In questo articolo vediamo come si calcola la rata in una rendita posticipata immediata temporanea periodica di rata costante nel regime ad interesse composto sia partire dal montante che da valore attuale.
INDICE
PREMESSA IMPORTANTE
In questo blog vediamo come calcolare la rata in una rendita posticipata.
È doveroso informare i lettori che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Temporanea
- Regime composto
CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA DAL MONTANTE
ESEMPIO
Vediamo subito un esempio pratico che ci aiuti a capire meglio.
Intendete disporre tra 7 anni di un capitale pari 10.000 euro.
Quale rata annua posticipata dovreste versare se operate in regime composto al tasso annuo del 9%?
GRAFICO
Rappresentiamo graficamente la situazione.
Sulla linea del tempo disponiamo i numeri naturali da 0 a 7, che rappresentano i tempi di riferimento.
Sotto tali tempi scriviamo l’importo della rata costante R, che dovremo calcolare.
Da ogni rata parte una freccia verde che la porta al tempo finale della rendita, che coincide con 7 dal momento che la rendita è posticipata.
Come montante finale intendiamo disporre di 10.000 euro.
FORMULA INVERSA PER IL CALCOLO DELLA RATA
Il nostro scopo finale è quello di calcolare quella rata annua posticipata che ci permetta di ottenere dopo 7 anni un montante pari a 10.000 euro.
Per farlo ricaviamo la formula inversa dal calcolo del montante.
Come abbiamo visto nel blog del calcolo del montante in una rendita posticipata il montante si calcola moltiplicando la rata per il fattore di capitalizzazione “esse figurato n al tasso i”.
$$ M = R \cdot s_{ n \rceil i} $$
Perciò dividendo ambo i membri dell’equazione per questo fattore otteniamo la nostra rata.
$$ R = \frac{M}{s_{n \rceil i}} $$
Infine possiamo sviluppare tale fattore di montante.
$$ R = \frac{M}{s_{n \rceil i}} = \frac{M}{ \frac{(1+i)^n -1}{i}}$$
CALCOLO RATA
A questo punto non ci resta che applicare la formula per calcolare la rata.
$$ R = \frac{10.000}{s_{7 \rceil 0,09}} = \frac{10.000}{ \frac{(1+0,09)^7 -1}{0,09}} = 1.086,91$$
Dobbiamo versare ogni anni, alla fine di ogni anno, per sette anni un importo di 1.086,91 euro per ottenere un montante pari a 10.000 euro.
CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA DAL VALORE ATTUALE
ESEMPIO
Vediamo subito un esempio pratico che ci aiuti a capire meglio.
Prendiamo oggi a prestito una somma di 10.000 che dovremo restituire attraverso una rendita di rata costante immediata a posticipata al tasso del 9%
A quanto ammonta l’importo della rata?
FORMULA INVERSA PER IL CALCOLO DELLA RATA
Ripartiamo in questo caso dalla formula del valore attuale di una rendita posticipata e immediata
$$ V = R \cdot a_{ n \rceil i} $$
Perciò dividendo ambo i membri dell’equazione per il fattore di attualizzazione “figurato n al tasso i” otteniamo la nostra rata.
$$ R = \frac{V}{a_{n \rceil i}} $$
Esplicitiamo infine il fattore di attualizzazione.
$$ R = \frac{V}{a_{n \rceil i}} = \frac{V}{ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}}$$
CALCOLO RATA
A questo punto non ci resta che applicare la formula per calcolare la rata.
$$ R = \frac{10.000}{a_{7 rceil 0,09}} = \frac{10.000}{ \frac{1-(1+0,09)^{-7} -1}{0,09} }= 1.986,91$$
Dobbiamo versare ogni anni, alla fine di ogni anno, per sette anni un importo di 1.086,91 euro per ottenere un montante pari a 10.000 euro.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
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41 risposte
Buongiorno, vorrei disporre di una rendita mensile di 5000 € per 20 anni. Considerando un tasso di rendimento annuale del 5% e che il capitale iniziale concorra alla rata (ossia vada ad esaurirsi) di che capitale dovrei disporre all’inizio? Come si calcola?
