VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
In questo blog tratteremo di come calcolare il valore attuale e il montante di una rendita.
Partiamo dal calcolo del valore attuale.
Per calcolare il valore attuale di una rendita dobbiamo attualizzare tutte le rate al tempo 0.
Per attualizzare le rate dobbiamo applicare il fattore di attualizzazione.
FORMULE PER CALCOLARE IL VALORE ATTUALE DI UNA REDITA
Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di attualizzazione nei tre principali regimi finanziari:
Nel regime semplice il fattore di attualizzazione é:
Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:
Infine nel regime anticipato v(t) vale:
ESEMPIO DI VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
Vediamo insieme un esempio del calcolo del valore attuale di una rendita.
Diego si accorda con la sua banca per la restituzione di un certo presto pagando tre rate di 1.000, 1.500 e 2.300 euro, rispettivamente ai tempi 2, 3 e 5.
Sapendo che si opera in capitalizzazione composta al tasso dell’8%, calcola l’imposto del prestito erogato.
Sotto i tempi 2, 3 e 5, rappresentiamo gli importi delle rate rispettivamente di 1.000, 1.500 e 2.300 euro.
Il nostro obiettivo sarà quello di calcolare il valore attuale della rendita in oggetto, nel regime composto quando il tasso di interesse è pari al’8%.
Per mostrare questo graficamente tracciamo delle linee verdi che partono dagli importi e li trasferiscono all’epoca zero.
Matematicamente, mediante il fattore di attualizzazione del regime composto attualizziamo la prima cifra di due anni, la seconda di tre anni e la terza di cinque anni.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE
Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di attualizzazione del regime composto:
Il valore attuale oggi sarà:
MONTANTE DI UNA RENDITA
Passiamo ora al calcolo del montante.
Per calcolare il montante di una rendita dobbiamo capitalizzare tutte le rate sino alla scadenza della rendita.
Per scadenza non intendiamo per forza l’epoca in cui avviene l’ultimo pagamento.
Possiamo intendere l’epoca in cui scade il periodo relativo all’ultima rata.
Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di capitalizzazione nei tre principali regimi finanziari:
Nel regime semplice il fattore di capitalizzazione è:
Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:
Infine in quello anticipato
ESEMPIO DI CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA
Facciamo un esempio pratico del calcolo del montante di una rendita.
Marco intende investire in un fondo che rende il 5% semplice.
Calcola il montante di cui potrà disporre tra 6 anni se versa 1.000 tra un anno, 2.000 tra due anni e 3.000 tra 4 anni.
GRAFICO
Rappresentiamo graficamente la situazione:
Sotto i tempi 1, 2 e 4 metteremo rispettivamente le rate di 1.000, 2.000 e 3.000 euro.
Il nostro obiettivo sarà calcolare il valore di tale rendita all’epoca 6.
Per fare vedere graficamente ciò rappresentiamo delle frecce verdi che partono dagli importi alle epoche citate sopra e che arrivano alla destinazione fissata al tempo 6.
Matematicamente utilizziamo il fattore di montante della capitalizzazione semplice per capitalizzare i 1.000 euro di 5 anni, i 2.000 euro di 4 anni e i 3.000 euro di 2 anni.
CALCOLO DEL MONTANTE
Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di capitalizzazione del regime semplice:
Il montante all’epoca 6 sarà:
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda sul valore attuale o il montante di una rendita scrivila pure qui sotto.
Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.
Scopri tutti i corsi.
Ma allora in un esercizio come questo come si procede? “se hai una rendita di 6 rate costanti con valore attuale 5000 e montante 10645,63321068 allora il tasso semestrale di interesse composto applicato è 7.85%, è vero?
Ciao Marco.
per calcolare il tasso di interesse semestrale composto di questa rendita devi avere anzitutto la periodicità della rata della rendita.
Supponendo che la rata sia semestrale per calcolare il tasso semestrale puoi utilizzare la formula:
i=(M/C)^(1/t)-1 con il tempo t in semestri ovvero 6.
Sostituendo i dati avremo:
i2=(10645,6332/5000)^(1/6)-1=0,134228
ovvero il tasso semestrale sarebbe del 13,4228%.
Diversamente se la rata fosse annua allora in 6anni vi sarebbero 12 semestri, quindi avremo:
i=(10645,6332/5000)^(1/12)-1=0,0,65
ovvero il tasso semestrale sarebbe il 6,5%
Ti ringrazio enormemente! Sostanzialmente è come calcolare il rendimento ex post delle obbligazioni no?
Esatto 😉
È la stessa identica cosa
Ciao Andrea, magari sbaglio io ma credo ci sia un errore quando dici che il fattore di capitalizzazione semplice é M(t) = 1/1+i*t … non dovrebbe essere M(t) = 1+i*t?
