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ammortamento francese - rata costante

In questo blog parliamo dell’ammortamento francese, definito anche a rata costante.

CALCOLO RATA COSTANTE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE

Il primo calcolo significativo riguarda dunque la rata.

Nel piano di ammortamento francese le rate formano una rendita a rata costante (per definizione) immediata e posticipata.

Siccome agiamo nel regime composto utilizzeremo la formula per il calcolo della rata in una rendita immediata e posticipata.

Dividiamo cioè la rata per il fattore attualizzante “a figurato n al tasso i”.

ammortamento francese - rata costante, calcolo della rata

DEBITO RESIDUO NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE

Il secondo calcolo riguarda il debito residuo.

In ogni istante il debito residuo di un piano di ammortamento riflette l’attualizzazione delle future rate.

Poiché all’epoca k ci restano ancora da pagare n-k rate, per calcolare il debito residuo in tale epoca attualizziamo queste rate.

Moltiplichiamo cioè l’importo della rata per il fattore “a figurato (n-k) al tasso i”

QUOTA CAPITALE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE

Le quote capitali di un ammortamento francese seguono una progressione geometrica con ragione (1+i).

Ora senza entrare in angusti dettagli di calcolo o di ragionamento enunciamo questa semplice formula per calcola una generica quota capitale Ck.

Per farlo moltiplichiamo la rata per il fattore unitario di attualizzazione v elevato alla (n-k+1).

Questo fattore unitario di attualizzazione v è pari a (1+i)^(-1).

ammortamento francese - rata costante, calcolo della quota capitale

QUOTA INTERESSE NELL’AMMORTAMENTO FRANCESE

Una volta ricavata la formula della rata costante R e della quota capitale Ck non è difficile ricavare la quota di interesse Ik.

La quota di interesse Ik è data dalla differenza tra la rata R e la quota capitale Ck.

ammortamento francese - rata costante, calcolo della quota interesse

Sviluppiamo per la quota capitale Ck la formula vista in precedenza avremo:

Raccogliamo a fattor comune R:

Sviluppiamo il fattore unitario di attualizzazione v come (1+i)^(-1):

ammortamento francese - rata costante, calcolo della quota interesse

ESEMPIO DI COSTRUZIONE DI UN PIANO DI AMMORTAMENTO FRANCESE

Vediamo insieme un esempio concreto di redazione di un piano di ammortamento francese.

Redigere un piano di ammortamento francese di un prestito di 50.000 euro da restituire in 4 rate annue al tasso del 10%

RATA COSTANTE

Pariamo dal calcolo della rata costante R con la formula vista in precedenza:

ammortamento francese - rata costante, calcolo della rata costante, esempio

Sostituiamo al posto del capitale S il valore di 50.000, al posto del tasso i il 10% ovvero 0,10 e al posto di n il 4:

DEBITO RESIDUO

Passiamo ora al debito residuo e applichiamo la seguente formula:

Sostituiamo al posto dei vari k le epoche di pagamento:

ammortamento francese - rata costante, calcolo dei debiti residui

QUOTA CAPITALE

Ora tocca alle quote capitale e la formula di cui ci serviamo è la seguente:

ammortamento francese - rata costante, formula per il calcolo della quota capitale

Inseriamo i dati e otteniamo:

ammortamento francese - rata costante, calcolo della prima quota capitale

QUOTA INTERESSI

Per ultime ma non di importanza calcoliamo le quote di interesse.

Possiamo calcolarle nel modo classico, ovvero sottraendo dalla rata le quote capitali calcolate sopra:

ammortamento francese - rata costante, formula per la quota interessi

In questo modo avremo:

ammortamento francese - rata costante, calcolo della prima quota interessi

Oppure possiamo applicare questa formula alternativa:

ammortamento francese - rata costante, formula per calcolare la quota interessi

Procedendo con ordine avremo:

Chiaramente i risultati saranno i medesimi con entrambi i modi.

PIANO DI AMMORTAMENTO

Ecco che a questo punto possiamo compilare il nostro piano di ammortamento francese

Nella  prima colonna troviamo le epoche k, che coincidono con gli anni 0, 1, 2, 3, 4 e 5

Dalla seconda alla quarta colonna troviamo in ordine: rata (RK), quota capitale (Ck) e quota interesse (Ik).

Nella quarta e ultima  colonna sono segnati i debiti residui (Dk) 

Nota bene che avremmo puto aggiungere una colonna per rappresentare i debiti estinti (Ek).

Tali debiti estinti possono essere tranquillamente calcolati come la differenza tra il capitale S e i debiti residui Dk.

ammortamento francese - rata costante, piano completo di ammortamento

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HAI QUALCHE DOMANDA???

74 Comments

  • Karin ha detto:

    Ma se mi viene detto che in ammortamento francese la decima quota capitale supera la settima del 10% e mi chiede trovare il tasso unitario di interesse composto come faccio a calcolarlo?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Karin, grazie per l’interessante domanda.
      In un piano di ammortamento le quote capitale vanno in progressione geometrica con ragione (1+i).
      Questo significa che se conosciamo una quota capitale e il tasso possiamo determinare una qualsiasi altra quota capitale con la formula:
      C_(k+n)=C_k*(1+i)^n
      Nel tuo caso ti viene detto che la decima quota capitale supera la settima del 10%.
      Questo significa che:
      C_10=C_7*1,1
      Ricorda che 1,1=1+10%
      quindi 1,1 incorpora un aumento pari a 3 anni, il che significa che equivale a : (1+i)^3
      Dunque basta impostare l’equazione:
      (1+i)^3=1,1
      che risolta ci restituisce il valore del tasso di interesse i pari a:
      i=1,1^(1/3)-1=0,03228
      Il tasso di interesse sull’ammortamento francese è dunque pari al 3,228%.
      Un caro abbraccio 😉

