In questo blog parliamo dell’ammortamento francese, definito anche a rata costante.
INDICE
CALCOLO RATA COSTANTE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE
Il primo calcolo significativo riguarda dunque la rata.
Nel piano di ammortamento francese le rate formano una rendita a rata costante (per definizione) immediata e posticipata.
Siccome agiamo nel regime composto utilizzeremo la formula per il calcolo della rata in una rendita immediata e posticipata.
Dividiamo cioè la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.
$$ R = \frac{S}{ a_{ n \rceil{i}}} = \frac{S}{ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}} = \frac { S \cdot i}{1-(1+i)^{-n}} $$
DEBITO RESIDUO NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE
Il secondo calcolo riguarda il debito residuo.
In ogni istante il debito residuo di un piano di ammortamento riflette l’attualizzazione delle future rate.
Poiché all’epoca k ci restano ancora da pagare n-k rate, per calcolare il debito residuo in tale epoca attualizziamo queste rate.
Moltiplichiamo cioè l’importo della rata per il fattore “a figurato (n-k) al tasso i”
$$ D_\color{red}{k} = R \cdot a_{n- \color{red}{k} \rceil {i}} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n – \color{red}{k}) }}{i} $$
QUOTA CAPITALE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE
Le quote capitali di un ammortamento francese seguono una progressione geometrica con ragione (1+i).
Ora senza entrare in angusti dettagli di calcolo o di ragionamento enunciamo questa semplice formula per calcola una generica quota capitale Ck.
Per farlo moltiplichiamo la rata per il fattore unitario di attualizzazione v elevato alla (n-k+1).
Questo fattore unitario di attualizzazione v è pari a (1+i)^(-1).
$$ C_\color{red}{k} = R \cdot v^{n-\color{red}{k}+1} = R \cdot (1+i)^{-(n – \color{red}{k} +1) } $$
$$ \text {dove} \ \ v=(1+i)^{-1} \ \ \text{ è il fattore unitario di attualizzazione} $$
QUOTA INTERESSE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE
Una volta ricavata la formula della rata costante R e della quota capitale Ck non è difficile ricavare la quota di interesse Ik.
La quota di interesse Ik è data dalla differenza tra la rata R e la quota capitale Ck.
$$ I_k = R – C_k $$
Sviluppiamo per la quota capitale Ck la formula vista in precedenza avremo:
$$ I_k = R – R \cdot v^{n-k+1} $$
Raccogliamo a fattor comune R:
$$ I_\color{red}{k} = R \cdot (1 – v^{n- \color{red}{k}+1}) $$
Sviluppiamo il fattore unitario di attualizzazione v come (1+i)^(-1):
$$ I_\color{red}{k} = R \cdot [1 – (1+i) ^{-(n- \color{red}{k}+1)}] $$
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ESEMPIO DI COSTRUZIONE DI UN PIANO DI AMMORTAMENTO FRANCESE
Vediamo insieme un esempio concreto di redazione di un piano di ammortamento francese.
Redigere un piano di ammortamento francese di un prestito di 50.000 euro da restituire in 4 rate annue al tasso del 10%
RATA COSTANTE
I dati a nostra disposizione sono:
$$ S = 50.000 \quad n=4 \quad i=10%=0,10 $$
Pariamo dal calcolo della rata costante R con la formula vista in precedenza:
$$ R = \frac{S}{ a_{ n \rceil{i}}} = \frac{S}{ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}} = \frac { S \cdot i}{1-(1+i)^{-n}} $$
Sostituiamo al posto del capitale S il valore di 50.000, al posto del tasso i il 10% ovvero 0,10 e al posto di n il 4:
$$ R = 50.000 \cdot \frac{0,10}{1-1,10^{-4}} = 15.773,54 $$
DEBITO RESIDUO
Passiamo ora al debito residuo e applichiamo la seguente formula:
$$ D_\color{red}{k} = R \cdot a_{n- \color{red}{k} \rceil {i}} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n – \color{red}{k}) }}{i} $$
Sostituiamo al posto dei vari k le epoche di pagamento:
$$ D_\color{red}{0} = 15.773,54 \cdot a_{4- \color{red}{0} \rceil {0,10}} = 15.773,54 \cdot \frac{1-(1+0,10)^{-(4 – \color{red}{0}) }}{0,10} = 50.000 $$
(il primo risultato è scontato dal momento che il debito residuo all’epoca iniziale coincide con il capitale prestato)
$$ D_\color{red}{1} = 15.773,54 \cdot a_{4- \color{red}{1} \rceil {0,10}} = 15.773,54 \cdot \frac{1-(1+0,10)^{-(4 – \color{red}{1}) }}{0,10} = 39.226,46 $$
$$ D_\color{red}{2} = 15.773,54 \cdot a_{4- \color{red}{2} \rceil {0,10}} = 15.773,54 \cdot \frac{1-(1+0,10)^{-(4 – \color{red}{2}) }}{0,10} =27.375,57 $$
$$ D_\color{red}{3} = 15.773,54 \cdot a_{4- \color{red}{3} \rceil {0,10}} = 15.773,54 \cdot \frac{1-(1+0,10)^{-(4 – \color{red}{3}) }}{0,10} =14.339,58 $$
$$ D_\color{red}{4} = 15.773,54 \cdot a_{4- \color{red}{4} \rceil {0,10}} = 15.773,54 \cdot \frac{1-(1+0,10)^{-(4 – \color{red}{4}) }}{0,10} = 0 $$
QUOTA CAPITALE
Ora tocca alle quote capitale e la formula di cui ci serviamo è la seguente:
$$ C_\color{red}{k} = R \cdot v^{n-\color{red}{k}+1} = R \cdot (1+i)^{-(n – \color{red}{k} +1) } $$
Inseriamo i dati e otteniamo:
$$ C_\color{red}{1} = 15.773,54 \cdot (1,10)^{-(4 – \color{red}{1} +1) } = 10.773,54 $$
$$ C_\color{red}{2} = 15.773,54 \cdot (1,10)^{-(4 – \color{red}{2} +1) } = 11.850,89 $$
$$ C_\color{red}{3} = 15.773,54 \cdot (1,10)^{-(4 – \color{red}{3} +1) } = 13.035,98 $$
$$ C_\color{red}{4} = 15.773,54 \cdot (1,10)^{-(4 – \color{red}{4} +1) } = 14.339,58 $$
QUOTA INTERESSI
Per ultime ma non di importanza calcoliamo le quote di interesse.
Possiamo calcolarle nel modo classico, ovvero sottraendo dalla rata le quote capitali calcolate sopra:
$$ I_\color{red}{k} = R- C_\color{red}{k} $$
In questo modo avremo:
$$ I_\color{red}{1} = R- C_\color{red}{1} = 15.773,54 – 10.773,54 = 5.000 $$
$$ I_\color{red}{2} = R- C_\color{red}{2} = 15.773,54 – 11.850,89 = 3.922,65 $$
$$ I_\color{red}{3} = R- C_\color{red}{3} = 15.773,54 – 13.035,98= 2.737,56 $$
$$ I_\color{red}{4} = R- C_\color{red}{4} = 15.773,54 – 14.339,58 = 1.433,96 $$
Oppure possiamo applicare questa formula alternativa:
$$ I_\color{red}{k} = R \cdot [1 – (1+i) ^{-(n- \color{red}{k}+1)}] $$
Procedendo con ordine avremo:
$$ I_\color{red}{1} = 15.773,54 \cdot [1 – 1,10 ^{-(4- \color{red}{1}+1)}] = 5.000 $$
$$ I_\color{red}{2} = 15.773,54 \cdot [1 – 1,10 ^{-(4- \color{red}{2}+1)}] = 3.922,65 $$
$$ I_\color{red}{3} = 15.773,54 \cdot [1 – 1,10 ^{-(4- \color{red}{3}+1)}] = 2.737,56 $$
$$ I_\color{red}{4} = 15.773,54 \cdot [1 – 1,10 ^{-(4- \color{red}{4}+1)}] = 1.433,96 $$
Chiaramente i risultati saranno i medesimi con entrambi i modi.
PIANO DI AMMORTAMENTO
Ecco che a questo punto possiamo compilare il nostro piano di ammortamento francese
Nella prima colonna troviamo le epoche k, che coincidono con gli anni 0, 1, 2, 3, 4 e 5
Dalla seconda alla quarta colonna troviamo in ordine: rata (RK), quota capitale (Ck) e quota interesse (Ik).
Nella quarta e ultima colonna sono segnati i debiti residui (Dk)
Nota bene che avremmo puto aggiungere una colonna per rappresentare i debiti estinti (Ek).
Tali debiti estinti possono essere tranquillamente calcolati come la differenza tra il capitale S e i debiti residui Dk.
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109 risposte
Ma se mi viene detto che in ammortamento francese la decima quota capitale supera la settima del 10% e mi chiede trovare il tasso unitario di interesse composto come faccio a calcolarlo?
Ciao Karin, grazie per l’interessante domanda.
In un piano di ammortamento le quote capitale vanno in progressione geometrica con ragione (1+i).
Questo significa che se conosciamo una quota capitale e il tasso possiamo determinare una qualsiasi altra quota capitale con la formula:
C_(k+n)=C_k*(1+i)^n
Nel tuo caso ti viene detto che la decima quota capitale supera la settima del 10%.
Questo significa che:
C_10=C_7*1,1
Ricorda che 1,1=1+10%
quindi 1,1 incorpora un aumento pari a 3 anni, il che significa che equivale a : (1+i)^3
Dunque basta impostare l’equazione:
(1+i)^3=1,1
che risolta ci restituisce il valore del tasso di interesse i pari a:
i=1,1^(1/3)-1=0,03228
Il tasso di interesse sull’ammortamento francese è dunque pari al 3,228%.
Un caro abbraccio 😉
Ciao Andrea scusami se ti disturbo sto trovando difficolta con questo esercizio. Considera l’ammortamento di una somma S=6000 € in m=2 rate quadrimestrali costanti. Calcoka la rata R sapendo che delta(t,s)=alfa+beta s^2 anni^-1, con alfa= 0,07 e beta= -0,00014. il risultato è R= 3106,62.
Ciao Sofia
Potresti dirmi il significato di delta(t,s)
Di alfa e di beta?
