PREMESSA IMPORTANTE
In questo blog vediamo come calcolare la rata in una rendita posticipata.
È doveroso informare i lettori che quanto stiamo dicendo e che le formule che elencheremo si applicano ad un caso molto particolare di rendita posticipata.
In particolare devono valere le seguenti caratteristiche:
- Immediata
- Rata costante e periodica
- Temporanea
- Regime composto
Se faticate a comprendere quanto appena scritto ti consiglio di dare un’occhiata al blog sulla classificazione delle rendite.
La rendita di cui andremo a parlare è immediata cioè decorre a partire da oggi.
Per quanto riguarda le caratteristiche della temporaneità, a rata costante e periodica non è molto difficile immagine questa situazione.
Ad esempio se per far fronte al vostro mutuo pagate 200 euro al mese per 3 anni, questo è un esempio di rendita periodica.
Se ci pensate bene per quante siano le caratteristiche è il tipo più semplice di rendita che vi possa venire in mente.
L’ultima caratteristica, quella di operare nel regime composto, è di fondamentale importanza per le formule che andremo a vedere.
CALCOLO DELLA RATA IN UNA RENDITA POSTICIPATA
ESEMPIO
Vediamo subito un esempio pratico che ci aiuti a capire meglio.
Intendete disporre tra 7 anni di un capitale pari 10.000 euro.
Quale rata annua posticipata dovreste versare se operate in regime composto al tasso annuo del 9%?
GRAFICO
Rappresentiamo graficamente la situazione.
Sulla linea del tempo disponiamo i numeri naturali da 0 a 7, che rappresentano i tempi di riferimento.
Sotto tali tempi scriviamo l’importo della rata costante R, che dovremo calcolare.
Da ogni rata parte una freccia verde che la porta al tempo finale della rendita, che coincide con 7 dal momento che la rendita è posticipata.
Come montante finale intendiamo disporre di 10.000 euro.
FORMULA INVERSA PER IL CALCOLO DELLA RATA
Il nostro scopo finale è quello di calcolare quella rata annua posticipata che ci permetta di ottenere dopo 7 anni un montante pari a 10.000 euro.
Per farlo ricaviamo la formula inversa dal calcolo del montante.
Come abbiamo visto nel blog del calcolo del montante in una rendita posticipata il montante si calcola moltiplicando la rata per il fattore di capitalizzazione “esse figurato n al tasso i”.
Perciò dividendo ambo i membri dell’equazione per questo fattore otteniamo la nostra rata.
Infine possiamo sviluppare tale fattore di montante.
CALCOLO RATA
A questo punto non ci resta che applicare la formula per calcolare la rata.
Dobbiamo versare ogni anni, alla fine di ogni anno, per sette anni un importo di 1.086,91 euro per ottenere un montante pari a 10.000 euro.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda su questo argomento scrivila pure qui sotto.
Se vuoi approfondire il regime a interesse semplice dai pure un’occhiata al corso che ho realizzato sui regimi finanziari.
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Buongiorno, vorrei disporre di una rendita mensile di 5000 € per 20 anni. Considerando un tasso di rendimento annuale del 5% e che il capitale iniziale concorra alla rata (ossia vada ad esaurirsi) di che capitale dovrei disporre all’inizio? Come si calcola?
Grazie mille in anticipo. Francesco
Buongiorno Francesco,
Grazie per la domanda
Se il nostro scoop è quello di ottenere una rendita mensile di 5.000 euro per un tempo di 20 anni (immaginiamo a partire dal prossimo mese)
Per prima cosa dobbiamo determinare:
– numero di rate
-tasso mensile
Il numero di rate n è pari 12*20=240
Il tasso mensile è 1,05^(1/12)-1=0,00407412
A questo punto andiamo a calcolare il valore attuale della rendita con la seguente formula
V=5.000 * (1-1,00407412^(-240))/0,00407412
Otteniamo un valore attuale (il nostro capitale da investire) pari a:
764.718 euro
Il terzo: Viene richiesto oggi un prestito di 10.000 € che si dovrebbe estinguere in 12 rate mensili posticipate di 870 €. Qual è il saggio applicato?
Il quarto: In sostituzione di una rata mensile anticipata di 500 € da pagare per un anno si vogliono versare nello stesso periodo due rate semestrali posticipate. Qual è l’importo della rata (r=2%)?
Ciao Micaela
Ilmcalcolo del TIR è uno degli argomenti più difficili da trattare con uno studente.
Mi limito a presentare dunque la procedura indicata.
