MATEMATICA ATTUARIALE E CALCOLO PROBABILITÀ

La matematica attuariale è quella branchia della matematica finanziaria che si occupa dei contratti di assicurazione.

IL TERMINE “ATTUARIALE”

Il termine attuariale significa legato ad eventi incerti.

Se pensiamo alle assicurazioni, come ad esempio assicurazioni nel ramo vita, infortuni, della macchina, notiamo che viene assicurato un certo evento di cui non è certo il verificarsi.

Pensiamo ad esempio alla situazione in cui una persona resti in vita o meno, oppure che si verifichi o meno un infortunio o un incidente sul lavoro.

Oppure ancora nel caso della macchina che si faccia un incidente, oppure si investa una persona eccetera.

CONTRATTO DI ASSICURAZIONE

Il contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro ad una compagnia assicurativa per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.

Vediamo di meglio descrivere gli attori in gioco:

CONTRAENTE

È colui che stipula il contratto di assicurazione e versa il premio.

ASSICURAZIONE

È la compagnia che firma il contratto con il contraente e deve garantire al beneficiario la prestazione se l’evento oggetto del contratto si verifica.

ASSICURATO

Potrebbe essere una cosa o una persona.  Rappresenta l’oggetto centrale del contratto di assicurazione, in quanto il premio viene pagato riguardo ad un evento che lo riguarda. Come il decesso o l’infortunio di una persona, oppure un incidente per una macchina.

BENEFICIARIO

È colui che riceve la prestazione nel caso in cui si verifica l’evento che riguarda l’assicurato, oggetto del contratto di assicurazione.

PREMIO

Rappresenta la somma di denaro che il contraente versa alla compagnia di assicurazione.

PRESTAZIONE

Rappresenta la somma di denaro che la compagnia assicuratrice assicura al beneficiario se si verifica l’evento oggetto del contratto.

SVARIATI CONTRATTI DI ASSICURAZIONE

Sulla base dell’oggetto  esistono diversi tipi di contratti di assicurazione.

Esempi di questi contratti possono essere:

• Casa
• Auto
• Viaggi
• Risparmi
• Legale
• Infortuni 
• Salute
• Animali
• Vita
• …

In particolare noi ci occuperemo dei contratti di assicurazioni sulla vita e sulla morte di un individuo, l’assicurato del contratto di assicurazione.

VALORE ATTUALE ATTUARIALE E CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Affinché un contratto di assicurazione entri in essere dobbiamo stabilire quale sia il premio equo che il contrante deve versare alla compagnia assicurativa affinché questa possa garantire le prestazioni stabilite nel contratto.

Tale premio è calcolato come il valore attuale attuariale delle prestazioni.

Per valore attuale attuariale intendiamo che bisogna attualizzare ogni prestazione futura sino all’epoca della stipula del contratto (valore attuale) e poi ponderarla per la relativa probabilità che si realizzi.

Quando abbiamo a che fare con contratti di assicurazione caso vita e caso morte le probabilità che ci interessano sono le probabilità di vita e di morte appunto.

Ma come facciamo a calcolare queste probabilità?

TAVOLE DI MORTALITA’ E FUNZIONE BIOMETRICA

Per calcolare le probabilità di vita e di morte ci avvaliamo delle tavole di mortalità.

Tali tavole sono redatte in Italia dall’ISTAT.

Sotto ne riportiamo un esempio con le prime sette colonne.

Ora per semplicità di analisi e per non entrare in ragionamenti troppo complessi analizziamo solo le prime tre colonne della tabella.

Nella prima colonna (x) è riportata l’età dell’individuo. 

Tipicamente queste tavole arrivano fino a 110-115 anni, che sono considerate età estreme di vita degli individui.

Nella seconda colonna (lx) sono riportati i sopravvissuti all’età x.

Si suppone che la popolazione iniziale risulti pari a 100.000 unità e che ogni anno di queste ne sopravvivono un certo numero.

Ad esempio in prossimità dell’età 18 leggiamo 99.363: questo significa che delle 100.000 unità iniziali a zero anni all’età di 18 ne sono sopravvissuti 99.363.

Le prime due colonne servono a costruire quello che definiamo la funzione biometrica o funzione di vita.

Se mettiamo sull’asse delle x l’età degli individui e sull’asse delle y il numero di sopravvissuti lx possiamo vedere una funzione decrescente, tipicamente con una concavità rivolta verso il basso per la maggior parte.

Passando alla terza colonna dx essa identifica il numero di decessi subiti dalla popolazione.

Ad esempio in prossimità della riga con l’età uguale a 20 anni vediamo che il numero di ventenni deceduti  è pari a 26.

