TEOREMA DI ROLLE

TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Rolle afferma che quando una funzione è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), e tale funzione assume lo stesso valore nei due estremi di tale intervallo, allora esiste almeno un punto interno all’intervallo dove il valore della derivata si annulla.

TEOREMA 

IPOTESI

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (funzione ad una variabile reale)

Continua nell’intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato (compatto)

Derivabile in $(a,b)$ intervallo aperto e limitato

$f(a) = f(b)$

TESI

Esiste un punto $c \in (a,b)$ tale che $f'(c) = 0$e che f'(c) = 0

OSSERVAZIONE 1 – INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Nel punto $c$ di cui si dimostra l’esistenza la derivata prima è nulla.

Sapendo che la derivata prima esprime il coefficiente angolare della retta tangente al punto nel punto c tale coefficiente angolare vale zero.

La retta tangente è dunque orizzontale e la sua equazione è $y = f(c)$.

Nota bene:

La retta tangente nel punto c è parallela alla retta passante per i punti $A(a, f(a))$ e $B(b, f(b)$.

Essa può essere ottenuta come una traslazione di questa ultima retta fino al punto stazionario ($c$) in cui essa risulta tangente alla funzione.

OSSERVAZIONE 2 – POSSIBILE ESISTENZA PIU’ PUNTI C

Attenzione che il teorema afferma l’esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto $c$ tale che ha derivata nulla.

Questo punto potrebbe anche essere più di uno.

Si veda ad esempio il grafico sottostante:

OSSERVAZIONE TRE – FUNZIONE COSTANTE

Nella funzione costante i punti c sono infiniti.

Tutti i punti dell’intervallo presentano infatti derivata nulla!

DIMOSTRAZIONE:

Poiché $f(x)$ per ipotesi è continua nell’intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass, essa ammette un punto di massimo $M$ e un punto di minimo $m$.

Cioè esistono nell’intervallo due punti $c, d$ appartenenti all’intervallo $[a,b]$ tali che:

$$M = f(c) \ge f(x) \ge f(d) = m \quad \text{per ogni } x \in [a,b]$$

PRIMO CASO Max = min

Analizziamo il caso in cui la funzione risulti costante nell’intervallo.

Avremo allora:

$$M = f(c) \ge f(x) \ge f(d) = m \quad \text{per ogni } x \in [a,b]$$

La derivata è costante e nulla in ogni punto dell’intervallo.

Quindi tutti i punti dell’intervallo sono i punti $c$ cercati.

SECONDO CASO Max > min

In questo caso, certamente il più frequente, la funzione non è costante e il valore della funzione nel punto massimo è certamente maggiore del valore della funzione nel punto minimo.

La dimostrazione assomiglia per molti versi alla già citata dimostrazione del teorema di Fermat.

Vediamola meglio insieme.

In questo caso la funzione $f(x)$ non è costante.

Poiché, per ipotesi, almeno uno dei punti c e d deve essere interno all’intervallo $[a,b]$.

Per esempio supponiamo che $c \in (a,b)$.

Essendo $f(c)$ il valore massimo, per ogni incremento di $h$ avremo che:

$$f(c+h) \le f(c) \quad \text{cioè} \quad f(c+h) – f(c) \le 0$$

Passando ai rapporti incrementali avremo che

$$\frac{f(c+h) – f(c)}{h} \ge 0 \quad \text{se } h < 0$$

$$\frac{f(c+h) – f(c)}{h} \le 0 \quad \text{se } h > 0$$

Ne consegue che i limiti dei rapporti incrementali sinistro e destro avranno gli stessi segni:

$$\lim_{h \to 0} \left( \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \right) \ge 0 \quad \text{se } h < 0$$

$$\lim_{h \to 0} \left( \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \right) \le 0 \quad \text{se } h > 0$$

Dunque, poche la funzione è derivabile nell’intervallo considerato il limite del suo rapporto incrementale deve per forza valere zero.

$$\lim_{h \to 0} \left( \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \right) = 0$$

A questo punto concludiamo che la derivata prima (ovvero il limite per $h$ che tende a zero del rapporto incrementale) nel punto $c$ deve valere zero.

Q.E.D.

ESERCIZI SUL TEOREMA DI ROLLE

Per applicare correttamente il Teorema di Rolle, dobbiamo sempre seguire tre passaggi:

1. Verificare le Ipotesi: Assicurarci che la funzione sia continua in $[a, b]$, derivabile in $(a, b)$ e che $f(a) = f(b)$.
2. Calcolare la Derivata: Calcolare la derivata prima $f'(x)$.
3. Risolvere l’Equazione: Trovare il punto (o i punti) $c$ tali che $f'(c) = 0$ e verificare che $c$ appartenga all’intervallo aperto $(a, b)$.

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Esercizio 1: Funzione Polinomiale

Funzione: $f(x) = x^3 – 4x$

Intervallo: $[a, b] = [-2, 2]$

1. Verifica Ipotesi:

• Continuità: $f(x)$ è un polinomio, quindi è continua su tutto $\mathbb{R}$, e in particolare sull’intervallo chiuso $[-2, 2]$.
• Derivabilità: La sua derivata è $f'(x) = 3x^2 – 4$, che è definita su tutto $\mathbb{R}$. Quindi $f(x)$ è derivabile sull’intervallo aperto $(-2, 2)$.
• Valori agli Estremi:
  • $f(a) = f(-2) = (-2)^3 – 4(-2) = -8 + 8 = 0$
  • $f(b) = f(2) = (2)^3 – 4(2) = 8 – 8 = 0$Poiché $f(-2) = f(2) = 0$, le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Derivata:

$$f'(x) = 3x^2 – 4$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (-2, 2)$ tale che $f'(c) = 0$.

$$3c^2 – 4 = 0$$

$$3c^2 = 4$$

$$c^2 = \frac{4}{3}$$

$$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.154$$

Entrambi i valori, $c_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ e $c_2 = +\frac{2}{\sqrt{3}}$, appartengono all’intervallo aperto $(-2, 2)$.

