REGIME COMPOSTO-CALCOLO CAPITALE

Come si calcola il capitale nel regime ad interesse composto?

Vediamo un esempio pratico che ci aiuta a capirlo.

ESEMPIO DI CALCOLO DEL CAPITALE NEL REGIME COMPOSTO

Quale capitale dovreste investire per 3 anni nel regime ad interesse composto al tasso annuo del 4% per ottenere un montante pari a 5.500 euro?

Per prima cosa rappresentiamo graficamente la situazione in questione:

L’asse orizzontale rappresenta la linea del tempo, sulla quale disponiamo il tempo iniziale e il tempo finale dell’investimento.

Sotto l’epoca zero (oggi) mettiamo il capitale che stiamo investendo, che dobbiamo calcolare.

Sotto è rappresentata una freccia che si muove verso destra, ad indicare che l’investimento sta procedendo verso tempi futuri.

Sopra la freccia è indicato il tasso di interesse del 4%.

Sotto il tempo finale, ovvero 3 anni, scriviamo il montante prodotto di 3.000 euro.

FORMULE DIRETTE E FORMULE INVERSE

Ricordiamo che nel regime a interesse semplice la formula dell’interesse è:

$$ M = C \cdot (1+i)^t $$

Siccome dobbiamo calcolare il capitale nel regime composto ricaviamo la formula inversa dividendo entrambi i membri per il prodotto tra il tasso e il tempo.

$$ C = \frac{M}{(1+i)^t} $$

Applicando le proprietà delle potenze possiamo scrivere il denominatore spostandolo sopra e cambiando il segno all’esponente:

$$ C = M \cdot (1+i)^{-t} $$

In questo modo stiamo rileggendo il capitale come l’attualizzazione del montante.

Il fattore di attualizzazione v(t) è pari a:

$$ v(t) = (1+i)^{-t} $$

A questo punto controlliamo prima di applicare la formula che il tasso e il tempo siano riferiti alla stessa unità di misura.

In questo caso non ci sono problemi perché il tasso e il tempo sono tutti espressi in anni.

Ricordiamo che i dati a nostra disposizione ricavati dal testo sono:

$$ M = 5.500 \quad i=4 \% = 0,04 \quad t=3 $$

Procediamo dunque all’applicazione della formula:

$$ C = M \cdot (1+i)^{-t} = 5.500 \cdot (1 + 0,04)^{-3} = 4.889,48$$

Chiaramente avremmo potuto scriverla anche così:

$$ C = \frac{5.500}{(1+0,04)^3} $$

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SCRIVERE CON LA CALCOLATRICE

Una questione molto importante consiste nello scrivere questo calcolo in modo corretto con la calcolatrice.

Nella figura sotto ho utilizzato una calcolatrice scientifica CASIO fx-CG50.

In questo caso si tratta anche di una calcolatrice grafica, ma in commercio se ne trovano con schermate simili a costi veramente molto accessibili.

Se la calcolatrice ve lo permette potete creare la linea di frazione e la potenza mediante i tasti  evidenziato in verde(frazione) e rosso (potenza) nella prima figura e a livello di schermata dovrebbe comparirvi:

$$ \textbf{ $\frac{5500}{(1+0,04)^3}$}$$

Occhio chiaramente alle parentesi (giallo)

Oppure in modo più semplice creando l’esponente negativo:

$$ \textbf {5500 x 1,04^(-3)}$$

Qualora invece la calcolatrice non sia così tecnologica scrivete:

$$ \textbf {5500 : 1,04^3}$$

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Un percorso che parte dall’attualizzazione e la capitalizzazione nei regimi finanziari. Passando per le le rendite, le operazioni finanziarie, i piani di ammortamento e i criteri di scelta dei progetti. Per fine nella matematica attuariale delle assicurazioni.

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