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PREMESSA IMPORTANTE

In questo blog vediamo come calcolare la rata in una rendita posticipata.

È doveroso informare i lettori  che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.

In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:

  • Immediata 
  • Rata costante e periodica
  • Temporanea
  • Regime composto

Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog  sulla classificazione delle rendite.

La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.

Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.

Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 200 euro al mese per 3 anni, questo è un esempio di  rendita periodica.

Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.

L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto,  è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.

CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA

ESEMPIO

Vediamo subito un esempio pratico che ci aiuti a capire meglio.

Intendete disporre tra 7 anni di un capitale pari 10.000 euro.

Quale rata annua posticipata dovreste versare se operate in regime composto al tasso annuo del 9%?

GRAFICO

Rappresentiamo graficamente la situazione.

Sulla linea del tempo disponiamo i numeri naturali da 0 a 7, che rappresentano i tempi di riferimento.

Sotto tali tempi scriviamo l’importo della rata costante R, che dovremo calcolare.

Da ogni rata parte una freccia verde che la porta al tempo finale della rendita, che coincide con 7 dal momento che la rendita è posticipata.

Come montante finale intendiamo disporre di 10.000 euro.

FORMULA INVERSA PER IL CALCOLO DELLA RATA

Il nostro scopo finale è quello di calcolare quella rata annua posticipata che ci permetta di ottenere dopo 7 anni un montante pari a 10.000 euro.

Per farlo ricaviamo la formula inversa dal calcolo del montante.

Come abbiamo visto nel blog del calcolo del montante in una rendita posticipata  il montante si calcola moltiplicando la rata per il fattore di capitalizzazione “esse figurato n al tasso i”.

Perciò dividendo ambo i membri dell’equazione per questo fattore otteniamo la nostra rata.

Infine possiamo sviluppare tale fattore di montante.

CALCOLO RATA

A questo punto non ci resta che applicare la formula per calcolare la rata.

Dobbiamo versare ogni anni, alla fine di ogni anno, per sette anni un importo di 1.086,91 euro per ottenere un montante pari a 10.000 euro.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.

Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.

Mentre se vuoi scoprire tutta la materia della matematica finanziaria dai un’occhiata ai corsi.

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27 Comments

  • Francesco Visentin ha detto:

    Buongiorno, vorrei disporre di una rendita mensile di 5000 € per 20 anni. Considerando un tasso di rendimento annuale del 5% e che il capitale iniziale concorra alla rata (ossia vada ad esaurirsi) di che capitale dovrei disporre all’inizio? Come si calcola?
    Grazie mille in anticipo. Francesco

    • Andrea ha detto:

      Buongiorno Francesco,
      Grazie per la domanda
      Se il nostro scoop è quello di ottenere una rendita mensile di 5.000 euro per un tempo di 20 anni (immaginiamo a partire dal prossimo mese)
      Per prima cosa dobbiamo determinare:
      – numero di rate
      -tasso mensile
      Il numero di rate n è pari 12*20=240
      Il tasso mensile è 1,05^(1/12)-1=0,00407412
      A questo punto andiamo a calcolare il valore attuale della rendita con la seguente formula
      V=5.000 * (1-1,00407412^(-240))/0,00407412
      Otteniamo un valore attuale (il nostro capitale da investire) pari a:
      764.718 euro

  • Mihaela ha detto:

    Il terzo: Viene richiesto oggi un prestito di 10.000 € che si dovrebbe estinguere in 12 rate mensili posticipate di 870 €. Qual è il saggio applicato?

  • Mihaela ha detto:

    Il quarto: In sostituzione di una rata mensile anticipata di 500 € da pagare per un anno si vogliono versare nello stesso periodo due rate semestrali posticipate. Qual è l’importo della rata (r=2%)?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Micaela
      Ilmcalcolo del TIR è uno degli argomenti più difficili da trattare con uno studente.
      Mi limito a presentare dunque la procedura indicata.
      Il valore attuale, chiamiamolo S, è pari a 10.000 e la rata (R) è di 870. Sapendo che il numero di rate (n) è 12 impostiamo la seguente equazione
      S=R*a(n,i)
      Dove a(n,i) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
      Dunque possiamo anche scrivere:
      a(n,I) = S/R
      Espandendo la formula abbiamo che
      (1-(1+i)^(-12))/i = 10.000/870=11,49425
      Ora viene la parte difficile
      Si deve continuare a sostituire dei valori al posto della i sul lato sinistro dell’equazione fino a che non si ottiene pressappoco il valore destro
      Agendo per interpolazione lineare calcoliamo che i vale 0,006688
      Ovviamente questo è il tasso mensile dell’operazione
      Se vogliamo calcolare il tasso annuo procediamo con la formula di equivalenza dei tassi
      i=1,006688^12 -1= 0,08327
      Dunque il Tir dell’operazione è 8,327%