Soluzioni: $c_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ e $c_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$

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Esercizio 2: Funzione Irrazionale

Applichiamo il teorema su una funzione irrazionale.

Funzione: $f(x) = \sqrt{25 – x^2}$

Intervallo: $[a, b] = [-3, 3]$

1. Verifica Ipotesi:

• Continuità: La funzione è una semicirconferenza, definita e continua nel suo dominio $[-5, 5]$. Quindi è continua sull’intervallo chiuso $[-3, 3]$.
• Derivabilità: La sua derivata è $f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{25 – x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{25 – x^2}}$. La derivata non è definita in $x = \pm 5$, ma è definita in tutto l’intervallo aperto $(-3, 3)$.
• Valori agli Estremi:
  • $f(a) = f(-3) = \sqrt{25 – (-3)^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4$
  • $f(b) = f(3) = \sqrt{25 – (3)^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4$Poiché $f(-3) = f(3) = 4$, le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Derivata:

$$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{25 – x^2}}$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (-3, 3)$ tale che $f'(c) = 0$.

$$\frac{-c}{\sqrt{25 – c^2}} = 0$$

Una frazione è zero solo se il suo numeratore è zero.

$$-c = 0 \quad \implies \quad c = 0$$

Il valore $c = 0$ appartiene all’intervallo aperto $(-3, 3)$.

Soluzione: $c = 0$

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Esercizio 3: Funzione Esponenziale

Applichiamo il Teorema ad una funzione esponenziale.

Funzione: $f(x) = e^{x^2 – 3x}$

Intervallo: $[a, b] = [0, 3]$

1. Verifica Ipotesi:

• Continuità: La funzione è una composizione di funzioni continue (esponenziale e polinomio), quindi è continua su tutto $\mathbb{R}$, e in particolare su $[0, 3]$.
• Derivabilità: La sua derivata è $f'(x) = e^{x^2 – 3x} \cdot (2x – 3)$, che è definita su tutto $\mathbb{R}$. Quindi $f(x)$ è derivabile su $(0, 3)$.
• Valori agli Estremi:
  • $f(a) = f(0) = e^{(0)^2 – 3(0)} = e^0 = 1$
  • $f(b) = f(3) = e^{(3)^2 – 3(3)} = e^{9 – 9} = e^0 = 1$Poiché $f(0) = f(3) = 1$, le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Derivata:

$$f'(x) = e^{x^2 – 3x} \cdot (2x – 3)$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (0, 3)$ tale che $f'(c) = 0$.

$$e^{c^2 – 3c} \cdot (2c – 3) = 0$$

Un prodotto è zero solo se uno dei suoi fattori è zero. La funzione esponenziale ($e^y$) non è mai zero. Dobbiamo quindi annullare il secondo fattore:

$$2c – 3 = 0$$

$$2c = 3$$

$$c = \frac{3}{2} \quad (o \quad c = 1.5)$$

Il valore $c = 1.5$ appartiene all’intervallo aperto $(0, 3)$.

Soluzione: $c = \frac{3}{2}$

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Esercizio 4: Funzione Logaritmica

Funzione: $f(x) = \ln(x^2 – 4x + 5)$

Intervallo: $[a, b] = [1, 3]$

1. Verifica Ipotesi:

• Continuità: La funzione logaritmica è continua purché il suo argomento ($x^2 – 4x + 5$) sia positivo. L’argomento è una parabola con il vertice in $x = -b/2a = 2$. Il valore minimo è $f(2) = 4 – 8 + 5 = 1$. Poiché il minimo è $1$ (positivo), l’argomento è sempre positivo. Quindi la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$, e in particolare su $[1, 3]$.
• Derivabilità: La derivata è $f'(x) = \frac{2x – 4}{x^2 – 4x + 5}$. Poiché il denominatore non è mai zero, la derivata è definita su tutto $\mathbb{R}$. Quindi $f(x)$ è derivabile su $(1, 3)$.
• Valori agli Estremi:
  • $f(a) = f(1) = \ln(1^2 – 4(1) + 5) = \ln(1 – 4 + 5) = \ln(2)$
  • $f(b) = f(3) = \ln(3^2 – 4(3) + 5) = \ln(9 – 12 + 5) = \ln(2)$Poiché $f(1) = f(3) = \ln(2)$, le ipotesi sono verificate.

2. Calcolo Derivata:

$$f'(x) = \frac{2x – 4}{x^2 – 4x + 5}$$

3. Soluzione (Trovare $c$):

Dobbiamo trovare $c \in (1, 3)$ tale che $f'(c) = 0$.

$$\frac{2c – 4}{c^2 – 4c + 5} = 0$$

Una frazione è zero solo se il suo numeratore è zero.

$$2c – 4 = 0$$

$$2c = 4$$

$$c = 2$$

Il valore $c = 2$ appartiene all’intervallo aperto $(1, 3)$.

Soluzione: $c = 2$

VIDEO – ESERCIZIO SUL TEOREMA DI ROLLE

Nel video sotto andiamo a svolgere un esercizio sul teorema di Rolle:

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