Perché posta in questo modo mi è una simbologia nuova
Guarda questo esercizio ho risolto, ho problemi con un altro esercizio dove te lo posso scrivere. Non riguarda gli ammortamenti.
ciao una banca mi concede un mutuo di 70.000€ per 4 anni con il tasso del 5.5% e rata quadrimestrale
come calcolo la rata costante?
perfavore aiutami
una banca concede un mutuo di 70.000€per 4 anni con un tasso del 5.5% rata quadrimestrale
per favore mi potresti dire come viene calcolata la rata
per favore non riesco a capirlo
ciao Mattia,
Grazie per l’interessante domanda.
per primma cosa calcoli il tasso effettivo quadrimestrale:
i_3=(1+i)^(1/3)-1=1,055^(1/3)-1=0,018=1,80%
In secondo luogo il numero di rate quadrimestrali è:
n=4*3=12
Poi applichi la formula:
R=S*i/(1-(1+i)^(-n))
Dove
S=70.000
i=0,018
n=12
Dunque:
R=70.000*0,018/(1-1,018^(-12))=6.538,14
Ecco la tua rata 😉
Se vai sul sito andreailmatematico.it
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Ciao Andrea,
seguo attentamente il tuo canale, in quanto lo trovo davvero fatto bene e molto esplicativo, il tutto con una semplicità disarmante!
Per questo ti ringrazio per il tuo blog.
Oggi mi imbattevo in un esercizio, ma non riesco a venirne a capo. Posso chiederti una spiegazione?
Il testo è il seguente:
“Un individuo riceve, al tempo t=0, in prestito la somma di €60000 da restituire con quattro rate semestrali posticipate. Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è 0,10 e che R1=€4000, Rk+1/Rk=3 (per k=2 e k=3), calcolare l’importo delle rate e stilare il piano di ammortamento.”
Svolgimento:
Ho calcolato il tutto usando come periodi il semestre e non l’anno, quindi il tasso è dello 0,05. Ho calcolato il tutto per il 1° periodo, ed ho anche notato che nel 2° periodo avremo una rata R2, mentre per il 3° periodo R3=3*R2, e nel 4° periodo R4=9*R2.
Sono riuscito a calcolare l’interesse I2, che è pari a 2950€, ma non riesco a calcolare R2, o comunque C2. Mi manca questo passaggio, perchè poi calcolerei tutto a cascata.
Ti allego anche il link con il testo e la soluzione: è l’esercizio 21.
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilk–i44H3AhUPSvEDHcXhBTkQFnoECAYQAQ&url=https%3A%2F%2Felearning.unite.it%2Fmod%2Fresource%2Fview.php%3Fid%3D45543&usg=AOvVaw35KI5eTRNaXj9xZ4NDM1XK
Spero tu possa aiutarmi,
ti ringrazio davvero tanto.
Un saluto
Stefano
Ciao Stefano, grazie per la domanda.
Direi che l’analisi iniziale che hai svolto del problema è ottima.
Il tasso semestrale è del 5%
Sai che il capitale erogato è S = 60.000
la prima rata R1 = 4.000
Giusta l’intuizione per cui:
R3= 3·R2
R4= 9R2
Giusta l’intuizione che ruota tutto attorno al calcolo di R2
Ora dobbiamo ricordarci di una condizione molto che vale in tutti i piani di ammortamento:
LA CONDIZIONE DI CHIUSURA FINANZIARIA
secondo questa condizione al momento della stipula di un piano di ammortamento deve valere che:
l’attualizzazione delle rate al tasso del prestito deve essere pari al capitale prestato.
Applicando questa condizione possiamo riscrive:
VALORE ATTUALE RATE = VALORE PRESTITO
Se per comodità imponiamo R2 = R scriviamo che:
4.000 ·1,05^-1 + R·1,05^-2 + 3R·1,05^-3 + 9R·1,05^-4 = 60.000
Se a sinistra lasciamo i termini che moltiplicano R e raccogliamo R, e spostiamo a destra tutti i numeri abbiamo che:
R·(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 60.000 – 4.000 ·1,05^-1
Da cui ricaviamo che la rate R vale :
R = (60.000 – 4.000 ·1,05^-1)/(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 5.153,74
Una volta ricavato questo dato “a cascata” calcoliamo tutto il resto
Giusto! Grazie mille Andrea! Come sempre sei impeccabile
A presto 😉
Un aiutino perfavore :))). Oggi ho acquistato un’automobile che costa 27.000 euro, pagando dopo 6 mesi 5000 euro e poi altre n.24 rate posticipate al TAN del 6% . Sapendo che dopo lultima rata resta ancora un debito di 5000 euro stabilire importo della rata Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare TAEG e redigere piano di ammortamento per le 24 rate. E anche un’altro problema simile al precedente. Oggi ho acquistato un’automobile che costa 37.000 euro, pagando dopo 8 mesi 7000 euro e poi una rata di 400 euro al mese per 24 mesi al T.A.N. del 6%. Stabilire se e quanto resta di debito dopo l’ultima rata. Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare il T.A.E.G. e redigere il piano di ammortamento per le 24 rate. Grazie in anticipo
Ciao Angelo, più che un problemino mi sembra un problemone.
Cercherò di rispondere al primo tuo quesito.
Quando si rimborsa un prestito o si paga un bene in generale deve valere che il valore attuale dei flussi di cassa sia pari al valore del bene.
Nel tuo caso l’automobile vale 27.000 euro.
Questo perciò deve assere il valore attuale.
Nel caso dell’acquisto di questa auto abbiamo :
– un anticipo di 5.000 euro
– un finanziamento di di 24 rate (suppongo mensili) da calcolare
– pagamento finale di 5.000 euro.
Supponiamo che sull’anticipo e sul pagamento finale non gravino interessi (da come ho capito lèggendo il testo)
E che gli unici interessi vengano fatti pagare nel finanziamento di 24 rate.
(Queste ipotesi sono importanti per impostare i calcoli iniziali e di conseguenza per determinare il valore della rata).
Soto queste ipotesi abbiamo che:
ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
Per quanto riguarda il valore attuale delle rate (che è pari all’importo del finanziamento concesso) dobbiamo attualizzare una rendita con rata costante (la nostra incognita).
Per farlo utilizziamo a figurato n al tasso i, e questo tasso deve essere mensile.
il tasso mensile a partire dal tasso annuo si calcola come segue:
i(12) = (1+i)^(1/12) – 1 = 1,06^(1/12) – 1 = 0,00486755
Ora impostiamo l’equazione di prima:
ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
5.000 + R * (1-1,00486755^-24) / 0,00486755 + 5.000 *(1,00486755^(-24))= 27.000
Spostando a destra i numeri ci rimane la cifra 17.000
quindi la rata R è:
R = (27.000-5000-5000*1,06^(-2))/ ((1-1,00486755^-24) / 0,00486755) = 776,57
Passiamo ora al finanziamento.
Sicuramente si tratta di un piano di ammortamento alla FRANCESE, ovvero con la rata costante.
Il valore attuale della rendita di 24 mesi coincide con l’importo finanziato.
Ovviamente sotto le nostre ipotesi il capitale finanziato è pari al valore dell’auto tolti l’anticipo e il pagamento finale.
Quando dobbiamo calcolare il TAEG (che sarà un po’ più alto del TAN l’importo finanziato è minore.
Nel nostro caso è 27.000-5000 meno le spese di 250 ovvero 21.750
La rata pagata diversamente è maggiore.
Nel nostro caso è pari a 776,57 sommata ai 2 euro per l’incasso, ovvero 778,56.
Per calcolare il TAEG è possibile (senza usare Excel) utilizzare l’interpolazione lineare.
Si comincia a impostare l’equazione
778,56*a(24,i)+5.000*(1+i)^(-24)-21.750=0
Chiamiamo la funzione di sinistra f(i)
Dunque abbiamo f(i)=0
Calcoliamo la derivata di f con le regole di derivazione
f’(i)
Adesso applichiamo il metodo delle tangenti di Newton
Selezioniamo in primo tasso (ad esempio il TAN)
Chiamiamolo ad esempio i1
Calcoliamo f(i1) e f’(i1)
Adesso troviamo un tasso ancora più vicino al TIR (i2)
i2= i1 + f(i1)/f’(i1)
Continuiamo dunque con lo stesso metodo ad esempio fino ad i3
i3= i2 + f(i2)/f’(i2)
Una volta trovato i3 lo trasformiamo su base annua
Ciao Andrea, come mai non hai attualizzato anche gli ultimi 5000 euro che dovevano essere pagati per l’auto? Secondo me avresti dovuto attualizzarli in quanto è comunque una rendita che fa parte della serie di rendite che l’utente deve pagare.
I primi 5000 Euro non vanno attualizzati perché sono già al tempo 0 e siamo d’accordo… le rate vanno attualizzate e siamo d’accordo… Ma anche l’ultima rata di 5000 euro a mio avviso andava attualizzata, poiché anch’essa è una rata, ossia la maxirata finale nel gergo del leasing. Mi aiuteresti a capire? Grazie
Ciao Alex
Si in effetti hai ragione
Ho cambiato il commento
Grazie per avere visitato il sito e commentato con una arguta osservazione 😉
Grazie a te Andrea per il servizio che fai. Complimenti
Figurati 😉
Potrei avere la risposta almeno del primo problema a breve 🙁 , grazie
Angelo ti ho risposto
Ti stimo sei una grande, ho compreso tutti i passaggi, anche se comunque dovrò rivedere la teoria.
Meno male 😂
Ci ho messo mezz’ora a scriverti la risposta
Era bella impegnativa la richiesta
Bene dacci dentro 💪🏻💥
Ciao, mi risolveresti questo esercizio?
Devo determinare la durata del rimborso e la rata esatta in ammortamento francese con versamenti annui di importo non superiore a 7000€. Il prestito ammonta a 75000€ e l’interesse annuo al 4,5%, la rata è immediata e posticipata.
Ciao Martina, grazie della domanda.
In primo luogo procediamo a identificare i dati del problema
S = 75.000 (capitale)
R<7.000 (rata)
i=4,5% =0,045 (tasso)
Dobbiamo identificare il numero di rate n per una rendita che abbia rate inferiore a 7.000
Ipotizziamo ora di avere una rata ESATTAMENTE pari a 7.000
Possiamo utilizzare la seguente formula per calcolare il nuemro n di rate
n=-log(1-S/R*i)/log(1+i)
Inserendo i dati otteniamo:
n=-log(1-75.000/7.000*0,045)/log1,045 = 14,95
Poiché il numero delle rate non è intero questo varrà 14 oppure 15
Dal momento che vogliamo una rata un po' più piccola di 7.000 dobbiamo approssimare per eccesso il numero di rate a 15.
adesso che abbiamo il numero di rate:
n=15
Possiamo calcolare l'importo della rata precisa usando la seguente formula :
R = S*i/(1-(1+i)^-n)
Inseriamo i dati:
R=75.000*0,045/(1-1,045^-15)=6.983,54
Spero che il commento ti sia stato d'aiuto 😉
Ciao, complimenti anzitutto per il sito e gli spunti interessantissimi.