  • Angelo ha detto:

    Ciao Andrea mi è stato proposto questo esercizio.
    Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
    Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%
    Grazie in anticipo, Sei sempre illuminante!

    • Andrea ha detto:

      Ciao Angelo
      In questo caso l’equazione da impostare è:
      5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
      Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
      l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
      Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:

      a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
      Per comodità chiamiamo K questa quantità
      a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
      Con il logaritmo ci ricaviamo n
      n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
      n=6,12

      Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
      Dunque n deve valere 6 oppure 7.
      Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=6.
      Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
      L’equazione è la seguente:
      5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-6) = 60.000
      Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
      Per spiegare tutti i passaggi che ho fatto mi ci vorrebbe un articolo intero.

      Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
      Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

  • Daniele ha detto:

    Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Daniele
      Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
      L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
      12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
      Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
      Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
      TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
      A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
      L’equazione che impostiamo è la seguente:
      -10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
      Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
      -10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
      Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267

  • Daniele ha detto:

    Ciao Andrea ti scrivo qui l’esercizio sui flussi che dicevamo:

    -Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Daniele
      Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
      L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
      12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
      Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
      Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
      TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
      A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
      L’equazione che impostiamo è la seguente:
      -10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
      Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
      -10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
      Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267

  • Eleonora ha detto:

    Ciao Andrea,

    Devo svolgere questo esercizio e sono nel pallone, potresti darmi una mano per favore?

    Il Signor Alfa deve acquistare un freezer e decide di riscuotere 5 rate annue posticipate del valore di 430 euro ognuna e cede tale diritto ad una finanziaria che valuta la rendita al 2,3% annuo. Quanto riceve oggi il Signor Alfa in sostituzione della rendita?

    Ti ringrazio in anticipo e ti auguro una bella giornata.

    Eleonora

    • Andrea ha detto:

      Ciao Eleonora,
      In questo caso devi calcolare il valore attuale della rendita posticipata usando la formula
      V=R*a(n,i)
      Dove a(n,i) si legge a figurato n al tasso i ed è il fattore attualizzante delle rendite
      Nel tuo caso specifico il calcolo diventa
      V = 430 * a(5,0.023)
      Dove
      430 è la rata
      5 è il numero di rate
      0,023 è il tasso di interesse
      Esplicitando i calcoli abbiamo che
      V = 430 * (1 – 1,023^(-5))/0,023
      V = 2.009,26
      Che è la cifra che riceve per avere venduto la rendita

  • Carla morrone ha detto:

    Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
    Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%

    Confido in te!

    • Andrea ha detto:

      Ciao Angelo
      In questo caso l’equazione da impostare è:
      5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
      Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
      In particolare:
      a(5;0.12) = (1-1,12^(-5))/0,12
      a(n;0.12) = (1-1,12^(-n))/0,12
      Dunque la scrittura completa dell’equazione risulta:
      5.000 · (1-1,12^(-5))/0,12 +10.000 · (1-1,12^(-n))/0,12 · 1,12^(-5) = 60.000

      l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
      Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:

      a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
      Per comodità chiamiamo K questa quantità
      a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
      Con il logaritmo ci ricaviamo n
      Riespandendo ulteriormente la formula avremo che:
      (1-1,12^(-n))/0,12 = K
      Dunque ne deduciamo che:
      -1,12^(-n) = K*0,12 -1
      Cambiamo i segni a destra e sinistra:
      1,12^(-n) = 1- K*0.12
      Quindi -n è l’esponente da dare alla base 1,12 per ottenere 1-K*0,12
      Introduciamo dunque il logaritmo per sciogliere il calcolo:
      -n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
      Cambiamo i segni otteniamo l’incognita n
      n = -log ( 1- K*0.12) / log1.12
      n=19,29

      Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
      Dunque n deve valere 19 oppure 20.
      Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=19.
      Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
      L’equazione è la seguente:
      5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-24) = 60.000
      Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
      Lasciamo sul lato sinistro la X
      X·1,12^(-24) = 60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)
      Dividiamo tutto per 1,12^(-12)
      X = [60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)]/1,12^(-24)
      X = 2.743,13
      Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
      Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

  • Simone Pallotta ha detto:

    Buonasera Andrea,

    avrei bisogno cortesemente di un’aiuto gigante:

    Puoi risolvermi questo esercizio per favore?