Grazie mille in anticipo. Francesco
Buongiorno Francesco,
Grazie per la domanda
Se il nostro scoop è quello di ottenere una rendita mensile di 5.000 euro per un tempo di 20 anni (immaginiamo a partire dal prossimo mese)
Per prima cosa dobbiamo determinare:
– numero di rate
-tasso mensile
Il numero di rate n è pari 12*20=240
Il tasso mensile è 1,05^(1/12)-1=0,00407412
A questo punto andiamo a calcolare il valore attuale della rendita con la seguente formula
V=5.000 * (1-1,00407412^(-240))/0,00407412
Otteniamo un valore attuale (il nostro capitale da investire) pari a:
764.718 euro
Il terzo: Viene richiesto oggi un prestito di 10.000 € che si dovrebbe estinguere in 12 rate mensili posticipate di 870 €. Qual è il saggio applicato?
Il quarto: In sostituzione di una rata mensile anticipata di 500 € da pagare per un anno si vogliono versare nello stesso periodo due rate semestrali posticipate. Qual è l’importo della rata (r=2%)?
Ciao Micaela
Ilmcalcolo del TIR è uno degli argomenti più difficili da trattare con uno studente.
Mi limito a presentare dunque la procedura indicata.
Il valore attuale, chiamiamolo S, è pari a 10.000 e la rata (R) è di 870. Sapendo che il numero di rate (n) è 12 impostiamo la seguente equazione
S=R*a(n,i)
Dove a(n,i) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
Dunque possiamo anche scrivere:
a(n,I) = S/R
Espandendo la formula abbiamo che
(1-(1+i)^(-12))/i = 10.000/870=11,49425
Ora viene la parte difficile
Si deve continuare a sostituire dei valori al posto della i sul lato sinistro dell’equazione fino a che non si ottiene pressappoco il valore destro
Agendo per interpolazione lineare calcoliamo che i vale 0,006688
Ovviamente questo è il tasso mensile dell’operazione
Se vogliamo calcolare il tasso annuo procediamo con la formula di equivalenza dei tassi
i=1,006688^12 -1= 0,08327
Dunque il Tir dell’operazione è 8,327%
Ciao Andrea mi è stato proposto questo esercizio.
Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%
Grazie in anticipo, Sei sempre illuminante!
Ciao Angelo
In questo caso l’equazione da impostare è:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
Per comodità chiamiamo K questa quantità
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
Con il logaritmo ci ricaviamo n
n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
n=6,12
Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
Dunque n deve valere 6 oppure 7.
Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=6.
Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
L’equazione è la seguente:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-6) = 60.000
Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
Per spiegare tutti i passaggi che ho fatto mi ci vorrebbe un articolo intero.
Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.
Ciao Daniele
Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
L’equazione che impostiamo è la seguente:
-10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
-10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267
Ciao Andrea ti scrivo qui l’esercizio sui flussi che dicevamo:
-Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.
Ciao Daniele
Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
L’equazione che impostiamo è la seguente:
-10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
-10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267
Ciao Andrea,
Devo svolgere questo esercizio e sono nel pallone, potresti darmi una mano per favore?
Il Signor Alfa deve acquistare un freezer e decide di riscuotere 5 rate annue posticipate del valore di 430 euro ognuna e cede tale diritto ad una finanziaria che valuta la rendita al 2,3% annuo. Quanto riceve oggi il Signor Alfa in sostituzione della rendita?
Ti ringrazio in anticipo e ti auguro una bella giornata.
Eleonora
Ciao Eleonora,
In questo caso devi calcolare il valore attuale della rendita posticipata usando la formula
V=R*a(n,i)
Dove a(n,i) si legge a figurato n al tasso i ed è il fattore attualizzante delle rendite
Nel tuo caso specifico il calcolo diventa
V = 430 * a(5,0.023)
Dove
430 è la rata
5 è il numero di rate
0,023 è il tasso di interesse
Esplicitando i calcoli abbiamo che
V = 430 * (1 – 1,023^(-5))/0,023
V = 2.009,26
Che è la cifra che riceve per avere venduto la rendita
Grazie mille Andrea, velocissimo e chiarissimo.