Il valore attuale, chiamiamolo S, è pari a 10.000 e la rata (R) è di 870. Sapendo che il numero di rate (n) è 12 impostiamo la seguente equazione
S=R*a(n,i)
Dove a(n,i) è il fattore attualizzante della rendita posticipata
Dunque possiamo anche scrivere:
a(n,I) = S/R
Espandendo la formula abbiamo che
(1-(1+i)^(-12))/i = 10.000/870=11,49425
Ora viene la parte difficile
Si deve continuare a sostituire dei valori al posto della i sul lato sinistro dell’equazione fino a che non si ottiene pressappoco il valore destro
Agendo per interpolazione lineare calcoliamo che i vale 0,006688
Ovviamente questo è il tasso mensile dell’operazione
Se vogliamo calcolare il tasso annuo procediamo con la formula di equivalenza dei tassi
i=1,006688^12 -1= 0,08327
Dunque il Tir dell’operazione è 8,327%
Ciao Andrea mi è stato proposto questo esercizio.
Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%
Grazie in anticipo, Sei sempre illuminante!
Ciao Angelo
In questo caso l’equazione da impostare è:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
Per comodità chiamiamo K questa quantità
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
Con il logaritmo ci ricaviamo n
n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
n=6,12
Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
Dunque n deve valere 6 oppure 7.
Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=6.
Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
L’equazione è la seguente:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-6) = 60.000
Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
Per spiegare tutti i passaggi che ho fatto mi ci vorrebbe un articolo intero.
Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.
Ciao Daniele
Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
L’equazione che impostiamo è la seguente:
-10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
-10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267
Ciao Andrea ti scrivo qui l’esercizio sui flussi che dicevamo:
-Le due successioni di flussi di cassa (-10,0,12) (0,1,2) e (-10, x, x) (0,1,2), hanno lo stesso Tir. Calcolare il valore di x.
Ciao Daniele
Per prima cosa devi calcolare l TIR della prima operazione finanzanziaria di cui conosci tutti i flussi.
L’equazione da risolvere di secondo grado è la seguente:
12v^2 –10 =0 da cui v=(10/12)^(1/2) = 0,912871
Ricorda che V è il fattore attualizzante che è: v = (1+i)^-1
Dunque per ricavare il tasso i che nel tuo caso coincide col TIR dobbiamo fare:
TIR = v^(-1) -1 = 0,912871^(-1) -1 = 0,0954451
A questupunto inseriamo questo TIR nella seconda operazione finanziaria per calcolare la x.
L’equazione che impostiamo è la seguente:
-10 +x*1,0954451^(-1) + x*1,0954451^(-2) = 0
Possiamo anche scriverlo con i fattori attualizzanti:
-10 +x*0,912871 + x*0,912871^2 = 0
Da cui X = 10/(0,912871 + 0,912871^2)= 5,7267
Ciao Andrea,
Devo svolgere questo esercizio e sono nel pallone, potresti darmi una mano per favore?
Il Signor Alfa deve acquistare un freezer e decide di riscuotere 5 rate annue posticipate del valore di 430 euro ognuna e cede tale diritto ad una finanziaria che valuta la rendita al 2,3% annuo. Quanto riceve oggi il Signor Alfa in sostituzione della rendita?
Ti ringrazio in anticipo e ti auguro una bella giornata.
Eleonora
Ciao Eleonora,
In questo caso devi calcolare il valore attuale della rendita posticipata usando la formula
V=R*a(n,i)
Dove a(n,i) si legge a figurato n al tasso i ed è il fattore attualizzante delle rendite
Nel tuo caso specifico il calcolo diventa
V = 430 * a(5,0.023)
Dove
430 è la rata
5 è il numero di rate
0,023 è il tasso di interesse
Esplicitando i calcoli abbiamo che
V = 430 * (1 – 1,023^(-5))/0,023
V = 2.009,26
Che è la cifra che riceve per avere venduto la rendita
Grazie mille Andrea, velocissimo e chiarissimo.
Figurati 😉
Si consideri una rendita annua e posticipata. Una rata da 5000 per i primi 5 anni e da 10000 per n anni successivi.
Si determini n e l’importo della rata integrativa da pagarsi unitamente all’ultima, essendo il valore attuale rendita 60000 e tasso annuo 12%
Confido in te!
Ciao Angelo
In questo caso l’equazione da impostare è:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(n;0.12) · 1,12^(-5) = 60.000
Dove a(5;0.12), a(n;0.12) sono i fattori attualizzanti delle rendite posticipate.
In particolare:
a(5;0.12) = (1-1,12^(-5))/0,12
a(n;0.12) = (1-1,12^(-n))/0,12
Dunque la scrittura completa dell’equazione risulta:
5.000 · (1-1,12^(-5))/0,12 +10.000 · (1-1,12^(-n))/0,12 · 1,12^(-5) = 60.000
l’incognita n è contenuta in uno di questi due.