Stavo ricercando su internet ma davvero fatico a trovarlo, il calcolo del tasso di interesse di un ammortamento alla francese una volta nota la rata, i periodi e l’importo finanziato. In excel c’è una formula INTERESSE() che fa il calcolo ma non è indicato cosa c’è dietro
Ciao Roberto,
Grazie per la domanda
Per calcolare il tasso di interesse dell’ ammortamento francese non esiste una formula generale per cui puoi inserire i dati
Esiste piuttosto un algoritmo che se continuamente ripetuto porta a valori sempre più precisi del tasso di interesse
Questo algoritmo si basa sul metodo del linterpolazione lineare oppure il metodo delle tangenti di Newton
Your method of explaining all in this post is actually good, every one be able to effortlessly be aware of it, Thanks a
lot.
Thanks 😉
Ciao, spiegazione molto precisa. Potresti aiutarmi con questo esercizio?
“Nell’ammortamento progressivo di un prestito in 20 anni la settima rata comprende una quota
capitale di 500 € e una quota interesse di 450 €. Determinare il tasso e l’importo del prestito.”
Non riesco a calcolarmi il tasso
Ciao Andrea; grazie per la domanda.
Cominciamo col dire che l’ammortamento è francese:
dunque la rata è costante, ed è pari alla somma della quota capitale e quella interesse
Nel tuo caso conosci la settima quota quindi:
R = C7 + I7 = 500 + 450 = 950
In secondo luogo dobbiamo conoscere la relazione che lega la quota capitale k alla rata:
Ck = R * v^(n-k+1)
dove k è il numero della rata
v è il fattore unitario attualizzante (1+i)^-1
n = numero di rate
Dunque avremo che la settima quota capitale C7 è:
C7 = R * v^(20-7+1)
C7 = R* v^16
ricaviamo v^14
v^16 = C7 / R
inserendo i numeri
v^16 = 500/950
ricaviamo v
v = (500/950)^(1/14) = 0,955188
Ora calcoliamo il tasso i
Ricordiamo che il fattore attualizzante v è pari a:
v = (1+i)^(-1)
Dunque ricaviamo i dalla relazione inversa
i = v^(-1) -1 = 0,955188 ^(-1) -1 = 0,046913
Ora passiamo al capitale S.
Ricordiamo che questo è l’attualizzazione delle rate che sono costanti.
Dunque calcoliamo il valore attuale (al tasso i trovato) di una rendita di 20 rate
di importo 950.
S = R * a(n,i)
dove a(n,i) è l fattore attualizzante per le rendite
nel nostro caso:
S = R * a(20; 0,046913)
Passando ai calcoli numerici
S = 950* (1-1,046913^(-20))/0,046913
S = 12.155,22
Spero sia comprensibile 😉
Ciao Andrea, grazie di avermi risposto così presto. I risultati dell’esercizio (scritti nell’eserciziario senza far vedere il procedimento) sono:
i: 0,0469
S= 12157,368
Grazie! cercavo la risposta allo stesso problema
TOP! 😉
si vuole rimborsare in 7 anni al 7% annuo un prestito di 560.000 euro con quote capitali annuali costanti posticipate quota costante 560k/7=80k, redigere piano di ammortamento…
In questo caso si tratta di un ammortamento italiano, ovvero a questa capitale costante.
Se vogliamo conoscere l’importo del debito iniziale S basta che moltiplichiamo per 7 la quota capitale
S = 7*80k = 560k
A questo punto Calcoliamo i debiti residui che decrescono i ragione della quota capitale:
D0 = 560k
D1 = 480k
D2 = 400k
D3 = 320k
…
D7 = 0
Ora passiamo alle quote interesse.
Seguendo la formula generale per i piani di ammortamento:
Ik = Dk-1 * i, otteniamo che
I1 = 560k * 0,07 = 39,2k
I2 = 480k * 0,07 = 33,6k
I3 = 400k * 0,07 = 28k
…
I7 = 80k * 0,07 = 5,6
Come ben certamente noteri le quote interesse decrescono sempre della stessa ragione: 5,6k
A questo punto ti mancano le rate che sono pari alla somma delle quote capitali e quelle interessi
Si deve rimborsare un debito di 10000 euro pagando 6 rate costanti semestrali posticipate al tasso di valutazione del 9% annuo. Redigere il relativo piano di rimborso.
Per prima cosa bisogna calcolare il tasso semetrale, usando la formula dei tassi equivalenti:
i2 = 1,09^0,5 -1 = 0,04403
Successivamente calcoliamo la rata costante:
R = S/a(n,i)
R = 10.000/a(6; 0,04403)
Dove a(6; 0,04403) è il fattore attualizzante delle rendite
Nei calcoli risulta:
R = 10.000 * 0,04403 / (1-1,04403^(-6)) = 1.932,72
Ora andiamo a calcolarci la prima quota interesse:
I1 = S*i = 10.000*0,04403 = 440,3
Per differenza otteniamo la prima quota capitale:
C1 = R – I1 = 1.932,72 – 440,3 = 1.492,72
Da qui applichiamo la crescita in progressione geometrica tipica dell’ammortamento francese.
Ck+1 = Ck*(1+i)
C2 = C1*1,04403 = 1.558,13
C3 = C2*1,04403 = 1.626,74
C4 = C3*1,04403 = 1.698,36
C5 = C4*1,04403 = 1.773,14
C6 = C5*1,04403 = 1.851,21
Ora per ricavare le varie quote interessi non devi far altro che la differenza tra la rata e le quote capitali
I2 = R -I2
I3 = R -I3
I4 = R -I4
I5 = R -I5
I6 = R -I6
Mentre per calcolare i debiti residui sottrai una quota capitale alla volta
Buongiorno e grazie,
per questo piano di ammortamento è chiaro, se si volesse inserire la variabile della maxi rata finale?
Conosco la rata fissa, il tasso, ed il valore della rata finale.
Grazie
Allora dovresti risolvere la seguente equazione:
V=A+R*a(n-1,i)+MR*(1+i)^(-n)
Con
A= anticipo
R=rata
a(n,i)=fattore attualizzante rendite
MR=maxi rata
i =tasso
n=numero anni
n-1= numero rate ordinarie
Bada bene che ho supposto le rate annue e il tasso annuo
Grazie Andrea gentilissimo,
le mie basi sono pessime, mi pare di essere in alto mare.
(totale è nella casella A1 di Excel)
totale 15500
finanziare 11935 B1-B8
i 0,0399
R 129,00
n 3
n-1 36
A 3565
MR 8654
a(n-1,i) 18,93 (1-(1+B4)^-B7)/B4
V 13703,14 B8+B5*B11+B9*(1+B4)^(-B6)
Aspetta
Mi sfugge il testo del problema però
Da quello che ho capito quel tasso del 3,99% è annuale mentre la rata è mensile
Quindi per prima cosa dovresti convertire il tasso in mensile i12
i12= (1+i)^(1/12)-1=1,0399^(1/12)-1
Dopo di che se la durata è di 3 anni il numero delle rate è 36
Ma 35 di quelle sono ordinarie di 129
Mentre l’ultima che avviene alla scadenza 36 mesi è la maxi rata
Esatto hai interpretato correttamente.
Ottimo
Salve, io ho un mutuo con ammortamento alla francese con le seguenti caratteristiche: Importo erogato 184.000; Tasso variabile (oggi 4,35%); Rimborso 30 anni; rate mensili posticipate: Quote capitali primo anno: 343,69—344,41—345,12—345,84—-346,56—347,28—347,99—348,73—349,45—350,18—350,92—351,64.
Ipotizzando che il tasso sia sempre il 4,35% come mi viene la rata totale?
Grazie
Ciao Mario
Per calcolare la nuova rata devi applicare questo procedimento
184.000 – (somma quote capitali)=K
Poi calcoli il nuovo tasso mensile
i=1,0435^(1/12)-1
Poi dividi k per a(i,n’)
Dove n’ sono le rate mensili mancanti
i è il nuovo tasso
a(i,n’)=(1-(1+i)^(-n’))/i
Mi viene come prima rata( solo quota interessi) 905 euro ed è troppo. Mica è inclusa anche la quota capitale?Grazie
Hai usato il tasso mensile?
i=1,0435^(1/12)-1 ho usato questa formula ma non capisco perchè c’è 1,0435.
Questa è la formula per trasformare i tassi di interesse nel regime composto
Ad esempio per ottenere il tasso mensile
Facciamo i12=(1+i1)^(1/12)-1
Se vuoi calcolare la prima rata
Dividi 184.000/a(n,i)
n=30*12=360
i usi il tasso mensile
Se dopo un anno cambia qualcosa (ad esempio il tasso) allora devi fare il ricalcolo della rata.
È vero che nel tuo caso il tasso non sembra cambiare ed in effetti è sempre il 4,35% (su base annua) ma non sai. Osa è successo durante l’anno.
A questo punto sottrai dai 184.000 tutte le quote capitali del primo anno
184.000 – (somma quote capitali)=K
Il tasso mensile è sempre quello
i=1,0435^(1/12)-1
Poi dividi k per a(i,n’)
Dove n’ sono le rate mensili mancanti
i è il nuovo tasso
a(i,n’)=(1-(1+i)^(-n’))/i
n’=9*12=338
Il tasso mensile mi viene seguendo la formula 0,00355467.
Procedendo con la formula mi viene l’importo che ho indicato in precedenza. Dove sbaglio?