  • Mattia ha detto:

    ciao una banca mi concede un mutuo di 70.000€ per 4 anni con il tasso del 5.5% e rata quadrimestrale
    come calcolo la rata costante?
    perfavore aiutami

  • Mattia ha detto:

    una banca concede un mutuo di 70.000€per 4 anni con un tasso del 5.5% rata quadrimestrale
    per favore mi potresti dire come viene calcolata la rata
    per favore non riesco a capirlo

    • Andrea ha detto:

      ciao Mattia,
      Grazie per l’interessante domanda.
      per primma cosa calcoli il tasso effettivo quadrimestrale:
      i_3=(1+i)^(1/3)-1=1,055^(1/3)-1=0,018=1,80%
      In secondo luogo il numero di rate quadrimestrali è:
      n=4*3=12
      Poi applichi la formula:
      R=S*i/(1-(1+i)^(-n))
      Dove
      S=70.000
      i=0,018
      n=12
      Dunque:
      R=70.000*0,018/(1-1,018^(-12))=6.538,14
      Ecco la tua rata 😉
      Se vai sul sito andreailmatematico.it
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      Ed oltre a quello c’è un eserciziario associato molto completo con tanti temi d’esame vecchi.
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  • Stefano ha detto:

    Ciao Andrea,
    seguo attentamente il tuo canale, in quanto lo trovo davvero fatto bene e molto esplicativo, il tutto con una semplicità disarmante!
    Per questo ti ringrazio per il tuo blog.

    Oggi mi imbattevo in un esercizio, ma non riesco a venirne a capo. Posso chiederti una spiegazione?
    Il testo è il seguente:
    “Un individuo riceve, al tempo t=0, in prestito la somma di €60000 da restituire con quattro rate semestrali posticipate. Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è 0,10 e che R1=€4000, Rk+1/Rk=3 (per k=2 e k=3), calcolare l’importo delle rate e stilare il piano di ammortamento.”

    Svolgimento:
    Ho calcolato il tutto usando come periodi il semestre e non l’anno, quindi il tasso è dello 0,05. Ho calcolato il tutto per il 1° periodo, ed ho anche notato che nel 2° periodo avremo una rata R2, mentre per il 3° periodo R3=3*R2, e nel 4° periodo R4=9*R2.
    Sono riuscito a calcolare l’interesse I2, che è pari a 2950€, ma non riesco a calcolare R2, o comunque C2. Mi manca questo passaggio, perchè poi calcolerei tutto a cascata.

    Ti allego anche il link con il testo e la soluzione: è l’esercizio 21.

    https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilk–i44H3AhUPSvEDHcXhBTkQFnoECAYQAQ&url=https%3A%2F%2Felearning.unite.it%2Fmod%2Fresource%2Fview.php%3Fid%3D45543&usg=AOvVaw35KI5eTRNaXj9xZ4NDM1XK

    Spero tu possa aiutarmi,
    ti ringrazio davvero tanto.

    Un saluto
    Stefano

    • Andrea ha detto:

      Ciao Stefano, grazie per la domanda.
      Direi che l’analisi iniziale che hai svolto del problema è ottima.
      Il tasso semestrale è del 5%
      Sai che il capitale erogato è S = 60.000
      la prima rata R1 = 4.000
      Giusta l’intuizione per cui:
      R3= 3·R2
      R4= 9R2
      Giusta l’intuizione che ruota tutto attorno al calcolo di R2
      Ora dobbiamo ricordarci di una condizione molto che vale in tutti i piani di ammortamento:
      LA CONDIZIONE DI CHIUSURA FINANZIARIA
      secondo questa condizione al momento della stipula di un piano di ammortamento deve valere che:
      l’attualizzazione delle rate al tasso del prestito deve essere pari al capitale prestato.
      Applicando questa condizione possiamo riscrive:
      VALORE ATTUALE RATE = VALORE PRESTITO
      Se per comodità imponiamo R2 = R scriviamo che:

      4.000 ·1,05^-1 + R·1,05^-2 + 3R·1,05^-3 + 9R·1,05^-4 = 60.000

      Se a sinistra lasciamo i termini che moltiplicano R e raccogliamo R, e spostiamo a destra tutti i numeri abbiamo che:

      R·(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 60.000 – 4.000 ·1,05^-1

      Da cui ricaviamo che la rate R vale :

      R = (60.000 – 4.000 ·1,05^-1)/(1,05^-2 + 3·1,05^-3 + 9·1,05^-4) = 5.153,74

      Una volta ricavato questo dato “a cascata” calcoliamo tutto il resto

  • Angelo ha detto:

