In questo blog parliamo della riserva matematica, prima però rispolveriamo alcuni concetti basilari.
La matematica attuariale è quella branca della matematica finanziaria che si occupa dei contratti di assicurazione.
ATTUARIALE
Il termine attuariale significa legato ad eventi incerti.
Se pensiamo alle assicurazioni, come ad esempio assicurazioni nel ramo vita, infortuni, della macchina, notiamo che viene assicurato un certo evento di cui non è certo il verificarsi.
Pensiamo ad esempio alla situazione in cui una persona resti in vita o meno, oppure che si verifichi o meno un infortunio o un incidente sul lavoro.
Oppure ancora nel caso della macchina che si faccia un incidente, oppure si investa una persona eccetera.
CONTRATTO DI ASSICURAZIONE
Il contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro ad una compagnia assicurativa per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.
RISERVA MATEMATICA
La riserva matematica la somma che la compagnia deve mettere da parte per far fronte agli eventuali futuri impegni.
Per calcolare la riserva matematica V calcolata k anni dopo la stipula del contratto da parte di una testa di x anni dobbiamo fare la differenza tra il valore attuale attuariale delle future prestazioni e il valore attuale attuariale dei premi futuri.
A livello di simbologia scriveremo:
ESEMPIO
Vediamo un esercizio pratico per il calcolo della riserva matematica.
Una testa di 25 anni e stipulo una polizza assicurativa che garantisca:
a) 1000€ all’individuo tra 7 anni se sarò in vita
b) 500€ agli eredi in senso contrario
contro il versamento di un premio puro P oggi e un altro premio puro 2P tra 4 anni se sarei vivo.
Determinare P e la riserva matematica tra 2 anni sapendo che l’assicurato è vivo e che la legge di sopravvivenza è l(X)=11000-1000x ed il tasso 5% annuo
GRAFICO
Per prima cosa andiamo a rappresentare la linea del tempo che rappresenta l’età dell’assicurato.
Sotto le età 25 e 29 andiamo a scrivere i due premi pagati dal contraente, rispettivamente P e 2P.
Le prestazioni per i beneficiari nel caso vita o morte sono entrambe garantite dalla compagnia 7 anni dopo la stipula del contratto ovvero all’età di 32 anni.
Andiamo quindi a scrivere i due importi, 1.000 euro nel caso vita e 500 nel caso morte.
Ora dobbiamo imporre che il valore attuale attuaria dei premi deve eguagliare il valore attuale attuariale delle prestazione dell’assicurazione:
Andiamo dunque ad imporre l’equazione ponderando sia i premi che le prestazioni per le rispettive probabilità e attualizzarli.
Per quanto riguarda il primo premio P non dobbiamo fare niente poiché si trova già al tempo della stipula del contratto.
Il secondo premio 2P lo ponderiamo per la probabilità che una testa di 25 anni risulti viva tra 4 anni e lo attualizziamo di 4 anni.
Passiamo ora alle prestazioni.
La prima prestazione nel caso vita, ovvero i 1.000 euro, la ponderiamo per la probabilità che un 25enne risulti in vita tra 7 anni.
Mentre la seconda prestazione caso morte, ovvero quella di 500 euro, la ponderiamo per la probabilità che un 25enne muoia nei prossimi 7 anni.
Attualizziamo entrambe le prestazione di 7 anni.
La scrittura risulterà dalla seguente equazione:
Sulla parte sinistra raccogliamo P, mentre a destra raccogliamo v^7
Ora calcoliamo il premio P dividendo ciò che sta a destra per il fattore che moltiplica P sulla sinistra:
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Ora non ci resta che calcolare le probabilità presenti nell’equazione
Partiamo dalla probabilità che un una testa di 25 anni viva ancora 7 anni ovvero fino a 32 anni:
Poi abbiamo la probabilità di morte complementare:
Infine ci resta la probabilità di pagare il secondo premio, ovvero che una testa di 25 anni risulti viva all’età di 29
Chiaramente ci mancano i dati l25, l32 e l29, che andiamo a calcolare dalla funzione di vita:
Per calcolare l25 inseriamo al posto della x il 25, avremo dunque:
Lo stesso facciamo con l32 e l29
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ’
Calcoliamo ora le probabilità di vita e quella di morte
CALCOLO DEL PREMIO P
Ora calcoliamo il valore del primo premio P da versare
Inseriamo i dati appena calcolati sulle probabilità
A questo punto il secondo premio versato a 29 anni 2P sarà pari a :
RISERVA MATEMATICA
Adesso dobbiamo calcolare la riserva matematica 2 anni dopo la stipula del contratto.
