi delle rate esattamente come presentati dal testo la prima rata è separata dalle altre
Dunque esprimiamo il prezzo come valore attuale delle rate e scriviamo
P” = R + R”/i (dove i indica il tasso semestrale dell’operazione
Invertendo la formula troviamo che il tasso semestrale risulta
i = R”/(P”-R) = 49,328/(3500 – 29,449) = 0,0142133
Calcoliamo infine il tasso su base annua con la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto
i = 1,0142133^2 -1 = 0,02863
Dunque il tasso annuo espresso percentualmente risulta del 2,863%
Se la risposta ti è piaciuta ti invito a mettere una bella recensione positiva per questo sito nella risposta 😉
Grazie mille, ma invece questo qui come si fa?
Si considerino due operazioni finanziarie che prevedono l’investimento di un capitale iniziale C=530 euro e C’=350 euro rispettivamente al tasso di interesse annuo i=2,55% e i’=7,65%. Calcolare dopo quanti anni le due operazioni producono lo stesso montante in legge lineare e dopo quanti anni le due operazioni producono lo stesso montante in legge iperbolica.
Le volevo chiedere se era possibile contattarla in altri modi?
Certo
scrivendo una mail ad andreailmatematico@gmail.com
Non ho capito quest’ultima parte: L’ultima richiesta ci chiede di calcolare il tasso di interesse per acquistare entrambe le rendite di modo che il prezzo sia di 3500
In questo caso se teniamo i tempi delle rate esattamente come presentati dal testo la prima rata è separata dalle altre
Dunque esprimiamo il prezzo come valore attuale delle rate e scriviamo
P” = R + R”/i (dove i indica il tasso semestrale dell’operazione
Invertendo la formula troviamo che il tasso semestrale risulta
i = R”/(P”-R) = 49,328/(3500 – 29,449) = 0,0142133
Calcoliamo infine il tasso su base annua con la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto
i = 1,0142133^2 -1 = 0,02863
Dunque il tasso annuo espresso percentualmente risulta del 2,863%
La rata della prima rendita era anticipata dunque veniva pagata al tempo di inizio della rendita.
mi puoi spiegare l’ultima parte non capisco come hai trovato il tasso di rendimento
Dalla formula
P” = R + R”/i
Abbiamo che
R”/i= P” – R
Ribaltando le frazioni otteniamo
i/R”=1/(P”-R)
Moltiplicando per R” otteniamo
i= R”/(P”-R)
si ho capito la formula inversa ma non capisco da dove esca questa formula qua P” = R + R”/i e non mi ricordo i valore attuale delle rate come si calcola
Ciao Sofia
Allora se vuoi trovare il tempo che eguaglia i due montanti adottiamo i regimi opportuni
Partiamo da quello lineare
La formula per calcolare il montante è
M = C (1+it)
Dunque imponiamo i due montanti uguali
C(1+it) ? C'(1+i’t)
Nota bene che il tempo t è il medesimo
sviluppando otteniamo
C + Cit = C’ + C’i’t
Spostiamo i tempi sul lato sinistro
Cit-C’i’t = C’-C
Raccogliamo a fattor comune il tempo sulla sinistra
t (Ci-C’i’) = C’-C
Dunque otteniamo che t= (C’-C)/(Ci-C’i’)
Non ti resta che sostituire i dati
Passiamo ora al regime iperbolico (quello a sconto commerciale)
Il montante in convenzione esponenziale risulta
M = C/(1-dt)
Eguagliamo dunque i due montanti
C/(1-dt) = C’/(1-d’t)
Nota che il tempo è il medesimo t per entrambi
Incrociamo
C (1-d’t) = C’ (1-dt)
Spostiamo le t a sinistra e raccogliamo a fattor comune
t(C’d-Cd’) = C’-C
Ecco che otteniamo il tempo
t = (C’-C)/(C’d-Cd’)
Non ti resta che sostituire i dati
Ricorda che per ricavare il tasso di sconto d a partire dal tasso di interesse i bisogna usare la formula
d = i/(1+i)
Ho da poco sostenuto l’esame di Matematica Finanziaria con successo grazie ai tuoi video che sono fatti in modo semplice e chiaro, in poche parole efficaci. Ti sono immensamente grato
Un fantastico successone direi;)
Penso che non ci sia cosa migliore che superare un grande ostacolo seguendo un percorso come quello che hai fato tu.