    Un aiutino perfavore :))). Oggi ho acquistato un’automobile che costa 27.000 euro, pagando dopo 6 mesi 5000 euro e poi altre n.24 rate posticipate al TAN del 6% . Sapendo che dopo lultima rata resta ancora un debito di 5000 euro stabilire importo della rata Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare TAEG e redigere piano di ammortamento per le 24 rate. E anche un’altro problema simile al precedente. Oggi ho acquistato un’automobile che costa 37.000 euro, pagando dopo 8 mesi 7000 euro e poi una rata di 400 euro al mese per 24 mesi al T.A.N. del 6%. Stabilire se e quanto resta di debito dopo l’ultima rata. Sapendo che il finanziamento ha un costo iniziale di 250 euro ed una spesa di 2 euro per ogni rata incassata calcolare il T.A.E.G. e redigere il piano di ammortamento per le 24 rate. Grazie in anticipo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Angelo, più che un problemino mi sembra un problemone.
      Cercherò di rispondere al primo tuo quesito.
      Quando si rimborsa un prestito o si paga un bene in generale deve valere che il valore attuale dei flussi di cassa sia pari al valore del bene.
      Nel tuo caso l’automobile vale 27.000 euro.
      Questo perciò deve assere il valore attuale.
      Nel caso dell’acquisto di questa auto abbiamo :
      – un anticipo di 5.000 euro
      – un finanziamento di di 24 rate (suppongo mensili) da calcolare
      – pagamento finale di 5.000 euro.
      Supponiamo che sull’anticipo e sul pagamento finale non gravino interessi (da come ho capito lèggendo il testo)
      E che gli unici interessi vengano fatti pagare nel finanziamento di 24 rate.
      (Queste ipotesi sono importanti per impostare i calcoli iniziali e di conseguenza per determinare il valore della rata).
      Soto queste ipotesi abbiamo che:
      ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
      Per quanto riguarda il valore attuale delle rate (che è pari all’importo del finanziamento concesso) dobbiamo attualizzare una rendita con rata costante (la nostra incognita).
      Per farlo utilizziamo a figurato n al tasso i, e questo tasso deve essere mensile.
      il tasso mensile a partire dal tasso annuo si calcola come segue:
      i(12) = (1+i)^(1/12) – 1 = 1,06^(1/12) – 1 = 0,00486755
      Ora impostiamo l’equazione di prima:
      ANTICIPO + VALORE ATTUALE RATE + PAGAMENTO FINALE = VALORE AUTO
      5.000 + R * (1-1,00486755^-24) / 0,00486755 + 5.000 = 27.000
      Spostando a destra i numeri ci rimane la cifra 17.000
      quindi la rata R è:
      R = 17.000 / ((1-1,00486755^-24) / 0,00486755) = 752,23

      Passiamo ora al finanziamento.
      Sicuramente si tratta di un piano di ammortamento alla FRANCESE, ovvero con la rata costante.
      Il valore attuale della rendita di 24 mesi coincide con l’importo finanziato.
      CAPITALE FINANZIATO = VALORE ATTUALE RENDITA.
      CAPITALE = 752,23 * (1-1,00486755^-24) / 0,00486755 = 17.000
      Ovviamente sotto le nostre ipotesi il capitale finanziato è pari al valore dell’auto tolti l’anticipo e il pagamento finale.
      Quando dobbiamo calcolare il TAEG (che sarà un po’ più alto del TAN l’importo finanziato è minore.
      Nel nostro caso è 17.000 meno le spese di 250 ovvero 16.750
      La rata pagata diversamente è maggiore.
      Nel nostro caso è pari a 752,23 sommata ai 2 euro per l’incasso, ovvero 754,23.
      Per calcolare il TAEG è possibile (senza usare Excel) utilizzare l’interpolazione lineare.
      Si comincia a prendere in tasso nominale mensile e lo si sostituisce nella funzione:
      f(i) = (1-(1+i)^-24)/i – 16.750/250
      il risultato sarà positivo
      Chiamiamo i1 questo tasso e f(i1) il risultato.
      Si continua prendendo un tasso leggermente più altro di quello mensile nominale del prestito 0,00486755.
      Ad esempio 0,0049.
      Lo si sortisce sempre nella funzione:
      f(i) = (1-(1+i)^-24)/i – 16.750/250
      Se il risultato è negativo procediamo con l’interpolazione.
      Se il risultato vale zero abbiamo trovato il TAEG
      se il risultato è ancora leggermente positivo procediamo con un altro tasso (chiamiamolo i2)
      Supponendo di chiamare i2 il tasso che ha reso leggermente negativa la funzione f(i) possiamo approssimare il TAEG (su base mensile) con questa formula:
      TAEG (mens) = i1 – f(i1)/ (f(i2) – f(i1))·(i2 – i1)
      Adesso passiamo alla conversione annua:
      TAEG = (TAEG (mens))^12 -1

    • Angelo ha detto:

      Potrei avere la risposta almeno del primo problema a breve 🙁 , grazie

  • Martina ha detto:

    Ciao, mi risolveresti questo esercizio?
    Devo determinare la durata del rimborso e la rata esatta in ammortamento francese con versamenti annui di importo non superiore a 7000€. Il prestito ammonta a 75000€ e l’interesse annuo al 4,5%, la rata è immediata e posticipata.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Martina, grazie della domanda.
      In primo luogo procediamo a identificare i dati del problema
      S = 75.000 (capitale)
      R<7.000 (rata)
      i=4,5% =0,045 (tasso)
      Dobbiamo identificare il numero di rate n per una rendita che abbia rate inferiore a 7.000

      Ipotizziamo ora di avere una rata ESATTAMENTE pari a 7.000
      Possiamo utilizzare la seguente formula per calcolare il nuemro n di rate
      n=-log(1-S/R*i)/log(1+i)
      Inserendo i dati otteniamo:
      n=-log(1-75.000/7.000*0,045)/log1,045 = 14,95
      Poiché il numero delle rate non è intero questo varrà 14 oppure 15
      Dal momento che vogliamo una rata un po' più piccola di 7.000 dobbiamo approssimare per eccesso il numero di rate a 15.
      adesso che abbiamo il numero di rate:
      n=15
      Possiamo calcolare l'importo della rata precisa usando la seguente formula :
      R = S*i/(1-(1+i)^-n)
      Inseriamo i dati:
      R=75.000*0,045/(1-1,045^-15)=6.983,54
      Spero che il commento ti sia stato d'aiuto 😉

