In questo articolo vediamo come si calcola il valore attuale ed il montante di una rendita.
INDICE
VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
In questo blog tratteremo di come calcolare il valore attuale e il montante di una rendita.
Partiamo dal calcolo del valore attuale.
Per calcolare il valore attuale di una rendita dobbiamo attualizzare tutte le rate al tempo 0.
Per attualizzare le rate dobbiamo applicare il fattore di attualizzazione.
FORMULE PER CALCOLARE IL VALORE ATTUALE DI UNA REDITA
Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di attualizzazione nei tre principali regimi finanziari:
Nel regime semplice il fattore di attualizzazione é:
$$ v(t) = \frac{1}{1+i \cdot t} $$
Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:
$$ v(t) (1+i)^{-t} $$
Infine nel regime anticipato v(t) vale:
$$ v(t) = 1 – d \cdot t $$
ESEMPIO DI VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
Vediamo insieme un esempio del calcolo del valore attuale di una rendita.
Diego si accorda con la sua banca per la restituzione di un certo presto pagando tre rate di 1.000, 1.500 e 2.300 euro, rispettivamente ai tempi 2, 3 e 5.
Sapendo che si opera in capitalizzazione composta al tasso dell’8%, calcola l’imposto del prestito erogato.
Sotto i tempi 2, 3 e 5, rappresentiamo gli importi delle rate rispettivamente di 1.000, 1.500 e 2.300 euro.
Il nostro obiettivo sarà quello di calcolare il valore attuale della rendita in oggetto, nel regime composto quando il tasso di interesse è pari al’8%.
Per mostrare questo graficamente tracciamo delle linee verdi che partono dagli importi e li trasferiscono all’epoca zero.
Matematicamente, mediante il fattore di attualizzazione del regime composto attualizziamo la prima cifra di due anni, la seconda di tre anni e la terza di cinque anni.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE
Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di attualizzazione del regime composto:
$$ v(t) = (1+i)^{-t} $$
Il valore attuale oggi sarà:
$$ V(0) = 1.000 \cdot 1,08^{-2} + 1.500 \cdot 1,08^{-3} + 2.300 \cdot 1,08^{-5}
$$ V(0) = 3.613,43 $$
MONTANTE DI UNA RENDITA
Passiamo ora al calcolo del montante.
Per calcolare il montante di una rendita dobbiamo capitalizzare tutte le rate sino alla scadenza della rendita.
Per scadenza non intendiamo per forza l’epoca in cui avviene l’ultimo pagamento.
Possiamo intendere l’epoca in cui scade il periodo relativo all’ultima rata.
Ricordiamo a tal proposito quali sono i fattori di capitalizzazione nei tre principali regimi finanziari:
Nel regime semplice il fattore di capitalizzazione è:
$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$
Per quanto riguarda il regime composto abbiamo che:
$$ m(t) = (1+i)^t $$
Infine in quello anticipato
$$ m(t) = \frac{1}{1-d \cdot t} $$
ESEMPIO DI CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA
Facciamo un esempio pratico del calcolo del montante di una rendita.
Marco intende investire in un fondo che rende il 5% semplice.
Calcola il montante di cui potrà disporre tra 6 anni se versa 1.000 tra un anno, 2.000 tra due anni e 3.000 tra 4 anni.
GRAFICO
Rappresentiamo graficamente la situazione:
Sotto i tempi 1, 2 e 4 metteremo rispettivamente le rate di 1.000, 2.000 e 3.000 euro.
Il nostro obiettivo sarà calcolare il valore di tale rendita all’epoca 6.
Per fare vedere graficamente ciò rappresentiamo delle frecce verdi che partono dagli importi alle epoche citate sopra e che arrivano alla destinazione fissata al tempo 6.
Matematicamente utilizziamo il fattore di montante della capitalizzazione semplice per capitalizzare i 1.000 euro di 5 anni, i 2.000 euro di 4 anni e i 3.000 euro di 2 anni.