La gratitudine è mia nei tuoi confronti perché decidendo di fare questo importante acquisto hai deciso di investire sulla tua persona e sul tuo miglioramento personale.
Grazie a persone come te il progetto della produzione video può diventare una realtà al fine di aiutare tante altre persone a raggiungere i propri obiettivi e superare le proprie paure.
Molto spesso si crede che le materie tecniche sia difficile così la gente si allontana.
Tu hai fatto il contrario.
Un fortissimo abbraccio 😉
Ciao scusami se ti disturbo non riesco a fare questo esercizio riesci ad aiutarmi? Si consideri una rendita anticipata temporanea con rata quadrimestrale DIFFERITA DI 8 MESI, DURATA DI 1 anno.
SApendo CHE V(o,r)=700€ CALCOLA LA RATA SAPENDO CHE:
a)iA=3% in Legge lineare b) δ(t,s)= 0,06-0,0013 S^2 ANNI^-1. c) itrim=1,3% in Legge esponenziale
Ciao sempre tu vedo…
Sappiamo che il valore attuale di una rendita quadrimestrale di durata 1 anno pari a 700 e vogliamo calcolare le rate.
Partiamo dal fattore che si tratta di tre rate costanti quadrimestrali, di conseguenza avremo bisogno dei relativi tassi quadrimestrali (non sarebbero obbligatori dipende dalla procedura adottata)
Consideriamo la situazione a) LEGGE LINEARE
Ricaviamo il tasso quadrimestrale equivalente in legge lineare (regime semplice) al 3% annuo, dunque dividiamo semplicemente per 3 ottenendo l’1% quadrimestrale.
Attenzione a questo punto nel non cadere nell’errore di considerato a figurato n al tasso i, poiché questa legge vale solo nel regime composto.
Impostiamo dunque l’attuazione delle tre rate nel regime semplice ottenendo
R/(1+i·1) + R/(1+i·2) + R/(1+i·3)= V
Risolvendo l’equazione per R troviamo il valore di 237,985
Passiamo al punto c)
Essendo il regime composto trasformiamo il tasso trimestrale nel corrispondente tasso quadrimestrale usando la formula
i3 = (1+i4)^(4/3) – 1 = 0,01737078
Essendo il regime composto basta usare la formula inversa per la rata costante di una redita
R = V/a(3,i) da cui troviamo la rata di 241,48623
Il quesito b) è il più difficile
Conosciamo l’intensità istantanea 𝛿(s) che dipende dalla scadenza s
ricordiamo che il fattore di montante risulta da un processo di integrazione che ci porta alla formula
f(s)= e^(∫𝛿(s))ds
Da cui otteniamo
f(s) = C*e^(0,06s – 0,0013/3s^3) con la costante integrativa C che vale 1 per il fatto che f(0)=1
A questo punto il fattore attualizzante v(s) non è altro che il reciproco di f(s) ovvero
v(s) = (f(s))^-1
A questo punto otteniamo la rata dall’imposizione del valore attuale delle rate uguale a V otteniamo che
R = V/(v(1/3)+v(2/3) +v(1)) = 242,777
Ciao, sono Marco e avrei un dubbio. Che differenza c’è tra il valore attuale di un montante di n anni ed il valore attuale di una rendita di n anni, ossia finita. Perché la formula è diversa? In teoria, non sto scontando sempre dei flussi di capitale ma mentre nel primo caso il valore ( come è giusto che sia) diminuisce, nel caso della rendita, invece, aumenta? Grazie in anticipo. Un cordiale saluto.
Ciao Marco.
Quando attualizzi un singolo importo di n anni applichi il fattore di sconto
*(1+i)^-n nel regime composto.
Quando stai attualizzando una rendita stai attualizzando n importi.
Per tanto a parità di rata il valore attuale della rendita sarà maggiore dell’attualizzazione del singolo versamento.