  • roberto ha detto:

    Ciao, complimenti anzitutto per il sito e gli spunti interessantissimi.
    Stavo ricercando su internet ma davvero fatico a trovarlo, il calcolo del tasso di interesse di un ammortamento alla francese una volta nota la rata, i periodi e l’importo finanziato. In excel c’è una formula INTERESSE() che fa il calcolo ma non è indicato cosa c’è dietro

    • Andrea ha detto:

      Ciao Roberto,
      Grazie per la domanda
      Per calcolare il tasso di interesse dell’ ammortamento francese non esiste una formula generale per cui puoi inserire i dati
      Esiste piuttosto un algoritmo che se continuamente ripetuto porta a valori sempre più precisi del tasso di interesse
      Questo algoritmo si basa sul metodo del linterpolazione lineare oppure il metodo delle tangenti di Newton

  • agario unblocked ha detto:

    Your method of explaining all in this post is actually good, every one be able to effortlessly be aware of it, Thanks a
    lot.

  • andrea ha detto:

    Ciao, spiegazione molto precisa. Potresti aiutarmi con questo esercizio?

    “Nell’ammortamento progressivo di un prestito in 20 anni la settima rata comprende una quota
    capitale di 500 € e una quota interesse di 450 €. Determinare il tasso e l’importo del prestito.”

    Non riesco a calcolarmi il tasso

    • Andrea ha detto:

      Ciao Andrea; grazie per la domanda.
      Cominciamo col dire che l’ammortamento è francese:
      dunque la rata è costante, ed è pari alla somma della quota capitale e quella interesse
      Nel tuo caso conosci la settima quota quindi:
      R = C7 + I7 = 500 + 450 = 950
      In secondo luogo dobbiamo conoscere la relazione che lega la quota capitale k alla rata:
      Ck = R * v^(n-k+1)
      dove k è il numero della rata
      v è il fattore unitario attualizzante (1+i)^-1
      n = numero di rate
      Dunque avremo che la settima quota capitale C7 è:
      C7 = R * v^(20-7+1)
      C7 = R* v^16
      ricaviamo v^14
      v^16 = C7 / R
      inserendo i numeri
      v^16 = 500/950
      ricaviamo v
      v = (500/950)^(1/14) = 0,955188
      Ora calcoliamo il tasso i
      Ricordiamo che il fattore attualizzante v è pari a:
      v = (1+i)^(-1)
      Dunque ricaviamo i dalla relazione inversa
      i = v^(-1) -1 = 0,955188 ^(-1) -1 = 0,046913

      Ora passiamo al capitale S.
      Ricordiamo che questo è l’attualizzazione delle rate che sono costanti.
      Dunque calcoliamo il valore attuale (al tasso i trovato) di una rendita di 20 rate
      di importo 950.
      S = R * a(n,i)
      dove a(n,i) è l fattore attualizzante per le rendite
      nel nostro caso:
      S = R * a(20; 0,046913)
      Passando ai calcoli numerici
      S = 950* (1-1,046913^(-20))/0,046913
      S = 12.155,22
      Spero sia comprensibile 😉

  • Antonio Falbo ha detto:

    si vuole rimborsare in 7 anni al 7% annuo un prestito di 560.000 euro con quote capitali annuali costanti posticipate quota costante 560k/7=80k, redigere piano di ammortamento…

    • Andrea ha detto:

      In questo caso si tratta di un ammortamento italiano, ovvero a questa capitale costante.
      Se vogliamo conoscere l’importo del debito iniziale S basta che moltiplichiamo per 7 la quota capitale
      S = 7*80k = 560k
      A questo punto Calcoliamo i debiti residui che decrescono i ragione della quota capitale:
      D0 = 560k
      D1 = 480k
      D2 = 400k
      D3 = 320k

      D7 = 0

      Ora passiamo alle quote interesse.
      Seguendo la formula generale per i piani di ammortamento:
      Ik = Dk-1 * i, otteniamo che
      I1 = 560k * 0,07 = 39,2k
      I2 = 480k * 0,07 = 33,6k
      I3 = 400k * 0,07 = 28k

      I7 = 80k * 0,07 = 5,6

      Come ben certamente noteri le quote interesse decrescono sempre della stessa ragione: 5,6k
      A questo punto ti mancano le rate che sono pari alla somma delle quote capitali e quelle interessi

  • Antonio Falbo ha detto:

    Si deve rimborsare un debito di 10000 euro pagando 6 rate costanti semestrali posticipate al tasso di valutazione del 9% annuo. Redigere il relativo piano di rimborso.

    • Andrea ha detto:

      Per prima cosa bisogna calcolare il tasso semetrale, usando la formula dei tassi equivalenti:
      i2 = 1,09^0,5 -1 = 0,04403
      Successivamente calcoliamo la rata costante:
      R = S/a(n,i)
      R = 10.000/a(6; 0,04403)
      Dove a(6; 0,04403) è il fattore attualizzante delle rendite
      Nei calcoli risulta:
      R = 10.000 * 0,04403 / (1-1,04403^(-6)) = 1.932,72
      Ora andiamo a calcolarci la prima quota interesse:
      I1 = S*i = 10.000*0,04403 = 440,3
      Per differenza otteniamo la prima quota capitale:
      C1 = R – I1 = 1.932,72 – 440,3 = 1.492,72
      Da qui applichiamo la crescita in progressione geometrica tipica dell’ammortamento francese.
      Ck+1 = Ck*(1+i)
      C2 = C1*1,04403 = 1.558,13
      C3 = C2*1,04403 = 1.626,74
      C4 = C3*1,04403 = 1.698,36
      C5 = C4*1,04403 = 1.773,14
      C6 = C5*1,04403 = 1.851,21
      Ora per ricavare le varie quote interessi non devi far altro che la differenza tra la rata e le quote capitali
      I2 = R -I2
      I3 = R -I3
      I4 = R -I4
      I5 = R -I5
      I6 = R -I6

