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https://youtu.be/NeTRwCPncTE

OBBLIGAZIONI

Le obbligazioni sono titoli finanziari emessi da enti pubblici o società private alle scopo di prendere denaro a prestito.

Detto in parole molto semplici quando lo Stato o una società per azioni ha bisogno di reperire denaro a prestito per finanziare i propri progetti emette un’obbligazione.

Si tratta di un impegno dello Stato o della società di restituire il capitale preso a prestito oltre agli interessi pattuiti.

Tale impegno è certificato da un foglio attestante questo impegno, che prende il nome di obbligazione appunto.

EMITTENTE PUBBLICO O PRIVATO

Vi sono molte forme di classificazione di obbligazioni e non ho intenzione di dilungarmi troppo in questo senso.

Una prima distinzione riguarda l’emittente che può essere un ente pubblico oppure una società privata.

Se l’emittente è un ente pubblico l’obbligazione viene anche definita Government Bond.

Nel caso in cui l’emittente sia una società privata parleremo di Corporate Bond.

OBBLIGAZIONI CON E SENZA CEDOLA

Secondo una classificazione di natura finanziaria possiamo classificare le obbligazioni a seconda che distribuiscano o meno le cedole.

Le cedole costituiscono gli interessi prodotti dal titolo che vengono distribuiti a intervalli di tempo regolari, solitamente anni o semestri.

La distinzione è tra le obbligazioni senza cedola e quelle con cedola.

Le obbligazioni senza cedola, chiamate anche Zero Coupon Bond (ZCB) pagano capitale e interesse in un’unica soluzione finale.

A fronte di un prezzo pagato all’acquisto restituiscono dopo un determinato tempo il valore nominale del titolo, ovvero quello scritto sulla facciata dell’obbligazione.

Solitamente gli ZCB sono titoli che hanno una durata breve da uno a tre anni.

In contrapposizione agli ZCB troviamo le obbligazioni cedolari o Coupon Bond.

Questo tipo di obbligazione distribuisce cedole, ovvero interessi che sono periodici, calcolate sul valore nominale del titolo applicando il tasso cedolare.

Di solito sono titoli dalla durata maggiore dei tre anni.

Un’ulteriore classificazione che potremmo fare nelle obbligazioni cedolari è tra quelle a cedola fissa e cedola variabile o indicizzate.

A partire dal 2000 le obbligazioni indicizzate all’inflazione hanno iniziato a diffondersi fortemente in ambito europeo.

ZERO COUPON BOND – PREZZO

In questo blog intendo occuparmi del prezzo delle obbligazioni ZCB.

Come  si calcola il prezzo il prezzo di uno ZCB.

Il prezzo di un’obbligazione ZCB, come quello di qualsiasi altro titolo, viene determinato attualizzando al tasso di mercato i flussi prodotti dal titolo stesso.

Nel caso di uno ZCB abbiamo un solo flusso di cassa, il valore nominale del titolo, ad una certa epoca futura.

Lo attualizziamo al tasso di mercato relativo all’epoca della scadenza.

La formula che utilizziamo per calcolare il prezzo del titolo è la seguente.

Dove:

ESEMPIO – CALCOLO PREZZO ZCB

Vediamo di capire meglio questa formula attraverso un esempio pratico:

Calcola il valore attuale di uno ZCB con scadenza tre anni al tasso di mercato del 4,5% annuo.

Il valore nominale del titolo è pari a 100.

Rappresentiamo la situazione a livello grafico:

A questo punto utilizziamo la formula descritta in precedenza:

Inseriamo i dati:

Abbiamo ottenuto che il prezzo dello ZCB è pari a 87,93 euro.

TIR   O   TRES

Nel caso in cui conosciamo il valore nominale, la scadenza e il prezzo possiamo risalire al Tasso Interno di Rendimenti (TIR).

Questo tasso è anche conosciuto con il Tasso di Rendimento a Scadenza (TRES).

In inglese possiamo anche definirlo come Yeld to Maturity (YTM).

ıııııııııııııııııı 
P: Prezzo 
VN Valore Nominale 
r Tasso di mercato 
ııııııııııııııııııııııııııı ı

Partiamo dalla formula per ricavare il prezzo

Dividiamo entrambi i membri per VN, ottenendo:

Adesso eleviamo entrambi i termini alla (-1/t) e sottraiamo 1

Abbiamo ottenuto il nostro TIR (TRES).

Per la proprietà dell’esponente negativo possiamo anche scriverlo in questo modo:

ESEMPIO – CALCOLO TASSO ZCB

Facciamo il seguente esempio:

Calcola il TIR o TRES di uno ZCB dal valore nominale di 100 euro, con scadenza 3 anni e prezzo pari a 92 euro

Per prima cosa rappresentiamo la situazione sulla linea del tempo:

A questo punto utilizziamo la formula ricavata precedentemente.

Inseriamo i dati e otteniamo:

Il TIR è pari al 2,82%.

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10 Comments

  • alessandra ha detto:

    Un’ obbligazione ha valore nominale N = 10000. Le cedole hanno ciascuna ammontare 200. La prima scade fra 30 giorni, la seconda (e ultima) scade tra 212 giorni. L’ultima cedola maturata è scaduta 153giorni fa. Sempre fra 212 giorni il titolo sarà rimborsato con un premio di rimborso d’ammontare 120.
    come si va a trovare il tel quel odierno e il prezzo, sapendo il rendimento annuo (7%) con i giorni? e come faccio a capire quale prezzo tel quel avrà il titolo 30 giorni prima della sua scadenza nell’ipotesi che il suo saggio di rendimento sia salito di 1/2 punto percentuale?

