Skip to main content

https://www.youtube.com/watch?v=MlXsdOyqF3o

In questo blog parliamo dell’ammortamento francese, definito anche a rata costante.

RATA COSTANTE

Il primo calcolo significativo riguarda dunque la rata.

Nel piano di ammortamento francese le rate formano una rendita a rata costante (per definizione) immediata e posticipata.

Siccome agiamo nel regime composto utilizzeremo la formula per il calcolo della rata in una rendita immediata e posticipata.

Dividiamo cioè la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.

DEBITO RESIDUO

Il secondo calcolo riguarda il debito residuo.

In ogni istante il debito residuo di un piano di ammortamento riflette l’attualizzazione delle future rate.

Poiché all’epoca k ci restano ancora da pagare n-k rate, per calcolare il debito residuo in tale epoca attualizziamo queste rate.

Moltiplichiamo cioè l’importo della rata per il fattore “a figurato (n-k) al tasso i”

QUOTA CAPITALE

Le quote capitali di un ammortamento francese seguono una progressione geometrica con ragione (1+i).

Ora senza entrare in angusti dettagli di calcolo o di ragionamento enunciamo questa semplice formula per calcola una generica quota capitale Ck.

Per farlo moltiplichiamo la rata per il fattore unitario di attualizzazione v elevato alla (n-k+1).

Questo fattore unitario di attualizzazione v è pari a (1+i)^(-1).

QUOTA INTERESSE

Una volta ricavata la formula della rata costante R e della quota capitale Ck non è difficile ricavare la quota di interesse Ik.

La quota di interesse Ik è data dalla differenza tra la rata R e la quota capitale Ck.

Sviluppiamo per la quota capitale Ck la formula vista in precedenza avremo:

Raccogliamo a fattor comune R:

Sviluppiamo il fattore unitario di attualizzazione v come (1+i)^(-1):

ESEMPIO

Vediamo insieme un esempio concreto di redazione di un piano di ammortamento francese.

Redigere un piano di ammortamento francese di un prestito di 50.000 euro da restituire in 4 rate annue al tasso del 10%

RATA COSTANTE

Pariamo dal calcolo della rata costante R con la formula vista in precedenza:

Sostituiamo al posto del capitale S il valore di 50.000, al posto del tasso i il 10% ovvero 0,10 e al posto di n il 4:

DEBITO RESIDUO

Passiamo ora al debito residuo e applichiamo la seguente formula:

Sostituiamo al posto dei vari k le epoche di pagamento:

QUOTA CAPITALE

Ora tocca alle quote capitale e la formula di cui ci serviamo è la seguente:

Inseriamo i dati e otteniamo:

QUOTA INTERESSI

Per ultime ma non di importanza calcoliamo le quote di interesse.

Possiamo calcolarle nel modo classico, ovvero sottraendo dalla rata le quote capitali calcolate sopra:

In questo modo avremo:

Oppure in alternativa possiamo applicare questa formula

Procedendo con ordine avremo:

Chiaramente i risultati saranno i medesimi con entrambi i modi.

PIANO DI AMMORTAMENTO

Ecco che a questo punto possiamo compilare il nostro piano di ammortamento francese

Nella  prima colonna troviamo le epoche k, che coincidono con gli anni 0, 1, 2, 3, 4 e 5

Dalla seconda alla quarta colonna troviamo in ordine: rata (RK), quota capitale (Ck) e quota interesse (Ik).

Nella quarta e ultima  colonna sono segnati i debiti residui (Dk) 

Nota bene che avremmo puto aggiungere una colonna per rappresentare i debiti estinti (Ek).

Tali debiti estinti possono essere tranquillamente calcolati come la differenza tra il capitale S e i debiti residui Dk.

PER SCOPRIRE DI PIU’

Per scoprire di più sugli ammortamenti  ho realizzato un corso che affronta in modo dettagliato questo argomento.

Gli ammortamenti costituiscono il  video corso della saga della matematica finanziaria.

Scopri tutte le caratteristiche di questo corso cliccando sull’immagine della copertina.

Nel link troverete una descrizione completa delle caratteristiche del corso.

