CALCOLO DEL PREMIO UNICO

In questo articolo parliamo di come si calcola il del premio unico in un contratto di assicurazione

ALCUNI CONCETTI BASILARI DELLA MATEMATICA ATTUARIALE

Prima di vedere il vero e proprio calcolo rispolveriamo alcuni concetti basilari della materia

ATTUARIALE

Il termine attuariale significa legato ad eventi incerti.

Se pensiamo alle assicurazioni, come ad esempio assicurazioni nel ramo vita, infortuni, della macchina, notiamo che viene assicurato un certo evento di cui non è certo il verificarsi.

Pensiamo ad esempio alla situazione in cui una persona resti in vita o meno, oppure che si verifichi o meno un infortunio o un incidente sul lavoro.

Oppure ancora nel caso della macchina che si faccia un incidente, oppure si investa una persona eccetera.

CONTRATTO DI ASSICURAZIONE

Il contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro ad una compagnia assicurativa per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ DI VITA E DI MORTE

Uno dei rami più avvincenti di cui si occupa la matematica attuariale sono i contratti dove si assicurano le persone.

Le più famose tipologie di contratto sono quelle inerenti al ramo vita con i contratti caso vita e caso morte.

Per poter calcolare correttamente il premio versato dal contraente è necessario calcolare le probabilità di vita e di morte di un individuo

PREMIO UNICO

Il premio unico puro che il contraente deve versare affinché la compagnia di assicurazione possa garantire al beneficiario la sua prestazione.

Il premio unico da pagare è calcolato come il valore attuale attuariale delle prestazioni future

$$ \text{PREMIO UNICO} = \text{ VAA PRESTAZIONI FUTURE} $$

Chiameremo in generale S1, S2, …, Sn i capitali assicurati (prestazioni) dalla compagnia.

x è l’eta dell’assicurato

x+t1, x+t2, …, x+tn sono le rispettive scadenze di queste prestazioni

E1, E2, …, E sono gli n eventi a cui queste somme sono sottposte

p1, p2, …, pn sono le probabilità con cui si possono verificare tali eventi tali eventi

Per calcolare il premio unico da versare significa calcolare il valore attuale attuariale di queste somme.

Dunque prendiamo ogni singola prestazione S, la ponderiamo per la sua probabilità p e la attualizziamo con il fattore attualizzate v^t

$$ U = S_1 \cdot p_1 \cdot v^{t_1 } + S_1 \cdot p_1 \cdot v^{t_1 } + \dots +S_n \cdot p_n \cdot v^{t_n } $$

Ricordiamo che il fattore attualizzante v^t nel regime composto è:

$$ v^t = (1+i)^{-t} $$

Possiamo anche scrivere l’espressione nel modo seguente:

$$ U = S_1 \cdot p_1 \cdot (1+i)^{- \ t_1} + S_1 \cdot p_1 \cdot (1+i)^{- \ t_2} + \dots +S_n \cdot p_n \cdot (1+i)^{- \ t_n} $$

Possiamo sintetizzare ulteriormente queste scritture in questo modo

$$ U = \sum _{k=1} ^n S_k \cdot p_k \cdot v^{t_k } $$

Si legge come la sommatoria dei capitali assicurati ponderati per la rispettiva probabilità e attualizzati.

Nel grafico sottostante abbiamo la rappresentazione grafica che mostra i capitali rappresentati alle rispettive epoche e poi attualizzati all’epoca della stipula del contratto x.

La linea del tempo è in realtà la linea che rappresenta l’età dell’assicurato.

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ESEMPIO DI CALCOLO DEL PREMIO UNICO

Facciamo un esempio pratico che ci tolga ogni dubbio circa il calcolo del premio unico.

Prendiamo questo testo tratto dall’università degli studi di Bergamo.

Si determini il premio unico puro che deve pagare un 45-enne per ricevere, se in vita, un capitale di 50.000 di euro a 65 anni, mentre agli eredi, in caso contrario 30.000 euro.

Si sa che la valutazione è fatta al tasso del 12,50% 

e che la compagnia assicurativa usa delle tabelle di sopravvivenza 

che indicano 90.000 il numero dei sopravvissuti dopo 45 anni 

e 80.000 il numero dei sopravvissuti dopo 65 anni. 

GRAFICO DEL PREMIO UNICO

Per prima cosa rappresentiamo sul grafico temporale quello che stiamo facendo.

Il contratto partirà dall’ann0 45 della vita dell’assicurato.

Pertanto sotto tale epoca scriviamo il premio unico U che dobbiamo calcolare.

Entrambe le prestazioni si riferiscono all’epoca 65, quindi le scriviamo una sotto l’altra.

Il primo capitale di 50.000 di riferisce al caso in cui l’assicurato resti in vita tra 20 anni ovvero all’età di 65 anni.

Mentre l secondo capitale di 30.000 si riferisce all’ipotesi in cui l’assicurato muoia durante il periodo di tempo che va dai 45 ai 65 anni, un arco temporale di 20 anni.

Il primo capitale verrà perciò ponderato per la probabilità che una testa di 45 anni viva nei prossimi 20 anni.

Mentre il secondo capitale sarà ponderato per la probabilità che una testa di 45 muoia nei prossimi 20 anni.

Entrambi i capitali saranno poi attualizzati di 20 anni.

L’espressione che scriviamo per calcolare il premio unico U è la seguente.

$$ U = 50.000 \cdot _{20} p_{45} \cdot v^{20} + 30.000 \cdot _{20} q_{45} \cdot v^{20} $$

CALCOLO PROBABILITA’

Andiamo ora a calcolare le probabilità di un individuo  di 45 anni di vivere ancora 20 anni ovvero ₂₀p₄₅.

Per farlo dobbiamo dividere la popolazione di 65 anni l₆₅ per la popolazione dei vivi a 45 anni l₄₅.

Entrambi i dati li abbiamo dal testo., perciò faremo:

$$ _{20} p_{45} = \frac {80.000}{90.000} = \frac{8}{9} $$

La probabilità di morte per un individuo di 45 anni nei prossimi due anni è la sua complementare.

$$ _{20} q_{45} = 1- _{20} p_{45} = 1 -\frac{8}{9} = \frac{1}{9} $$

CALCOLO DEL PREMIO UNICO

Ora che possediamo entrambe le probabilità di vita e di morte calcoliamo il premio unico puro U come valore attuale attuariale delle prestazioni.

$$ U = 50.000 \cdot _{20} p_{45} \cdot v^{20} + 30.000 \cdot _{20} q_{45} \cdot v^{20} $$

$$ U = 50.000 \cdot \frac{8}{9} \cdot 1,125^{-20} + 30.000 \cdot \frac{1}{9} \cdot 1,125^{-20} $$

$$ U = 4.530,81$$

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