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VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

In questo blog tratteremo di come calcolare il valore attuale e il montante di una rendita.

Partiamo dal calcolo del valore attuale.

Per calcolare il valore attuale di una rendita dobbiamo attualizzare tutte le rate al tempo 0.

Per attualizzare le rate dobbiamo applicare il fattore di attualizzazione.

valore attuale di una rendita: grafico

FORMULE PER CALCOLARE IL VALORE ATTUALE DI UNA REDITA

Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di attualizzazione nei tre principali regimi finanziari:

Nel regime semplice il fattore di attualizzazione é:

Valore attuale di una rendita: formula regime semplice

Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:

Valore attuale di una rendita: formula regime composto

Infine nel regime anticipato v(t) vale:

Valore attuale di una rendita: formula regime anticipato

ESEMPIO DI VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA

Vediamo insieme un esempio del calcolo del valore attuale di una rendita.

Diego si accorda con la sua banca per la restituzione di un certo presto pagando tre rate di 1.000, 1.500 e 2.300 euro, rispettivamente ai tempi 2, 3 e 5.

Sapendo che si opera in capitalizzazione composta al tasso dell’8%, calcola l’imposto del prestito erogato.

Valore attuale di una rendita: rappresentazione grafica

Sotto i tempi  2, 3 e 5, rappresentiamo gli importi delle rate rispettivamente di 1.000, 1.500 e 2.300 euro.

Il nostro obiettivo sarà quello di calcolare il valore attuale della rendita in oggetto, nel regime composto quando il tasso di interesse è pari al’8%.

Per mostrare questo graficamente tracciamo delle linee verdi che partono dagli importi e li trasferiscono all’epoca zero.

Matematicamente, mediante il fattore di attualizzazione del regime composto attualizziamo la prima cifra di due anni, la seconda di tre anni e la terza di cinque anni.

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE

Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di attualizzazione del regime composto:

Il valore attuale oggi sarà:

valore attuale di una rendita: formula regime composto

MONTANTE DI UNA RENDITA

Passiamo ora al calcolo del montante.

Per calcolare il montante di una rendita dobbiamo capitalizzare tutte le rate sino alla scadenza della rendita.

Per scadenza non intendiamo per forza l’epoca in cui avviene l’ultimo pagamento.

Possiamo intendere l’epoca in cui scade il periodo relativo all’ultima rata.

Montante di una rendita: grafico

Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di capitalizzazione nei tre principali regimi finanziari:

Nel regime semplice il fattore di capitalizzazione è:

Montante di una rendita: formula regime semplice

Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:

Montante di una rendita: formula regime composto

Infine in quello anticipato

Montante di una rendita: formula regime anticipato

ESEMPIO DI CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA

Facciamo un esempio pratico del calcolo del montante di una rendita.

Marco intende investire in un fondo che rende il 5% semplice.

Calcola il montante di cui potrà disporre tra 6 anni se versa 1.000 tra un anno, 2.000 tra due anni e 3.000 tra 4 anni.

GRAFICO

Rappresentiamo graficamente la situazione:

Montante di una rendita: rappresentazione grafica

Sotto i tempi 1, 2 e 4 metteremo rispettivamente le rate di 1.000, 2.000 e 3.000 euro.

Il nostro obiettivo sarà calcolare il valore di tale rendita all’epoca 6.

Per fare vedere graficamente ciò rappresentiamo delle frecce verdi che partono dagli importi alle epoche citate sopra e che arrivano alla destinazione fissata al tempo 6.

Matematicamente utilizziamo il fattore di montante  della capitalizzazione semplice per capitalizzare i 1.000 euro di 5 anni, i 2.000 euro di 4 anni e i 3.000 euro di 2 anni.

CALCOLO DEL MONTANTE

Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di capitalizzazione del regime semplice:

Il montante all’epoca 6 sarà:

Montante di una rendita: calcolo nel regime ad interesse semplice

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda sul valore attuale o il montante di una rendita scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Scopri tutti i corsi.

