Cosa sono e come si calcolano i tassi equivalenti nel regime ad interesse anticipato (sconto commerciale)?
I tassi equivalenti sono tassi riferiti a periodi diversi che, a parità di montante (valore nominale) e durata, ci fanno ottenere le stesso capitale o valore attuale.
In questo modo otteniamo lo stesso sconto.
Consideriamo per semplicità un periodo con durata un anno e due tassi di sconto.
Il primo tasso di sconto trimestrale e il secondo quadrimestrale.
Lo sconto della cambiale al tasso trimestrale per una durata di 4 trimestri sarà uguale allo sconto della cambiale al tasso quadrimestrale per 3 quadrimestri.
Da notare che 4 trimestri equivalgono a 3 quadrimestri, e sono pari ad un anno.
Vediamo meglio di sviluppare un esempio concreto.
ESEMPIO
Vediamo insieme un esempio pratico per chiarire meglio questi concetti:
Calcola nel regime ad interesse anticipato (sconto commerciale) i tassi di sconto annuo, quadrimestrale, e bimestrale equivalenti al tasso di sconto trimestrale del 3%
Il nostro dato noto è il tasso di sconto trimestrale d4 del 3%.
Nello scrivere il tasso di interesse utilizziamo l’indice 4 (scritto come pedice in basso a destra) poiché in un anno ci sono 4 trimestri.
I dati che dobbiamo ricavare sono:
- il tasso di sconto annuo d1 o semplicemente d
- il tasso il tasso di sconto quadrimestrale d3.
- il tasso il tasso di sconto bimestrale d6.
Gli indici utilizzati 1 (che possiamo anche omettere), 3 e 6 stanno ad indicare che nel periodo di un anno ci sono 1 anno (ovviamente), 3 quadrimestri e 6 bimestri.
FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI TASSO
La formula per i tassi equivalenti nel regime anticipato è la seguente:
Per ricavare il generico tasso in dividiamo entrambi i termini per n, ottenendo:
CALCOLO DEI TASSI
Ora applichiamo la formula appena ricavata per il calcolo dei tassi di interesse.
Dopo tutto i risultati trovati combaciano con il seguente ragionamento logico.
Se il tasso di sconto trimestrale è del 3%, vuol dire che ogni tre mesi si sconterà il 3% del valore della cambiale.
HAI QUALCHE DOMANDA?
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Complimenti per il video, chiarissimo.
Andrea è possibile applicare la formula di tassi equivalenti al regime anticipato come se fossimo in capitalizzazione composta?
mi spiego meglio.
Ho un esercizio che chiede di trovare, conoscendo il tasso di sconto annuo nominale convertibile 6 volte l’anno, il tasso di sconto trimestrale equivalente.
io avevo impostato il fattore di montante (1-i bimestrale) = (1-i trimestrale) – quindi il mio tasso trimestrale è del 3%.
Il professore però invece che moltiplicare eleva (1-ibimestrale)^6 = (1- i trimestrale) ^4 arrivando poi ad avere
il tasso i trimestrale = 1- (1- i bimestrale) ^ (6/4) il tutto = 2,98%
Non mi sembra però una procedura corretta elevare – il regime anticipato lo vedo molto simile al regime semplice. Che ne pensi ?
Grazie
Ciao Marco, grazie per la domanda
In effetti in apparenza questa procedura può sembrare u po’ strana, riguardando la domanda il tasso di sconto.
Tuttavia è doveroso precisare che la nozione di tasso annuo convertibile è presente SOLAMENTE nel regime composto.
Ora se l’esercizio avesse chiesto una domanda riguardo il tasso di interesse non ci sarebbero stati dubbi.
Infatti prendi questo semplice esempio.
Dato il tasso nominale (di interesse) convertibile bimestralmente del 12% (che chiameremo j6) calcola il tasso effettivo (di interesse) trimestrale (che chiameremo (i4)
La procedura sarebbe la seguenete:
1) Calcolo del tasso effettivo (di interesse) semestrale i2
i6 = j6/6 = 12% / 6 = 2%
2) calcolo del tasso effettivo trimestrale i4
i4 = (1+i6)^(6/4) -1 = 1,02^(6/4)-1 = 0,03015
Le due formule generali sono quindi
ik = Jk / k
ih = (1 + ik) ^ (k/h) -1
Fatta questa premessa considera che IN OGNI REGIME ( e non solo quello a sconto commerciale) esistono tassi di interesse e tassi di sconto
La relazione per passare da un TASSO EFFETTIVO DI INTERESSE ik ad unTASSO EFFETTIVO DI SCONTO dk (quindi riferiti allo stesso periodo, semestrale con semestrale, bimestrale con bimestrale e così via…) è_
dk = ik / (1+ik)
oppure
ik = dk / (1-dk)
Rileggiamo ora il tuo problema.
Quando parla di tassi convertibili tu ti trovi nel regime composto.
se usiamo in tale regime il TASSO DI INTERESSE le formule sono:
Per capitalizzare (1+i)^t
per attualizzare (1+i)^-t
Dove il tasso i e il tempo t sono correlati alla stessa unità temporale (es tasso annuo e tempo in anni)
Se usiamo invece i TASSI DI SCONTO (e qui casca l’asino: nel senso che non ci sono molte letterature approfondite) usiamo
Per attualizzare (1-d)^t
per capitalizzare (1-d)^-t
SRANO MA VERO!!!!
Dunque se il tuo problema (come mi sembra di aver dedotto) ti da un un TASSO DI SCONTO NOMINALE BIMESTRALE del 12%
Da questo ti calcoli il TASSO EFFETTIVO DI SCONTO BIMESTRALE con la formula
dk = Dk / k (ho usato D perché non saprei che lettera utilizzare per il nominale di sconto visto che è la prima volta che mi capita questo concetto)
Nel nostro caso d6 = D6/6 = 12%6 = 0,02
Successivamente convertiamo questo nel suo TASSO DI SCONTO EFFETTIVO TRIMESTRALE
d4 = (1 – d6) ^(6/4) -1 )= (1-0,02)^(6/4) -1 = 0,98 ^(6/4) -1 = 0,0298495
Questa ultima è la procedura (corretta) del professore
La formula genera per passare da un TASSO DI SCONTO EFFETTIVO NEL REGIME COMPOSTO ad un altro TASSO DI SCONTO EFFETTIVO NEL REGIME COMPOSTO è
dh = (1-dk) ^ (k/h) -1
Spero di esserti stato di aiuto ;)))
Grazie mille Andrea, spiegazione impeccabile. tutto chiaro – ho cercato molto sul web ma nelle varie dispense universitarie non si fa menzione di questo tipo di conversione. Su un eserciziario universitario di matematica finanziaria infatti passa dal tasso di sconto semestrale ad annuale semplicemente moltiplicando *2 – quindi mi sono trovato sinceramente smarrito. Complimenti perchè hai una preparazione a dir poco spettacolare – consiglio a chi leggesse il mio commento e avesse necessità di rivolgersi ad Andrea. troppo bravo.
Grazie Marco 😉
Sono veramente contento che ti sia stato utile