Comunque minore della rata moltiplicata per n
Ciao Andrea e grazie per la risposta. Qui voglio essere più preciso, infatti mi riferisco a queste due formule: V = R ·1− (1+𝑖)^−𝑛/𝑖 e Va=∑(𝐹𝑡/(1+𝑖)^𝑡… La prima, come tu insegni, e il Valore attuale di più rendite posticipate e la seconda è il Valore attuale di una serie di flussi di cassa. Entrambe attualizzano più flussi ma abbiamo due risultati completamente diversi. Grazie ancora per la tua squisita gentilezza. Marco
Ciao Marco ti faccio notare che la prima formula che mi hai presentato è SPECIFICA
V = R ·(1− (1+𝑖)^−𝑛)/𝑖
E RIGUARDA IL CASO IN CUI LA REBDITA è immediata e posticipata a rata costante.
Mentre la seconda rendita è GENERICA
Va=∑(𝐹𝑡/(1+𝑖)^𝑡
questa si applica ad ogni situazione.
Le due formula conducono allo stesso risultato quando la rendita è immediata, posticipata a rata costante.
Ti faccio un esempio.
Calcoliamo il Valore attuale di una rendita di tre rate da 500 euro al tasso del 8% con rate ai tempi 1,2,3.
Se usiamo la FORMULA GENERICA, avremo che:
VA=500/1,08+500/1,08^2+500/1,08^3 = 1.288,59
Se utilizziamo la formula SPECIFICA:
V = R ·(1− (1+𝑖)^−𝑛)/𝑖
v=500*(1-1,08^-3)/0,08=1.288,59
otteniamo Cioè LO STESSO RISULTATO
😉
Ciao ho visto il tuo sito e mi sembra molto interessante.
Io avrei un domanda da farti.
Nella foto sotto ci sono tre tipi di rendite:
1)rendita perpetua o a tempo indeterminato
2) rendita o pensione a tempo determinato
3)rendita o pensione vitalizia. Questa credo di aver capito come trovare la base imponibile. Moltiplico l’ammontare del capitale per il coefficiente in tabella relativo agli anni del soggetto.
Avrei bisogno di capire come si trova la base imponibile di queste rendite. Potresti farmi degli esempi?
Ciao Samuele
Grazie della domanda
Premetto subito che la domanda che mi hai fatto non è semplice ed esauribile in poche righe e che si potrebbe scrivere un libro di 100 pagine su questo argomento, ma ci proverò.
Una rendita perpetua è una rendita che ha inizio e non ha una fine.
E come sappiamo una rendita è fonte di reddito, e quando c’è un reddito sappiamo che c’è un tizio ingordo che si chiama stato e che ne vuole sempre una fetta.
Ora devi sapere che una rendita perpetua si genera da cose che noi riteniamo di durata infinita, come un terreno, uno stabile o un’azienda.
Succede spesso che se conosciamo il valore di mercato di quell’oggetto e il tasso di riferimento di quello specifico mercato siamo in grado di determinare il reddito prodotto, e quindi la base imponibile
Per fare un esempio banale
Se il terreno agricolo che possiedi vale 100.000 euro e il tasso del mercato agricolo è il 5% per lo stato tu sei in grado di guadagnare 5.000 euro all’anno (il 5% di 100.000) e quello sarà oggetto di tassazione.
In realtà quindi c’è una vasta classificazione di beni e un continuo aggiornamento di tassi ( a seconda dei settori e di altri parametri)
Oltre che casi eccezioni, altri fattori correttivi (in base a reddito, altri redditi, altre cose che nemmeno io so)
Questi fattori sono continuamente aggiornati e per comodità vengono create queste tabelle (che onestamente non ho mai visto)
E allora si dice
Moltiplica il valore del bene per il coefficiente della tabella.
Per la pensione come mi hai riportato CCR ne sono due tipi
– tempo determinato
– tempo indeterminato
Anche qui le cose dette in modo semplice funzionano più o meno così
Se tu hai diritto ad una pensione vuol dire che hai versato dei contributi per averla.
E questi contributi sono proporzionali al tuo reddito.
1) Calcoli il montante di questi contributi
2) dividi il montante per il fattore attualizzante
3) trovi il reddito
Ad esempio tu hai lavorato 20 anni
Ha preso 20.000 euro all’anno di reddito lordo di cui il 30% in contributi
Quindi ogni anno hai versato 6.000 euro
Il tasso di riferimento medio (credo prossimo all’inflazione) è il 2%
La prima cosa da fare è calcolare il montante di questa rendita
Ti scrivo solo il calcolo
6.000*(1-(1,02)^(-20))/0,02
Questo è il valore attuale della futura pensione
Supponiamo che la pensione è a tempo determinato ad esempio per 10 anni
Prendi questa cifra ottenuta e la dividi per il fattore attualizzante di una rendita a 10 anni.
