Oggi vediamo come si calcola il prezzo ed il tasso di interesse (TIR) di un’obbligazione senza cedola o zero coupon bond (ZCB)
INDICE
OBBLIGAZIONI
Le obbligazioni sono titoli finanziari emessi da enti pubblici o società private alle scopo di prendere denaro a prestito.
Detto in parole molto semplici quando lo Stato o una società per azioni ha bisogno di reperire denaro a prestito per finanziare i propri progetti emette un’obbligazione.
Si tratta di un impegno dello Stato o della società di restituire il capitale preso a prestito oltre agli interessi pattuiti.
Tale impegno è certificato da un foglio attestante questo impegno, che prende il nome di obbligazione appunto.
EMITTENTE PUBBLICO O PRIVATO
Vi sono molte tante tipologie di obbligazioni e non ho intenzione di dilungarmi troppo in questo senso.
Una prima distinzione riguarda l’emittente che può essere un ente pubblico oppure una società privata.
Se l’emittente è un ente pubblico l’obbligazione viene anche definita Government Bond.
Nel caso in cui l’emittente sia una società privata parleremo di Corporate Bond.
OBBLIGAZIONI CON E SENZA CEDOLA
Secondo una classificazione di natura finanziaria possiamo classificare le obbligazioni a seconda che distribuiscano o meno le cedole.
Le cedole costituiscono gli interessi prodotti dal titolo che vengono distribuiti a intervalli di tempo regolari, solitamente anni o semestri.
La distinzione è tra le obbligazioni senza cedola e quelle con cedola.
Le obbligazioni senza cedola, chiamate anche Zero Coupon Bond (ZCB) pagano capitale e interesse in un’unica soluzione finale.
A fronte di un prezzo pagato all’acquisto restituiscono dopo un determinato tempo il valore nominale del titolo, ovvero quello scritto sulla facciata dell’obbligazione.
Solitamente gli zero coupon bond sono titoli che hanno una durata breve da uno a tre anni.
In contrapposizione agli ZCB troviamo le obbligazioni cedolari o Coupon Bond.
Questo tipo di obbligazione distribuisce cedole, ovvero interessi che sono periodici, calcolate sul valore nominale del titolo applicando il tasso cedolare.
Di solito sono titoli dalla durata maggiore dei tre anni.
Un’ulteriore classificazione che potremmo fare nelle obbligazioni cedolari è tra quelle a cedola fissa e cedola variabile o indicizzate.
A partire dal 2000 le obbligazioni indicizzate all’inflazione hanno iniziato a diffondersi fortemente in ambito europeo.
ZERO COUPON BOND – PREZZO
In questo blog intendo occuparmi del prezzo delle obbligazioni zero coupon bond ovvero le obbligazioni senza cedola.
Come si calcola il prezzo il prezzo di uno ZCB?
Il prezzo di un’obbligazione ZCB, come quello di qualsiasi altro titolo, viene determinato attualizzando al tasso di mercato i flussi prodotti dal titolo stesso.
Nel caso di uno ZCB abbiamo un solo flusso di cassa, il valore nominale del titolo, ad una certa epoca futura.
Lo attualizziamo al tasso di mercato relativo all’epoca della scadenza.
La formula che utilizziamo per calcolare il prezzo del titolo è la seguente.
$$ P = VN \cdot (1+r)^{-t} $$
Dove:
- P è il prezzo dell’obbligazione
- V è il valore nominale (a scadenza o di rimborso)
- r è il tasso di attualizzazione (tasso di mercato)
- t è il tempo (scadenza)
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ESEMPIO – CALCOLO PREZZO ZCB
Vediamo di capire meglio questa formula attraverso un esempio pratico:
Calcola il valore attuale di uno ZCB con scadenza tre anni al tasso di mercato del 4,5% annuo.
Il valore nominale del titolo è pari a 100.
Rappresentiamo la situazione a livello grafico:
A questo punto utilizziamo la formula descritta in precedenza:
$$ P = VN \cdot (1+r)^{-t} $$
Inseriamo i dati:
$$ P = 100 \cdot (1+0,045)^{-3} = 87,63 $$
Abbiamo ottenuto che il prezzo dello ZCB è pari a 87,93 euro.