Grazie
Salve, stavo svolgendo un compito e ho avuto un dubbio: “per l’acquisto di un’auto del prezzo di listino di 23000 euro ci accordiamo per il pagamento di 16 rate trimestrali posticipate, di cui le prime 8 sono di importo comune e pari a R, mentre le restanti 8 sono di importo comune pari a 2R (ovvero, il doppio delle precedenti). Il tasso tecnico praticato (composto, annuo) è pari al 4.50%.
a) calcola l’importo delle rate
stavo guardando i risultati e il libro in primo luogo trasforma il tasso annuo in tasso trimestrale applicando la formula i=(1+0.0111)^1\4-1= 1.11% (e fin qui ci sono, non ho alcun dubbio)
poi, pone la condizione di chiusura finanziaria scrivendo 2300= R x a figurato 8 al tasso 1.11% + (1+0.0111)^-2 x 2R x a figurato 8 al tasso 1.11% = 21.56R
Da qui ricava R=1066,70. Non mi torna il procedimento applicato, cioè non capisco che formula ha utilizzato per il calcolo della rata (perchè eleva a -2?). Riuscirebbe ad aiutarmi? Vorrei capire la formula applicata (se potrebbe specificarmela) e perchè è stata applicata. Grazie mille
Stessa cosa vale per questo esercizio: “per ristrutturare una casa di campagna, otteniamo un prestito bancario di importo 57000 euro. Per la restituzione, ci accordiamo per il pagamento di 4 rate semestrali di importo comune. La prima rata sarà pagata tra 12 mesi. Il tasso tecnico praticato (composto, annuo) è pari a 3.50%.
a) calcolare l’importo comune delle rate
Anche qui il libro procede trasformando il tasso annuale in semestrale i=1.73% e poi pone la condizione di chiusura finanziaria:
57000=R(1+0.0173)^-1 x a figurato 4 al tasso 1.73%. Si ha R=15131.44. Anche qui con i procedimenti matematici ci sono, non capisco però quale formula applica, perchè eleva a -1? Riuscirebbe anche in questo caso a specificarmi la formula applicata e perchè è stata applicata? La ringrazio ancora
Ciao Emanuele
La formula è
R*a(4,i’)*(1+i)^(-1)
Dove
i è tasso annuo
i’ è tasso mensile
Per questo motivo:
Con a(4,i’)
Sposti tutti i pagamenti un trimestre prima del primo pagamento quindi un anno
Con il termine (1+i)^(-1) arretri tutto al tempo zero (oggi) attualizzando di un anno
Ciao Andrea,
Per interesse personale mi chiedevo la soluzione del seguente problema, che svolto con un mutuo lineare non e’ alcun problema, un’altra cosa e’ quando si parla di mutuo alla francese:
Ho un mutuo di X=300.000,00 €, con tasso di interesse al 3,8% annuo, di durata non modificabile trentennale con rate mensili (n = 360). Il mutuo come detto in precedenza e’ alla francese. Ipotizziamo che ogni 12 mensilita voglia saldare una quota aggiuntiva di Y=5.000,00 € in modo da diminuire i costi legati agli interessi e la durata del mutuo stesso. Come si procede per calcolare il risparmio effettivo (in tempo e denaro, delta tra la quota interessi prevista all’inizio del mutuo e quella effettivamente pagata) quando si ha colmato il debito per intero?
Ti ringrazio anticipatamente per la tua risposta.
Ciao Roberto.
Per calcolare il guadagno in termini di interessi puoi usare questo procedimento.
Per prima cosa calcoli la rata al tasso del 3,8%.
Ipotizzando che questo il sia il TAN il tasso effettivo mensile è
i= 3,8%/12 = 0,00316667
La rata si ottiene dividendo il presto per a figurato 120 al tasso i: a(120; 0,00316667)
R = 300.000/a(360; 0,00316667) = 1.398 circa
Il complessivo da versare è 360volte quella cifra:
TOT = 503.234
Dunque il monte interesse è 203.234
Se ogni anno alla fine dell’anno versi 5.000 questi li potremmo considerare totalmente quota capitale.
Il tuo debito si abbatterebbe ogni anno di 5.000 di conseguenza si dovrebbe ricalcolare una nuova rata ogni volta che viene fatta questa operazione.
Così su due piedi mi ci vorrebbe un po’ di tempo per impostare una formula.
Quindi ti consiglio se sei pratico di impostare questi calcoli su un foglio excel
In alternativa potremmo organizzare una consulenza per risolvere la questione
sai che su ammortamento alla francese c’è un dibattito in atto sul fatto che secondo alcuni questa forma di ammortamento nasconde anatocismo (calcolo di interessi su interessi), mi piacerebbe conoscere il tuo pensiero tecnico
grazie
Si lo so
Il mio pensiero tecnico è che non voglio entrare in dibattiti ma solo fare matematica
Buongiorno ho un mutuo a tasso variabile ,piano ammortamento francese.Ho visto che ultimamente ,con il recente incremento dei tassi ,negli ultimi mesi la quota capitale anzichè crescere ,diminuisce rispetto alla composizione quote capitali dell’originario piano di ammortamento.
La banca mi risponde che è normale,in caso di brusco e consistente rialzo dei tassi. E’ cosi’?
Grazie
Buongiorno Leandro
Esatto, ogni volta che cambia il tasso rate, quote interesse e quote capitale cambiano la consistenza
Le rate certamente aumentano
Le quote interesse aumentano
L’impatto iniziale sulle quote capitali che una diminuzione poi progressivamente se non cambia la durata queste aumentano e alla fine raggiungono il totale della situazione precedente
Se il mutuo è nella sua fase iniziale ovviare gli effetti sono molto più forti
Ciao Andrea, ma in un piano d’ammortamento a rata costante le quote d’interesse sono sempre maggiori o uguali delle quote d’interesse di un piano d’ammortamento a quota capitale costante? O sono solamente maggiori? Grazie
Ciao Francesco
A parità di tutte le condizioni
(Capitale erogato, tasso, durata e periodicità) le quote interessi sono certamente più alte nel francese
Questo poiché inizialmente (quando il debito è più elevato) le quote capitali risultano minori
Quindi il debito è “abbattuto di meno”
CIao! Mi viene chiesto di calcolare il numero minimo di annualità per ammortizzare un debito =13 milioni, a rata annuale costante anticipata e al tasso di interesse semestrale del 5% nel caso che la rata non possa superare i 2 milioni/anno. E determinare inoltre l’importo della rata.
Rmax = 2mil
Per calcolare le annualità ho calcolato il tasso annuale come (1.05)^2-1=1,1025 e poi ho calcolato N= (-log(1-((Sxi)/Rmax) / log1.1025 ma il risultato non viene uguale a quello indicato dal testo. A me tornerebbe 11.24 che poi ho approssimato a 12, ma nel testo viene indicato: annualità= 10, R=1.939.651.
Ti sarei veramente grato se potessi aiutarmi, così da capire se sto sbagliando qualcosa o se il testo indica un risultato sbagliato.
Grazie in anticipo e buona giornata!
Leo
Ciao Leonardo
Ci sei andato molto molto vicino
L’unico problema è che non hai considerato che la rendita è ANTICIPATA
Dunque la formula di partenza è
R*a(n,i)*(1+i)=S
Da cui la formula inversa è
n=-log(S*i/(R*(1+i))/log(1+i)
Con i dati
n=-log(1-(13*0,1025)/(2*1,1025))/log1,1025
n è all’incirca 9,50
Grazie mille! Quindi la formula per calcolare la rata cambia o sua volta o rimane uguale?
Se l’ammortamento è francese la formula è sempre uguale
Cambiano ovviamente i dati
Salve, se devo trovare a quanto ammonta un prestito, sapendo che devo pagare 3 rate quadrimestrali di euro 5.000 cadauna comprensiva di interessi, tasso annuo 6.5%, quale formula devo usare?
Ciao Antonio
In primo luogo andiamo a calcolare il tasso quadrimestrale che per comodità di scrittura andiamo a chiamare i’
i’=1,065^(1/3) -1 = 0,0212135
A questo punto andiamo a calcolare l’importo del prestito (C) attualizzando le rate costanti come in una rendita posticipata con la seguente formula:
C = R*a(n,i)
con a(n,i) fattore attualizzante delle rendite
C = 5.000 * a(3,0.0212135)
Sviluppando i calcoli abbiamo:
C = 5.000* (1-1,0212135^(-3))/0,0212135
C = 14.385,40
Ti lascio il link all’articolo dove si tratta proprio di questa formula
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/valore-attuale-di-una-rendita-posticipata/
Ciao Andrea, sono in difficoltà sulla risoluzione di questo esercizio:
In un ammortamento a rate immediate annue posticipate costanti si sa che la quota capitale
C9 è di 1664.83 Euro e che C9= 1.4352*C1. Determinare la quota capitale C12
Ciao Sam,
Ricordiamo che nell’ammortamento francese le quote capitali aumentano in progressione geometrica di ragione (1+i).
Dunque dalla seconda relazione:
C9= 1,4352*C1
Ricaviamo che C9/C1 =1,4352 = (1+i)^8
Dunque possiamo ricavare la ragione (1+i) in questo modo:
(1+i) = (C9/C1)^(1/8) = 1,4352^(1/8) = 1,0461984
Da cui per altro si ricava immediatamente il tasso dell’ammortamento : 0,0461984
Ora per ricavare la dodicesima quota capitale C12 ci basta fare:
C12 = C9 * (1+i)^3 = 1.664,83*1,0461984^3 = 1.906,39
Ciao Andrea potresti aiutarmi con questo esercizio? Dato un capitale di 50000, tasso annuo 6%, tempo 3 anni .calcolare con ammortamento francese l’ammontare delle rate mensili e determinare il totale degli interessi pagati durante il periodo
Ciao Lorenzo
Per calcolare l’ammontare della rata nell’ammortamento francese usiamo la seguente formula
R = C / a(n,i)
Dove C è il capitale a prestito
n il numero di rate
i è il tasso effettivo riferito al pagamento della rata
Nel nostro caso il capitale C è 50.000
il numero di rate mensili è 3*12=36
Mentre dobbiamo determinare il tasso mensile a partire da quello annuo
Utilizziamo perciò la formula
i12 = 1,06^(1/12)-1= 0,00486755
Dunque ora basta che calcoliamo la rata
R = 50.000 / a(36 , 0,00486755)
Ricordiamo che a(36 , 0,00486755) è il fattore attualizzante delle rendite
a(36 , 0,00486755)= (1-1,00486755^(-36))/0,00486755
R = 1.517,50
Dunque il totale da restituire è 36R
Perciò 36* 1.517,50= 54.629,95
Per calcolare il monte interessi sottraiamo questo al capitale 50.000
Ciao Andrea,
ho un problema che non riesco a risolvere…
Pensavo di cavarmela con l’ammortamento francese ma niente.
Il capitale da restituire è 32.223,08€ al tasso del 2% annuo con il calcolo degli interessi dal 1 novembre 2023 da restituire in 18 rate e le prime 2 rate sono ciascuna di importo pari al 10% delle somme complessive.
Mi viene indicato che il montante è 33.333,89€, le prime 2 rate sono di 3.333,89€ e 3.333,88€ poi 16 rate di 1.666,69€ ca.
Mi puoi indicare il calcolo per arrivare ad un montante di 33.333,89€?
Grazie mille
Ciao Gianluca
Ho fatto diverse prove per risolvere questo problema, che non è così banale.