    Dato il flusso {-4000, R, 1874,6} secondo lo scadenzario {0; 1; 2}, il valore di R affinché il progetto abbia TIR=3% è:

    Così provo a capire come fare a calcolare la rata avendo il TIR.

    Resto in attesa,

    Grazie mille

    Simone

    • Andrea ha detto:

      Ciao Simone,
      Per prima cosa dobbiamo impostare l’equivalenza finanziaria al tempo zero.
      Dunque attualizziamo i flussi dell’operazione finanziaria di investimento utilizzando il TIR
      (tasso interno di rendimento) e imponiamo che il REA (risultato economico attualizzato) sia pari a zero.
      l’equazione da impostare è la seguente
      -4.000 + R *1,03^(-1) + 1.874,6 * 1,03^(-2) = 0
      A questo punto risolviamo l’equazione di primo grado lasciando R a sinistra:
      R = (4.000 – 1.874,6 * 1,03^(-2)) / 1,03^(-1)
      R = 2.300
      Ecco la rata che rende equa l’operazione finanziaria al tasso del 3%
      Per approfondire ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria qui
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
      Trovi quello completo con l’eserciziario associato.
      Oppure se vuoi approfondire argomenti specifici ci sono i mini corsi

  • Giuseppe ha detto:

    Salve mi sto scervellando su questo esercizio e non capisco come deve essere svolto. Grazie in anticipo

    Un soggetto necessita di € 20.000 tra 5 anni. Al fine di ottenere tale somma, egli versa
    immediatamente € 10.000 nel Fondo Alpha, remunerato secondo la legge della capitalizzazione
    semplice, e contestualmente effettua versamenti semestrali posticipati nel Fondo Beta, remunerato
    secondo la legge della capitalizzazione composta. Entrambe le operazioni, di durata quinquennale,
    sono valutate al tasso effettivo d’interesse annuo del 2%.
    Si determini l’ammontare della rata semestrale da corrispondere nel Fondo Beta.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giuseppe
      Dal momento che la rendita quinquennale ha rate semestrali provvediamo immediatamente al calcolo del tasso annuo semestrale equivalente nel regime composto al 2% annuo.
      Usiamo la formula di trasformazione dei tassi.
      Il tasso semestrale è:
      i’ = (1 + 0,02)^(1/2) – 1 = 0,00995049
      A questo punto impostiamo la seguente equazione:
      10.000 * (1+0,02*5) + R*s(10 , 0.00995049) = 20.000
      Il primo elemento 10.000 * (1+0,02*5) indica la capitalizzazione del singolo anticipo di 10.000 per un tempo di 5 anni al tasso semplice del 2%
      Il secondo addendo R*s(10 , 0.00995049) è la capitalizzazione del 10 rate semestrali
      Con s(10 , 0.00995049) fattore capitalizzante delle rendite
      s(10 , 0.00995049) = (1,00995049^10 -1)/0,00995049
      Dunque possiamo ricavare la nostra rata semestrale semplicemente invertendo l’equazione di partenza:
      R = (20.000 – 10.000* (1+0,02*5))/s(10 , 0.00995049)
      R = 860,4319

      Se hai dubbio sul fattore capitalizzante leggi questo articolo
      https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/rendita-posticipata-montante/

      Se vuoi chiarire in maniera chiara e organica i concetti di matematica finanziaria allora questi corsi sono per te
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

  • Luca ha detto:

    Ciao! volevo chiederti come posso trovare la rata in un piano di ammortamento progressivo (francese); in cui ho un prestito di: 30000€, 5 anni, tasso: 3%. Grazie !!