TIR O TRES
Nel caso in cui conosciamo il valore nominale, la scadenza e il prezzo possiamo risalire al Tasso Interno di Rendimento (TIR).
Questo tasso è anche conosciuto con il Tasso di Rendimento a Scadenza (TRES).In inglese possiamo anche definirlo come Yeld to Maturity (YTM).
Partiamo dalla formula per ricavare il prezzo
$$ P = VN \cdot (1+r)^{-t} $$
Dividiamo entrambi i membri per VN e leggiamo da destra verso sinistra
$$ (1+r)^{-t} = \frac{P}{VN} $$
Adesso eleviamo entrambi i termini alla (-1/t) e sottraiamo 1
$$ r = \left( \frac{P}{VN} \right)^{-\frac{1}{t}} -1$$
Abbiamo ottenuto il nostro TIR (TRES).
Per la proprietà dell’esponente negativo possiamo cambiare il segno all’esponente ribaltando il numeratore con il denominatore della frazione a destra:
$$ r = \left( \frac{VN}{P} \right)^{\frac{1}{t}} -1$$
ESEMPIO – CALCOLO TASSO ZCB
Facciamo il seguente esempio:
Calcola il TIR o TRES di uno ZCB dal valore nominale di 100 euro, con scadenza 3 anni e prezzo pari a 92 euro
Per prima cosa rappresentiamo la situazione sulla linea del tempo:
A questo punto utilizziamo la formula ricavata precedentemente.
$$ r = \left( \frac{VN}{P} \right)^{\frac{1}{t}} -1$$
Inseriamo i dati e otteniamo:
$$ r = \left( \frac{100}{92} \right)^{\frac{1}{3}} -1 = 0,0282 = 2,82\%$$
Il TIR è pari al 2,82%.
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14 risposte
Un’ obbligazione ha valore nominale N = 10000. Le cedole hanno ciascuna ammontare 200. La prima scade fra 30 giorni, la seconda (e ultima) scade tra 212 giorni. L’ultima cedola maturata è scaduta 153giorni fa. Sempre fra 212 giorni il titolo sarà rimborsato con un premio di rimborso d’ammontare 120.
come si va a trovare il tel quel odierno e il prezzo, sapendo il rendimento annuo (7%) con i giorni? e come faccio a capire quale prezzo tel quel avrà il titolo 30 giorni prima della sua scadenza nell’ipotesi che il suo saggio di rendimento sia salito di 1/2 punto percentuale?
Cia Alessandra
Cominciamo a rispondere ai primi punti perché l’esercizio è parecchio lungo.
Per poter calcolare il CORSO SECCO
dobbiamo attualizzare al tempo in cui è stata ricevuta l’ultima cedola (153 gg fa) i due flussi di cassa futuro.
Se consideriamo quandi il tempo -153/365 come se fosse il tempo 0, avremo che i due flussi di cassa avvengono:
il primo di 200 euro tra 183 giorni, quindi 183/365 espresso in anni
Il secondo flusso di cassa di 10.320 euro (1.000 + 200 +120) tra 365 gg quindi 1 anno tondo.
Utilizziamo il 7% anuo per attualizzare i flussi di cassa:
CORSO SECCO = 200*1,07^(-183/365) + 10.320*1,07^(-1) = 9.838,19
Ora andiamo a calcolare il RATEO.
Questo rateo è pari alla cedola semestrale moltiplicata per la quota di semestre (o meglio 183 gg) calcolata rispetto all’ultima volta in cui l’obbligazionista ha ricevuto la cedola:
RATEO = 200*(153/183) = 167,21
Adesso possiamo calcolare il PREZZO TEL QUEL come somma di queste due componenti:
PREZZO TELL QUEL = CORSO SECCO + RATEO
Si consideri un titolo ZCB con scadenza tra 6 mesi, con valore nominale pari a 180 e corso di 162. Si determini il tasso spot h(0)(6).