Se è vitalizia lo dividi per un altro fattore che riguarda le rendite vitalizia
La realtà come sempre è più complessa:
Infatti:
– i contributi variano di anno in anno
– il sistema contributivo non è stato sempre in vigore (prima c’era quello retributivo) e bisogna vedere in che anno hai cominciato a lavorare
– hai avuto disoccupazione ??? Per quanto tempo???
– diverse categorie hanno i loro tassi contributivi
– i tassi di inflazione variano di anno in anno
– quando parli di pensione bisogna rifarsi ai calcoli delle probabilità di vita ( dunque servono le tavole di vita)
Dunque come al solito questi calcoli possono essere svolti solo da software che sono programmati con
– formule finanziarie
– dati di mortalità
– dati fiscali
Che sono continuamente aggiornati
Come sempre per semplificare la cosa ci sono queste famose tabelle che servono un po’ a semplificare i conti
Ma credo che comunque si vada verso la strada per linformatizzazione
Insomma se un minimo di matematica finanziaria ce l’hai in sennò quello che potresti fare è fornire un stima approssimativa
Anche le tabelle possono offrono una stima approssimativa
Spero di esserti stato di aiuto
grazie della tua risposta. l ‘ho trovata onesta e precisa
alla prossima
sam
Il terreno frutta 500 euro semestrali il tasso semestrale è il 5%, si applica R/I e si calcola il valore del terreno. Bene
quello che vorrei sapere se il tasso da applicare per la determinazione del valore è quello nominale o quello reale al netto del tasso d’inflazione
Grazie dell’attenzione
Ciao Johnny
Dipende da come consideri i 500 euro
Se li
Consideri come un flusso di cassa nominale userai il tasso nominale
Diversamente se li consideri come un flusso di cassa reale utilizzi il tasso reale
Supponiamo che i 500 euro siano nominali e il tasso del 5% fosse nominale
Il valore del terreno sarà
V= 500/0,05 = 10.000
Se i flussi fossero reali e il tasso fosse nominale del 5% ti servirebbe il tasso di inflazione semestrale
Supposto che questo sia pari al 1%
Il valore del terreno sarà:
V = 500/(0,05-0,01)=12.500
Grazie, l’esempio è molto chiaro ma come faccio a stabilire se il flusso è reale o nominale?
Grazie dell’attenzione
grazie del chiarimento ma come faccio a considerare un reddito reale o nominale?
grazie dell’attenzione
Te lo deve dire il testo in maniera inequivocabile
Buongiorno, se abbiamo un’obbligazione con cedola del 7% con pagamenti semestrali e un rendimento alla scadenza del 7.73%. Le obbligazioni scadono tra 9 anni. Qual è il prezzo di mercato di un’obbligazione dal valore nominale di € 1000? c’è un metodo più veloce di attualizzare tutti i 18 flussi di cassa?
Ciao Veronica, si esiste un modo più veloce dal momento che hai un solo tasso.
Se chiami C la cedola e VN il valore nominale, i il tasso
La formula del valore attuale è:
V = C* (1-(1+i)^-n)/i +VN*(1+i)^(-t)
Una precisazione sul tasso.
Essendo i flussi semestrali utilizzi certamente il tasso semestrale per le cedole.
i2 = 1,0773^(1/2) -1
Mentre per l’attualizzazione del tempo finale puoi tenere il 7,73% ma usare il tempo t=9
Oppure quello semestrale e il tempo t esprimerlo in semestri
ciao, mi potresti aiutare per favore con questa? Rendita mensile, differita 20 anni, anticipata, perpetua, rata pari a 400$. Calacolare il Valore attuale
Ciao Alessandro
In questo caso devi usare la seguente formula
V= R*/i*(1+i)^(-k+1)
Dove k è il numero di periodo di differimento
Nel tuo caso k è pari a 20*12=240 quindi il valore attuale è
V= 400/i * (1+i)^(-239)
Il problema del tuo testo è che manca il tasso di interesse
Ad esempio consideriamo un tasso annuo del 5%
Dovresti trasformare il tasso in mensile
i12=1,05^(1/12)-1
Se il tasso fosse nominale convertibile mensilmente allora lo dividi per 12 per trovare quello mensile
Se il tasso è già mensile usi quello
Grazie mille gentilissimo ,il tasso è 6% annuo che diventa 0,0486 mensile. Grandissimo
Ottimo
Ciao mi puoi aiutare su questi quesiti?