Ciao Gianpaolo, hai ragionissima!
In effetti ho notato alcune altre cose che ora sono state prontamente corrette.
Grazie ancora dell’attenta osservazione 😉
Ciao Andrea, la formula per calcolare il montante in regime di capitalizzazione composta, con rate variabili… qual è?
E viceversa?
Grazie
Ciao Valeria,
Se le rate non sono costanti, allora non esiste nessuna formula breve per calcolare il montante.
Ma semplicemente devi capitalizzare ogni rata fino al tempo finale.
Considera il seguente esempio.
Calcola il montante al tempo 3 della seguente rendita nel regime composto.
Ai tempi 1,2,3 sono versate le rate 100,120,150.
Calcola il montante al tempo 3 al tasso del 3%.
Il calcolo che dobbiamo fare è il seguente.
M(3)=100*1,03^2 + 120*1,03^1 + 150*1,03^0
M(3) = …
Come vedi per ottenere tale montante abbiamo preso ogni singola rata è la abbiamo capitalizzata.
essendo che la rata non è costante non è invece assolutamente possibile ricostruire la rata a partire dal montante
Se vuoi approfondire questa parte ti consiglio vivamente il corso di matematica finanziaria.
È veramente adatto anche per chi parte da zero.
Se il problema è circoscritto alle sole rendite, ti consiglio invece di prendere i primi due mini corsi
Buonasera Andrea, invece la formula per calcolare il Valore attuale in regime composta è di elevare alla -t? corretto? grazie!
Ciao Martina
Esatto
Se sei nel regime composto moltiplichi per (1+i)^(-t)
Salve ho bisogno di un aiuto in alcuni esercizi il testo dice che Per il ritardo di 68 giorni nel pagamento di una bolletta vengono addebitati 2,60€ di interessi passivi, applicando un saggio di mora del 5%. Qual’ è l’importo della bolletta?
Ciao michela
In questo caso il saggio di mora credo che sia applicato suo valore della bolletta in funzione del tasso di interesse
Quindi se chiamiamo x il valore della bolletta.
Se consideriamo quel 5% su base annua
Impostiamo la seguente equazione
Interessi= x*i*gg/360
Dove i è il tasso 0,05
GG sono i giorni
Per ricavare x invertiamo dunque l’equazione e otteniamo
X=(Interessi*360)/(i*gg)
Inserendo quindi i numeri otteniamo:
X=(2,60*360)/(0,05*68)=275,29
Buongiorno, non so se sia applicabile, ma trovo attinenza.
Sono locatrice di un contratto di affitto che mi rende 4.000 euro annui con adeguamento istat al 75% dell’indice; il conduttore mi ha proposto di trasformare la locazione in diritto di superficie durata 30 anni pagando un importo in soluzione unica.
Al calcolo 4k x 30 anni = 120.000 andrebbe ovviamente aggiunto l’istat composto, ipotizzando un 3% annuo (anche se oggi è molto più alto). Il montante ottenuto dovrei capire quando vale in modalità attualizzata, cioè pagata oggi in soluzione unica, così da valutare se “finanziariamente” parlando l’offerta ricevuta è onesta o meno. Potreste aiutarmi?
Grazie, Maria Luisa.
Ciao Maria, grazie per la questione
Il valore attuale di scambio dipende in un certo qual modo dal tasso previsto di inflazione e dal tasso applicato per l’attualizzazione.
Ipotizziamo dunque che il tasso di attualizzazione sia pari (come proposto) al 3% =0,03
e che anche il tasso previsto di inflazione sia parimenti al 3%
(considerando le guerre e le crisi economiche possiamo considerarlo al disopra del 2% classico).
Considerando l’adeguamento all’inflazione pari al 75%, l’effettivo tasso di inflazione applicato è pari a:
𝛑’ =3% * 0,75 = 0,0225
In questo caso il valore attuale di scambio sarebbe pari a:
V = 4.000 * [1-(1,0225/1,03)^30]/(0,03-0,0225)
V = 105.000 (circa)
Ovviamente il calcolo dipende dai parametri che vengono utilizzati.
Ti riporto la formula generale per il calcolo:
V = R * [1-((1+𝛑’)/(1+i))^n]/(i-𝛑’)
Dove:
R = rata annua
i = tasso annuo di valutazione
𝛑’= tasso effettivo di inflazione applicato (al 75% dell’inflazione attesa nel to caso)
Spero di aver sciolto i dubbi
Ciao, posso chiederti come dovrei fare per risolvere questo esercizio? Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima,
essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari al 12%
Grazie^
Ciao Giulia
L’equazione da impostare è la seguente
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
A me esce n=19,29
Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000