Figurati 😉
Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%
Confido in te!
Ciao Angelo
In questo caso l’equazione da impostare è:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
In particolare:
a(5;0.12) = (1-1,12^(-5))/0,12
a(n;0.12) = (1-1,12^(-n))/0,12
Dunque la scrittura completa dell’equazione risulta:
5.000 · (1-1,12^(-5))/0,12 +10.000 · (1-1,12^(-n))/0,12 · 1,12^(-5) = 60.000
l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
Per comodità chiamiamo K questa quantità
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
Con il logaritmo ci ricaviamo n
Riespandendo ulteriormente la formula avremo che:
(1-1,12^(-n))/0,12 = K
Dunque ne deduciamo che:
-1,12^(-n) = K*0,12 -1
Cambiamo i segni a destra e sinistra:
1,12^(-n) = 1- K*0.12
Quindi -n è l’esponente da dare alla base 1,12 per ottenere 1-K*0,12
Introduciamo dunque il logaritmo per sciogliere il calcolo:
-n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
Cambiamo i segni otteniamo l’incognita n
n = -log ( 1- K*0.12) / log1.12
n=19,29
Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
Dunque n deve valere 19 oppure 20.
Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=19.
Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
L’equazione è la seguente:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-24) = 60.000
Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
Lasciamo sul lato sinistro la X
X·1,12^(-24) = 60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)
Dividiamo tutto per 1,12^(-12)
X = [60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)]/1,12^(-24)
X = 2.743,13
Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
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Buonasera Andrea,
avrei bisogno cortesemente di un’aiuto gigante:
Puoi risolvermi questo esercizio per favore?
Dato il flusso {-4000, R, 1874,6} secondo lo scadenzario {0; 1; 2}, il valore di R affinché il progetto abbia TIR=3% è:
Così provo a capire come fare a calcolare la rata avendo il TIR.
Resto in attesa,
Grazie mille
Simone
Ciao Simone,
Per prima cosa dobbiamo impostare l’equivalenza finanziaria al tempo zero.
Dunque attualizziamo i flussi dell’operazione finanziaria di investimento utilizzando il TIR
(tasso interno di rendimento) e imponiamo che il REA (risultato economico attualizzato) sia pari a zero.
l’equazione da impostare è la seguente
-4.000 + R *1,03^(-1) + 1.874,6 * 1,03^(-2) = 0
A questo punto risolviamo l’equazione di primo grado lasciando R a sinistra:
R = (4.000 – 1.874,6 * 1,03^(-2)) / 1,03^(-1)
R = 2.300
Ecco la rata che rende equa l’operazione finanziaria al tasso del 3%
Per approfondire ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria qui
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Trovi quello completo con l’eserciziario associato.
Oppure se vuoi approfondire argomenti specifici ci sono i mini corsi
Salve mi sto scervellando su questo esercizio e non capisco come deve essere svolto. Grazie in anticipo
Un soggetto necessita di € 20.000 tra 5 anni. Al fine di ottenere tale somma, egli versa
immediatamente € 10.000 nel Fondo Alpha, remunerato secondo la legge della capitalizzazione
semplice, e contestualmente effettua versamenti semestrali posticipati nel Fondo Beta, remunerato
secondo la legge della capitalizzazione composta. Entrambe le operazioni, di durata quinquennale,
sono valutate al tasso effettivo d’interesse annuo del 2%.
Si determini l’ammontare della rata semestrale da corrispondere nel Fondo Beta.
Ciao Giuseppe
Dal momento che la rendita quinquennale ha rate semestrali provvediamo immediatamente al calcolo del tasso annuo semestrale equivalente nel regime composto al 2% annuo.
Usiamo la formula di trasformazione dei tassi.
