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TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Rolle afferma che quando una funzione è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), e tale funzione assume lo stesso valore nei due estremi di tale intervallo, allora esiste almeno un punto interno all’intervallo dove il valore della derivata si annulla.


TEOREMA 

IPOTESI

Continua nell’intervallo [a,b] chiuso e limitato (compatto)

Derivabile in (a,b) intervallo aperto e limitato

 f(a) = f(b)

TESI

Esiste un punto c ∈ (a,b) tale che f'(c) = 0

OSSERVAZIONE 1 – INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Nel punto c di cui si dimostra l’esistenza la derivata prima è nulla.

Sapendo che la derivata prima esprime il coefficiente angolare della retta tangente al punto nel punto c tale coefficiente angolare vale zero.

La retta tangente è dunque orizzontale e la sua equazione è y = f(c).

Nota bene:

La retta tangente nel punto c è parallela alla retta passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b).

Essa può essere ottenuta come una traslazione di questa ultima retta fino al punto stazionario (c) in cui essa risulta tangente alla funzione.

OSSERVAZIONE 2 – POSSIBILE ESISTENZA PIU’ PUNTI C

Attenzione che il teorema afferma l’esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto c tale che ha derivata nulla.

Questo punto potrebbe anche essere più di uno.

Si veda ad esempio il grafico sottostante:

OSSERVAZIONE TRE – FUNZIONE COSTANTE

Nella funzione costante i punti c sono infiniti.

Tutti i punti dell’intervallo presentano infatti derivata nulla!

DIMOSTRAZIONE:

Poiché f(x) per ipotesi è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b], per il teorema di Weirstrass, essa ammette un punto di massimo M e un punto di minimo m.

Cioè esistono nell’intervallo due punti c, d appartenenti all’intervallo [a,b] tali che:

PRIMO CASO Max = min

Analizziamo il caso in cui la funzione risulti costante nell’intervallo.

Avremo allora:

La derivata è costante e nulla in ogni punto dell’intervallo.

Quindi tutti i punti dell’intervallo sono i punti c cercati.

SECONDO CASO Max > min

In questo caso, certamente il più frequente, la funzione non è costante e il valore della funzione nel punto massimo è certamente maggiore del valore della funzione nel punto minimo.

La dimostrazione assomiglia per molti versi alla già citata dimostrazione del teorema di Fermat.

Vediamola meglio insieme.

In questo caso la funzione f(x) non è costante.

Poiché, per ipotesi, almeno uno dei punti c e d deve essere interno all’intervallo [a,b].

Per esempio supponiamo che c ∈  (a,b).

Essendo f(c ) il valore massimo, per ogni incremento di h avremo che:

   

 Passando ai rapporti incrementali avremo che 

Ne consegue che i limiti dei rapporti incrementali sinistro e destro avranno gli stessi segni della derivata prima:

 

Dunque, poche la funzione è derivabile nell’intervallo considerato il limite del suddetto rapprto incrementale deve per forza valere zero.

A questo punto concludiamo che la derivata prima (ovvero il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale) nel punto c deve valere zero.

Q.E.D.

ESERCIZIO SUL TEOREMA DI ROLLE

Nel video sotto andiamo a svolgere un esercizio sul teorema di Rolle:

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai una qualsiasi domanda su questo teorema scrivi pure un commento qui sotto, sarò lieto di risponderti.

Se desideri approfondire questo ed altri teoremi della matematica ti invito a dare un’occhiata al corso che ho creato proprio a questo scopo.

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4 Comments

  • Santa Branchi ha detto:

    Ciao, può il teorema di Rolle essere legato al concetto di “tempo”?

    • Andrea ha detto:

      Ciao
      Esiste una relazione molto forte tra il teorema di Rollè e il tempo
      Infatti supponiamo di considerare una funzione f(t) che dipenda dal tempo e supponiamo che questa funzione sia proprio la velocità
      Il grafico della funzione esprimerebbe l’andata mento della velocità nel tempo
      Ora supposte vere nell’intervallo le ipotesi del teorema di rollè, ovvero di continuità e derivabilita nell’intervallo e il fatto che la velocità iniziale è quella finale coi sano, il teorema afferma la presenza di un certo istante temporale c con derivata nulla
      Quando la derivata della velocità rispetto al tempo è pari a zero significa che in quell’istante temporale il tssso di crescita della velocità è nullo ovvero la velocità istantanea è pari a zero
      Nel caso in cui la velocità vari all’interno dell’intervallo questo può determinare che in quel punto la velocità raggiunga un massimo o un minimo
      La questione è molto importante poiché il concetto di funzione (così come lo concepiamo oggi) trova il suo fondamento proprio nella velocità in relazione al tempo
      Il primo a proporre questa questione di il matematico Oresme in un convegno a Parigi nel 1361
      In questa occasione Oresme rappresento il moto con una serie di grafici in cui la velocità dipendeva proprio dal tempo
      Ovviamente per completare il puzzle servono altri quattrocento anni
      Con gli studi sul moto di Galileo che lanciava oggetti dalla Torre di Pisa
      Con le opere di Cartesio che con la geometria analitica riusciva a conciliare la geometria classica con l’algebra dei monomi e dei polinomi(inventata parallelamente da Viete in Francia per gioco)
      Cui si aggiungono proprio le opere di Fermat, Rolle stesso, Lagrange (un centinaio di anni dopo)
      Fu poi solo con Newton Leibniz ed infine Eulero che le cose si aggiustarono così come le conosciamo oggi

  • Viviana ha detto:

    Perchè se la funzione è derivabile nell’intervallo considerato il limite del suddetto rapporto incrementale deve per forza valere zero?

    • Andrea ha detto:

      Attenzione Viviana
      Non basta la condizione di derivabilita
      Deve essere soddisfatta anche quella dov’è f(a)=f(b)
      Se una funzione parte (da un certo punto a) supponiamo ad un livello 100
      E finisce in un altro punto (supponiamo b) sempre a livello 100 i casi sono 3
      Il primo caso è che non si muova mai da 100, dunque sarà una retta orizzontale, dunque tutti i punti hanno derivata 0
      Il secondo caso è che salga (magari fino a 150) per poi ritornare a 100
      Se è così ci sarà un punto di massimo e questo sarà sicuramente stazionario (data la condizione di derivabilita) dunque esiste almeno un punto con derivata nulla
      Lo stesso discorso lo possiamo fare se la funzione scende (ad esempio a quota 50) per poi risalire
      Il punto di minimo è stazionario

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