      Mentre per calcolare i debiti residui sottrai una quota capitale alla volta

  • Claudio ha detto:

    Buongiorno e grazie,
    per questo piano di ammortamento è chiaro, se si volesse inserire la variabile della maxi rata finale?
    Conosco la rata fissa, il tasso, ed il valore della rata finale.
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Allora dovresti risolvere la seguente equazione:
      V=A+R*a(n-1,i)+MR*(1+i)^(-n)
      Con
      A= anticipo
      R=rata
      a(n,i)=fattore attualizzante rendite
      MR=maxi rata
      i =tasso
      n=numero anni
      n-1= numero rate ordinarie
      Bada bene che ho supposto le rate annue e il tasso annuo

      • Claudio ha detto:

        Grazie Andrea gentilissimo,
        le mie basi sono pessime, mi pare di essere in alto mare.

        (totale è nella casella A1 di Excel)

        totale 15500
        finanziare 11935 B1-B8

        i 0,0399
        R 129,00
        n 3
        n-1 36
        A 3565
        MR 8654

        a(n-1,i) 18,93 (1-(1+B4)^-B7)/B4

        V 13703,14 B8+B5*B11+B9*(1+B4)^(-B6)

        • Andrea ha detto:

          Aspetta
          Mi sfugge il testo del problema però
          Da quello che ho capito quel tasso del 3,99% è annuale mentre la rata è mensile
          Quindi per prima cosa dovresti convertire il tasso in mensile i12
          i12= (1+i)^(1/12)-1=1,0399^(1/12)-1
          Dopo di che se la durata è di 3 anni il numero delle rate è 36
          Ma 35 di quelle sono ordinarie di 129
          Mentre l’ultima che avviene alla scadenza 36 mesi è la maxi rata

  • Mario ha detto:

    Salve, io ho un mutuo con ammortamento alla francese con le seguenti caratteristiche: Importo erogato 184.000; Tasso variabile (oggi 4,35%); Rimborso 30 anni; rate mensili posticipate: Quote capitali primo anno: 343,69—344,41—345,12—345,84—-346,56—347,28—347,99—348,73—349,45—350,18—350,92—351,64.
    Ipotizzando che il tasso sia sempre il 4,35% come mi viene la rata totale?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Mario
      Per calcolare la nuova rata devi applicare questo procedimento
      184.000 – (somma quote capitali)=K
      Poi calcoli il nuovo tasso mensile
      i=1,0435^(1/12)-1
      Poi dividi k per a(i,n’)
      Dove n’ sono le rate mensili mancanti
      i è il nuovo tasso
      a(i,n’)=(1-(1+i)^(-n’))/i

      • Mario ha detto:

        Mi viene come prima rata( solo quota interessi) 905 euro ed è troppo. Mica è inclusa anche la quota capitale?Grazie

        • Andrea ha detto:

          Hai usato il tasso mensile?

          • Mario ha detto:

            i=1,0435^(1/12)-1 ho usato questa formula ma non capisco perchè c’è 1,0435.

          • Andrea ha detto:

            Questa è la formula per trasformare i tassi di interesse nel regime composto
            Ad esempio per ottenere il tasso mensile
            Facciamo i12=(1+i1)^(1/12)-1
            Se vuoi calcolare la prima rata
            Dividi 184.000/a(n,i)
            n=30*12=360
            i usi il tasso mensile

            Se dopo un anno cambia qualcosa (ad esempio il tasso) allora devi fare il ricalcolo della rata.
            È vero che nel tuo caso il tasso non sembra cambiare ed in effetti è sempre il 4,35% (su base annua) ma non sai. Osa è successo durante l’anno.
            A questo punto sottrai dai 184.000 tutte le quote capitali del primo anno

            184.000 – (somma quote capitali)=K
            Il tasso mensile è sempre quello
            i=1,0435^(1/12)-1
            Poi dividi k per a(i,n’)
            Dove n’ sono le rate mensili mancanti
            i è il nuovo tasso
            a(i,n’)=(1-(1+i)^(-n’))/i

            n’=9*12=338

          • Mario ha detto:

            Il tasso mensile mi viene seguendo la formula 0,00355467.
            Procedendo con la formula mi viene l’importo che ho indicato in precedenza. Dove sbaglio?
            Grazie

  • Emanuele ha detto:

    Salve, stavo svolgendo un compito e ho avuto un dubbio: “per l’acquisto di un’auto del prezzo di listino di 23000 euro ci accordiamo per il pagamento di 16 rate trimestrali posticipate, di cui le prime 8 sono di importo comune e pari a R, mentre le restanti 8 sono di importo comune pari a 2R (ovvero, il doppio delle precedenti). Il tasso tecnico praticato (composto, annuo) è pari al 4.50%.
    a) calcola l’importo delle rate
    stavo guardando i risultati e il libro in primo luogo trasforma il tasso annuo in tasso trimestrale applicando la formula i=(1+0.0111)^1\4-1= 1.11% (e fin qui ci sono, non ho alcun dubbio)
    poi, pone la condizione di chiusura finanziaria scrivendo 2300= R x a figurato 8 al tasso 1.11% + (1+0.0111)^-2 x 2R x a figurato 8 al tasso 1.11% = 21.56R
    Da qui ricava R=1066,70. Non mi torna il procedimento applicato, cioè non capisco che formula ha utilizzato per il calcolo della rata (perchè eleva a -2?). Riuscirebbe ad aiutarmi? Vorrei capire la formula applicata (se potrebbe specificarmela) e perchè è stata applicata. Grazie mille