Ti indico una via, ma per approfondire serve un po’ più di tempo e ragionamento.
Chiamiamo R le rate che vanno dalla 3 fino alla 18
Chiamiamo R’ le prime due rate.
Dall’informazione che le prime due rate sono il 10% delle somme complessive possiamo capire che
2R’+16R è la somma complessiva, ovvero tutte le rate.
Dunque impostiamo l’equazione:
R’=0,10* (2R’ +16R)
Dacui ricaviamo che R’=2R
Ora che sappiamo che le prime rate sono il doppio delle seconde possiamo impostare l’equazione per attualizzare le rate di modo da porle uguale al capitale preso a prestito.
L’equazione che ne deriva è:
R* [2*a(2,i) +a(16,i)* (1+i)^(-2)]= 32.223,08
i è il tasso di interesse mensile
Se il tasso del 2% annuo è da intendersi come TAN allora i=TAN/12 = 0,02/12= 0,001666666
Se invece il tasso è effettivo annuo del 2% allora il tasso i mensile è i=1,02^(1/12)-1=0,00165813
Ricordiamo che a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite
Se non sai di cosa si tratta guarda questo articolo https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/valore-attuale-di-una-rendita-posticipata/
Quindi applicando la formula inversa
R = 32.223,08 /[2*a(2,i) +a(16,i)* (1+i)^(-2)]
Si usiamo il secondo tasso R = 1634,47
Un po’ diverso da 1.666,69€ di circa 30 euro.
Anche con l’altro tasso esce simile.
La mia idea è che siano stati applicati magari dei costi di pratica o di assicurazione che sono esplicitati a parte.
O magari c’è un dato che non è stato esplicitato.
Ciao Andrea, molto gentile.
Se avrò riscontro, ti farò sapere.
Grazie
Ciao Andrea,
avrei un problema che fatico a risolvere, spero tu mi possa aiutare.
Vorremmo affiancare ad un piano di ammortamento alla francese un PAC mensile in modo da accumulare il denaro necessario per chiudere anticipatamente il mutuo.
Ipotizzando di avere un mutuo da 80000€ da estinguere in 240 rate mensili ad un tasso del 5% annuo e rata mensile quindi 527€, PAC mensile con rendimento 4% di 350€ con 1000€ versati al periodo 1.
Come faccio a calcolare il tasso effettivo globale che tenga presente del PAC? Il tasso dovrebbe essere più basso del tasso iniziale del 5%, giusto?
Grazie mille
Ciao Michele
Per calcolare il tasso bisogna costruire una operazione finanziaria data dalla somma dei due piani
(Ammortamento+ accumulo)
Ovviamente bisogna decidere la data di rimborso
Poi calcolare il TIR complessivo
Per il calcolo del TIR se usi Excel c’è la funzione (TIR.COST)
Se lo calcoli a mano bisognerebbe usare linterpolazione o il metodo delle tangenti
Grazie mille Andrea.
Andrea noi ci siamo arrivati con questa formula, volevamo se possibile il tuo parere per capire se potesse essere corretta.
Tasso effettivo con PAC mensile = ((C * i)*(n mesi Break Even/n mesi TOT)) / C
Grazie
Ciao Michele
Si potrebbe essere un’approssimazione
Ma per trovare il vero tasso è necessaria l’interpolazione
Comunque in excel esiste la formula TIRX
Oppure con il risolutore
Comunque se con quella formula trovi una tasso che rende la parità anche di poco può essere accettabile
Dopo tutto bisogna sempre vedere qual è lo scopo finale
CIAO ANDREA, VEDO I TUOI VIDEO CON ESTREMO INTERESSE. QUESTO IN PARTICOLARE PERCHE MI HA AIUTATO A FAR CHIAREZZA SU UN PIANO DI AMMORTAMENTO
TUTTAVIA HO UNA INCOGNITA CHE VORREI RISOLVERE
HO UN AMMORTAMENTO ALLA FRANCESE CON RATA RK = 3.700,00 A 15 ANNI CON S = 508.000,00
DAL PIANO DI AMMORTAMENTO VEDO LA QUOTA CAPITALE CHE E’ NOTA, ERGO LA QUOTA INTERESSI E’ LA DIFFERENZA TRA RK E CK
QUELLO CHE VORREI CONOSCERE E’ IL TASSO IN % DI INTERESSE MENSIL (E QUINDI ANNUO) CHE L’ISTITUTO MI APPLICA
GRAZIE
Ciao Bart
Se i pagamenti sono mensili bisogna impostare l’equazione
S= R a(n,i)
Da cui puoi ricavare l’equazione
a(n,i)-S/R=0
Ovviamente R e S li conosci
a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite unitarie a capitalizzazione
composta
a(n,i) = (1-(1+i)^(-n))/i
n lo conosci poiché è 15*12=180
Ora da qui viene la parte più difficile
Per risolvere l’equazione bisogna usare il metodo delle tangenti di Newton (che si basa sulla derivata prima)
Chiamiamo ad esempio x il tasso i
Definiamo f(x) = a(n,i)
f’(x) è la derivata prima di f(x)
Applichi le regole di derivazioni
Adesso dovresti trovare il valore di x che rende nulla l’equazione
a(n,i)-S/R=0
Ovvero espressa in x
f(x)-S/R=0
Cominci ad inserire un tasso (chiamiamolo x0)
Ovviamente se sei fortunato trovi subito la soluzione ma di solito non va
A questo punto calcoli sia
f(x0) che f’(x0)
E applichi la seguente formula per trovare un secondo tasso molto più vicino al TIR
x1= x0- f(x0)/f’(x0)
Usi questo secondo tasso pr verificare l’equazione
Se non sei soddisfatto ripeti la procedura
Trovi un altro tasso x2 ancora più vicino al TIR
x2=x1-f(x1)/f’(x1)
Sostituisci x2 per verificare l’equazione
Continui in questo modo fino a che non sei soddisfatto del risultato dell’equazione
Questo è il TIR mensile
Per trovare il TOR annuo applichi la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto
Ciao Andrea, ma in banca ti permettono di scegliere il tipo di ammortamento quando richiedi un mutuo?
Effettuando delle prove a parità di capitale preso in prestito, durata e tasso di interesse, risulta che con l’ammortamento Italiano pagherei meno interessi nell’arco del periodo e di conseguenza il mutuo mi costerebbe di meno. Sarebbe pertanto più conveniente optare per un prestito che abbia un piano di ammortamento italiano.
E’ corretto?
Grazie mille
Ciao Rick
Questo dipende dalle politiche della banca
Diciamo che il grosso dei mutui è standardizzato sul modello francese
Anche se credo che per certe cifre più alte ci sia un qualche modo la possibilità di scelta
Considera comunque che il fatto che nell’italiano di paghi meno interesse la cosa è relativa
Infatti le prime rate dell’italiano sono maggiori a parità di tasso
Questo significa che oltre alla parte di interesse dovuto sul periodo precedente è restituito maggior capitale
Dunque anche nel periodo successivo si avranno meno interessi
In teoria tu potresti estinguere il mutuo con un unico pagamento dopo un anno (anche dopo un mese volendo
Restituendo C*(1+i)
Qui avresti in generale il minor interesse possibile
Perché tutto il capitale viene remunerato insieme
Ciao Andrea avrei un problema con un calcolo sul quale mi sono arenato
Abbiamo un piano di ammortamento di un prestito composto da 8 rate trimestrali da euro 1394.67 l’una, un capitale di 10.000 euro e un TAN del 10%. Il montante è pari a Euro 1394,67*8 trimestri= Euro 11.157,37
Immagina ora che tu non conosca il TAN e solo tramite gli altri dati debba calcolare TAN e TAE del suddetto prestito.
Io ho provato a calcolarlo come spesso ho calcolato in altre occasioni con la classica formule di matematica finanziaria ma stavolta non ottengo un risultato coerente;
Dal rapporto tra Montante e Capitale iniziale otteniamo: 11.157,37/10.000=1,115737
Se facciamo la radice ottava di 1,115737, quindi 1,115737^1/8, ottengo 1,013783; (ho fatto la radice ottava perchè sono 8 trimestri e quanto ottengo dovrebbe essere il tasso periodale effettivo relativo ad un singolo trimestre).
1,013783 – 1 = 0,013783 (tasso periodale trimestrale) x 4 trimestri in un anno= 0,055132 ; il TAN risulterebbe quindi 5,5132%
I conti non tornano, ma francamente non capisco dove sto sbagliando nei conteggi.
Il TAN dovrebbe essere infatti pari al 10% e il TAE pari al 10,38% ma dai miei calcoli non mi ci trovo
Grazie
Ciao Alex
Attenzione la formula che hai fatto tu per il calcolo del TAN funzione solamente quando il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione, in questo caso infatti vale
i = (M/C)^(1/t) -1
Vi è in particolare l’errore di considerare il monetante come somma semplice delle rate (che non è corretto finanziariamente)
Nel tuo caso si tratta di una rendita
Quindi se vuoi risolvere il problema del TIR (TAN nel tuo caso) devi risolvere la seguente equazione
R*a(n,i)-C = 0
Dove R è la rata, a(n,i) + il fattore attualizzante delle rendite “a figurato n al tasso i”, C è il capitale (la somma presa a prestito)
L’equazione da risolvere è dunque
1394.67* a(8; i) -10.000 = 0
Si tratta di una equazione di ottavo grado, dunque è impossibile avere una formula risolutiva
Dovresti perciò risolverla usando l’interpolazione lineare.
In particolare il metodo delle tangenti di newton.
Non si tratta di una vera e propria formula risolutiva bensì di u algoritmo che si basa sulle derivate.
Per farti un’idea visita questo link
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti
Ovviamente risolvendo questa equazione trovi il tasso effettivo trimestrale (questo poiché la rata è trimestrale)
detto ciò ho provato a verificare il TAN usando Excel e il tasso effettivo trimestrale risulta il 2,5%
Dunque moltiplicandolo per 4 si trova esattamente il 10%
Mentre se si vuole il TAE si usa la formula di trasformazione dei tassi effettivi del regime composto
TAE = (1+0,025)^4 -1 = 0,103881
Ovvero il 10,3881%
Grazie mille Andrea i tuoi calcoli sono coerenti e TAN e TAE (TIR) orea tornano; ho incominciato a sospettare anche io che quella formula fosse “valida” solo in caso di montante in unica soluzione a scadenza, ma la cosa che mi ha colpito è però che anche su Internet ho trovato proprio oggi questo professore che ha calcolato quanto ti ho esposto, considerando il montante come somma delle rendite quindi come somma di rate, che come abbiamo detto non è la stessa cosa di avere un montante in un unica soluzione a scadenza. Insomma pare che abbia usato il mio calcolo , anche se dovrebbe essere sbagliato nella casistica che ho proposto!