Ciao assunta il tasso spot a sei mesi è
h(0,6)= (162/180)^(-1/2) -1
Espresso su base annua
Se non sai proprio cosa siano tassi spot e forward ti consiglio
PREZZO OBBLIGAZIONI E CURVE DEI TASSI
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Li spiego in maniera dettagliata con decine di esercizi
Ciao Andrea,
Uno ZCB (valore nominale 100) con scadenza 6 anni ha uno yield pari a 4.3%.
Stimare la variazione relativa del prezzo del titolo per una variazione dello yield Δy = -0.4%
Ciao Danilo
Ricordiamo che la variazione del prezzo è
DeltaP = -P0 * deltay * duration /(1+TIR)
Dunque si calcola il prezzo come valore attuale dei flussi (con il TIR del 4,3%)
P= 100*1,043^(-6)=…
La duration è pari a 6 (infatti è ZCB)
Infine inserisci i dati nella formula
Ciao Andrea, ho provato ad applicare la formula
e mi da il seguente risultato P= 77,67 … Inserendo i dati nella formula da te indicata diventa -77,67x(0-0,004)x6 / 1+0.043) = 1,787
ma il risultato corretto dovrebbe essere 0.023
Potresti dirmi dov’è che sbaglio?. Grazie in anticipo
Il calcolo è corretto
Anche il risultato
Si tratta infatti della variazione in termini assoluti del prezzo che subisce il titolo pari appunto a 1,787
Se vuoi la variazione PERCENTUALE basta dividere quel valore per il prezzo del titolo stesso
Delta% = DELTA PREZZO/PREZZO = 1,787/77,67
Ciao Andrea, sono di nuovo in cerca del tuo aiuto mi potresti spiegare lo svolgimento di questo esercizio?
Grazie in anticipo.
Il prezzo di uno ZCB con scadenza 1 anno e 6 mesi è 96.8. Un contratto a termine sullo stesso ZCB quota un prezzo tra 6 mesi pari a 97.7 e un contratto a termine sullo stesso ZCB quota un prezzo tra 1 anno pari a 98.4. Determinare il prezzo oggi di un BTP scadenza 1 anno e 6 mesi a cedole semestrali al tasso cedolare annuo del 6.5%. (Il valore nominale di tutti i titoli è 100).
RISULTATO : 106.3632
Ciao Danilo
Per prima cosa cominciamo a determinare i tassi di struttura che sono rispettivamente: i(0, 1.5) i(0, 0.5, 1.5) i(0,1, 1.5)
INOLTRE TENIAMO PRESENTE CHE ANDREMO A DETERMINARLI SU BASE ANNUA
il primo tasso è un tasso spot da oggi fino a 1 anno e mezzo
i(0, 1.5) = (100/96,8)^1/1.5 -1 = 0,0219189
Il secondo tasso è quello che va da sei mesi ad un anno e mezzo
i(0, 0.5, 1.5) = (100/ 97.7) ^(1/1) -1 = 0,0235415
Il terzo tasso va da un anno ad un anno e mezzo
i(0,1, 1.5) = (100/ 98.4) ^(1/0.5) -1 = 0,0327847
Quello che interessa a noi è ottenere i tre tassi spot i(0,0.5) i(0,1) i(0, 1.5)
Il primo tasso a sei mesi risulta:
i(0,0.5) = [(1 +i(0, 1.5))^1.5 / (1 + i(0, 0.5, 1.5))^1 )]^(1/(1.5-1) -1
i(0, 0.5) = [1,0219189^1.5 / 1,0235415^1)]^(1/0.5) -1 = 0,0186814
Facendo lo stesso ragionamento otteniamo il tasso ad un anno
i(0,1) = [1,0219189^1.5 / 1,,0327847^0.5)]^(1/1) -1 = 0,0165289
Ora possiamo usare i tre tassi trovati per calcolare il valore attuale del titolo
Il valore attuale del titolo è 100 (testo)
le cedole semestrali sono pari a 6,5/2 = 3,25
Dunque il suo valore attuale è
VA = 3,25 * (1+ i(0, 0.5))^-0.5 + 3,25 * (1+ i(0, 1))^-1 + 103,25 * (1+ i(0, 1.5))^-1.5
Il problema poteva essere risolto molto più agevolmente sfruttando i prezzi a pronti, dunque evitando questi lunghissimi calcoli
In particolare il prezzo del titolo finale può essere riscritto come segue
VA = 3,25 * v(0,0.5) + 3,25 * v(0,1)+ 103,25 * v(0,1.5)
In maniera più semplice sappiamo che
v(0, 0.5) = v(0,1.5)/ v(0, 0.5, 1.5) = 96.8 / 97.7
v(0, 1) = v(0,1.5)/ v(0, 1, 1.5) = 96.8 / 98.4
v(0, 1.5) = 96.8/100
Dunque non ci rimane che sostituire
😉
Ciao andrea ho bisogno del tuo aiuto , mi potresti spiegare come svolgere questo
Sul mercato sono presenti i seguenti titoli: ZCB scadenza 6 mesi con prezzo 98.4, ZCB scadenza 1 anno con prezzo 97.3, BTP scadenza 1 anno e mezzo a cedole semestrali al tasso cedolare annuo 3% con prezzo 99.5915. Calcolare il tasso forward 1r0.5 su base annua e in forma percentuale. (Tutti i titoli hanno valore nominale 100).