L’ultima colonna e_x rappresenta la speranza di vita o vita media residua  ovvero il numero di anni che una testa (individuo) di x anni ci si attende che viva.

Sempre analizzando le teste di 20 anni la loro speranza di vita è pari a 63,49 anni.

Detto in parole più semplici quando ci troviamo di fronte ad un ventenne possiamo ragionevolmente pensare che possa vivere ancora circa 63/64 anni e quindi arrivare fino a 83/84 anni.

CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Per analizzare i contratti di assicurazione e per stabilire quale sia il premio equo che il contraente deve versare per assicurare una testa dobbiamo calcolare le probabilità di vita o di morte dell’assicurato, utilizzando le tavole.

PROBABILITÀ’ DI VITA

La matematica attuariale si occupa di calcolare questa probabilità di vita che viene ricavata dalle tavole di mortalità redatte dagli istituti di statistica nazionali.

Le probabilità di vita sono calcolate dividendo la popolazione finale per la popolazione iniziale.

Per fare un esempio molto semplice se all’inizio una popolazione conta 100 individui e alla fine del periodo considerato ne conta 97, diremo che la percentuale dei sopravvissuti è pari al 97%.

Per ottenere questa percentuale abbiamo fatto:

In questo senso sfrutteremo le tavole di mortalità.

Probabilità che una testa di x anni sopravviva ancora un anno

La probabilità che un individuo di x anni viva ancora un anno, ovvero fino all’età x+1 è data da:

Questa probabilità si legge “p con x”.

Per avere un’idea grafica di quello che stiamo dicendo guardate la figura riportata sotto.

Stiamo dividendo il segmento che rappresenta il numero di teste vive a x+1 anni (verde) per il segmento che identifica il numero di teste vive a x anni (in arancio).

Per fare un esempio concreto proviamo a calcolare la probabilità che un trentenne viva ancora un anno.

Inseriamo i dati nelle tavole riportate qui sotto 

Otteniamo una probabilità del 99,966%, molto alta come lecito che sia.

Probabilità che una testa di x anni sopravviva ancora un anno

Quando l’intervallo temporale è maggiore di un anno seguiamo comunque lo stesso copione.

Per calcolare la probabilità di sopravvivenza di una testa di x anni nei prossimi n anni, e dunque di arrivare all’età x+n agiamo dunque nello stesso modo.

Dividiamo cioè la popolazione finale all’età x+n per la popolazione iniziale all’età x.

Per fare un esempio concreto se vogliamo calcolare la probabilità di un trentenne di arrivare ai quant’anni dividiamo la popolazione viva dei quarantenni l₄₀ per la popolazione viva dei trentenni l₃₀.

Dunque avremo:

Prendendo i dati dalle tavole di mortalità cui sopra avremo:

PROBABILITÀ’ DI MORTE

La matematica attuariale si occupa anche del calcolo della probabilità di uno degli aspetti più spiacevoli della vita: la morte.

Il calcolo delle probabilità di morte è per molti aspetti molto simili al calcolo della probabilità di vita.

Se vogliamo calcolare la probabilità di morte per una persona di una generica età x nel corso di un certo periodo di tempo dividiamo il numero di decessi durante questo periodo per il numero di vivi all’inizio.

Probabilità per una testa di x anni di morire entro un anno

Per calcolare la probabilità di una testa di x anni di morire antro un anno dividiamo il numero di decessi delle teste di x anni  per il numero di teste vive all’età x.

Tale numero di decessi è pari alla differenza tra i vivi all’inizio del periodo lx e il numero di teste vive alla fine del periodo.

Sviluppando i calcoli possiamo vedere questa probabilità come la complementare alla probabilità di sopravvivenza.

Per esempio se vogliamo calcolare la probabilità di un trentenne di morire nel prossimo anno procederemo così:

Inseriamo i dati delle tavole che riportiamo ancora sotto:

Alternativamente potremo anche usare la probabilità complementare a quella di vita calcolata precedentemente:

Probabilità per una testa di x anni di morire entro i prossimi n anni

Per calcolare la probabilità di una testa di x anni di morire entro i prossimi n anni dividiamo il numero di decessi delle teste cha vanno dall’età x all’età x+n  per il numero di teste vive all’età x.

Tale numero di decessi è pari alla differenza tra i vivi all’inizio del periodo lx e il numero di teste vive alla fine del periodo l_x+n

Sviluppando i calcoli possiamo vedere questa probabilità come la complementare alla probabilità di sopravvivenza.

Per esempio se vogliamo calcolare la probabilità di un trentenne di vivere fino ai 40 anni faremo così:

Inseriamo i dati delle tavole che riportiamo ancora sotto:

Alternativamente potremo anche usare la probabilità complementare a quella di vita calcolata precedentemente:

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