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In questo blog parliamo dell’ammortamento italiano, definito anche a quota capitale costante.
Immaginiamo di prendere a prestito un cero capitale che dobbiamo restituire in n versamenti.
QUOTA CAPITALE COSTANTE
Siccome tutte le quote capitali sono costanti per poter calcolare la quota capitale Q dividiamo il capitale S per il numero di rate n.
DEBITO ESTINTO
Ogni quota capitale che paghiamo il nostro debito estinto Ek aumenta proprio di quella quota capitale.
Quindi dopo aver pagato 3 quote capitali il debito estinto E3 ammonta a q volte la quota capitale.
In generale dopo k quote capitali restituite il debito estinto Ek ammonta a k volte la quota capitale, quindi a k volte S/n.
DEBITO RESIDUO
Il debito residuo è la parte rimanente del capitale che dobbiamo ancora restituire.
Quindi immaginando di suddividere tale capitale S in n quote una volta che ne abbiamo restituite k ce ne restano ancora n-k da restituire.
Quindi il debito residuo Dk ammonta a n-k volte la quota capitale, cioè a n-k volte S/n.
PIANO DI AMMORTAMENTO
Al termine di tutti questi calcoli possiamo rappresentare il piano di ammortamento italiano.
Nella prima colonna troviamo le epoche k, che coincidono con gli anni 0, 1, 2, 3, 4 e 5
Dalla seconda alla quarta colonna troviamo in ordine: rata (RK), quota capitale (Ck) e quota interesse (Ik).
Quarta e quinta colonna sono segnati i debiti residui (Dk) e quelli estinti (Ek).
QUOTA INTERESSE
Gli interessi di un prestito si calcolano rispetto al debito residuo del periodo precedente.
Quindi le quote interessi Ik che paghiamo all’epoca k le calcoliamo sul debito residuo all’epoca k-1.
In tale epoca mancheranno da restituire n-k+1 quote capitali, cioè una in più rispetto all’epoca k.
Perciò il calcolo della quota k-esima di interesse Ik sarà pari a:
RATA
La rata Rk è la somma tra la quota tra la quota capitale Ck, che nel piano di ammortamento italiano chiamiamo Q in quanto costante, e la quota di interesse Ik
Se andiamo a sviluppare la quota capitale e la quota interesse con le formule che abbiamo ricavato sopra avremo:
A questo punto possiamo raccogliere a fattor comune il termine S/n pari alla quota capitale, ricavando così la generica formula della rata:
Rappresentiamo sotto un riassunto sintetico delle formule calcolate.
ESEMPIO
Ora procediamo come al solito con un esempio pratico del piano di ammortamento italiano.
Redigere un piano di ammortamento italiano di un prestito di 50.000 euro da restituire in 4 rate annue al tasso del 10%
QUOTA CAPITALE COSTANTE
Partiamo ovviamente dal calcolo più semplice ovvero quello della quota capitale
DEBITO ESTINTO
Ora procediamo con il calcolo dei debiti estinti applicando la formula:
Dobbiamo sostituire al posto di S/n il valore della quota capitale di 12.500 e al posto di k le epoche di pagamento.
DEBITO RESIDUO
Per quanto riguarda i debiti residui applichiamo la seguente formula
Otterremo:
QUOTA INTERESSI
Calcoliamo ora le quote interessi applicando la seguente formula:
In ordine avremo:
RATA
Passiamo infine alla rata che possiamo calcolare in due modi.
Il primo modo è quello di sommare alla quota capitale le quote interessi calcolate in precedenza.
Applicando questo metodo avremo:
Il secondo modo è quello di applicare la seguente formula, ricavata all’inizio
Procediamo con i calcoli:
PIANO DI AMMORTAMENTO
Al termine di tutti questi calcoli possiamo rappresentare il piano di ammortamento italiano.
Nella prima colonna troviamo le epoche k, che coincidono con gli anni 0, 1, 2, 3, 4 e 5
Dalla seconda alla quarta colonna troviamo in ordine: rata (RK), quota capitale (Ck) e quota interesse (Ik).
Quarta e quinta colonna sono segnati i debiti residui (Dk) e quelli estinti (Ek).
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Ma se ad esempio le rate sono mensili, ed es. 96 mesi, la quota di capitale si calcola capitale / 96?
Esatto.
Nell’ ammortamento italiano le rate sono calcolate dividendo l’importo complessivo per il numero di rate.
Questo indipendentemente dal periodo.
Se le rate fossero mensili dividiamo per il numero di mesi.
Quello che cambierebbe è la quota interesse.
Per la quota interesse il tasso che dovresti usare è quello mensile.
Poi la formula generale per la rata è sempre
Rk=Q*[1+(n-k+1)*i] vin tutto ragionato in mesi.
Grazie mille per la risposta!
come è possibile determinare il numero di rate necessarie per rimborsare un prestito con ammortamento uniforme ?
Ciao Francesco
Dipende dai dati che conosci
Noi sappiamo che nellammortamento uniforme o italiano le quote capitali sono costanti e si calcolano dividendo il capitale S per n (numero rate)
Dunque se:
S/n = Q significa che n=S/Q
Ma ad esempio sappiamo che il debito in k è pari a:
Dk = (n-k)*Q
Quindi se applichiamo la formula inversa:
n=Dk/Q+k
Se però in questo ultimo caso non conosciamo Q ma conosciamo S le cose si fanno un po’ più complesse
Applicando le formule inverse saremmo giunti a:
n= (kS)/(S-Dk)
Io comunque sconsiglio vivamente di imparare a memoria tutte queste formule inverse.
L’idea è questa.
Impara bene le formule su
Quota capitale
Debito residuo
Debito estinto
Quota interesse
Poi sulla base dei dati del testo SOSTITUISCI
A questo punto bisogna risolvere equazioni
– di primo grado
– di secondo grado
– fratte
-esponenziali o logaritmiche (nel composto)
E li vai solo ad applicare equazioni
Male che vada finisci in un sistema di equazioni
come è possibile determinare il numero delle rate necessarie per rimborsare un prestito con ammortamento uniforme?