  • Emanuele ha detto:

    Stessa cosa vale per questo esercizio: “per ristrutturare una casa di campagna, otteniamo un prestito bancario di importo 57000 euro. Per la restituzione, ci accordiamo per il pagamento di 4 rate semestrali di importo comune. La prima rata sarà pagata tra 12 mesi. Il tasso tecnico praticato (composto, annuo) è pari a 3.50%.
    a) calcolare l’importo comune delle rate
    Anche qui il libro procede trasformando il tasso annuale in semestrale i=1.73% e poi pone la condizione di chiusura finanziaria:
    57000=R(1+0.0173)^-1 x a figurato 4 al tasso 1.73%. Si ha R=15131.44. Anche qui con i procedimenti matematici ci sono, non capisco però quale formula applica, perchè eleva a -1? Riuscirebbe anche in questo caso a specificarmi la formula applicata e perchè è stata applicata? La ringrazio ancora

    • Andrea ha detto:

      Ciao Emanuele
      La formula è
      R*a(4,i’)*(1+i)^(-1)
      Dove
      i è tasso annuo
      i’ è tasso mensile
      Per questo motivo:
      Con a(4,i’)
      Sposti tutti i pagamenti un trimestre prima del primo pagamento quindi un anno
      Con il termine (1+i)^(-1) arretri tutto al tempo zero (oggi) attualizzando di un anno

  • Roberto ha detto:

    Ciao Andrea,

    Per interesse personale mi chiedevo la soluzione del seguente problema, che svolto con un mutuo lineare non e’ alcun problema, un’altra cosa e’ quando si parla di mutuo alla francese:

    Ho un mutuo di X=300.000,00 €, con tasso di interesse al 3,8% annuo, di durata non modificabile trentennale con rate mensili (n = 360). Il mutuo come detto in precedenza e’ alla francese. Ipotizziamo che ogni 12 mensilita voglia saldare una quota aggiuntiva di Y=5.000,00 € in modo da diminuire i costi legati agli interessi e la durata del mutuo stesso. Come si procede per calcolare il risparmio effettivo (in tempo e denaro, delta tra la quota interessi prevista all’inizio del mutuo e quella effettivamente pagata) quando si ha colmato il debito per intero?

    Ti ringrazio anticipatamente per la tua risposta.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Roberto.
      Per calcolare il guadagno in termini di interessi puoi usare questo procedimento.
      Per prima cosa calcoli la rata al tasso del 3,8%.
      Ipotizzando che questo il sia il TAN il tasso effettivo mensile è
      i= 3,8%/12 = 0,00316667
      La rata si ottiene dividendo il presto per a figurato 120 al tasso i: a(120; 0,00316667)
      R = 300.000/a(360; 0,00316667) = 1.398 circa
      Il complessivo da versare è 360volte quella cifra:
      TOT = 503.234
      Dunque il monte interesse è 203.234
      Se ogni anno alla fine dell’anno versi 5.000 questi li potremmo considerare totalmente quota capitale.
      Il tuo debito si abbatterebbe ogni anno di 5.000 di conseguenza si dovrebbe ricalcolare una nuova rata ogni volta che viene fatta questa operazione.
      Così su due piedi mi ci vorrebbe un po’ di tempo per impostare una formula.
      Quindi ti consiglio se sei pratico di impostare questi calcoli su un foglio excel
      In alternativa potremmo organizzare una consulenza per risolvere la questione

  • Danilo ha detto:

    sai che su ammortamento alla francese c’è un dibattito in atto sul fatto che secondo alcuni questa forma di ammortamento nasconde anatocismo (calcolo di interessi su interessi), mi piacerebbe conoscere il tuo pensiero tecnico
    grazie

  • Leandro ha detto:

    Buongiorno ho un mutuo a tasso variabile ,piano ammortamento francese.Ho visto che ultimamente ,con il recente incremento dei tassi ,negli ultimi mesi la quota capitale anzichè crescere ,diminuisce rispetto alla composizione quote capitali dell’originario piano di ammortamento.
    La banca mi risponde che è normale,in caso di brusco e consistente rialzo dei tassi. E’ cosi’?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Buongiorno Leandro
      Esatto, ogni volta che cambia il tasso rate, quote interesse e quote capitale cambiano la consistenza
      Le rate certamente aumentano
      Le quote interesse aumentano
      L’impatto iniziale sulle quote capitali che una diminuzione poi progressivamente se non cambia la durata queste aumentano e alla fine raggiungono il totale della situazione precedente

      Se il mutuo è nella sua fase iniziale ovviare gli effetti sono molto più forti

  • Francesco ha detto:

    Ciao Andrea, ma in un piano d’ammortamento a rata costante le quote d’interesse sono sempre maggiori o uguali delle quote d’interesse di un piano d’ammortamento a quota capitale costante? O sono solamente maggiori? Grazie

    • Andrea ha detto:

      Ciao Francesco
      A parità di tutte le condizioni
      (Capitale erogato, tasso, durata e periodicità) le quote interessi sono certamente più alte nel francese
      Questo poiché inizialmente (quando il debito è più elevato) le quote capitali risultano minori
      Quindi il debito è “abbattuto di meno”