CALCOLO DEL MONTANTE
Passiamo al calcolo ricordando ancora una volta il fattore di capitalizzazione del regime semplice:
$$ m(t) = 1 + i \cdot t $$
Il montante all’epoca 6 sarà:
$$ M(6) = 1.000 \cdot (1+0,05 \cdot 5) + 2.000 \cdot (1+0,05 \cdot 4) + 3.000 \cdot (1+0,05 \cdot 2) $$
$$ M(6)=
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda sul valore attuale o il montante di una rendita scrivila pure qui sotto.
Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.
Scopri tutti i corsi.
34 risposte
Ma allora in un esercizio come questo come si procede? “se hai una rendita di 6 rate costanti con valore attuale 5000 e montante 10645,63321068 allora il tasso semestrale di interesse composto applicato è 7.85%, è vero?
Ciao Marco.
per calcolare il tasso di interesse semestrale composto di questa rendita devi avere anzitutto la periodicità della rata della rendita.
Supponendo che la rata sia semestrale per calcolare il tasso semestrale puoi utilizzare la formula:
i=(M/C)^(1/t)-1 con il tempo t in semestri ovvero 6.
Sostituendo i dati avremo:
i2=(10645,6332/5000)^(1/6)-1=0,134228
ovvero il tasso semestrale sarebbe del 13,4228%.
Diversamente se la rata fosse annua allora in 6anni vi sarebbero 12 semestri, quindi avremo:
i=(10645,6332/5000)^(1/12)-1=0,0,65
ovvero il tasso semestrale sarebbe il 6,5%
Ti ringrazio enormemente! Sostanzialmente è come calcolare il rendimento ex post delle obbligazioni no?
Esatto 😉
È la stessa identica cosa
Ciao Andrea, magari sbaglio io ma credo ci sia un errore quando dici che il fattore di capitalizzazione semplice é M(t) = 1/1+i*t … non dovrebbe essere M(t) = 1+i*t?
Ciao Gianpaolo, hai ragionissima!
In effetti ho notato alcune altre cose che ora sono state prontamente corrette.
Grazie ancora dell’attenta osservazione 😉
Ciao Andrea, la formula per calcolare il montante in regime di capitalizzazione composta, con rate variabili… qual è?
E viceversa?
Grazie
Ciao Valeria,
Se le rate non sono costanti, allora non esiste nessuna formula breve per calcolare il montante.
Ma semplicemente devi capitalizzare ogni rata fino al tempo finale.
Considera il seguente esempio.
Calcola il montante al tempo 3 della seguente rendita nel regime composto.
Ai tempi 1,2,3 sono versate le rate 100,120,150.
Calcola il montante al tempo 3 al tasso del 3%.
Il calcolo che dobbiamo fare è il seguente.
M(3)=100*1,03^2 + 120*1,03^1 + 150*1,03^0
M(3) = …
Come vedi per ottenere tale montante abbiamo preso ogni singola rata è la abbiamo capitalizzata.
essendo che la rata non è costante non è invece assolutamente possibile ricostruire la rata a partire dal montante
Se vuoi approfondire questa parte ti consiglio vivamente il corso di matematica finanziaria.
È veramente adatto anche per chi parte da zero.
Se il problema è circoscritto alle sole rendite, ti consiglio invece di prendere i primi due mini corsi
Buonasera Andrea, invece la formula per calcolare il Valore attuale in regime composta è di elevare alla -t? corretto? grazie!
Ciao Martina
Esatto
Se sei nel regime composto moltiplichi per (1+i)^(-t)
Salve ho bisogno di un aiuto in alcuni esercizi il testo dice che Per il ritardo di 68 giorni nel pagamento di una bolletta vengono addebitati 2,60€ di interessi passivi, applicando un saggio di mora del 5%. Qual’ è l’importo della bolletta?
Ciao michela
In questo caso il saggio di mora credo che sia applicato suo valore della bolletta in funzione del tasso di interesse
Quindi se chiamiamo x il valore della bolletta.
Se consideriamo quel 5% su base annua
Impostiamo la seguente equazione
Interessi= x*i*gg/360
Dove i è il tasso 0,05
GG sono i giorni
Per ricavare x invertiamo dunque l’equazione e otteniamo
X=(Interessi*360)/(i*gg)
Inserendo quindi i numeri otteniamo:
X=(2,60*360)/(0,05*68)=275,29
Buongiorno, non so se sia applicabile, ma trovo attinenza.
