CALCOLO DELPREMIO UNICO

https://youtu.be/aU_lFzlewNg

In questo blog parliamo del calcolo del premio unico in un contratto di assicurazione, prima però rispolveriamo alcuni concetti basilari.

La matematica attuariale è quella branchia della matematica finanziaria che si occupa dei contratti di assicurazione.

ATTUARIALE

Il termine attuariale significa legato ad eventi incerti.

Se pensiamo alle assicurazioni, come ad esempio assicurazioni nel ramo vita, infortuni, della macchina, notiamo che viene assicurato un certo evento di cui non è certo il verificarsi.

Pensiamo ad esempio alla situazione in cui una persona resti in vita o meno, oppure che si verifichi o meno un infortunio o un incidente sul lavoro.

Oppure ancora nel caso della macchina che si faccia un incidente, oppure si investa una persona eccetera.

CONTRATTO DI ASSICURAZIONE

Il contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro ad una compagnia assicurativa per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.

PREMIO UNICO

In questo blog ci occupiamo di come calcolare il premio unico puro che il contraente deve versare affinché la compagnia di assicurazione possa garantire al beneficiario la sua prestazione.

Il premio unico da pagare è calcolato come il valore attuale attuaria delle prestazioni

Supponiamo ad esempio che il contraente decida di assicurare n capitali che chiameremo in generale S1, S2, …, Sn.

Queste somme sono legate ad un contratto che viene stipulato sopra una testa (individuo) che ora ha x anni e hanno scadenze rispettivamente x+t1, x+t2, …, x+tn.

Supponiamo altresì che questi capitali siano legati ad n eventi che chiameremo E1, E2, …, En.

Questi eventi sappiamo che si verificano con determinate probabilità che possiamo chiamo chiamare p1, p2, …, pn.

Calcolare il premio unico da versare significa calcolare il valore attuale attuariale di queste somme.

Per poterlo calcolare dobbiamo ponderare ogni singolo capitale per la sua probabilità associata per il fattore attualizzante.

Poi dovremo sommare tutti i risultati che otteniamo.

Quando operiamo nel regime ad interesse composto dovremo fare questo calcolo:

Se introduciamo il già noto concetto di fattore unitario di attualizzazione

Possiamo anche scrivere l’espressione nel modo seguente:

Possiamo sintetizzare ulteriormente questa scrittura in questo modo

Si legge come la sommatoria dei capitali assicurati ponderati per la rispettiva probabilità e attualizzati.

Nel grafico sottostante abbiamo la rappresentazione grafica che mostra i capitali rappresentati alle rispettive epoche e poi attualizzati all’epoca della stipula del contratto x.

La linea del tempo è in realtà la linea che rappresenta l’età dell’assicurato.

PROBABILITÀ’ DI VITA E DI MORTE

A noi interessa analizzare i contratti di assicurazione caso vita e caso morte.

Per questo motivo le probabilità che ci interessa utilizzare sono quelle caso vita e caso molte appunto.

Per dare una rispolverata a questi concetti ti consiglio di accedere a questo link.

ESEMPIO

Facciamo un esempio pratico che ci tolga ogni dubbio circa il calcolo del premio unico.

Prendiamo questo testo tratto dall’università degli studi di Bergamo.

Si determini il premio unico puro che deve pagare un 45-enne per ricevere, se in vita, un capitale di 50.000 di euro a 65 anni, mentre agli eredi, in caso contrario 30.000 euro.

Si sa che la valutazione è fatta al tasso del 12,50% 

e che la compagnia assicurativa usa delle tabelle di sopravvivenza 

che indicano 90.000 il numero dei sopravvissuti dopo 45 anni 

e 80.000 il numero dei sopravvissuti dopo 65 anni. 

GRAFICO

Per prima cosa rappresentiamo sul grafico temporale quello che stiamo facendo.

Il contratto partirà dall’ann0 45 della vita dell’assicurato.

Pertanto sotto tale epoca scriviamo il premio unico U che dobbiamo calcolare.

Entrambe le prestazioni si riferiscono all’epoca 65, quindi le scriviamo una sotto l’altra.

Il primo capitale di 50.000 di riferisce al caso in cui l’assicurato resti in vita tra 20 anni ovvero all’età di 65 anni.

Mentre l secondo capitale di 30.000 si riferisce all’ipotesi in cui l’assicurato muoia durante il periodo di tempo che va dai 45 ai 65 anni, un arco temporale di 20 anni.

Il primo capitale verrà perciò ponderato per la probabilità che una testa di 45 anni viva nei prossimi 20 anni.

Mentre il secondo capitale sarà ponderato per la probabilità che una testa di 45 muoia nei prossimi 20 anni.

Entrambi i capitali saranno poi attualizzati di 20 anni.

L’espressione che scriviamo per calcolare il premio unico U è la seguente.

CALCOLO PROBABILITA’

Andiamo ora a calcolare le probabilità di un individuo  di 45 anni di vivere ancora 20 anni ovvero ₂₀p₄₅.

Per farlo dobbiamo dividere la popolazione di 65 anni l₆₅ per la popolazione dei vivi a 45 anni l₄₅.

Entrambi i dati li abbiamo dal testo., perciò faremo:

La probabilità di morte per un individuo di 45 anni nei prossimi due anni è la sua complementare.

PREMIO UNICO

Ora che possediamo entrambe le probabilità di vita e di morte calcoliamo il premio unico puro U come valore attuale attuariale delle prestazioni.

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