-Data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, in regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a? e il montante?
-data una rendita unitaria anticipata di 10 anni in regime di capitalizzazione composta al tasso del 2%,, il valore attuale e il montante sono pari a ?
-data una rendita unitaria posticipata di 10 anni, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2%, il valore attuale è pari a ?
-data una rendita unitaria posticipata perpetua, differita di 5 anni, in un regime a capitalizzazione composta al tasso del 2% il valore attuale è?
ti ringrazio.
Ciao Valentino
Per il primo quesito applichi la seguente formula
VALORE ATTUALE = 1·[1-1,02^(-10)-1]/0,10= 8,9825
MONTANTE = 1·[1,02^10 -1]/0,1 = 10,9497
Per la rendita anticipata basta che moltiplichi i risultati precedenti per 1,02
Se la rendita è posticipata e differita di 5 anni moltiplichi i primi due risultati per 1,02^(-5)
Quando la rendita è anticipata e differita di 5 anni moltiplichi sempre i primi due risultati per 1,02^(-4)
Ciao, il testo dell’esercizio chiede:
Una rendita perpetua è stata ceduta per € 3.300. Calcolare la rata della rendita annua nell’ipotesi che
sia stata valutata al tasso annuo composto del 10% e che la prima rata scada alla stipulazione del
contratto.
Grazie in anticipo
Ciao Alessandro
Per calcolare la rata della rendita anticipata perpetua usa la formula
R= V*i/(1+i)
Dove V rappresenta il valore attuale (di cessione)
i è il tasso
grazie mille! Ne ho un altro che non viene: calcolare il montante di una rendita immediata e posticipata costituita da 4 rate annue costanti di importo R = 1200, sapendo che i primi 2 anni vige il regime degli interessi anticipati al tasso semestrale di sconto = 0,02, mentre per i rimanenti vige il regime della capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo = 0,03
Qui capitalizzi le prime due con il regime anticipato fino al tempo 2
R·(1/(1-0,02·1)+1)
Queste le porti poi al tempo 4 (dal tempo 2 al tempo 4) per 2 anni col composto al tempo 4
R·(1/(1-0,02·1)+1) ·(1,03)^2
cui vai a sommare altre due rate (tempo 3 e 4) al tempo 4
R·[(1/(1-0,02·1)+1) ·(1,03)^2+ 1,03+1]
Da cui hai il montante complessivo al tempo 4
Salve vorrei sapere come si svolge questo problema, non riesco a capire come calcolare il valroe attuale della rendita W(2,p) e di conseguenza non riesco a rispondere alle domande successive.
Lascio qua il testo.
Consideriamo una rendita perpetua anticipata p/t con rate costanti annuali R = 500 euro con legge esponenziale con interesse annuo
tasso ia = 11%.
Supponendo che l’inizio dei pagamenti sia ritardato di 2 anni:
(i) calcolare il valore della rendita perpetua anticipata dopo 2 anni, ovvero W(2; p);
(ii) calcolare il valore attuale W(0; p) della rendita perpetua anticipata;
(iii) Quale dovrebbe essere la rata annua costante R di un immediato rendita anticipata a/t composta da 2 rate annuali, secondo una legge esponenziale con il tasso di interesse annuo ia = 11%, che punta ad avere lo stesso valore attuale della rendita perpetua p/t?
Grazie in anticipo
Ciao Gaia, grazie dell’interessantissima domanda 😉
Se l’inizio della rendita perpetua è ritardato di due anni il primo pagamento cade al tempo 2.
Se quindi vogliamo rispondere al punto (i) dobliamo calcolare il valore della rendita al tempo 2 che coincide con l’epoca del primo pagamento.