21 Comments

  • Marco ha detto:

    Ma allora in un esercizio come questo come si procede? “se hai una rendita di 6 rate costanti con valore attuale 5000 e montante 10645,63321068 allora il tasso semestrale di interesse composto applicato è 7.85%, è vero?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Marco.
      per calcolare il tasso di interesse semestrale composto di questa rendita devi avere anzitutto la periodicità della rata della rendita.
      Supponendo che la rata sia semestrale per calcolare il tasso semestrale puoi utilizzare la formula:
      i=(M/C)^(1/t)-1 con il tempo t in semestri ovvero 6.
      Sostituendo i dati avremo:
      i2=(10645,6332/5000)^(1/6)-1=0,134228
      ovvero il tasso semestrale sarebbe del 13,4228%.
      Diversamente se la rata fosse annua allora in 6anni vi sarebbero 12 semestri, quindi avremo:
      i=(10645,6332/5000)^(1/12)-1=0,0,65
      ovvero il tasso semestrale sarebbe il 6,5%

  • Gianpaolo ha detto:

    Ciao Andrea, magari sbaglio io ma credo ci sia un errore quando dici che il fattore di capitalizzazione semplice é M(t) = 1/1+i*t … non dovrebbe essere M(t) = 1+i*t?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Gianpaolo, hai ragionissima!
      In effetti ho notato alcune altre cose che ora sono state prontamente corrette.
      Grazie ancora dell’attenta osservazione 😉

  • Valeria ha detto:

    Ciao Andrea, la formula per calcolare il montante in regime di capitalizzazione composta, con rate variabili… qual è?
    E viceversa?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valeria,
      Se le rate non sono costanti, allora non esiste nessuna formula breve per calcolare il montante.
      Ma semplicemente devi capitalizzare ogni rata fino al tempo finale.
      Considera il seguente esempio.
      Calcola il montante al tempo 3 della seguente rendita nel regime composto.
      Ai tempi 1,2,3 sono versate le rate 100,120,150.
      Calcola il montante al tempo 3 al tasso del 3%.
      Il calcolo che dobbiamo fare è il seguente.

      M(3)=100*1,03^2 + 120*1,03^1 + 150*1,03^0
      M(3) = …
      Come vedi per ottenere tale montante abbiamo preso ogni singola rata è la abbiamo capitalizzata.

      essendo che la rata non è costante non è invece assolutamente possibile ricostruire la rata a partire dal montante

      Se vuoi approfondire questa parte ti consiglio vivamente il corso di matematica finanziaria.

      È veramente adatto anche per chi parte da zero.
      Se il problema è circoscritto alle sole rendite, ti consiglio invece di prendere i primi due mini corsi

  • Mihaela ha detto:

    Salve ho bisogno di un aiuto in alcuni esercizi il testo dice che Per il ritardo di 68 giorni nel pagamento di una bolletta vengono addebitati 2,60€ di interessi passivi, applicando un saggio di mora del 5%. Qual’ è l’importo della bolletta?

    • Andrea ha detto:

      Ciao michela
      In questo caso il saggio di mora credo che sia applicato suo valore della bolletta in funzione del tasso di interesse
      Quindi se chiamiamo x il valore della bolletta.
      Se consideriamo quel 5% su base annua
      Impostiamo la seguente equazione
      Interessi= x*i*gg/360
      Dove i è il tasso 0,05
      GG sono i giorni
      Per ricavare x invertiamo dunque l’equazione e otteniamo
      X=(Interessi*360)/(i*gg)
      Inserendo quindi i numeri otteniamo:
      X=(2,60*360)/(0,05*68)=275,29

  • Maria Luisa ha detto:

    Buongiorno, non so se sia applicabile, ma trovo attinenza.
    Sono locatrice di un contratto di affitto che mi rende 4.000 euro annui con adeguamento istat al 75% dell’indice; il conduttore mi ha proposto di trasformare la locazione in diritto di superficie durata 30 anni pagando un importo in soluzione unica.
    Al calcolo 4k x 30 anni = 120.000 andrebbe ovviamente aggiunto l’istat composto, ipotizzando un 3% annuo (anche se oggi è molto più alto). Il montante ottenuto dovrei capire quando vale in modalità attualizzata, cioè pagata oggi in soluzione unica, così da valutare se “finanziariamente” parlando l’offerta ricevuta è onesta o meno. Potreste aiutarmi?
    Grazie, Maria Luisa.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Maria, grazie per la questione
      Il valore attuale di scambio dipende in un certo qual modo dal tasso previsto di inflazione e dal tasso applicato per l’attualizzazione.
      Ipotizziamo dunque che il tasso di attualizzazione sia pari (come proposto) al 3% =0,03
      e che anche il tasso previsto di inflazione sia parimenti al 3%
      (considerando le guerre e le crisi economiche possiamo considerarlo al disopra del 2% classico).
      Considerando l’adeguamento all’inflazione pari al 75%, l’effettivo tasso di inflazione applicato è pari a:
      𝛑’ =3% * 0,75 = 0,0225
      In questo caso il valore attuale di scambio sarebbe pari a:
      V = 4.000 * [1-(1,0225/1,03)^30]/(0,03-0,0225)
      V = 105.000 (circa)
      Ovviamente il calcolo dipende dai parametri che vengono utilizzati.