Il tasso semestrale è:
i’ = (1 + 0,02)^(1/2) – 1 = 0,00995049
A questo punto impostiamo la seguente equazione:
10.000 * (1+0,02*5) + R*s(10 , 0.00995049) = 20.000
Il primo elemento 10.000 * (1+0,02*5) indica la capitalizzazione del singolo anticipo di 10.000 per un tempo di 5 anni al tasso semplice del 2%
Il secondo addendo R*s(10 , 0.00995049) è la capitalizzazione del 10 rate semestrali
Con s(10 , 0.00995049) fattore capitalizzante delle rendite
s(10 , 0.00995049) = (1,00995049^10 -1)/0,00995049
Dunque possiamo ricavare la nostra rata semestrale semplicemente invertendo l’equazione di partenza:
R = (20.000 – 10.000* (1+0,02*5))/s(10 , 0.00995049)
R = 860,4319
Se hai dubbio sul fattore capitalizzante leggi questo articolo
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/rendita-posticipata-montante/
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Ciao! volevo chiederti come posso trovare la rata in un piano di ammortamento progressivo (francese); in cui ho un prestito di: 30000€, 5 anni, tasso: 3%. Grazie !!
Ciao Luca
Per calcolare la rata dividiamo il capitale per “a figurato n al tasso i)
Dunque la formula è
R= S /a(n,i)
Dove S è il capitale mentre a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite
a(n,i)= (1-(1+i)^(-n))/i
Nel nostro caso
R= 30.000 / a(5,0.03) = 6.550,53
Guarda anche il reel di Instagram
https://www.instagram.com/reel/Cx0pVbetsgd/?igshid=MTc4MmM1YmI2Ng==
Ettore vuole disporre di una somma di 30 000 euro tra 5 anni. A tal ne concorda con la banca di versare alla ne di
ogni mese dei versamenti periodici e costanti di importo Q che la banca remunera al tasso di interesse annuo i = 0:07.
Determinare l’importo Q.
Dopo aver pagato la 12 rata mensile Q, interrompe il versamento delle quote Q e riprende a pagare al tempo t = 21 una
nuova rata mensile W da concludersi al tempo t = 5 anni. Determinare la nuova rata W.
Ciao Ilenia
Siccome i pagamenti sono mensili ti serve il tasso mensile
Dunque procediamo con il tasso equivalente nel regime composto (chiamalo semplicemente i per comodità)
i12 = i = 1,07^(1/12)-1 = 0,00565415
Il numero di versamenti mensili (supponiamo posticipati se non abbiamo altre indicazione è 12*5=60
Ora impostiamo l’equazione del montante
M = Q * s(60, 0,00565415)
Dove s(60, 0,00565415) è il fattore capitalizzante delle rendite posticipate a rata costante
s(60, 0,00565415) = (1,00565415^60 –1)/0,00565415
La formula inversa per il calcolo di Q è
Q = M/s(60, 0,00565415) = 421,373
Ora che abbiamo Q dobbiamo considerare la situazione di pagare 12 rate per poi riprendere al tempo 21 mesi
Dunque il montante finale sarà dato dal montante rendita di 12 rate capitalizzata uno a scadenza in cui mancano 48 mesi(chiamiamolo M1)
M1 = Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48
(Q è la quota che abbiamo calcolato prima pari a 421,373)
Cui sommiamo il montante della rendita formata dalla nuova quota che chiamiamo Q’ (chiamiamo questo secondo montante M2)
Se ripartiamo a pagare dal tempo 21 mesi pagheremo (60-20) rate, ovvero 40 versamenti mensili
M2 = Q’ * s(40, 0,00565415)
Impostando l’equazione avremo
M1 + M2 = M
Dove M vale sempre 30.000
Espandendo l’equazione abbiamo che
Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48 + Q’ * s(40, 0,00565415) = 30.000
Applichiamo la formula inversa per ricavare Q’
Q’ = [30.000 – Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48] / [s(12, 0,00565415)]
alla fine giungiamo al valore della nuova quota Q’
Q’= 517,66
Se ci fossero dei problemi con
fattore capitalizzante delle rendite
Campo di tasso
Montante di una rendita
Ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria
Ciao Andrea mi potresti aiutare con questo esercizio?
“Su un conto corrente che paga un tasso di interesse pari all’1,5% su base annua, oggi sono disponibili 10.000 Euro.
L’obiettivo è disporre di 200.000 Euro tra 30 anni.