19 Comments

  • Karin ha detto:

    Ma se mi viene detto che in ammortamento francese la decima quota capitale supera la settima del 10% e mi chiede trovare il tasso unitario di interesse composto come faccio a calcolarlo?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Karin, grazie per l’interessante domanda.
      In un piano di ammortamento le quote capitale vanno in progressione geometrica con ragione (1+i).
      Questo significa che se conosciamo una quota capitale e il tasso possiamo determinare una qualsiasi altra quota capitale con la formula:
      C_(k+n)=C_k*(1+i)^n
      Nel tuo caso ti viene detto che la decima quota capitale supera la settima del 10%.
      Questo significa che:
      C_10=C_7*1,1
      Ricorda che 1,1=1+10%
      quindi 1,1 incorpora un aumento pari a 3 anni, il che significa che equivale a : (1+i)^3
      Dunque basta impostare l’equazione:
      (1+i)^3=1,1
      che risolta ci restituisce il valore del tasso di interesse i pari a:
      i=1,1^(1/3)-1=0,03228
      Il tasso di interesse sull’ammortamento francese è dunque pari al 3,228%.
      Un caro abbraccio 😉

  • Mattia ha detto:

    ciao una banca mi concede un mutuo di 70.000€ per 4 anni con il tasso del 5.5% e rata quadrimestrale
    come calcolo la rata costante?
    perfavore aiutami

  • Mattia ha detto:

    una banca concede un mutuo di 70.000€per 4 anni con un tasso del 5.5% rata quadrimestrale
    per favore mi potresti dire come viene calcolata la rata
    per favore non riesco a capirlo

    • Andrea ha detto:

      ciao Mattia,
      Grazie per l’interessante domanda.
      per primma cosa calcoli il tasso effettivo quadrimestrale:
      i_3=(1+i)^(1/3)-1=1,055^(1/3)-1=0,018=1,80%
      In secondo luogo il numero di rate quadrimestrali è:
      n=4*3=12
      Poi applichi la formula:
      R=S*i/(1-(1+i)^(-n))
      Dove
      S=70.000
      i=0,018
      n=12
      Dunque:
      R=70.000*0,018/(1-1,018^(-12))=6.538,14
      Ecco la tua rata 😉
      Se vai sul sito andreailmatematico.it
      trovi il corso completo di matematica finanziaria.
      Ed oltre a quello c’è un eserciziario associato molto completo con tanti temi d’esame vecchi.
      Se preferisci approfondire temi specifici ci sono anche i mini corsi.
      https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

  • Stefano ha detto:

    Ciao Andrea,
    seguo attentamente il tuo canale, in quanto lo trovo davvero fatto bene e molto esplicativo, il tutto con una semplicità disarmante!
    Per questo ti ringrazio per il tuo blog.

    Oggi mi imbattevo in un esercizio, ma non riesco a venirne a capo. Posso chiederti una spiegazione?
    Il testo è il seguente:
    “Un individuo riceve, al tempo t=0, in prestito la somma di €60000 da restituire con quattro rate semestrali posticipate. Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è 0,10 e che R1=€4000, Rk+1/Rk=3 (per k=2 e k=3), calcolare l’importo delle rate e stilare il piano di ammortamento.”

    Svolgimento:
    Ho calcolato il tutto usando come periodi il semestre e non l’anno, quindi il tasso è dello 0,05. Ho calcolato il tutto per il 1° periodo, ed ho anche notato che nel 2° periodo avremo una rata R2, mentre per il 3° periodo R3=3*R2, e nel 4° periodo R4=9*R2.
    Sono riuscito a calcolare l’interesse I2, che è pari a 2950€, ma non riesco a calcolare R2, o comunque C2. Mi manca questo passaggio, perchè poi calcolerei tutto a cascata.

    Ti allego anche il link con il testo e la soluzione: è l’esercizio 21.

    https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilk–i44H3AhUPSvEDHcXhBTkQFnoECAYQAQ&url=https%3A%2F%2Felearning.unite.it%2Fmod%2Fresource%2Fview.php%3Fid%3D45543&usg=AOvVaw35KI5eTRNaXj9xZ4NDM1XK

    Spero tu possa aiutarmi,
    ti ringrazio davvero tanto.

