OBBLIGAZIONI
Le obbligazioni sono titoli finanziari emessi da enti pubblici o società private alle scopo di prendere denaro a prestito.
Quando lo Stato o una società per azioni ha bisogno di reperire denaro a prestito per finanziare i propri progetti emette un’obbligazione.
Si tratta di un impegno dello Stato o della società di restituire il capitale preso a prestito oltre agli interessi pattuiti.
Tale impegno è certificato da un foglio attestante questo impegno, che prende il nome di obbligazione appunto.
EMITTENTE PUBBLICO O PRIVATO
Vi sono molte forme di classificazione di obbligazioni e non ho intenzione di dilungarmi troppo in questo senso.
Una prima distinzione riguarda l’emittente che può essere un ente pubblico oppure una società privata.
Se l’emittente è un ente pubblico l’obbligazione viene anche definita Government Bond.
Nel caso in cui l’emittente sia una società privata parleremo di Corporate Bond.
OBBLIGAZIONI CON E SENZA CEDOLA
Secondo una classificazione di natura finanziaria possiamo classificare le obbligazioni a seconda che distribuiscano o meno le cedole.
Le cedole costituiscono gli interessi prodotti dal titolo che vengono distribuiti a intervalli di tempo regolari, solitamente anni o semestri.
La distinzione è tra le obbligazioni senza cedola e quelle con cedola.
Le obbligazioni senza cedola, chiamate anche Zero Coupon Bond (ZCB) pagano capitale e interesse in un’unica soluzione finale.
A fronte di un prezzo pagato all’acquisto restituiscono dopo un determinato tempo il valore nominale del titolo, ovvero quello scritto sulla facciata dell’obbligazione.
Solitamente gli ZCB sono titoli che hanno una durata breve da uno a tre anni.
In contrapposizione agli ZCB troviamo le obbligazioni cedolari o Coupon Bond.
Questo tipo di obbligazione distribuisce cedole, ovvero interessi che sono periodici, calcolate sul valore nominale del titolo applicando il tasso cedolare.
Di solito sono titoli dalla durata maggiore dei tre anni.
Un’ulteriore classificazione che potremmo fare nelle obbligazioni cedolari è tra quelle a cedola fissa e cedola variabile o indicizzate.
A partire dal 2000 le obbligazioni indicizzate all’inflazione hanno iniziato a diffondersi fortemente in ambito europeo.
PREZZO DI UN’OBBLIGAZIONE CEDOLARE
Come si calcola il prezzo di un’obbligazione cedolare?
Attualizzando tutti i flussi di cassa futuri al tasso di mercato.
ESEMPIO
Facciamo un esempio pratico:
Calcola il prezzo di emissione di un’obbligazione con cedole annue, scadenza sette anni, valore nominale 100, tasso cedolare annuo del 4%.
Si consideri che il tasso di attualizzazione di mercato è pari al 5%.
I dati di cui disponiamo sono i seguenti:
DATI:
CALCOLO CEDOLA
Per prima cosa calcoliamo la cedola moltiplicando il valore nominale del titolo per il tasso cedolare.
GRAFICO
Adesso rappresentiamo graficamente la situazione sulla linea del tempo.
Nei tempi che vanno da 1 a 5 (anni) rappresentiamo l’importo della cedola pari a 4.
L’ultimo anno oltre alla cedola rappresentiamo anche il valore nominale del titolo pari a 100.
Ora dobbiamo attualizzare tutti i flussi di cassa al tasso di mercato del 5%.
Siccome le cedole formano una rendita immediata, posticipata e temporanea di 5 anni, possiamo applicare la seguente formula.
L’obbligazione verrà emessa con un prezzo pari a 95,67 euro.
TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR)
TASSO RENDIMENTO A SCADENZA (TRES)
Quando conosciamo i flussi di cassa dell’obbligazione, ovvero le cedole e il valore nominale, e il prezzo di emissione del titolo possiamo risalire al TIR o TRES.
Vediamo insieme questo esempio:
Calcola il TIR (TRES) di un’obbligazione cedolare con scadenza cinque anni e tasso cedolare del 3% annuo.
Le cedole sono annue e il prezzo di emissione è pari a 98 euro.
Calcoliamo l’importo della cedola moltiplicando il valore nominale di 100 per il tasso cedolare del 3%.
