TEOREMA DI ROLLE
Il teorema di Rolle afferma che quando una funzione è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), e tale funzione assume lo stesso valore nei due estremi di tale intervallo, allora esiste almeno un punto interno all’intervallo dove il valore della derivata si annulla.
TEOREMA
IPOTESI
Continua nell’intervallo [a,b] chiuso e limitato (compatto)
Derivabile in (a,b) intervallo aperto e limitato
f(a) = f(b)
TESI
Esiste un punto c ∈ (a,b) tale che f'(c) = 0
OSSERVAZIONE 1 – INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Nel punto c di cui si dimostra l’esistenza la derivata prima è nulla.
Sapendo che la derivata prima esprime il coefficiente angolare della retta tangente al punto nel punto c tale coefficiente angolare vale zero.
La retta tangente è dunque orizzontale e la sua equazione è y = f(c).
Nota bene:
La retta tangente nel punto c è parallela alla retta passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b).
Essa può essere ottenuta come una traslazione di questa ultima retta fino al punto stazionario (c) in cui essa risulta tangente alla funzione.
OSSERVAZIONE 2 – POSSIBILE ESISTENZA PIU’ PUNTI C
Attenzione che il teorema afferma l’esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto c tale che ha derivata nulla.
Questo punto potrebbe anche essere più di uno.
Si veda ad esempio il grafico sottostante:
OSSERVAZIONE TRE – FUNZIONE COSTANTE
Nella funzione costante i punti c sono infiniti.
Tutti i punti dell’intervallo presentano infatti derivata nulla!
DIMOSTRAZIONE:
Poiché f(x) per ipotesi è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b], per il teorema di Weirstrass, essa ammette un punto di massimo M e un punto di minimo m.
Cioè esistono nell’intervallo due punti c, d appartenenti all’intervallo [a,b] tali che:
PRIMO CASO Max = min
Analizziamo il caso in cui la funzione risulti costante nell’intervallo.
Avremo allora:
La derivata è costante e nulla in ogni punto dell’intervallo.
Quindi tutti i punti dell’intervallo sono i punti c cercati.
SECONDO CASO Max > min
In questo caso, certamente il più frequente, la funzione non è costante e il valore della funzione nel punto massimo è certamente maggiore del valore della funzione nel punto minimo.
La dimostrazione assomiglia per molti versi alla già citata dimostrazione del teorema di Fermat.
Vediamola meglio insieme.
In questo caso la funzione f(x) non è costante.
Poiché, per ipotesi, almeno uno dei punti c e d deve essere interno all’intervallo [a,b].
Per esempio supponiamo che c ∈ (a,b).
Essendo f(c ) il valore massimo, per ogni incremento di h avremo che:
Passando ai rapporti incrementali avremo che
Ne consegue che i limiti dei rapporti incrementali sinistro e destro avranno gli stessi segni della derivata prima:
Dunque, poche la funzione è derivabile nell’intervallo considerato il limite del suddetto rapprto incrementale deve per forza valere zero.
A questo punto concludiamo che la derivata prima (ovvero il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale) nel punto c deve valere zero.
Q.E.D.
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