      Ti riporto la formula generale per il calcolo:
      V = R * [1-((1+𝛑’)/(1+i))^n]/(i-𝛑’)
      Dove:
      R = rata annua
      i = tasso annuo di valutazione
      𝛑’= tasso effettivo di inflazione applicato (al 75% dell’inflazione attesa nel to caso)
      Spero di aver sciolto i dubbi

  • Giulia ha detto:

    Ciao, posso chiederti come dovrei fare per risolvere questo esercizio? Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima,
    essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari al 12%
    Grazie^

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giulia
      L’equazione da impostare è la seguente
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
      Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
      n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
      A me esce n=19,29
      Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
      A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
      5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000

  • Maria ha detto:

    Ciao posso chiederti gentilmente come potrei risolvere quest’esercizio? Si costituisce capitale di 12000 euro attraverso un versamento di 10 rate annue, dopo 3 rate si sospende per 1 anno il versamento e si riprende dopo 2 anni riprendendo con regolari versamenti da t=6 fino al termine. Abbiamo un i=0.05. Bisogna calcolare rata originaria e rata modificata. Grazie anticipatamente

    • Andrea ha detto:

      Ciao Maria
      Per quanto riguarda la prima rata il ragionamento è corretto (ma il risultato no)
      Se vogliamo costituire un montante pari a 12.000 euro con 10 rate posticipare al tasso del 5% dividiamo il montante per il fattore capitalizzante delle rendite (s(n,i))
      Dunque la rata originaria è:
      R = 12.000 /s(10, 0.05)
      Dove s(3, 0.05) è il fattore capitalizzante delle rendite
      R = 12.000/[(1,05^10 -1)/0,05] = 954,055 (in questo caso questa è la rata corretta)
      Se hai qualche dubbio sul concetto di s(n,i) che sarebbe “esse figurato n al tasso i” ti invito a guardare questo articolo
      https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/rendita-posticipata-montante/
      Quando sospendiamo il pagamento i ragionamenti da fare sono due.
      In primis avendo già versato tre rate il montante da costituire è minore
      Esso è pari alla differenza tra il montante originario e la capitalizzazione (al tempo finale 10) delle tre rate appena versa)
      Chiamiamo M’ questo nuovo montante:
      M’ = 12.000 – 954,055*s(3, 0.05)*1,05^7= 7.767,92
      Da notare che oltre alla capitalizzazione delle prime tre rate al tempo 3 fatta con s(3, 0.05)
      Vi è un’ulteriore capitalizzazione di 7 anni che sposta questo montante delle rate al tempo 10 con 1,05^7
      Il secondo ragionamento da fare è che il numero delle rate è minore.
      Infatti ne abbiamo già pagare tre e una la saltiamo, ergo ne rimangono 6
      Dunque per ricalcolare la rata facciamo lo stesso ragionamento iniziale.
      Ovvero dividiamo il montante da formare M’ per s(6, 0.05)
      Dunque:
      R’=7.767,92 / s(6, 0.05) = 1.142,02
      Se il concetto di capitalizzazione è poco chiaro ti consiglio di scoprire i corsi di matematica finanziaria a questo link
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
      Con il corso completo più l’esercizio hai a disposizione una marea di esercizi tratti da diverse università
      Oppure con i mini corsi puoi approfondire alcuni argomenti specifici

  • Maria ha detto:

    Per calcolare la rata originaria ho fatto: 12000*0,05/1.05*(1.05^10-1) = 907.72
    Invece per quanto riguarda la rata modificata mi è stato consigliato di capitalizzare le rate ma non so come continuare

  • nadia ha detto:

    per una persona non esperta 1000*1,08 elevato -2 con la calcolatrice come effettuo quel calcolo?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Nadia
      Sfruttando le parentesi
      1000 x 1.08 ^ (-2)
      Se non hai una buona calcolatrice (per intenderci quelle dell’ovetto di Pasqua)
      Con una spesa tra i 15 max 25 euro puoi avere buone calcolatrici scientifiche
      Ti consiglierei la Casio FX-570
      Oppure la Casio 946426 (un po’ più economica)
      Queste danno la possibilità di creare potenze come le vedi nei libri di testo così come le frazioni, logaritmi hanno una grafica realistica
      se invece ti piace smanettare con le parentesi allora c’è la versione ultra economica a 10/12 euro circa della Casio f’x 220
      Ma io consiglio sempre le prime dur

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