Lo isoliamo semplificando anche le migliaia:
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10
Per comodità chiamiamo K questa quantità
a(n;12) = (60 – 5·a(5; 0.12))/10 = K
Con il logaritmo ci ricaviamo n
Riespandendo ulteriormente la formula avremo che:
(1-1,12^(-n))/0,12 = K
Dunque ne deduciamo che:
-1,12^(-n) = K*0,12 -1
Cambiamo i segni a destra e sinistra:
1,12^(-n) = 1- K*0.12
Quindi -n è l’esponente da dare alla base 1,12 per ottenere 1-K*0,12
Introduciamo dunque il logaritmo per sciogliere il calcolo:
-n = log ( 1- K*0.12) / log1.12
Cambiamo i segni otteniamo l’incognita n
n = -log ( 1- K*0.12) / log1.12
n=19,29
Ricordiamo che n è il numero di rate dunque non può essere un numero decimale.
Dunque n deve valere 19 oppure 20.
Se vogliamo che l’ultima rata sia maggiore poiché ha un versamento aggiuntivo diciamo che paghiamo rate n difetto, dunque n=19.
Adesso che conosciamo n impostiamo una nuova equazione per determinare l’importo aggiuntivo che chiamiamo ad esempio X.
L’equazione è la seguente:
5.000 · a(5;0.12) +10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5) + X·1,12^(-24) = 60.000
Risolvendo l’equazione di primo grado ricaviamo la x.
Lasciamo sul lato sinistro la X
X·1,12^(-24) = 60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)
Dividiamo tutto per 1,12^(-12)
X = [60.000 – 5.000 · a(5;0.12) – 10.000 · a(19;0.12) · 1,12^(-5)]/1,12^(-24)
X = 2.743,13
Ti consiglio dunque se sei in difficoltà con la comprensione di quanto ho scritto di scoprire l’eserciziario di matematica finanziaria.
Nella parte delle rendite trovi tanto esercizi di varia natura che ti possono aiutare a come è stato strutturato questo esercizio:
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Buonasera Andrea,
avrei bisogno cortesemente di un’aiuto gigante:
Puoi risolvermi questo esercizio per favore?
Dato il flusso {-4000, R, 1874,6} secondo lo scadenzario {0; 1; 2}, il valore di R affinché il progetto abbia TIR=3% è:
Così provo a capire come fare a calcolare la rata avendo il TIR.
Resto in attesa,
Grazie mille
Simone
Ciao Simone,
Per prima cosa dobbiamo impostare l’equivalenza finanziaria al tempo zero.
Dunque attualizziamo i flussi dell’operazione finanziaria di investimento utilizzando il TIR
(tasso interno di rendimento) e imponiamo che il REA (risultato economico attualizzato) sia pari a zero.
l’equazione da impostare è la seguente
-4.000 + R *1,03^(-1) + 1.874,6 * 1,03^(-2) = 0
A questo punto risolviamo l’equazione di primo grado lasciando R a sinistra:
R = (4.000 – 1.874,6 * 1,03^(-2)) / 1,03^(-1)
R = 2.300
Ecco la rata che rende equa l’operazione finanziaria al tasso del 3%
Per approfondire ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria qui
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Trovi quello completo con l’eserciziario associato.
Oppure se vuoi approfondire argomenti specifici ci sono i mini corsi
Salve mi sto scervellando su questo esercizio e non capisco come deve essere svolto. Grazie in anticipo
Un soggetto necessita di € 20.000 tra 5 anni. Al fine di ottenere tale somma, egli versa
immediatamente € 10.000 nel Fondo Alpha, remunerato secondo la legge della capitalizzazione
semplice, e contestualmente effettua versamenti semestrali posticipati nel Fondo Beta, remunerato
secondo la legge della capitalizzazione composta. Entrambe le operazioni, di durata quinquennale,
sono valutate al tasso effettivo d’interesse annuo del 2%.
Si determini l’ammontare della rata semestrale da corrispondere nel Fondo Beta.
Ciao Giuseppe
Dal momento che la rendita quinquennale ha rate semestrali provvediamo immediatamente al calcolo del tasso annuo semestrale equivalente nel regime composto al 2% annuo.
Usiamo la formula di trasformazione dei tassi.
Il tasso semestrale è:
i’ = (1 + 0,02)^(1/2) – 1 = 0,00995049
A questo punto impostiamo la seguente equazione:
10.000 * (1+0,02*5) + R*s(10 , 0.00995049) = 20.000
Il primo elemento 10.000 * (1+0,02*5) indica la capitalizzazione del singolo anticipo di 10.000 per un tempo di 5 anni al tasso semplice del 2%
Il secondo addendo R*s(10 , 0.00995049) è la capitalizzazione del 10 rate semestrali
Con s(10 , 0.00995049) fattore capitalizzante delle rendite
s(10 , 0.00995049) = (1,00995049^10 -1)/0,00995049
Dunque possiamo ricavare la nostra rata semestrale semplicemente invertendo l’equazione di partenza:
R = (20.000 – 10.000* (1+0,02*5))/s(10 , 0.00995049)
R = 860,4319
Se hai dubbio sul fattore capitalizzante leggi questo articolo
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/rendita-posticipata-montante/
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