Spostiamo quindi il nostro punto di riferimento 2 anni avanti nel tempo.
L’età di riferimento non sarà più dunque 25, ovvero l’età della stipula del contratto, bensì 27.
È proprio in questa età che faremo confluire tutti i nostri calcoli.
Rappresentiamo ora graficamente la situazione.
La linea temporale è assolutamente identica a quella rappresentata in precedenza, con due sole differenze.
La prima riguarda il fatto che ora conosciamo il valore dei premi, perciò al posto di P e 2P ai tempi 25 e 27 riportiamo gli importi calcolati 265,35 e 530,70.
La seconda riguarda il tempo di riferimento che diventa 27, che abbiamo rappresentato in rosso.
La riserva matematica, come detto in precedenza, è la differenza tra il valore attuale attuariale delle future prestazioni e il valore attuale attuariale dei premi futuri.
RISERVA MATEMATICA – CASO VITA
Ricordiamo che il contratto è stato in origine stipulato su una testa di 25 anni e che sono passati 2 anni.
La domanda che dobbiamo porci prima di procedere all’impostazione dei calcoli è: l’assicurato è ancora in vita?
Vediamo il caso in cui l’assicurato risulta ancora vivo all’età di 27 anni.
Le due prestazioni sempre di 1.000 e 500 vanno ponderati rispettivamente per la probabilità che il 27-enne risulti vivo fino a 32 anni e quella che risulti morto entro i 32.
Entrambe le prestazioni vanno poi attualizzate di 5 anni, ovvero dall’età 32 all’età 27.
L’unico premio futuro di importo 530,70 va ponderato per la probabilità che una testa di 27 anni viva fino a 29 anni e va poi attualizzato di 2 anni.
Dunque il calcolo della riserva matematica V, calcolata 2 anni dopo la stipula del contratto di assicurazione su una testa di 25 anni risulterà dal seguente calcolo:
Le tre probabilità che dovremo calcolare sono:
L’unico dato che non abbiamo ancora ancora calcolato è l27 che otteniamo inserendo il 29 nella funzione di vita al posto della x.
Ricordiamo inoltre che dai calcoli precedenti:
Le probabilità dunque saranno:
Inseriamo ora questi dati per calcolare la riserva matematica, ricordando che il tasso è il 5%.
ASSICURATO MUORE TRA I 25 E I 27 ANNI
Cosa succede alla riserva matematica se l’assicurato è morto tra i 25 e i 27 anni?
In questa situazione il premio dovuto all’età di 29 non verrà versato.
Non avrebbe senso infatti pagare un premio di assicurazione qualora l’individuo oggetto del contratto sia deceduto, dal momento che nel premio ci sarebbe stata anche la prestazione caso vita.
Per quanto riguarda le due prestazioni solamente una verrà considerata, ovvero quella garantita nel caso morte.
Questa prestazione sarà considerata con una probabilità del 100%.
Infatti la probabilità che l’individuo risulti deceduto all’età di 32 anni è un evento certo.
La prestazione caso vita non verrà ovviamente conteggiata poiché è certo il fatto che l’assicurato non risulterà vivo a 32 anni.
La riserva matematica consiste solamente nell’attualizzazione di 5 anni del capitale caso morte, ovvero i 500 euro.
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Occhio al refuso: branca della matematica, non branchia 😜
Ottimo, grazie dell’osservazione 😉