Applichiamo pertanto la formula per la rendita anticipata:
$$ V(2) = \frac{R}{i} \cdot (1+i) = \frac{500}{0,11} \cdot (1+0,11) = 5.045,45 $$
Ora passiamo al punto (ii) : in questo caso se vogliamo calcolare il valore della rendita in t=0 dobbiamo attualizzare di due anni il valore della rendita in t=2:
$$ V(0) = V(2) \cdot (1+i)^{-2} = 5.045,45 \cdot 1,11^{-2} = 4,095,00$$
Per il punto (iii) dobbiamo imporre la seguente uguaglianza:
$$ R \cdot a_{2 \rceil 0,11} = V(0) $$
con a(n,i) fattore attualizzante delle rendite.
Dall’equazione di ricava facilmente la rata con la formula inversa ed andiamo a sostituire i dati:
$$ R = \frac{V(0)}{a_{2 \rceil 0,11}} = \frac{4,095,00}{ \frac{ 1-1,11^{-2}}{0,11}} = 2.391,21 $$
ciao vorrei sapere come si risolve questo:
Una rendita perpetua immediata anticipata, prevede rate annue di 200
euro ciascuna. Calcola il valore della rendita, in c.c., fra 3 anni, sapendo che il
tasso annuo è del 4% nei primi 3 anni, poi è del 6% annuo nominale convertibile
semestralmente negli anni successivi.
Ciao Stefano, allora per risolvere questo quesito c’è più di una strategia.
Ti consiglio se non lo hai ancora fatto di rappresentare una linea del tempo dove rappresenti i flussi di cassa.
Ai tempi: 0,1,2,3,4,5,6,… rappresenta i i flussi : 200, 200, 200, …
Scritto in vettori : tempi T e flussi X possiamo dire:
$$ T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \end{bmatrix} \\ X = \begin{bmatrix} 200 & 200 & 200 & 200 & 200 & \cdots \end{bmatrix} $$
Ora fissa l’attenzione sul tempo 3, ovvero quello a cui devi portare tutti i flussi.
STRATEGIA 1
La prima strategia che seguiamo è la più elementare:
dividiamo la rendita in tre parti:
– i primi tre flussi (0,1,2)
– il quarto flusso in t =3
– tutti quelli successivi.
I primi tre flussi formano una rendita di tre rate costanti.
Con il fattore s(n,i) la portano al tempo 2 e poi la capitalizziamo di un periodo (sempre con il primo tasso i=4%).
Il flusso di 200 non lo tocchiamo , poiché è già al tempo 3.
tutti i flussi successivi formano una rendita posticipata perpetua che attualizziamo dividendo per il tasso.
Chiaramente questo è il secondo tasso.
In questo caso bisogna lavorare anche sul secondo tasso per convertirlo in annuale.
Conosciamo j2 che è quello nominale convertibile semestralmente.
Se lo dividiamo per 2 otteniamo quello effettivo semestrale del 3%.
Poi usiamo la formula:
$$ i’ = (1+i_2)^2 -1 = 1,03^2-1 = 0,0609 $$
L’ho chiamato i’ per distinguerlo dal primo tasso.
Il valore al tempo 3 della rendita è:
$$ V(3) = 200 \cdot s_{3 \rceil 0,04}\cdot 1,04 +200 + \frac{200}{0,0609}= \\ = 200 \cdot \frac{1,04^3-1}{0,04}\cdot 1,04 +200 + \frac{200}{0,0609} = 4.133,365 $$
Chiaramente se vogliamo possiamo anche raccogliere il 200 a fattor comune per semplificare i calcoli:
$$ V(3) = 200 \cdot \left( s_{3 \rceil 0,04}\cdot 1,04 +1 + \frac{1}{0,0609} \right) = 4.133,365 $$
La seconda strategia che possiamo utilizzare (equivalente alla prima) è di dividere la rendita in due parti:
Le prima 4 rate (fino al tempo 3) e poi tutte le altre:
In questo caso siccome doiamo spostare le 4 rate al tempo 3 (che coincide con il tempo del pagamento dell’ultima rata) utilizziamo semplicemente s(4,i).
Non cambia niente invece per il valore attuale della seconda rendita.
Dunque scriviamo:
$$ V(3) = 200 \cdot \left( s_{4,\rceil 0,04} + \frac{1}{0,0609} \right) = 4.133,365 $$
Ne esisterebbero ancora altre di strategie ma restiamo su queste due che sono le più semplici 😉