  • Ilenia ha detto:

    Ettore vuole disporre di una somma di 30 000 euro tra 5 anni. A tal ne concorda con la banca di versare alla ne di
    ogni mese dei versamenti periodici e costanti di importo Q che la banca remunera al tasso di interesse annuo i = 0:07.
    Determinare l’importo Q.
    Dopo aver pagato la 12 rata mensile Q, interrompe il versamento delle quote Q e riprende a pagare al tempo t = 21 una
    nuova rata mensile W da concludersi al tempo t = 5 anni. Determinare la nuova rata W.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Ilenia
      Siccome i pagamenti sono mensili ti serve il tasso mensile
      Dunque procediamo con il tasso equivalente nel regime composto (chiamalo semplicemente i per comodità)
      i12 = i = 1,07^(1/12)-1 = 0,00565415
      Il numero di versamenti mensili (supponiamo posticipati se non abbiamo altre indicazione è 12*5=60
      Ora impostiamo l’equazione del montante
      M = Q * s(60, 0,00565415)
      Dove s(60, 0,00565415) è il fattore capitalizzante delle rendite posticipate a rata costante
      s(60, 0,00565415) = (1,00565415^60 –1)/0,00565415
      La formula inversa per il calcolo di Q è
      Q = M/s(60, 0,00565415) = 421,373
      Ora che abbiamo Q dobbiamo considerare la situazione di pagare 12 rate per poi riprendere al tempo 21 mesi
      Dunque il montante finale sarà dato dal montante rendita di 12 rate capitalizzata uno a scadenza in cui mancano 48 mesi(chiamiamolo M1)
      M1 = Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48
      (Q è la quota che abbiamo calcolato prima pari a 421,373)
      Cui sommiamo il montante della rendita formata dalla nuova quota che chiamiamo Q’ (chiamiamo questo secondo montante M2)
      Se ripartiamo a pagare dal tempo 21 mesi pagheremo (60-20) rate, ovvero 40 versamenti mensili
      M2 = Q’ * s(40, 0,00565415)
      Impostando l’equazione avremo
      M1 + M2 = M
      Dove M vale sempre 30.000
      Espandendo l’equazione abbiamo che
      Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48 + Q’ * s(40, 0,00565415) = 30.000
      Applichiamo la formula inversa per ricavare Q’
      Q’ = [30.000 – Q* s(12, 0,00565415) * 1,00565415^48] / [s(12, 0,00565415)]
      alla fine giungiamo al valore della nuova quota Q’
      Q’= 517,66

      Se ci fossero dei problemi con
      fattore capitalizzante delle rendite
      Campo di tasso
      Montante di una rendita
      Ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria

  • Valeria ha detto:

    Ciao Andrea mi potresti aiutare con questo esercizio?
    “Su un conto corrente che paga un tasso di interesse pari all’1,5% su base annua, oggi sono disponibili 10.000 Euro.
    L’obiettivo è disporre di 200.000 Euro tra 30 anni.
    Il titolare del conto sa con certezza di poter versare nei prossimi 10 anni rate semestrali di 1000 Euro.
    Quale rata semestrale dovrà versare negli anni successivi per raggiungere il target, assumendo che il tasso di interesse pagato dalla banca rimanga costante nel tempo?”

    VA= 10.000 Euro
    VF= 200.000 Euro
    i= 0,015 base annua pari a 0,0075 semestrale
    30 Anni = 60 Rate semestrali
    20 rate semestrali da 1000 Euro

    V1(60) = 10.000 * (1+0,0075)^60 = 15.656,810
    V2(60) = 1000 * (1+0,0075)^20 – 1/ 0,0075 * (1+0.0075)^40
    = 21.491,210 * 1,348 = 28.970,16

    Come procedo per calcolare la rata semestrale?
    Grazie in anticipo e complimenti

    • Andrea ha detto:

      Ciao Valeria
      In primo luogo ti consiglio di cambiare quel tasso di interesse
      Il tasso semestrale equivale nel regime composto al tasso annuo dell’1,5% è
      i=1,015^(1/2) -1= 0,00747208
      Fatto questo ricalcola V1 e V2 con questo tasso
      Per trovare la rata semestrale risolvi l’equazione
      V1 + V2 + R* s(40, 0,00747208) = VF

      s(40, 0,00747208) è il fattore capitalizzante delle rendite

      s(40, 0,00747208) = (1,00747208^40 -1)/0,00747208

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