    Un saluto
    Stefano

    • Andrea ha detto:

      Ciao Stefano, grazie per la domanda.
      Direi che l’analisi iniziale che hai svolto del problema è ottima.
      Il tasso semestrale è del 5%
      Sai che il capitale erogato è S = 60.000
      la prima rata R1 = 4.000
      Giusta l’intuizione per cui:
      R3= 3·R2
      R4= 9R2
      Giusta l’intuizione che ruota tutto attorno al calcolo di R2
      Ora dobbiamo ricordarci di una condizione molto che vale in tutti i piani di ammortamento:
      LA CONDIZIONE DI CHIUSURA FINANZIARIA
      secondo questa condizione al momento della stipula di un piano di ammortamento deve valere che:
      l’attualizzazione delle rate al tasso del prestito deve essere pari al capitale prestato.
      Applicando questa condizione possiamo riscrive:
      VALORE ATTUALE RATE = VALORE PRESTITO
      Se per comodità imponiamo R2 = R scriviamo che:

      4.000 ·1,05^-1 + R·1,05^-2 + 3R·1,05^-3 + 9R·1,05^-4 = 60.000

      Se a sinistra lasciamo i termini che moltiplicano R e raccogliamo R, e spostiamo a destra tutti i numeri abbiamo che:

      R·(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 60.000 – 4.000 ·1,05^-1

      Da cui ricaviamo che la rate R vale :

      R = (60.000 – 4.000 ·1,05^-1)/(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 5.153,74

      Una volta ricavato questo dato “a cascata” calcoliamo tutto il resto

  • Angelo ha detto:

    Un aiutino perfavore :))). Oggi ho acquistato un’automobile che costa 27.000 euro, pagando dopo 6 mesi 5000 euro e poi altre n.24 rate posticipate al TAN del 6% . Sapendo che dopo lultima rata resta ancora un debito di 5000 euro stabilire importo della rata Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare TAEG e redigere piano di ammortamento per le 24 rate. E anche un’altro problema simile al precedente. Oggi ho acquistato un’automobile che costa 37.000 euro, pagando dopo 8 mesi 7000 euro e poi una rata di 400 euro al mese per 24 mesi al T.A.N. del 6%. Stabilire se e quanto resta di debito dopo l’ultima rata. Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare il T.A.E.G. e redigere il piano di ammortamento per le 24 rate. Grazie in anticipo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Angelo, più che un problemino mi sembra un problemone.
      Cercherò di rispondere al primo tuo quesito.
      Quando si rimborsa un prestito o si paga un bene in generale deve valere che il valore attuale dei flussi di cassa sia pari al valore del bene.
      Nel tuo caso l’automobile vale 27.000 euro.
      Questo perciò deve assere il valore attuale.
      Nel caso dell’acquisto di questa auto abbiamo :
      – un anticipo di 5.000 euro
      – un finanziamento di di 24 rate (suppongo mensili) da calcolare
      – pagamento finale di 5.000 euro.
      Supponiamo che sull’anticipo e sul pagamento finale non gravino interessi (da come ho capito lèggendo il testo)
      E che gli unici interessi vengano fatti pagare nel finanziamento di 24 rate.
      (Queste ipotesi sono importanti per impostare i calcoli iniziali e di conseguenza per determinare il valore della rata).
      Soto queste ipotesi abbiamo che:
      ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
      Per quanto riguarda il valore attuale delle rate (che è pari all’importo del finanziamento concesso) dobbiamo attualizzare una rendita con rata costante (la nostra incognita).
      Per farlo utilizziamo a figurato n al tasso i, e questo tasso deve essere mensile.
      il tasso mensile a partire dal tasso annuo si calcola come segue:
      i(12) = (1+i)^(1/12) – 1 = 1,06^(1/12) – 1 = 0,00486755
      Ora impostiamo l’equazione di prima:
      ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
      5.000 + R * (1-1,00486755^-24) / 0,00486755 + 5.000 = 27.000
      Spostando a destra i numeri ci rimane la cifra 17.000
      quindi la rata R è:
      R = 17.000 / ((1-1,00486755^-24) / 0,00486755) = 752,23