Sono locatrice di un contratto di affitto che mi rende 4.000 euro annui con adeguamento istat al 75% dell’indice; il conduttore mi ha proposto di trasformare la locazione in diritto di superficie durata 30 anni pagando un importo in soluzione unica.
Al calcolo 4k x 30 anni = 120.000 andrebbe ovviamente aggiunto l’istat composto, ipotizzando un 3% annuo (anche se oggi è molto più alto). Il montante ottenuto dovrei capire quando vale in modalità attualizzata, cioè pagata oggi in soluzione unica, così da valutare se “finanziariamente” parlando l’offerta ricevuta è onesta o meno. Potreste aiutarmi?
Grazie, Maria Luisa.
Ciao Maria, grazie per la questione
Il valore attuale di scambio dipende in un certo qual modo dal tasso previsto di inflazione e dal tasso applicato per l’attualizzazione.
Ipotizziamo dunque che il tasso di attualizzazione sia pari (come proposto) al 3% =0,03
e che anche il tasso previsto di inflazione sia parimenti al 3%
(considerando le guerre e le crisi economiche possiamo considerarlo al disopra del 2% classico).
Considerando l’adeguamento all’inflazione pari al 75%, l’effettivo tasso di inflazione applicato è pari a:
𝛑’ =3% * 0,75 = 0,0225
In questo caso il valore attuale di scambio sarebbe pari a:
V = 4.000 * [1-(1,0225/1,03)^30]/(0,03-0,0225)
V = 105.000 (circa)
Ovviamente il calcolo dipende dai parametri che vengono utilizzati.
Ti riporto la formula generale per il calcolo:
V = R * [1-((1+𝛑’)/(1+i))^n]/(i-𝛑’)
Dove:
R = rata annua
i = tasso annuo di valutazione
𝛑’= tasso effettivo di inflazione applicato (al 75% dell’inflazione attesa nel to caso)
Spero di aver sciolto i dubbi
Ciao, posso chiederti come dovrei fare per risolvere questo esercizio? Si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000 euro per i primi 5 anni e di 10000 euro per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima,
essendo il valore attuale della rendita pari a 60000 euro e il tasso annuo pari al 12%
Grazie^
Ciao Giulia
L’equazione da impostare è la seguente
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
A me esce n=19,29
Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000
Ciao posso chiederti gentilmente come potrei risolvere quest’esercizio? Si costituisce capitale di 12000 euro attraverso un versamento di 10 rate annue, dopo 3 rate si sospende per 1 anno il versamento e si riprende dopo 2 anni riprendendo con regolari versamenti da t=6 fino al termine. Abbiamo un i=0.05. Bisogna calcolare rata originaria e rata modificata. Grazie anticipatamente
Ciao Maria
Per quanto riguarda la prima rata il ragionamento è corretto (ma il risultato no)
Se vogliamo costituire un montante pari a 12.000 euro con 10 rate posticipare al tasso del 5% dividiamo il montante per il fattore capitalizzante delle rendite (s(n,i))
Dunque la rata originaria è:
R = 12.000 /s(10, 0.05)
Dove s(3, 0.05) è il fattore capitalizzante delle rendite
R = 12.000/[(1,05^10 -1)/0,05] = 954,055 (in questo caso questa è la rata corretta)
Se hai qualche dubbio sul concetto di s(n,i) che sarebbe “esse figurato n al tasso i” ti invito a guardare questo articolo
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/rendita-posticipata-montante/
Quando sospendiamo il pagamento i ragionamenti da fare sono due.
In primis avendo già versato tre rate il montante da costituire è minore
Esso è pari alla differenza tra il montante originario e la capitalizzazione (al tempo finale 10) delle tre rate appena versa)
Chiamiamo M’ questo nuovo montante:
M’ = 12.000 – 954,055*s(3, 0.05)*1,05^7= 7.767,92
Da notare che oltre alla capitalizzazione delle prime tre rate al tempo 3 fatta con s(3, 0.05)
Vi è un’ulteriore capitalizzazione di 7 anni che sposta questo montante delle rate al tempo 10 con 1,05^7
Il secondo ragionamento da fare è che il numero delle rate è minore.