    • Andrea ha detto:

      Cia Alessandra
      Cominciamo a rispondere ai primi punti perché l’esercizio è parecchio lungo.
      Per poter calcolare il CORSO SECCO
      dobbiamo attualizzare al tempo in cui è stata ricevuta l’ultima cedola (153 gg fa) i due flussi di cassa futuro.
      Se consideriamo quandi il tempo -153/365 come se fosse il tempo 0, avremo che i due flussi di cassa avvengono:
      il primo di 200 euro tra 183 giorni, quindi 183/365 espresso in anni
      Il secondo flusso di cassa di 10.320 euro (1.000 + 200 +120) tra 365 gg quindi 1 anno tondo.
      Utilizziamo il 7% anuo per attualizzare i flussi di cassa:
      CORSO SECCO = 200*1,07^(-183/365) + 10.320*1,07^(-1) = 9.838,19
      Ora andiamo a calcolare il RATEO.
      Questo rateo è pari alla cedola semestrale moltiplicata per la quota di semestre (o meglio 183 gg) calcolata rispetto all’ultima volta in cui l’obbligazionista ha ricevuto la cedola:
      RATEO = 200*(153/183) = 167,21
      Adesso possiamo calcolare il PREZZO TEL QUEL come somma di queste due componenti:
      PREZZO TELL QUEL = CORSO SECCO + RATEO

  • ASSUNTA ha detto:

    Si consideri un titolo ZCB con scadenza tra 6 mesi, con valore nominale pari a 180 e corso di 162. Si determini il tasso spot h(0)(6).

  • Danilo ha detto:

    Ciao Andrea,

    Uno ZCB (valore nominale 100) con scadenza 6 anni ha uno yield pari a 4.3%.
    Stimare la variazione relativa del prezzo del titolo per una variazione dello yield Δy = -0.4%

    • Andrea ha detto:

      Ciao Danilo
      Ricordiamo che la variazione del prezzo è

      DeltaP = -P0 * deltay * duration /(1+TIR)

      Dunque si calcola il prezzo come valore attuale dei flussi (con il TIR del 4,3%)
      P= 100*1,043^(-6)=…
      La duration è pari a 6 (infatti è ZCB)
      Infine inserisci i dati nella formula

      • Danilo ha detto:

        Ciao Andrea, ho provato ad applicare la formula
        e mi da il seguente risultato P= 77,67 … Inserendo i dati nella formula da te indicata diventa -77,67x(0-0,004)x6 / 1+0.043) = 1,787
        ma il risultato corretto dovrebbe essere 0.023

        Potresti dirmi dov’è che sbaglio?. Grazie in anticipo

        • Andrea ha detto:

          Il calcolo è corretto
          Anche il risultato
          Si tratta infatti della variazione in termini assoluti del prezzo che subisce il titolo pari appunto a 1,787
          Se vuoi la variazione PERCENTUALE basta dividere quel valore per il prezzo del titolo stesso
          Delta% = DELTA PREZZO/PREZZO = 1,787/77,67

  • danilo ha detto:

    Ciao andrea ho bisogno del tuo aiuto , mi potresti spiegare come svolgere questo

    Sul mercato sono presenti i seguenti titoli: ZCB scadenza 6 mesi con prezzo 98.4, ZCB scadenza 1 anno con prezzo 97.3, BTP scadenza 1 anno e mezzo a cedole semestrali al tasso cedolare annuo 3% con prezzo 99.5915. Calcolare il tasso forward 1r0.5 su base annua e in forma percentuale. (Tutti i titoli hanno valore nominale 100).

    risultato 4.4%

    • Andrea ha detto:

      Ciao Danilo
      Per prima cosa devi costruire la curva dei tassi di interesse
      Per lo meno ricostruire i fattori attualizzanti v
      Ti lascio il link per scoprire come farlo con il metodo del bootstrap
      Ad esenti dai primi due zero coupon bon puoi ricavare facilmente i fattori attualizzanti (detti anche prezzi a pronti) a sei mesi v(0, 0.5) e v(0,1) che sono rispettivamente
      v(0, 0.5) = 98.4/100 v(0,1)= 97.3/100
      Per capire meglio il metodo del bootstrap ti lascio questo link con l’articolo dedicato
      https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/costruire-la-curva-dei-tassi/
      Una volta che hai ricavato anche il prezzo ad un anno e mezzo v(0, 1.5) puoi ricavare il fattore attualizzante future v(0,1,1.5) facendo la frazione
      v(0,1,1.5) = v(0,1.5)/v(0,1)
      Quando hai fatto ciò applichi la formula per trovare il tasso 1r0.5 che può equivalentemente essere scritto come r(0,1,1.5)
      1r0.5=r(0,1,1.5)=v(0,1,1.5)^(-1/2) -1
      Siccome ho visto che hai difficoltà sugli argomenti relativi alla curva dei tassi di interesse ti consiglio vivamente il corso che si occupa proprio di comprendere in maniera approfondita questa questione
      Ti lascio il link associato del corso https://andreailmatematico.it/corso/prezzo-di-obbligazioni-azioni-e-struttura-dei-tassi/

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