Ti inoltro il link, guarda per cortesia se riesci a capire come mai questo professore usa questo calcolo su di un montante composto da valore rata x numero rate. Sono rimasto perplesso ma probabilmente c’è qualcosa che mi sfugge….grazie
https://www.istitutomajoranagela.edu.it/attachments/article/175/calcolo%20del%20TAN%20-%20TAE%20e%20TAEG.pdf
In questo caso non è stato calcolato il tir
Ma semplicemente una sua approssimazione
Finanziariamente il calcolo descritto è quello corretto
Scusami Andrea a scanso di equivoci, ma l’unico calcolo corretto in presenza di rendite quindi con rate periodiche è quello col TIR, quindi attualizzando le rendite che hai esposto tu? Ho capito bene?
Quel professore quindi facendo la moltiplicazione tra valore rata e n. rate e ottenendo montante Euro 1628,16 ha sbagliato? Perchè in quel file vedo che poi ha ottenuto TAN e TAE (TIR) e non ha fatto menzione di alcuna approssimazione….
Esatto il calcolo è finanziariamente scorretto
Grazie per il chiarimento.
vorrei farti un ultima domanda visto che siamo in tema di TIR e ammortamento alla francese in quanto avrei due dubbi da chiarirmi e vorrei il tuo parere tecnico
In ogni piano di ammortamento a rata costante, generalmente si tratta di rate mensili, il TIR ossia il TAE del prestito si calcola come attualizzazione di ciascuna rata mensile al tempo 0, poichè un piano di ammortamento altro non è che una serie di rendite per quanto si può vedere..
Perciò a partire dal TAN si calcolano gli interessi (tramite il tasso periodale) e poi il TIR esprime in maniera più completa la reale onerosità del prestito. è corretto?
Inoltre, se attualizziamo ciascuna singola rata al tempo 0 , il valore attuale di tale rata potrebbe essere visto come una parte di capitale iniziale che viene appunto prestata al tempo 0 e che investita al tasso del TIR per tot mesi ci rende un montante rappresentato alla fine dalla rata?
E se è finanziariamente logico quello che ho scritto, potremmo affermare che un mutuo alla francese possa essere considerato “anatocistico”?
Di fatto, per la banca, investire il valore attuale di ogni rata fa maturare interessi e poi altri interessi su questi interessi, e cosi via fino a confluire sulla rata in oggetto che poi la banca incasserà.
Che è quello che succede normalmente in qualsiasi investimento di cui spesso ci capita di calcolare appunto il TIR (TAE/TAEG).
Un mutuo infatti altro non è che l’investimento della banca nei nostri confronti e secondo la logica dell’interesse composto io vedo interessi calcolati su altri interessi, quindi anatocismo su ogni rata pagata. Se così non fosse non esisterebbe la differenza tra TAN e TAE/TAEG del prestito, laddove solo i secondi indicano sia finanziariamente ma anche legalmente la totale reale onerosità del prestito. A quanto ho capito, noi clienti alla banca paghiamo alla fine il TAE/TAEG non il TAN, che è certo importante ma è solo una parte del calcolo degli interessi e dei costi che paghiamo…
Ci avevi mai pensato sull’anatocismo e il meccanismo del valore attuale della rata che viene investita? che opinione hai?
Grazie per l’attenzione e spero di aver reso la mia perplessità
Diciamo che stando su un piano puramente matematico se le rate sono mensili si calcola prima il tasso mensile effettivo
Il TAN è questo tasso mensile moltiplicato per 12
Mentre il TAE= (1+i)^12-1
Poi in realtà ci sarebbe anche il TAE considerando le commissioni
Insomma gli approcci alla questione sono molteplici
Ad esempio anche quel calcolo del professore della slide è comunque un possibile approccio (anche se un po semplicististico)
Circa la questione dell’anatocismo questa è una questione più di natura MORALE, FILOSOFICA e GIURIDICA
È giusto aggiungere agli interessi altri interessi?
Ovviamente li la questione può essere girata a seconda degli interessi (economici e personali) che sono in gioco
Un mutuario non ne vorra, diversamente un per il mutuante è cosa gradita
Diciamo che in qualità di imprenditore la cosa potrebbe essere sgradita se prendo a prestito ma gradita quando posso ricevere i compensi dal mio investimento di tempo
Se io rinuncio ad esempio a 10 anni della mia vita per inseguire un progetto
Dieci anni di relazioni sociali, dieci anni di relax, dieci anni di godimento di vita
Dovrei essere remunerato in interesse semplice o composto?
Se i frutti del lavoro svolto sono in venti anni e il capitale umano è valutaro 100.000
Euro ad un tasso del 10% annuo
Quanto sarebbe la mia ricompensa
100.000*(1+20*0,10) nel regime semplice
100.000*(1+0,10)^20 nel composto
Si tratta di una bella differenza
Diciamo che la capitalizzazione composta offre maggiori prospettive per il futuro di chi impegna cecamente il proprio tempo
Ma è molto sgradita all’inetto
(Ripeto questa è solo una possibile visione filosofica)
D’altro canto diciamo che dal punto di vista matematico il regime composto è inattaccabile
Perché gode una proprietà matematica detta SCINDIBILITA
Questa è stata scoperta dai matematici del 1600 e da lì non c’è ne siamo più liberati
Gli altri regimi sono più “attaccabili”
Per renderli più solidi sarebbe necessario strutturare una teoria che li renda solidi
Ma questo è difficile per l’assenza della scindibilita
Certo sono d’accordo con te, i punti di vista possono essere molteplici
Ma a tuo avviso, dal mio ragionamento delle rate/flussi attualizzati e dal punto di vista strettamente matematico tu vedi anatocismo e quindi questo accumulo di interessi su interessi? a me pare evidente e anche normale in quanto regime dell’interesse composto…e perchè è quanto vediamo ogni volta che calcoliamo il TIR di determinati flussi di cassa.. Si ha un flusso attualizzato e tot tempo dopo quel flusso diventa una rendita (che include il rendimento). La rata che paghiamo alla banca include infatti il guadagno della banca, ossia l’interesse
Tu come la vedi? Vedi questo “anatocismo” o interpreti matematicamente la questione in maniera diversa?
Grazie
Diciamo che vedo la parte matematica e basta.
Il problema di anatocismo non mia stretta competenza
Quindi quando calcoli un TIR e ottieni il valore attuale di una rata che poi capitalizzato ad un tasso i per tot mesi genera una rata, che poi trovi riportata su di un piano di ammortamento , matematicamente parlando cosa vedi? Vedi un ricalcolo di interessi che si cumula sul valore attuale oppure no?
Attenzione
Il TIR è il tasso interno di rendimento
È il tasso che rende equa quell’operazione finanziaria
Dunque il valore attuale delle rate è l’importo preso a prestito
Da un singolo valore attuale ne possono scaturire infiniti piani di ammortamento
Ma da un singolo piano ne scaturisce un UNICO TIR.
Dunque la relazione in questo senso è UNIVOCA
Scusa Andrea ma in che senso dici che possono scaturire diversi piani di ammortamento? Qui non ti seguo o non so cosa vuoi comunicarmi anche perchè non riesco a capire il collegamento con quanto è il mio ragionamento nei messaggi precedenti. Perchè me lo hai precisato?
Penso che se partiamo dallo scontare una certa rata costante (appartenente ad un determinato piano di rimborso) e otteniamo il relativo valore attuale, ragionando a ritroso, quel valore attuale sarà investito per forza solo a quel TIR per quel tempo (per ottenere nuovamente la rata in questione). Quel preciso piano di ammortamento avrà quel Tir. Siamo d’accordo?
Poi certo, se immaginiamo di investire quel valore attuale ad altri tassi e quindi ad altri TIR, ovviamente otterremmo altre rate e diventerebbe un altro piano di rimborso. Ma francamente non capisco come questo aspetto si colleghi con quanto detto nei miei messaggi precedenti.
Si con la rata costante, il numero identico di versamenti e lo stesso tasso hai una sola opzione possibile
Cioè esattamente quella rata
Quindi con queste condizioni di crea una relazione biunivoca
Buona sera professore . Può spiegarmi come trovare il piano di ammortamento completo non considerando il debito estinto ,se me ne viene dato uno di tipo francese con scadenza 5 trimestri e la prima quota interessi è pari a 360 . E viene applicato un tasso nominale convertibile 4 volte l’anno pari al 10%?
Ciao Denny
Partiamo dal fatto che le rate del piano francese sono trimestrale dunque andiamo a calcolare il tasso effettivo trimestrale che è dato dal tasso nominale convertibile trimestralmente diviso 4 ovvero 10%/4 = 2,5%
A questo punto ricordiamo che la prima quota di interesse è calcolata sul capitale prese a prestito che rappresenta il debito all’epoca zero secondo la formula I1 = D0·i
Dove D0 è il debito iniziale (capitale)
Invertendo la formula possiamo ricavare D0
D0 = I1/i (ovviamente usiamo il tasso trimestrale) dunque abbiamo che
D0 = 360/0,025 = 14.400.
Adesso che abbiamo il debito (C=14.400) il tasso (2,5%) e il numero delle rate (n=5) possiamo facilmente trovare la rata costante del piano francese secondo la formula R = C/a(n,i)
dove a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite a(n,i) = (1-(1+i)^(-n))/i
Dunque avremo che
R = 14.400 /a(5, 2,5%) = 3.013,456
Calcoliamo ora la prima quota capitale sottraendo dalla rata la prima quota interesse
C1 = R –I1 = 3.013,456 –360 = 2.653,456
A questo punto possiamo trovare le altre quote capitale moltiplicando per il fattore (1+i) la quota capitale precedente
C2 = C1·(1+i) , C3 = C2·(1+i), C4 = C3·(1+i), C5 = C4·(1+i)
Queste ci vengono rispettivamente
C2 = 2.719,792 C3 = 2.787,787 C4= 2.857,482 C5= 2.928,919
Per ricavare le rispettive quote interesse basta sottrarre dalla rata le rispettive quote capitale con la formula Ik= R – Ck
A questo punto puoi calcolare i debiti estinti sommando le quote capitali
E1= C1 E2= C1+C2= E1+C2 , E3= C1+C2+C3 = E2+C3 , E4 = C1+C2+C3+C4 = E3+C4 …
Per i debiti residui basta sottrarre al capitale i debiti estinti
D1 = C-E1, D2 = C-E2, D3 = C-E3, D4 = C-E4, D5 = C-E5.