Infatti ne abbiamo già pagare tre e una la saltiamo, ergo ne rimangono 6
Dunque per ricalcolare la rata facciamo lo stesso ragionamento iniziale.
Ovvero dividiamo il montante da formare M’ per s(6, 0.05)
Dunque:
R’=7.767,92 / s(6, 0.05) = 1.142,02
Se il concetto di capitalizzazione è poco chiaro ti consiglio di scoprire i corsi di matematica finanziaria a questo link
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Con il corso completo più l’esercizio hai a disposizione una marea di esercizi tratti da diverse università
Oppure con i mini corsi puoi approfondire alcuni argomenti specifici
Per calcolare la rata originaria ho fatto: 12000*0,05/1.05*(1.05^10-1) = 907.72
Invece per quanto riguarda la rata modificata mi è stato consigliato di capitalizzare le rate ma non so come continuare
per una persona non esperta 1000*1,08 elevato -2 con la calcolatrice come effettuo quel calcolo?
Ciao Nadia
Sfruttando le parentesi
1000 x 1.08 ^ (-2)
Se non hai una buona calcolatrice (per intenderci quelle dell’ovetto di Pasqua)
Con una spesa tra i 15 max 25 euro puoi avere buone calcolatrici scientifiche
Ti consiglierei la Casio FX-570
Oppure la Casio 946426 (un po’ più economica)
Queste danno la possibilità di creare potenze come le vedi nei libri di testo così come le frazioni, logaritmi hanno una grafica realistica
se invece ti piace smanettare con le parentesi allora c’è la versione ultra economica a 10/12 euro circa della Casio f’x 220
Ma io consiglio sempre le prime dur
buonasera, innanzitutto complimenti per il suo lavoro. lei spiega davvero molto bene.
ho una domanda da porle. se io ho 4 rate a cadenza biennale posticipate, i= 0.05, regime composto e devo trovare V0
rata 1 e 3 sono da 200, rata2 e 4 sono da 300.
ho calcolato i biennale che mi viene 0.1025 ma poi qual è il ragionamento da fare per trovare V0?
grazie
Ciao Lara grazie
Se tutte le rate sono biennali le attualizzi semplicemente
200*1,1025^(-1)+300*1,1025^(-2)+200*1,1025^(-3)+300*1,1025^(-4)
In alternativa usando il tasso annuo
200*1,05^(-2)+300*1,05^(-4)+200*1,05^(-6)+300*1,05^(-8)
rata annuale 12000 euro
anni 35
montante = 449000
tasso interesse?
Ciao Mario non esiste una formula specifica per calcolare il tasso di interesse
Devi adottare in questo caso procedure che si basano sul metodo di interpolazione lineare.
Ad esempio il metodo delle tangenti di Newton
Oppure il metodo delle secanti
Ti lascio un link di Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti
Ciao Andrea, potresti per favore fare un esempio di rendita frazionata con svolgimento? Grazie mille
Ciao Marco
Supponiamo di dover calcolare il montante di una rendita di 10 anni posticipata con rata complessiva annua di 1200 frazionata in 12 pagamenti mensili al tasso annuo composto del 5%.
In primo luogo calcoli il numero della rate n=12*10=120
Poi ci calcoliamo la rata mensile R = 1200/12 = 100
In terzo luogo il tasso effettivo mensile i12 = 1,05^(1/12)-1 = 0,00474124
Non ci resta che applicare la classica formula per il montante della rendita
M = R* s(n,i) = 100* s( 120 , 0,00474124) =…
Da notare che se il testo avesse dato il tasso nominale (convertibile mensilmente) avresti usato il tasso 0,05/12
Grazie prof sempre gentilissimo
salve e complimenti per la “mission” di divulgatore scientifico.
domanda:
Il valore attuale (VA) di una rendita (R) perpetua dovrebbe essere semplicemente il valore della rendita diviso il tasso di attualizzazione.
Poniamo di voler valorizzare la rendita di un’azienda che tutti gli anni fa utili per 100 €; il tasso di attualizzazione individuato è la remunerazione dei soci pari al 5%. Quindi l’azienda sintetizziamo che vale 100/0,05=2.000.