      Passiamo ora al finanziamento.
      Sicuramente si tratta di un piano di ammortamento alla FRANCESE, ovvero con la rata costante.
      Il valore attuale della rendita di 24 mesi coincide con l’importo finanziato.
      CAPITALE FINANZIATO = VALORE ATTUALE RENDITA.
      CAPITALE = 752,23 * (1-1,00486755^-24) / 0,00486755 = 17.000
      Ovviamente sotto le nostre ipotesi il capitale finanziato è pari al valore dell’auto tolti l’anticipo e il pagamento finale.
      Quando dobbiamo calcolare il TAEG (che sarà un po’ più alto del TAN l’importo finanziato è minore.
      Nel nostro caso è 17.000 meno le spese di 250 ovvero 16.750
      La rata pagata diversamente è maggiore.
      Nel nostro caso è pari a 752,23 sommata ai 2 euro per l’incasso, ovvero 754,23.
      Per calcolare il TAEG è possibile (senza usare Excel) utilizzare l’interpolazione lineare.
      Si comincia a prendere in tasso nominale mensile e lo si sostituisce nella funzione:
      f(i) = (1-(1+i)^-24)/i – 16.750/250
      il risultato sarà positivo
      Chiamiamo i1 questo tasso e f(i1) il risultato.
      Si continua prendendo un tasso leggermente più altro di quello mensile nominale del prestito 0,00486755.
      Ad esempio 0,0049.
      Lo si sortisce sempre nella funzione:
      f(i) = (1-(1+i)^-24)/i – 16.750/250
      Se il risultato è negativo procediamo con l’interpolazione.
      Se il risultato vale zero abbiamo trovato il TAEG
      se il risultato è ancora leggermente positivo procediamo con un altro tasso (chiamiamolo i2)
      Supponendo di chiamare i2 il tasso che ha reso leggermente negativa la funzione f(i) possiamo approssimare il TAEG (su base mensile) con questa formula:
      TAEG (mens) = i1 – f(i1)/ (f(i2) – f(i1))·(i2 – i1)
      Adesso passiamo alla conversione annua:
      TAEG = (TAEG (mens))^12 -1

    • Angelo ha detto:

      Potrei avere la risposta almeno del primo problema a breve 🙁 , grazie

  • Martina ha detto:

    Ciao, mi risolveresti questo esercizio?
    Devo determinare la durata del rimborso e la rata esatta in ammortamento francese con versamenti annui di importo non superiore a 7000€. Il prestito ammonta a 75000€ e l’interesse annuo al 4,5%, la rata è immediata e posticipata.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Martina, grazie della domanda.
      In primo luogo procediamo a identificare i dati del problema
      S = 75.000 (capitale)
      R<7.000 (rata)
      i=4,5% =0,045 (tasso)
      Dobbiamo identificare il numero di rate n per una rendita che abbia rate inferiore a 7.000

      Ipotizziamo ora di avere una rata ESATTAMENTE pari a 7.000
      Possiamo utilizzare la seguente formula per calcolare il nuemro n di rate
      n=-log(1-S/R*i)/log(1+i)
      Inserendo i dati otteniamo:
      n=-log(1-75.000/7.000*0,045)/log1,045 = 14,95
      Poiché il numero delle rate non è intero questo varrà 14 oppure 15
      Dal momento che vogliamo una rata un po' più piccola di 7.000 dobbiamo approssimare per eccesso il numero di rate a 15.
      adesso che abbiamo il numero di rate:
      n=15
      Possiamo calcolare l'importo della rata precisa usando la seguente formula :
      R = S*i/(1-(1+i)^-n)
      Inseriamo i dati:
      R=75.000*0,045/(1-1,045^-15)=6.983,54
      Spero che il commento ti sia stato d'aiuto 😉

  • roberto ha detto:

    Ciao, complimenti anzitutto per il sito e gli spunti interessantissimi.
    Stavo ricercando su internet ma davvero fatico a trovarlo, il calcolo del tasso di interesse di un ammortamento alla francese una volta nota la rata, i periodi e l’importo finanziato. In excel c’è una formula INTERESSE() che fa il calcolo ma non è indicato cosa c’è dietro

    • Andrea ha detto:

      Ciao Roberto,
      Grazie per la domanda
      Per calcolare il tasso di interesse dell’ ammortamento francese non esiste una formula generale per cui puoi inserire i dati
      Esiste piuttosto un algoritmo che se continuamente ripetuto porta a valori sempre più precisi del tasso di interesse
      Questo algoritmo si basa sul metodo del linterpolazione lineare oppure il metodo delle tangenti di Newton

Leave a Reply