Il titolare del conto sa con certezza di poter versare nei prossimi 10 anni rate semestrali di 1000 Euro.
Quale rata semestrale dovrà versare negli anni successivi per raggiungere il target, assumendo che il tasso di interesse pagato dalla banca rimanga costante nel tempo?”
VA= 10.000 Euro
VF= 200.000 Euro
i= 0,015 base annua pari a 0,0075 semestrale
30 Anni = 60 Rate semestrali
20 rate semestrali da 1000 Euro
V1(60) = 10.000 * (1+0,0075)^60 = 15.656,810
V2(60) = 1000 * (1+0,0075)^20 – 1/ 0,0075 * (1+0.0075)^40
= 21.491,210 * 1,348 = 28.970,16
Come procedo per calcolare la rata semestrale?
Grazie in anticipo e complimenti
Ciao Valeria
In primo luogo ti consiglio di cambiare quel tasso di interesse
Il tasso semestrale equivale nel regime composto al tasso annuo dell’1,5% è
i=1,015^(1/2) -1= 0,00747208
Fatto questo ricalcola V1 e V2 con questo tasso
Per trovare la rata semestrale risolvi l’equazione
V1 + V2 + R* s(40, 0,00747208) = VF
s(40, 0,00747208) è il fattore capitalizzante delle rendite
s(40, 0,00747208) = (1,00747208^40 -1)/0,00747208
Salve, come svolgo questo esercizio?
Si consideri la seguente operazione di investimento. R/t: {W; R1; R1; R2; R2; R2} / {0; 1; 2; 3; 4; 5}
dove : R2=seconda rata =100
R1= prima rata=?
W=1000
i=0,1025
Ricorda: siamo nel Regime Composto ed il Tempo è espresso in anni.
Calcola l’importo della prima rata R1
Ciao Federico
In primo luogo vediamo che il tempo è espresso in anni mentre il tasso di interesse è semestrale
Provvediamo quindi a calcolare il tasso annuo di riferimento con la formula del cambiamento dei tassi
i = (1+i2)^2 -1 = 1,05^2 -1 = 0,1025
Dunque il tasso di interesse annuo è del 10,25%
Consideriamo ora l’equazione che stabilisce che il valore attuale della rate deve eguagliare il valore attuale W
R1·a(2, 0.1025) + R2·a(3, 0,1025)·1,1025^-2 = 1000
Considera che il secondo elemento della sommatoria R2·a(3, 0,1025)·1,1025^-2 include il valore attuale delle tre rate che sono ulteriormente attualizzate di due anni per portare tutto al tempo 0.
Mentre i termini a(2, 0.1025) e (3, 0,1025) sono i fattori attualizzanti delle rendite e sono gli “a figurato n al tasso i” ad esempio
a(3, 0,1025) = (1- 1,1025^(-1))/0,1025
Dall’equazione ricaviamo con le formule inverse il valore di R1
R1 = (1.000 – R2·a(3, 0,1025)·1,1025^-2) / a(2, 0,1025)
Da cui atteniamo che R1 = 460,36
Grazie mille per la chiarezza e disponibilità!
di nulla 😉
nel caso in cui avessi un’operazione di questo tipo (presumo sia una rendita anticipata)-> R/t: {R1; R1; R1; R2; R3; R3} / {0; 1; 2; 3; 4; 5}
considerando il tempo espresso in anni. ipotizzando di operare nel Regime Composto, con un tasso d’interesse semestrale i=0,02 e considerando che il montante al tempo t=5 è pari a 2000 e che R1=100 e R3=200 . Come calcolo R2?
Ciao Federico
Il valore della rata si ottiene impostando l’equazione del monetante della rendita
R1·s(3; 0,02) ·1,02^3 + R2·1,02^3 + R3·s(2; 0,02) = 2.000
Dove s(3; 0,02) e s(2; 0,02) sono i fattori capitalizzante delle rendite
Da notare che nel termine R2·1,02^3 non c’è “s figurato n” perché è una singola rata
nel primo termine s(3; 0,02) ·1,02^3 si sposta tutto al tempo 5
Dall’equazione si ricava che
R2 = (2.000 – R1·s(3; 0,02) ·1,02^3 – R3·s(2; 0,02)) / 1,02^3
Sostituendo i dati ottieni il valore della rata
Ciao Andrea, potresti cortesemente aiutarmi a svolgere questa quesito?