Ora, concettualmente, se il tasso di attualizzazione aumenta poniamo al 10% il valore attuale ovviamente diminuisce (= 1.000), ma concettualmente non mi è chiaro il senso. Se aumenta il tasso della rendita, sono disposto a pagare di più oggi per avere una rendita più alta nel futuro…. dove sto sbagliando nell’interpretazione?
Ciao Simone, bella domanda.
Mettiamola in questo modo.
Se oggi investiamo 2.000 euro (acquistando l’azienda) e le nostre aspettative di ritorno sono del 5% l’anno, allora ci aspetteremo di avere il 5% del nostro investimento ogni anno, ovvero 100 euro l’anno sarà la nostra remunerazione.
Per tale motivo un investitore con quelle caratteristiche sarà disposto a spendere una cifra di 2.000 euro per acquistare l’azienda.
Se invece le nostre aspettative di guadagno sono del 10% l’anno allora vorrei avere una remunerazione del 10% del nostro investimento.
Quindi se investiamo 2.000 euro ci aspettiamo un ritorno sul capitale di 200 euro.
Dunque se ci troviamo di fronte ad una azienda che ci da 100 in perpetuo la vorremmo paga (e quindi la valutiamo 1.000 euro).
I tassi di valutazione diversi per i due giocatori (o investitori) sono differenti in quanto risultano differenti le loro visioni sul futuro e sulla redditività.
Nel “macr- mondo” si possono individuare settori più o meo redditizi con aspettative diverse.
Ad esempio nei settori tradizionali come ad esempio il mercato delle commodities oppure della filatura oppure settori più a monte della catena produttiva dove le procedure sono consolidate i tassi di rendimento sono più bassi (ma anche più sicuri).
Nei mercati più dinamici invece (come nuove tecnologie) abbiamo in genere molte novità e aspettative di guadagno più alte.
Ricorda inoltre che il tasso di rendimento atteso da un’azionista nella nota teoria del CAPM dipende dai beta secondo la formula:
$$ R_e = R_f + \beta _e \cdot (R_m – R_f) $$
Dove quel beta è la reazione di quel settore o quella sotto parte di economia rispetto ad un certo mercato di riferimento.
L’0aumento del Beta porta ad un aumento del tasso di rendimento atteso.
Ma dietro quel Beta in realtà si cela anche un maggior rischio di quel settore.
Dunque nei due esempi da te proposti gli investitori che adottano il 5% sono più prudenti rispetto a quelli con un tasso atteso del 10%.
Ora è chiaro che ho semplificato molto il discorso ma spero di avere reso almeno in parte l’idea 😉
buongiorno volevo chiedere quale é il valore di attualizzazione di una rendita mensile di 1000,00 euro per venti anni. Grazie Paolo
Ciao Paolo,
dipende dal tasso che utilizzi nell’attualizzazione.
Partiamo dal presupposto che il valore attuale è una cifra inferiore alla somma delle rate versate.
Dunque nel nostro caso il valore V sarà:
$$ V < 1.000 \cdot 12 \cdot 20 = 240.000 $$ Supponiamo oa di considerare un tasso di attualizzazione abbastanza simile alle condizioni di mercato odierne ad esempio il 5% su base annua (consideriamo lo nominale). Il tasso effettivo mensile sarà dunque: $$ i_{12} = \frac{i}{12}= \frac{0,05}{12}= 0,004167 = 0,4167\%$$ Sfruttiamo quindi questo tasso per il calcolo del valore attuale nella nota formula delle rendite: $$ V = R \cdot a_{n \rceil i}$$ Nel nostro caso $$ V = 1.000 \cdot a_{240 \rceil 0,004167} = 1.000 \cdot \frac{1-1,004167^{-240}}{0,004167} = 151.520 $$ Ipotizzando tassi diversi si giunge ovviamente a conclusioni diverse. In particolare quando cresce il tasso di interesse scende il valore attuale.
Si consideri una rendita composta da 15 rate semestrali alterne e posticipate di importo 200 e 100 , la prima delle quali di importo 200 . Calcolare il valore attuale della rendita, 𝑊(0) , al tasso trimestrale di interesse composto del 2% .
Il nostro obiettivo è calcolare il Valore Attuale ($W(0)$), cioè quanto vale oggi l’intera serie di 15 pagamenti futuri.