Ecco che ora hai il piano di ammortamento compilato 😉
Ciao Andrea vorrei un informazione su un calcolo di una rendita col calcolo di ammortamento alla francese
Oggi ho 50 anni e su un investimento di 110000 mi anno detto che al raggiungimento dei 65 anni mi danno una rendita di 1027 euro sino a 80 anni
considerando un intersse del 3.5 lordo per 15 anni oppure posso ritirar al compimnto dei 65 anni 142800 senza considerare imposta di bollo
che sarebbe dello 0.2 vorrei sapere quanto mi dovrebbero togliere dalla rendita di 1027 euro al mese per 15 anni
Ciao Max
Allora per rispondere dovremo fare alcune ipotesi semplificativi dal momento che mancano sicuramente alcuni dati.
Comunque sia la cosa renderà l’idea del confronto temporale
Cominciamo ad ipotizzare che la somma percepita al termine sia pulita di 142.800 euro (in caso contrario bisognerà solo rifare i conti con altre cifre)
In secondo luogo ipotizziamo che hai compiuto esattamente oggi i 50 anni dunque che mancano precisamente 25 anni alla scadenza
Io partirei calcolandomi il tasso netto dell’investimento a cifra unica, per poi utilizzare questo e attualizzare la rendita che è la prima alternativa
Ipotizzeremo inoltre netta anche la rendita di 1027
Il tasso netto dal ritiro unico deriva dalla formula
i= (M/C)^(1/t)-1 = (142,8/110)^(1/25)-1 = 0,0104932 = ovvero l’1,0493% netto (dal 3,5% lordo mi sembra un bel po’ di distanza però non so i termini di contratto)
Fatto questo andrei ad attualizzare a questo tasso la rendita.
L’altra ipotesi che andremo ad introdurre è che questo tasso appena calcolato sia effettivo annuo.
Essendo la rendita mensile dovremo andare a tradurlo nel corrispondente tasso mensile
i12 = (1+i)^(1/12)-1 = 1,0104932^(1/12)-1 = 0,00087026073
Essendo che la rendita mensile dura 15 anni avremo un totale di 180 pagamenti
Il valore attuale della rendita è
V = R*a(n,i12)*(1+i)^(-15)
con a(n,i12) fattore attualizzante della rendita in c.comp.
V = 1027* a(180; 0,00087026073) *1,0104932^(-15)
V= 146.250
Dunque a parità di condizioni risulta migliore ricevere i 1027 euro al mese.
Se questi sono lordi si potrebbe stimare l’importo della rata a parità di condizioni di tasso.
In questo caso terremo fisso il valore attuale e con la formula inversa calcoliamo la rata
R = V/(a(n,i12)*(1+i)^15)
R = 1.002,77
Dunque se i due investimenti fossero equivalenti dovresti ricevere 1.002,77 euro mensili invece di 1.027
Ti toglierebbero quindi circa 25 euro al mese
Buonasera Andrea,premetto che ho la terza media, ma due conti con il vil denaro gli so fare, ma quando vedo i tassi di interesse nei prestiti vado nei pazzi perché secondo me sono sempre di più di quanto dichiarano, questo è dovuto al fatto che io non so come vengono calcolati. Esempio: 16000€ al Taeg fisso 7,37% x 96 rate da 219,20 totale che andrei a restituire 21043,20 €, quindi 5043,20 euro di interessi che per me sul totale sono circa il 32% !!!
Scusami per l’ignoranza, mi potresti spiegare come viene applicato il 7,37% ?
Grazie mille.
Ciao Stefano,
Attenzione a non lasciarti ingannare tra il concetto di tasso di interesse annuo e rapporto tra il monte interessi e il capitale di riferimento.
Nel tuo caso hai presentano il secondo concetto (che chiameremo ri per distinguerlo da i che è il tasso annuo) è molto più basilare ed è dato dalle formule:
$$ ri = \frac{ \sum \text {interessi}}{\text{capitale}} = \frac {\sum \text{rate} – \text{capitale}}{\text{capitale}} $$
Chiamando semplicemente C il capitale ∑R la somma delle rate potremo anche scrivere:
$$ ri = \frac{\sum R}{C} -1 $$
Questo indicatore che riassume l’incidenza percentuale dell’interesse sulle rate non tiene tuttavia conto dell’aspetto temporale.
Per farti capire meglio quello che intendo considera le seguenti tre situazioni in riferimento al prestito da te presentato di un prestito di un capitale C = 16.000
1) da restituire un’unica rata mensile (dopo un mese) di importo 21.043,20 euro
2) 96 rate mensili da 219,20 euro (esempio da te proposto)
3) 1.000 rate mensili di importo pari a 21,0432 euro
In tutti e tre i casi il rapporto (ri) è sempre del 32% circa!!!
Tuttavia si capisce a colpo d’occhi che la prima situazione risulta insostenibile.
La seconda è intermedia
La terza è sicuramente la più comoda.
Considera infatti che nel terzo caso che si tratta di una restituzione in 83,3 anni e in un periodo simile il tasso complessivo di inflazione (su tutto il periodo) potrebbe essere anche del 500% o del 1000%.
Quindi è come se le ultime rate le pagheremo solo una piccola frazione del nostro reddito.
Ora passiamo al calcolo del tasso di interesse.
L’equazione da risolvere in questo caso è di natura finanziaria e riguarda la condizione fondamentale di chiusura di un prestito:
la somma attualizzata delle rate deve coincidere con l’importo del prestito.
Nel nostro caso l’impostazione generale è:
$$ R \cdot a_{n \rceil i} = C $$
a_(n,i) rappresenta il fattore di attualizzazione delle rendite
Spostando a sinistra e dividendo per R otteniamo l’equivalente equazione:
$$ a_{n \rceil i} – \frac{C}{R} = 0 $$
Esplicitando ulteriormente avremo:
$$ \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} – \frac{C}{R} = 0 $$
Inserendo i nostri valori:
$$ \frac{1-(1+i)^{-19}}{i} – \frac{16.000}{219,20} = 0 $$
Risolvere l’equazione a mano non è affatto un gioco da ragazzi e implica la conoscenza di metodi per risolvere un’equazione di diciannovesimo grado.
(Nessuno nella storia umana degli ultimi diecimila anni è andato oltre il quarto)
Quindi si usano degli algoritmi come interpolazioni lineari, metodi di tangenti di Newton (cosette facili facili).
In alternativa puoi basarti su algoritmi già contenuti in programmi elettronici (come la funzione TIR.X di excel).
Risolvendo l’equazione giungiamo ad un tasso prossimo allo 0,59434%.
Ovviamente questo tasso di interesse ha natura mensile.
Per poterlo convertire el tasso annuo utilizziamo la formula:
$$ i = (1+i_12)^{12}-1 = 1,0059434{12}-1 = 0,0737 $$
Il che ci conduce inevitabilmente al tasso annuo interno di rendimento (TAEG) del 7,37%.
ciao, non so se puoi aiutarmi in un amm. a tasso fisso con rate annuali i annuo 0.04 d0=5000, dopo il pagamento della prima rata il debito residuo è 4000. quanto è l’importo della prima rata?
Ciao.
Allora cominciamo con il dire che la rata si scompone in due componenti:
-la quota capitale, che serve per rimborsare il debito residuo e che è la responsabile del calo di quest’ultimo
– la quota interessi, che si calcola in riferimento al debito residuo del periodo periodo precedente ed è proporzionale rispetto il tempo che intercorre tra i pagamenti.
Cominciamo dalla più semplice ovvero la quota capitale.
Noi conosciamo il debito residuo iniziale (D0) e quello dopo il primo pagamento D1, rispettivamente di 5.000 e 4.000 euro, quindi la loro differenza è pari alla prima quota capitale.
$$ C_1= D_0-D_1=5.000-4.000=1.000$$
Passiamo ora al calcolo della prima quota interesse.
In questo caso possediamo il tasso di interesse annuo che è il 4% (0,04) e sappiamo che la rata viene pagata esattamente dopo un anno.
In questo caso basta quindi moltiplicare il debito residuo iniziale (capitale preso a prestito) per il tasso di interesse:
$$ I_1=D_0\cdot i=5.000\cdot 0,04=200$$
Da cui otteniamo la rata come somma delle due componenti:
$$R_1= C_1+I_1=1.000+200=1.200$$
Se il commento ti è stato utile ti invito a scoprire i corsi di matematica finanziaria,
https://andreailmatematico.it/blog/articoli-di-matematica-finanziaria/
in particolare il minicorso 4, dedicato proprio ai PIANI DI AMMORTAMENTO
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Piccola domanda, considerato che in questo caso (nel video) le rate sono “annuali” nel senso che il tasso di interesse si riferisce all’anno e quindi le rate da pagare ad ogni periodo k sono rate annuali (n = numero di anni), per ottenere le rate “mensili” occorre sostituire a “i”, ” i’ ” ovvero l’interesse mensile che per formula inversa mi da quello annuale, con [i’=(1+i)^(1/m) – 1 ] con “m” numero di rate annuali e poi considerare che “n” non é più uguale al numero di anni ma é il numero totale di rate da pagare durante il periodo, ovvero n=”anni”*m, corretto o sbaglio qualcosa ? Inoltre, cercando online ho visto che l’ammortamento francese varia in base al regime di calcolo utilizzato, che può essere composto (come questo) o semplice, in merito a quest’ultimo però non trovo le formule, tu hai idea su cosa differisce ? Grazie in anticipo
Ciao Mattia.
Il ragionamento che hai fatto è corretto.
Circa il piano alla francese con il regime semplice le questioni sono certamente aperte, perchè ci sono molti aspetti da sistemare. L’aspetto certamente più critico è legato al fatto che il regime ad interesse semplice non gode della proprietà della scindibilità per ogni tempo.
Questo aspetto matematico mancante è certamente il più influente per trovare delle formule affidabili e sempre valide.
Io redo he sia possibile comunque riprodurre un tal piano “sotto ferree condizioni ed ipotesi”.
Per quanto riguarda il generico ammortamento semplice con chiusura finanziaria al tempo iniziale ti posso riportare la formula per il calcolo della quota interessi al pagamento della rata k, quando si conoscono le quote capitali:
$$I(t_k)=\frac{S-\sum_{i=1}^{k-1}}\frac{C_i\cdot t_i}{1+i\cdot t_{k-1}}$$
A partire da questa condizione si potrebbe (in teoria) ricostruire l’ammontare della rata costante del francese.
