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VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

In questo blog tratteremo di come calcolare il valore attuale e il montante di una rendita.

Partiamo dal calcolo del valore attuale.

Per calcolare il valore attuale di una rendita dobbiamo attualizzare tutte le rate al tempo 0.

Per attualizzare le rate dobbiamo applicare il fattore di attualizzazione.

valore attuale di una rendita: grafico

FORMULE PER CALCOLARE IL VALORE ATTUALE DI UNA REDITA

Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di attualizzazione nei tre principali regimi finanziari:

Nel regime semplice il fattore di attualizzazione é:

Valore attuale di una rendita: formula regime semplice

Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:

Valore attuale di una rendita: formula regime composto

Infine nel regime anticipato v(t) vale:

Valore attuale di una rendita: formula regime anticipato

ESEMPIO DI VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

Vediamo insieme un esempio del calcolo del valore attuale di una rendita.

Diego si accorda con la sua banca per la restituzione di un certo presto pagando tre rate di 1.000, 1.500 e 2.300 euro, rispettivamente ai tempi 2, 3 e 5.

Sapendo che si opera in capitalizzazione composta al tasso dell’8%, calcola l’imposto del prestito erogato.

Valore attuale di una rendita: rappresentazione grafica

Sotto i tempi  2, 3 e 5, rappresentiamo gli importi delle rate rispettivamente di 1.000, 1.500 e 2.300 euro.

Il nostro obiettivo sarà quello di calcolare il valore attuale della rendita in oggetto, nel regime composto quando il tasso di interesse è pari al’8%.

Per mostrare questo graficamente tracciamo delle linee verdi che partono dagli importi e li trasferiscono all’epoca zero.

Matematicamente, mediante il fattore di attualizzazione del regime composto attualizziamo la prima cifra di due anni, la seconda di tre anni e la terza di cinque anni.

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE

Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di attualizzazione del regime composto:

Il valore attuale oggi sarà:

valore attuale di una rendita: formula regime composto

MONTANTE DI UNA RENDITA

Passiamo ora al calcolo del montante.

Per calcolare il montante di una rendita dobbiamo capitalizzare tutte le rate sino alla scadenza della rendita.

Per scadenza non intendiamo per forza l’epoca in cui avviene l’ultimo pagamento.

Possiamo intendere l’epoca in cui scade il periodo relativo all’ultima rata.

Montante di una rendita: grafico

Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di capitalizzazione nei tre principali regimi finanziari:

Nel regime semplice il fattore di capitalizzazione è:

Montante di una rendita: formula regime semplice

Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:

Montante di una rendita: formula regime composto

Infine in quello anticipato

Montante di una rendita: formula regime anticipato

ESEMPIO DI CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA

Facciamo un esempio pratico del calcolo del montante di una rendita.

Marco intende investire in un fondo che rende il 5% semplice.

Calcola il montante di cui potrà disporre tra 6 anni se versa 1.000 tra un anno, 2.000 tra due anni e 3.000 tra 4 anni.

GRAFICO

Rappresentiamo graficamente la situazione:

Montante di una rendita: rappresentazione grafica

Sotto i tempi 1, 2 e 4 metteremo rispettivamente le rate di 1.000, 2.000 e 3.000 euro.

Il nostro obiettivo sarà calcolare il valore di tale rendita all’epoca 6.

Per fare vedere graficamente ciò rappresentiamo delle frecce verdi che partono dagli importi alle epoche citate sopra e che arrivano alla destinazione fissata al tempo 6.

Matematicamente utilizziamo il fattore di montante  della capitalizzazione semplice per capitalizzare i 1.000 euro di 5 anni, i 2.000 euro di 4 anni e i 3.000 euro di 2 anni.

CALCOLO DEL MONTANTE

Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di capitalizzazione del regime semplice:

Il montante all’epoca 6 sarà:

Montante di una rendita: calcolo nel regime ad interesse semplice

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda sul valore attuale o il montante di una rendita scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Scopri tutti i corsi.

8 Comments

  • Marco ha detto:

    Ma allora in un esercizio come questo come si procede? “se hai una rendita di 6 rate costanti con valore attuale 5000 e montante 10645,63321068 allora il tasso semestrale di interesse composto applicato è 7.85%, è vero?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco.
      per calcolare il tasso di interesse semestrale composto di questa rendita devi avere anzitutto la periodicità della rata della rendita.
      Supponendo che la rata sia semestrale per calcolare il tasso semestrale puoi utilizzare la formula:
      i=(M/C)^(1/t)-1 con il tempo t in semestri ovvero 6.
      Sostituendo i dati avremo:
      i2=(10645,6332/5000)^(1/6)-1=0,134228
      ovvero il tasso semestrale sarebbe del 13,4228%.
      Diversamente se la rata fosse annua allora in 6anni vi sarebbero 12 semestri, quindi avremo:
      i=(10645,6332/5000)^(1/12)-1=0,0,65
      ovvero il tasso semestrale sarebbe il 6,5%

  • Gianpaolo ha detto:

    Ciao Andrea, magari sbaglio io ma credo ci sia un errore quando dici che il fattore di capitalizzazione semplice é M(t) = 1/1+i*t … non dovrebbe essere M(t) = 1+i*t?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Gianpaolo, hai ragionissima!
      In effetti ho notato alcune altre cose che ora sono state prontamente corrette.
      Grazie ancora dell’attenta osservazione 😉

  • Valeria ha detto:

    Ciao Andrea, la formula per calcolare il montante in regime di capitalizzazione composta, con rate variabili… qual è?
    E viceversa?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valeria,
      Se le rate non sono costanti, allora non esiste nessuna formula breve per calcolare il montante.
      Ma semplicemente devi capitalizzare ogni rata fino al tempo finale.
      Considera il seguente esempio.
      Calcola il montante al tempo 3 della seguente rendita nel regime composto.
      Ai tempi 1,2,3 sono versate le rate 100,120,150.
      Calcola il montante al tempo 3 al tasso del 3%.
      Il calcolo che dobbiamo fare è il seguente.

      M(3)=100*1,03^2 + 120*1,03^1 + 150*1,03^0
      M(3) = …
      Come vedi per ottenere tale montante abbiamo preso ogni singola rata è la abbiamo capitalizzata.

      essendo che la rata non è costante non è invece assolutamente possibile ricostruire la rata a partire dal montante

      Se vuoi approfondire questa parte ti consiglio vivamente il corso di matematica finanziaria.

      È veramente adatto anche per chi parte da zero.
      Se il problema è circoscritto alle sole rendite, ti consiglio invece di prendere i primi due mini corsi

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