Rappresentiamo graficamente la situazione e con le frecce che partono dai flussi di cassa facciamo vedere il procedimento dell’attualizzazione:
Ora imponiamo l’equazione per cui l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri sia pari al prezzo pagato di 98
Spostando tutto sul lato sinistro e operando la seguente sostituzione:
Otteniamo la seguente equazione:
Si tratta chiaramente di un’equazione di quinto grado !!!
È un tipo di equazione quasi impossibile da risolvere a mano.
Per questo motivo servono dei metodi alternati come il metodo dell’interpolazione lineare, quello della tangenti o quello di Newton.
Per risolvere questa equazione ho fatto la furbata di utilizzare Excel.
Disponiamo i flussi di cassa in celle adiacenti in maniera ordinata, ricordando di mettere il prezzo negativo all’inizio.
A questo punto utilizziamo la funzione:
Come dati andiamo ad inserire i flussi di cassa:
Alla fine otteniamo un TIR (o TRES) pari a 3,4422%.
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Ciao Andrea, sono ancora una volta a chiedere il tuo prezioso supporto nel risolvimento di tale esercizio:
Ps Grazie di tutto come sempre!!
1) Un titolo di Stato a 6 anni paga cedole annuali del 5% e al termine dei 6 anni rimborsa
100. Il rendimento di mercato è del 3%. Se un investitore lo acquistasse oggi e lo rivendesse tra un anno, quale rendimento conseguirebbe nell’anno di possesso se il rendimento di mercato restasse invariato? Se invece al termine dell’anno il rendimento di mercato scendesse al 2%, quale rendimento conseguirebbe l’investitore? Per quali ragioni i rendimenti conseguiti sono differenti?
Ciao Selene, grazie per iil quesito.
Cominciamo con il dire che il rendimento calcolato a scadenza di un titolo:
R = (Prezzo vendita + interessi maturati – Prezzo di acquisto) / Prezzo acquisto
Per semplificare useremo:
Po = prezzo iniziale (acquisto)
P1 = prezzo finale (vendita) che a scadenza è il valore nominale
Interessi = Cedole = C
Le cedole (interessi) sono calcolate sul valore nominale (o rimborso a scadenza), dunque nel nostro caso:
C = 100*0,05 = 5
I prezzi sono calcolati come attualizzazione dei flussi futur al tasso di mercato
Quando il tasso di mercato è il 3% prezzo di acquisto Po è:
Po = 5* a_(6;3%) +100*1,03^(-6) = 110,834
Da notare che ho usato a_(6;3%) poiché le cedole sono identiche e formano una rendita
a_(6;3%) = a figurato 6 al tasso del 3%.
In presenza di tassi diversi avremmo dovuto attualizzare ogni flusso col suo tasso.
Se dopo un anno decidiamo di vendere il titolo significa che lo venderemo ad un certo prezzo
Chiamiamo questo prezzo P1.
P1 è calcolato sempre come attualizzazione dei flussi futuri.
Se ci troviamo al tempo 1, abbiamo appena ricevuto una cedola di 5, e quindi
dobbiamo attualizzare 5 cedole future più il valore nominale.
Se il tasso di mercato è sempre pari al 3% avremo che:
P1 = 5* a_(5;3%) +100*1,03^(-5) = 109,159
Ricapitolando:
Po = 110,834
P1 = 109,159
C = 5 (unica cedola ricevuta)
Dunque il nostro rendimento complessivo sul capitale investito (P0 = 110,834) è:
R = (109,159 + 5 – 110,834) / 110,834 = 0,03
Abbiamo ottenuto il 3% perfetto.
Nel caso in cui invece dopo un anno avessimo avuto una mutazione del tasso di interesse al 2%
In questo caso dobbiamo solo rifare il calcolo su P1, ed utilizzare proprio questo 2% per attualizzare i flussi:
P1 = 5* a_(5;2%) +100*1,02^(-5) = …
E da li ricalcolare il rendimento R complessivo
Ciao Andrea, ho un forte dubbio su questo esercizio, potresti darmi un’illuminazione?
In merito al secondo punto, come si calcola il prezzo atteso tra n anni di un’azione?