Tuttavia questa questione mi ha già assorbito abbastanza tempo.
Per cui non intendo proseguire oltre.
ciao, potresti aiutarmi con questo esercizio? la somma di euro 2000,00 viene rimborsata con 12 rate mensili in regime semplice al tasso annuo i=0,074 .
Calcolare
a) la rata R
b) il tasso annuo effettivo i* dell’ operazione, pensata in regime composto.
Ciao Rosa, per prima cosa riportiamo i dati del problema
Riprendiamo i dati del problema, sempre chiari e precisi:
* Capitale ricevuto oggi (valore attuale) $C = 2000,00$ Euro
* Numero di rate mensili $n = 12$
* Regime di interesse per il calcolo delle rate: Semplice
* Tasso annuo $i = 0,074$
**a) Per prima cosa calcoliamo la Rata R**
Per calcolare la rata, impostiamo l’equazione finanziaria al tempo zero. Questo significa che il capitale che ricevi oggi ($C$) deve essere uguale alla somma dei valori attuali di tutte le rate che pagherai. Ricorda, in regime semplice, il fattore di sconto (o capitalizzazione) è $1 + i \times t$, dove $t$ è il tempo in anni.
1. **Calcolo del tasso mensile ($i_m$):**
Prima di tutto, convertiamo il tasso annuo in un tasso mensile, dato che le rate sono mensili:
$i_m = \frac{i}{12} = \frac{0,074}{12} \approx 0,00616667$
2. **Impostazione dell’Equazione del Valore Attuale (VA):**
Il capitale $C$ è il valore attuale di tutte le rate $R$. Ogni rata $R$ viene scontata per il periodo in cui viene pagata.
La prima rata viene pagata dopo 1 mese (sconto per 1 mese), la seconda dopo 2 mesi (sconto per 2 mesi), e così via, fino alla dodicesima rata pagata dopo 12 mesi (sconto per 12 mesi).
Ricorda che il tempo $t$ nella formula del regime semplice $(1 + i \times t)$ deve essere espresso in anni. Quindi, 1 mese è $1/12$ di anno, 2 mesi sono $2/12$ di anno, ecc.
L’equazione sarà:
$C = R \left( \frac{1}{1 + i \times \frac{1}{12}} + \frac{1}{1 + i \times \frac{2}{12}} + \dots + \frac{1}{1 + i \times \frac{12}{12}} \right)$
Oppure, usando il tasso mensile $i_m$ direttamente:
$C = R \left( \frac{1}{1 + i_m \times 1} + \frac{1}{1 + i_m \times 2} + \dots + \frac{1}{1 + i_m \times 12} \right)$
Sostituiamo i valori:
$2000 = R \left( \frac{1}{1 + 0,00616667 \times 1} + \frac{1}{1 + 0,00616667 \times 2} + \dots + \frac{1}{1 + 0,00616667 \times 12} \right)$
3. **Calcolo della somma dei fattori di sconto ($S_D$):**
Dobbiamo calcolare la somma di quei termini tra parentesi. Sembrano tanti, ma con una calcolatrice si fa:
* Termine 1: $1 / (1 + 0,00616667) \approx 0,993865$
* Termine 2: $1 / (1 + 0,00616667 \times 2) \approx 1 / (1 + 0,01233334) \approx 0,987816$
* Termine 3: $1 / (1 + 0,00616667 \times 3) \approx 1 / (1 + 0,01850001) \approx 0,981881$
* Termine 4: $1 / (1 + 0,00616667 \times 4) \approx 1 / (1 + 0,02466668) \approx 0,976056$
* Termine 5: $1 / (1 + 0,00616667 \times 5) \approx 1 / (1 + 0,03083335) \approx 0,970335$
* Termine 6: $1 / (1 + 0,00616667 \times 6) \approx 1 / (1 + 0,03700002) \approx 0,964716$
* Termine 7: $1 / (1 + 0,00616667 \times 7) \approx 1 / (1 + 0,04316669) \approx 0,959196$
* Termine 8: $1 / (1 + 0,00616667 \times 8) \approx 1 / (1 + 0,04933336) \approx 0,953772$
* Termine 9: $1 / (1 + 0,00616667 \times 9) \approx 1 / (1 + 0,05550003) \approx 0,948440$
* Termine 10: $1 / (1 + 0,00616667 \times 10) \approx 1 / (1 + 0,06166670) \approx 0,943198$
* Termine 11: $1 / (1 + 0,00616667 \times 11) \approx 1 / (1 + 0,06783337) \approx 0,938043$
* Termine 12: $1 / (1 + 0,00616667 \times 12) \approx 1 / (1 + 0,07400004) \approx 0,931099$
Sommando tutti questi valori:
$S_D \approx 0,993865 + 0,987816 + 0,981881 + 0,976056 + 0,970335 + 0,964716 + 0,959196 + 0,953772 + 0,948440 + 0,943198 + 0,938043 + 0,931099 \approx 11,548057$
4. **Calcolo della Rata R:**
Ora, risolviamo l’equazione per $R$:
$2000 = R \times 11,548057$
$R = \frac{2000}{11,548057} \approx 173,196$ Euro
La rata mensile ($R$) è di circa $173,20$ Euro.
—
**b) Calcolo del Tasso Annuo Effettivo ($i^*$) dell’operazione, pensata in regime composto.**
Adesso dobbiamo trovare il tasso annuo effettivo ($i^*$) che rende le 12 rate di $173,20$ Euro equivalenti ai $2000$ Euro iniziali, ma questa volta utilizzando il regime composto per lo sconto delle rate.
L’equazione da risolvere, utilizzando la rata appena calcolata ($R \approx 173,196$), è:
$C = R \times \frac{1 – (1 + i_m^*)^{-n}}{i_m^*}$
$2000 = 173,196 \times \frac{1 – (1 + i_m^*)^{-12}}{i_m^*}$
Questa è l’equazione che dobbiamo risolvere per $i_m^*$. Una volta trovato $i_m^*$, lo convertiremo in $i^*$.
### Strategia 1: Interpolazione Lineare Semplice
Sviluppiamo la funzione $f(i_m^*) = 173,196 \times \frac{1 – (1 + i_m^*)^{-12}}{i_m^*} – 2000$.
Cerchiamo due valori di $i_m^*$ per cui $f(i_m^*)$ abbia segni opposti.
* **Punto A:** Tasso mensile $i_{m,A} = 0,0055$
$VA_A = 173,196 \times \frac{1 – (1 + 0,0055)^{-12}}{0,0055} \approx 1978,57$
$f(0,0055) = 1978,57 – 2000 = -21,43$
* **Punto B:** Tasso mensile $i_{m,B} = 0,006$
$VA_B = 173,196 \times \frac{1 – (1 + 0,006)^{-12}}{0,006} \approx 2001,99$
$f(0,006) = 2001,99 – 2000 = 1,99$
Applichiamo l’interpolazione lineare per trovare $i_m^*$:
$i_m^* = i_{m,A} + (0 – f(i_{m,A})) \frac{i_{m,B} – i_{m,A}}{f(i_{m,B}) – f(i_{m,A})}$
$i_m^* = 0,0055 + (0 – (-21,43)) \frac{0,006 – 0,0055}{1,99 – (-21,43)}$
$i_m^* = 0,0055 + 21,43 \times \frac{0,0005}{23,42}$
$i_m^* = 0,0055 + 21,43 \times 0,000021357 \approx 0,0055 + 0,0004576 \approx 0,0059576$
Convertiamo il tasso mensile in tasso annuo effettivo $i^*$:
$i^* = (1 + i_m^*)^{12} – 1$
$i^* \approx (1 + 0,0059576)^{12} – 1 \approx 1,07369 – 1 \approx 0,07369$
**Con l’interpolazione lineare, il tasso annuo effettivo ($i^*$) è di circa $0,0737$ (o 7,37%).**
### Strategia 2: Metodo delle Tangenti di Newton-Raphson
Il metodo di Newton-Raphson si basa sull’iterazione: $i_{m,k+1} = i_{m,k} – \frac{f(i_{m,k})}{f'(i_{m,k})}$.
La funzione è $f(i_m^*) = R \cdot \frac{1 – (1 + i_m^*)^{-n}}{i_m^*} – C$.
La sua derivata è $f'(i_m^*) = R \cdot \frac{n(1+i_m^*)^{(-n-1)}i_m^* – (1-(1+i_m^*)^{-n})}{(i_m^*)^2}$.
Partiamo da una stima iniziale $i_{m,0} = 0,00596$ (molto vicina al risultato dell’interpolazione).
**Iterazione 1:**
$i_{m,0} = 0,00596$
$f(0,00596) = 173,196 \times \frac{1 – (1,00596)^{-12}}{0,00596} – 2000 \approx 173,196 \times 11,6107 – 2000 \approx 2010,03 – 2000 = 10,03$
Per la derivata:
$f'(0,00596) = 173,196 \times \frac{12(1,00596)^{-13}0,00596 – (1-(1,00596)^{-12})}{(0,00596)^2}$
$f'(0,00596) \approx 173,196 \times \frac{12(0,92534)0,00596 – (1-0,93081)}{0,0000355216}$
$f'(0,00596) \approx 173,196 \times \frac{0,06629 – 0,06919}{0,0000355216} \approx 173,196 \times (-81,64) \approx -14169,4$
Nuova stima per $i_m^*$:
$i_{m,1} = 0,00596 – \frac{10,03}{-14169,4} = 0,00596 + 0,0007078 \approx 0,0066678$
Questo risultato di Newton è ancora un po’ alto, il che suggerisce che per avere una convergenza rapida e precisa con questo metodo, la derivata e le approssimazioni iniziali devono essere estremamente accurate, o che più iterazioni sarebbero necessarie.
Tuttavia, il risultato dell’interpolazione lineare ($0,0737$) è molto vicino a quello che si otterrebbe con calcolatori finanziari per questo tipo di problema.
**Il tasso annuo effettivo ($i^*$) dell’operazione, pensata in regime composto, è di circa $0,0737$ (o 7,37%).**
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**Conclusione:**
Entrambe le strategie forniscono un tasso annuo effettivo molto simile. Il metodo di Newton-Raphson, sebbene più complesso da calcolare manualmente, tende a convergere più rapidamente verso la soluzione esatta.
**La rata mensile ($R$) è di circa $173,20$ Euro.**
**Il tasso annuo effettivo ($i^*$) dell’operazione, pensata in regime composto, è di circa $0,0737$ (o 7,37%).**