Il Tasso: Sincronizziamo i Tempi ⏳
Il primo problema da risolvere è che le rate sono semestrali (ogni 6 mesi), ma il tasso che ci hanno dato è trimestrale (ogni 3 mesi).
Dobbiamo “tradurre” il tasso trimestrale in un tasso semestrale equivalente.Usiamo la formula della capitalizzazione composta.
Dato che ci sono due trimestri in un semestre, il tasso semestrale ($i_{sem}$) si calcola così:$$1 + i_{sem} = (1 + i_{trim})^2$$$i_{trim} = 0,02$ (cioè il 2%)$i_{sem} = (1 + 0,02)^2 – 1 = (1,02)^2 – 1 = 1,0404 – 1 = 0,0404$
Useremo quindi un tasso effettivo semestrale del 4,04% per tutti i nostri calcoli.Per comodità, calcoliamo anche il fattore di sconto semestrale ($v$), che ci dice quanto vale oggi 1€ pagato tra un semestre:
$$v = \frac{1}{1 + i_{sem}} = \frac{1}{1,0404} \approx 0,96117$2$$
Scomporre la Rendita: Dividi et Impera 💡
Questa non è una rendita normale perché le rate cambiano (200, 100, 200…).
Per gestirla, la dividiamo in due rendite separate e più semplici:
Rendita A (200€): Un gruppo di 8 rate da 200€, pagate nei semestri dispari ($t=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$).
Rendita B (100€): Un gruppo di 7 rate da 100€, pagate nei semestri pari ($t=2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$).
Il valore attuale totale sarà la somma dei due:$W(0) = VA(A) + VA(B)$3.
Calcolo del Valore Attuale A (Rate da 200€)
Dobbiamo attualizzare (portare a oggi) tutte le 8 rate da 200€.
Scriviamo la formula esplicita:$$VA(A) = \frac{200}{(1,0404)^1} + \frac{200}{(1,0404)^3} + \dots + \frac{200}{(1,0404)^{15}}$$
Questa è una progressione geometrica.
Possiamo usare la formula $S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r}$, dove:$a$ (primo termine): $\frac{200}{1,0404} \approx 192,234€$$r$ (la ragione, cioè il fattore di sconto per saltare da una rata all’altra):
Scontiamo di 2 semestri ogni volta, quindi $r = v^2 = \frac{1}{(1,0404)^2} \approx 0,92385$$n$ (numero di termini):
Applichiamo la formula:$$VA(A) = 192,234 \cdot \frac{1 – (0,92385)^8}{1 – 0,92385}$$$$VA(A) = 192,234 \cdot \frac{1 – 0,52827}{0,07615}$$$$VA(A) = 192,234 \cdot \left( \frac{0,47173}{0,07615} \right) \approx 192,234 \cdot 6,1948$$$VA(A) \approx 1191,48€$4.
Calcolo del Valore Attuale B (Rate da 100€)
Facciamo lo stesso per le 7 rate da 100€, che partono dal tempo $t=2$:
$$VA(B) = \frac{100}{(1,0404)^2} + \frac{100}{(1,0404)^4} + \dots + \frac{100}{(1,0404)^{14}}$$
Usiamo di nuovo la formula della progressione geometrica
$S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r}$:
$a$ (primo termine): $\frac{100}{(1,0404)^2} \approx 92,385€$$r$ (la ragione):
È la stessa di prima, $v^2 \approx 0,92385$$n$ (numero di termini):
Applichiamo la formula:
$$VA(B) = 92,385 \cdot \frac{1 – (0,92385)^7}{1 – 0,92385}$$
$$VA(B) = 92,385 \cdot \frac{1 – 0,55018}{0,07615}$$
$$VA(B) = 92,385 \cdot \left( \frac{0,44982}{0,07615} \right) \approx 92,385 \cdot 5,9069$$
$VA(B) \approx 545,68€$$
Somma Finale ✅
Ora sommiamo i due valori attuali che abbiamo trovato:$$W(0) = VA(A) + VA(B)$$$$W(0) = 1191,48€ + 545,68€ = 1737,16€$$Il valore attuale totale della rendita è di 1737,16 Euro.