Grazie infinite
Alfa ha appena pagato un dividendo di 2 Euro per azione e l’aspettativa è che i suoi dividendi dovrebbero crescere per sempre a un tasso de 5% all’anno. Se l’aspettativa degli investitori sul rendimento di FAZ è del 11% qual è il prezzo corrente dell’azione? E quale sarà il suo prezzo atteso tra tre anni?
Ciao Angelo.
Ricordiamo che il prezzo di un’azione riflette l’andamento dei futuri dividendi.
Quando i dividendi crescono ad un tasso costante di crescita g, possiamo usare semplicemente la formula di Gordon per calcolarne il prezzo oggi.
P = Div1 /(k-g)
Dove:
P = prezzo corrente dell’azione.
Div1 è il dividendo al prossimo anno (supposto che oggi ci troviamo esattamente in t=0
k è il rendimento atteso dell’azionista = 11%
g = tasso di crescita dei dividendi = 5%
Nel nostro caso oggi abbiamo appena ricevuto 2 euro di dividendi.
Pertanto l’anno prossimo ne riceveremo:
Div1 = 2*1,05 = 2,1 (questo applicando una crescita annua del 5%
Dunque il prezzo corrente P0 è
P0 = 2,1/(0,11-0,05) = 35
Ora quanto vale tra n anni:
Se il tasso di crescita dei dividendi è costante, e non ci sono altri dati ci aspettiamo che
il prezzo Pn tra n anni è P0 moltiplicato per (1+g)^n
Dunque al tempo 3 abbiamo che:
P3 = 35*1,05^3 = 40,5168…
Ciao Andrea, mi è stato chiesto di “prezzare” (testuali parole) delle obbligazioni verdi utilizzando la curva dei tassi ma io non ho assolutamente idea di come si possa fare!
Grazie in anticipo per il tuo aiuto!!
Ciao per prima cosa devi ricavare la curva dei tassi o ancora meglio dei “prezzi a pronti”
Ti lascio un articolo che può aiutarti a capire come si costruisce.
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/costruire-la-curva-dei-tassi/
Ti lascio anche il video di YOUTUBE
https://www.youtube.com/watch?v=I_UpX_sLyf8
Considera che ci sono due metodi per costruirla: il TIR e il BOOTSTRAP e in questi video presento il BOOTSTRAP
Quando hai la struttura dei prezzi a pronti:
V(0,1) V(0,2) V(0,3) …
Utilizzi questa per prezzare l’obbligazione
Siccome l’argomento è abbastanza vasto se stai completamente partendo da zero su questo argomento ti consiglio vivamente di scoprire questo MINICORSO fatto apposta che riguarda PREZZO OBBLIGAZIONI E STRUTTURA DEI TASSI
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Lo Trovi nei MINISCORSI ed è il numero 5.
Se in generale hai difficoltà su tutti i concetti base della matematica finanziaria allora opta per il corso COMPLETO + ESERCIZIARIO
Ciao Andrea, mi potresti aiutare a risolvere questo esercizio in merito a questo argomento?
Nel mercato obbligazionario in data odierna è presente un titolo a cedola fissa semestrale con vita residua 1 anno, prezzo di rimborso 100 euro, prezzo di acquisto 104,61 euro, cedola semestrale di 2,15 euro.
Scrivere e risolvere l’equazione del TIR.
Ciao Martina.
I Flussi sono: (-104,61 , 2,15 , 102,15)
ai tempi: (0, 0,5 , 1)
Per comodità esprimiamo i tempi in semestri:
T’= (0, 1, 2)
Ora impostiamo un’equazione di secondo grado:
102,15 v^2 + 2,15v -104,61 = 0
Con v che è il fattore attualizzante semestrale.
Risolviamo l’equazione applicando la formula per le equazioni di secondo grado.
Tra le due soluzioni accettiamo solamente quella positiva:
v(semestre) = 1,0015
A questo punto calcoliamo il fattore attualizzante ad un anno elevando alla seconda quello semestrale:
v(anno) = v^2 = 1,0015^2 = 1,003
Per trovare il TIR utiliazziamo la formula di conversione:
TIR = v^(-1) -1 (ovviamente inseriamo quello annuo)
TIR = 1,003^(-1) -1 = -0,003 (circa)
Ti faccio notare che il TIR è NEGATIVO
Infatti se consideri la somma dei flussi che ti viene dall’obbligazione (2,15+102,15=104,30)
Questa risulta inferiore al prezzo pagato al tempo zero (104,61)