  • Leonardo ha detto:

    CIao! Mi viene chiesto di calcolare il numero minimo di annualità per ammortizzare un debito =13 milioni, a rata annuale costante anticipata e al tasso di interesse semestrale del 5% nel caso che la rata non possa superare i 2 milioni/anno. E determinare inoltre l’importo della rata.
    Rmax = 2mil
    Per calcolare le annualità ho calcolato il tasso annuale come (1.05)^2-1=1,1025 e poi ho calcolato N= (-log(1-((Sxi)/Rmax) / log1.1025 ma il risultato non viene uguale a quello indicato dal testo. A me tornerebbe 11.24 che poi ho approssimato a 12, ma nel testo viene indicato: annualità= 10, R=1.939.651.
    Ti sarei veramente grato se potessi aiutarmi, così da capire se sto sbagliando qualcosa o se il testo indica un risultato sbagliato.
    Grazie in anticipo e buona giornata!
    Leo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Leonardo
      Ci sei andato molto molto vicino
      L’unico problema è che non hai considerato che la rendita è ANTICIPATA
      Dunque la formula di partenza è
      R*a(n,i)*(1+i)=S

      Da cui la formula inversa è
      n=-log(S*i/(R*(1+i))/log(1+i)

      Con i dati
      n=-log(1-(13*0,1025)/(2*1,1025))/log1,1025
      n è all’incirca 9,50

  • Antonio ha detto:

    Salve, se devo trovare a quanto ammonta un prestito, sapendo che devo pagare 3 rate quadrimestrali di euro 5.000 cadauna comprensiva di interessi, tasso annuo 6.5%, quale formula devo usare?

  • Sam ha detto:

    Ciao Andrea, sono in difficoltà sulla risoluzione di questo esercizio:
    In un ammortamento a rate immediate annue posticipate costanti si sa che la quota capitale
    C9 è di 1664.83 Euro e che C9= 1.4352*C1. Determinare la quota capitale C12

    • Andrea ha detto:

      Ciao Sam,
      Ricordiamo che nell’ammortamento francese le quote capitali aumentano in progressione geometrica di ragione (1+i).
      Dunque dalla seconda relazione:
      C9= 1,4352*C1
      Ricaviamo che C9/C1 =1,4352 = (1+i)^8
      Dunque possiamo ricavare la ragione (1+i) in questo modo:
      (1+i) = (C9/C1)^(1/8) = 1,4352^(1/8) = 1,0461984
      Da cui per altro si ricava immediatamente il tasso dell’ammortamento : 0,0461984
      Ora per ricavare la dodicesima quota capitale C12 ci basta fare:
      C12 = C9 * (1+i)^3 = 1.664,83*1,0461984^3 = 1.906,39

  • lorenzo0 ha detto:

    Ciao Andrea potresti aiutarmi con questo esercizio? Dato un capitale di 50000, tasso annuo 6%, tempo 3 anni .calcolare con ammortamento francese l’ammontare delle rate mensili e determinare il totale degli interessi pagati durante il periodo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Lorenzo
      Per calcolare l’ammontare della rata nell’ammortamento francese usiamo la seguente formula
      R = C / a(n,i)
      Dove C è il capitale a prestito
      n il numero di rate
      i è il tasso effettivo riferito al pagamento della rata
      Nel nostro caso il capitale C è 50.000
      il numero di rate mensili è 3*12=36
      Mentre dobbiamo determinare il tasso mensile a partire da quello annuo
      Utilizziamo perciò la formula
      i12 = 1,06^(1/12)-1= 0,00486755
      Dunque ora basta che calcoliamo la rata
      R = 50.000 / a(36 , 0,00486755)
      Ricordiamo che a(36 , 0,00486755) è il fattore attualizzante delle rendite
      a(36 , 0,00486755)= (1-1,00486755^(-36))/0,00486755
      R = 1.517,50
      Dunque il totale da restituire è 36R
      Perciò 36* 1.517,50= 54.629,95
      Per calcolare il monte interessi sottraiamo questo al capitale 50.000

  • Gianluca ha detto:

    Ciao Andrea,
    ho un problema che non riesco a risolvere…
    Pensavo di cavarmela con l’ammortamento francese ma niente.
    Il capitale da restituire è 32.223,08€ al tasso del 2% annuo con il calcolo degli interessi dal 1 novembre 2023 da restituire in 18 rate e le prime 2 rate sono ciascuna di importo pari al 10% delle somme complessive.
    Mi viene indicato che il montante è 33.333,89€, le prime 2 rate sono di 3.333,89€ e 3.333,88€ poi 16 rate di 1.666,69€ ca.
    Mi puoi indicare il calcolo per arrivare ad un montante di 33.333,89€?
    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Gianluca
      Ho fatto diverse prove per risolvere questo problema, che non è così banale.
      Ti indico una via, ma per approfondire serve un po’ più di tempo e ragionamento.
      Chiamiamo R le rate che vanno dalla 3 fino alla 18
      Chiamiamo R’ le prime due rate.
      Dall’informazione che le prime due rate sono il 10% delle somme complessive possiamo capire che
      2R’+16R è la somma complessiva, ovvero tutte le rate.
      Dunque impostiamo l’equazione:
      R’=0,10* (2R’ +16R)
      Dacui ricaviamo che R’=2R
      Ora che sappiamo che le prime rate sono il doppio delle seconde possiamo impostare l’equazione per attualizzare le rate di modo da porle uguale al capitale preso a prestito.
      L’equazione che ne deriva è:
      R* [2*a(2,i) +a(16,i)* (1+i)^(-2)]= 32.223,08
      i è il tasso di interesse mensile
      Se il tasso del 2% annuo è da intendersi come TAN allora i=TAN/12 = 0,02/12= 0,001666666
      Se invece il tasso è effettivo annuo del 2% allora il tasso i mensile è i=1,02^(1/12)-1=0,00165813
      Ricordiamo che a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite
      Se non sai di cosa si tratta guarda questo articolo https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/operazioni-finanziarie-rendite/valore-attuale-di-una-rendita-posticipata/
      Quindi applicando la formula inversa
      R = 32.223,08 /[2*a(2,i) +a(16,i)* (1+i)^(-2)]
      Si usiamo il secondo tasso R = 1634,47
      Un po’ diverso da 1.666,69€ di circa 30 euro.
      Anche con l’altro tasso esce simile.
      La mia idea è che siano stati applicati magari dei costi di pratica o di assicurazione che sono esplicitati a parte.
      O magari c’è un dato che non è stato esplicitato.

