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Le rend
﷟HYPERLINK "https://www.youtube.com/watch?v=FU6MAWIFDjw&list=PLhjCd-4en3HhQRpiyvC9F4lwhks5lNxmu&index=13&t=2s"Finanza - Rendite | Andrea il Matematico
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RENDITE  VoiceOver - Barra spaziatrice per attivare

Le rendite svolgono un ruolo assolutamente centrale nella finanza.

Grazie ad esse è possibile ad esempio determinare:

  •  il prezzo di un’azione e di un’obbligazione 
  •  il valore di una società
  •  la fattibilità e la scelta tra più progetto di investimento.

Procediamo però con ordine e cerchiamo di dare una definizione di rendita

DEFINIZIONE DI RENDITA

Si definisce rendita una operazione finanziaria con importi tutti dello stesso segno. Questi importi li chiamiamo rate.

Per entrare subito nel vivo della questione facciamo subito un esempio pratico che ci faccia capire in modo concreto l’argomento che stiamo trattando.

ESEMPIO

Mario versa sul suo conto 2.000 euro alla fine dell’anno (versamenti posticipati) per i primi due anni, 3.000 euro il terzo , e 6.500 euro dopo cinque anni. Calcola il valore attuale e il montante di questa rendita, al tasso di mercato del 6,25%.

Disegni a penna
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Come potete notare è possibile rappresentare questa situazione lungo una linea del tempo. 

Sopra la linea ho rappresentato i tempo (1; 2; 3; 5).

Sotto la linea in corrispondenza dei tempi ho rappresentato gli importi versati da Marco           (2.000; 2.000; 3.000; 6.500).

Il testo ci chiede di calcolare il valore attuale e il montante di questa rendita.

Supponendo di operare nel regime  calcoliamo per prima cosa il valore attuale.

Per farlo dovremo attualizzare ogni singolo importo della rendita e portarlo al tempo zero.

Ricordiamo che nel regime composto per attualizzare una singola rata dovremo utilizzare la formula:

Il valore attuale di una rendita è la sommatoria dei valori attuali delle singole rate:


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Qual è il significato del risultato che abbiamo appena trovato?

Rinunciare oggi alla cifra di 9.850 euro equivale, quando il tasso di mercato è del 6,5%, a ricevere 2.000 euro tra un anno, 2.000 euro tra due anni, 3.000 euro tra 3 anni e 6.500 euro tra cinque anni.

Calcoliamo ora il montante della rendita.

Calcolare il montante significa calcolare il valore di tutta la rendita alla scadenza della stessa.

Siccome in questo caso i pagamenti sono posticipati, la scadenza della rendita avverrà all’atto dell’ultimo versamento, avvero al tempo 5.

Per calcolare il montante della rendita dovremo usare il procedimento della capitalizzione.

In particolare operando nel regime composto useremo la seguente formula:

Dove tn rappresenta il tempo finale e tk l’epoca della rata k-esima.

Tradotto sulla linea del tempo ed in calcoli avremo:

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Qual è il significato di questo valore?

Rinunciare tra un anno e tra due anni a 2.000 euro, tra 3 anni a 3.000 euro e tra 5 anni a 6.500 equivale, quando il tasso presente nel mercato è del 6,5% a disporre di 13.335 euro tra 5 anni.

Chiaramente questo valore risulterà maggiore della somma dei 4 importi che abbiamo capitalizzato.

RENDITE PARTICOLARI

Quando parliamo di rendite in realtà stiamo parlando di un vasto regno.

Esiste un’ampia classificazione delle rendite.

Tuttavia, quando affrontiamo la realtà economica e finanziaria, esiste un modello di rendita che è di gran lunga più utilizzato per la sua semplicità e praticità.

Le rendite più studiato all’interno dell’ormai famoso regime composto sono: periodiche, a rata costante, temporanee, immediate e posticipate.

Prima di analizzare la formula vediamo insieme il significato di ognuno di questi termini:

PERIODICHE: le rate sono versate ad intervalli di tempo regolari

RATA COSTANTE: rate tutte di pari importo

IMMEDIATE: partono da subito

POSTICIPATE: la rata viene pagata alla fine del periodo di competenza (esempio pagamento dell’affitto a fine mese)

TEMPORANEE: con un numero limitato di rate (n rate)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E FORMULA

Vediamo ora assieme come si calcola il valore attuale di una rendita con queste caratteristiche.

Per prima cosa disponiamo su una linea del tempo questa rendite.

Sopra la linea del tempo mettiamo i tempi ordinati e come numeri naturali {0; 1; 2; …;n}.

Sotto a partire dal numero 1 mettiamo le rate {R1; R2; …;Rn}

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Per calcolare il valore attuale di questa rendita procediamo all’attualizzazione di tutte le rate portandole al tempo zero.

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Come potete notare tutte le rate sono pari a R, essendo costanti, così che noi possiamo raccogliere questo termine.

Si può tranquillamente dimostrare che il valore attuale di questa rendita si può calcolare mediante la seguente formula:

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Svolgiamo subito un esempio che ci faccia capire in concreto quello che abbiamo appena imparato.

ESEMPIO

Andrea versa ogni anno , alla fine dell’anno, la cifra di 2.000 euro su un fondo che rende il 5% per 5 anni 

Calcola il valore attuale della rendita

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MONTANTE

L’altro concetto cardine delle rendite è il montante.

Per calcolare il montante di una rendita provvediamo a capitalizzare tutte le n rate fino alla fine della rendita.

Quando ci troviamo di fronte ad una rendita a rata costante, periodica, temporanea, immediata e posticipata i giochi sono abbastanza semplici.

Anche in questo caso, dopo avere posizionato la rendita provvediamo a capitalizzare ogni singolo importo sino all’epoca finale n.

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Anche in questo caso il ragionamento è simile a quello visto nel procedimento di attualizzazione.

È possibile riassumere il calcolo con una semplice formula:

Torniamo all’esempio di prima e calcoliamo il montante della rendita

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