“ Maria vuole costituire una rendita in regime di interesse composto con pagamenti posticipati di 200
euro al mese per 10 anni. Determinare quanto è necessario versare oggi sapendo che il deposito è
remunerato ad un tasso del 0,5% mensile.”
a. 22 357,91 euro;
b. 23 406,46 euro;
c. 24 121,13 euro;
d. Nessuna delle risposte precedenti
Cia Alfredo
Per calcolare il valore attuale della rendita devi usare la formula
V = R*a(n,i)
dove a(n,i) è il fattore attualizzante della rendita
Nello specifico R=200 n=10*12=120 i=0,005
Dunque
V = 200*a(120;0,005) = 200*(1-1,005^(-120))/0,005 = 18.014,69
Ciao!!! Avrei bisogno di aiuto su questo problema.
1) si consideri una rendita annua posticipata di rata pari a 5000€ per i primi ( anni e di 10000€ per n anni successivi. Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale della rendita pari a 60000€ ed il tasso annuo pari a 12%.
Grazie mille
Ciao Martina
Prova ad impostare la seguente equazione
L’equazione da impostare è la seguente
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)=60.000
Dove a(n,0.12) è il fattore attualizzante delle rendite
a(n,0.12) = (1-1,12^-n)/0,12
Dalla risoluzione dell’equazione esponenziale dovrebbe uscire il valore di n logaritmico
n=-log(1-(60-5*a(5;0.12))/10 *1,12^5*0,12)/log1,12
A me esce n=19,29
Essendo n intero ed essendo l’ultima rata da integrare scegliamo n=19
A questo punto dovremo riscrivere il calcolo con la rata finale R da calcolare
5.000*a(5,0.12)+10.000*a(19,0.12)*1,12^(-5)+R*1,12^(-24)=60.000
scusa Andrea avrei un problema da risolvere:
piano ammortamento francese con i seguenti dati:
– rata costante posticipata di € 23,24
– tasso nominale annuo: 7,99%
– totale rate mensili : 84
Non riesco a costruire il piano di ammortamento, le quota capitale ed interessi delle 84 rate mensili,.
Mi puoi dire cortesemente come posso procedere?
Ciao Salvatore
Per prima cosa calcoli il capitale da rimborsare che è l’attualizzazione delle 84 rate
In primo luogo ti serve il tasso effettivo mensile che è una dodicesima parte del tasso nominale annuo (convertibile mensilmente)
i12= j12/12 = 7,99%/12= 0,66583333%
Dunque il capitale C risulta
C = 23,24*a(84, 0.0066583333) = 1.491,537956
(quindi non può essere 1.665,32 altrimenti ci sarebbe un conflitto di dati)
Poi calcoli il valore della prima quota interessi data dal prodotto del capitale C con il tasso mensile
I1= 1.491,54·0.0066583333= 9,93115684
Sottrai dunque questa quota interesse dalla rata per ottenere la prima quota capitale C1
C1 = R-I1 = 13,30884316
A questo punto moltiplichi per (1+i) per ottenere le successive quote capitali
C2= C1*(1+i) C3=C2*(1+i) … C84=C83*(1+i)
Quando hai fatto sottrai dalla rata le quote capitali per ottenere le quote interesse
I2= R-C2 I3= R-C3 — I84=R-C84
Per le formule complete sul piano francese vai a questo articolo
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/piani-ammortamento/piano-di-ammortamento-francese-rata-costante/
mi sono dimenticato:
capitale da rimborsare: € 1.665,32
Nel “CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA DAL VALORE ATTUALE”, al commento della formula esempio di calcolo della rata viene scritto: “Dobbiamo versare ogni anni, alla fine di ogni anno, per sette anni un importo di 1.086,91 euro per ottenere un montante pari a 10.000 euro”
Immagino si intendesse “Valore attuale”, non montante che viene esplicitato nel caso precedente…….