  • Michele ha detto:

    Ciao Andrea,

    avrei un problema che fatico a risolvere, spero tu mi possa aiutare.

    Vorremmo affiancare ad un piano di ammortamento alla francese un PAC mensile in modo da accumulare il denaro necessario per chiudere anticipatamente il mutuo.

    Ipotizzando di avere un mutuo da 80000€ da estinguere in 240 rate mensili ad un tasso del 5% annuo e rata mensile quindi 527€, PAC mensile con rendimento 4% di 350€ con 1000€ versati al periodo 1.

    Come faccio a calcolare il tasso effettivo globale che tenga presente del PAC? Il tasso dovrebbe essere più basso del tasso iniziale del 5%, giusto?

    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Michele
      Per calcolare il tasso bisogna costruire una operazione finanziaria data dalla somma dei due piani
      (Ammortamento+ accumulo)
      Ovviamente bisogna decidere la data di rimborso
      Poi calcolare il TIR complessivo
      Per il calcolo del TIR se usi Excel c’è la funzione (TIR.COST)
      Se lo calcoli a mano bisognerebbe usare linterpolazione o il metodo delle tangenti

      • Michele ha detto:

        Grazie mille Andrea.

      • Michele ha detto:

        Andrea noi ci siamo arrivati con questa formula, volevamo se possibile il tuo parere per capire se potesse essere corretta.

        Tasso effettivo con PAC mensile = ((C * i)*(n mesi Break Even/n mesi TOT)) / C

        Grazie

        • Andrea ha detto:

          Ciao Michele
          Si potrebbe essere un’approssimazione
          Ma per trovare il vero tasso è necessaria l’interpolazione
          Comunque in excel esiste la formula TIRX
          Oppure con il risolutore
          Comunque se con quella formula trovi una tasso che rende la parità anche di poco può essere accettabile
          Dopo tutto bisogna sempre vedere qual è lo scopo finale

  • BART ha detto:

    CIAO ANDREA, VEDO I TUOI VIDEO CON ESTREMO INTERESSE. QUESTO IN PARTICOLARE PERCHE MI HA AIUTATO A FAR CHIAREZZA SU UN PIANO DI AMMORTAMENTO

    TUTTAVIA HO UNA INCOGNITA CHE VORREI RISOLVERE

    HO UN AMMORTAMENTO ALLA FRANCESE CON RATA RK = 3.700,00 A 15 ANNI CON S = 508.000,00
    DAL PIANO DI AMMORTAMENTO VEDO LA QUOTA CAPITALE CHE E’ NOTA, ERGO LA QUOTA INTERESSI E’ LA DIFFERENZA TRA RK E CK

    QUELLO CHE VORREI CONOSCERE E’ IL TASSO IN % DI INTERESSE MENSIL (E QUINDI ANNUO) CHE L’ISTITUTO MI APPLICA
    GRAZIE

    • Andrea ha detto:

      Ciao Bart
      Se i pagamenti sono mensili bisogna impostare l’equazione
      S= R a(n,i)
      Da cui puoi ricavare l’equazione
      a(n,i)-S/R=0
      Ovviamente R e S li conosci
      a(n,i) è il fattore attualizzante delle rendite unitarie a capitalizzazione
      composta
      a(n,i) = (1-(1+i)^(-n))/i
      n lo conosci poiché è 15*12=180
      Ora da qui viene la parte più difficile
      Per risolvere l’equazione bisogna usare il metodo delle tangenti di Newton (che si basa sulla derivata prima)
      Chiamiamo ad esempio x il tasso i
      Definiamo f(x) = a(n,i)
      f’(x) è la derivata prima di f(x)
      Applichi le regole di derivazioni
      Adesso dovresti trovare il valore di x che rende nulla l’equazione
      a(n,i)-S/R=0
      Ovvero espressa in x
      f(x)-S/R=0
      Cominci ad inserire un tasso (chiamiamolo x0)
      Ovviamente se sei fortunato trovi subito la soluzione ma di solito non va
      A questo punto calcoli sia
      f(x0) che f’(x0)
      E applichi la seguente formula per trovare un secondo tasso molto più vicino al TIR
      x1= x0- f(x0)/f’(x0)
      Usi questo secondo tasso pr verificare l’equazione
      Se non sei soddisfatto ripeti la procedura
      Trovi un altro tasso x2 ancora più vicino al TIR
      x2=x1-f(x1)/f’(x1)
      Sostituisci x2 per verificare l’equazione
      Continui in questo modo fino a che non sei soddisfatto del risultato dell’equazione
      Questo è il TIR mensile
      Per trovare il TOR annuo applichi la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto

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