risultato 4.4%
Ciao Danilo
Per prima cosa devi costruire la curva dei tassi di interesse
Per lo meno ricostruire i fattori attualizzanti v
Ti lascio il link per scoprire come farlo con il metodo del bootstrap
Ad esenti dai primi due zero coupon bon puoi ricavare facilmente i fattori attualizzanti (detti anche prezzi a pronti) a sei mesi v(0, 0.5) e v(0,1) che sono rispettivamente
v(0, 0.5) = 98.4/100 v(0,1)= 97.3/100
Per capire meglio il metodo del bootstrap ti lascio questo link con l’articolo dedicato
https://andreailmatematico.it/matematica-finanziaria/costruire-la-curva-dei-tassi/
Una volta che hai ricavato anche il prezzo ad un anno e mezzo v(0, 1.5) puoi ricavare il fattore attualizzante future v(0,1,1.5) facendo la frazione
v(0,1,1.5) = v(0,1.5)/v(0,1)
Quando hai fatto ciò applichi la formula per trovare il tasso 1r0.5 che può equivalentemente essere scritto come r(0,1,1.5)
1r0.5=r(0,1,1.5)=v(0,1,1.5)^(-1/2) -1
Siccome ho visto che hai difficoltà sugli argomenti relativi alla curva dei tassi di interesse ti consiglio vivamente il corso che si occupa proprio di comprendere in maniera approfondita questa questione
Ti lascio il link associato del corso https://andreailmatematico.it/corso/prezzo-di-obbligazioni-azioni-e-struttura-dei-tassi/
Ciao Andrea, non riesco a capire come calcolare i tassi a pronti nell’esercizio che segue dato che non ho i prezzi dei vari zcb in tutte le epoche. In particolare non so come ricavare i(0,1) e i(0,2) per il secondo e il terzo zcb. Ti ringrazio anticipatamente e ti faccio i miei complimenti per il tuo magnifico lavoro.
Sul mercato sono presenti i seguenti titoli:
• uno ZCB che garantisce in t=1 il rimborso di 100 e prezzo in t=0 pari 96
• uno ZCB che garantisce in t=2 il rimborso di 200 e prezzo in t=1 pari 190
• uno ZCB che garantisce in t=3 il rimborso di 210 e prezzo in t=1 pari 174,50
Determinare la struttura dei tassi a pronti i(0, t)
Ciao,
Data la struttura obbligazionaria in oggetto possiamo dterminare sicuramente un prezzo a pronti (fattore attualizzante) da 0 a 1 ovvero v(0,1) e due prezzi a termine (forward) ovvero v(1,2) e v(1,3).
In particolare abbiamo che:
$$ v(0,1)= \frac{96}{100}=0,96\quad v(1,2)=\frac{190}{200}=0,95\quad v(1,3)=\frac{174,5}{210}=0,830952$$
A questo punto possiamo ricavare i due fattori attualizzanti (prezzi spot o a pronti) che ci servono: v(0,2) e v(0,3)
In particolare v(0,2) risulta dal prodotto di v(0,1) e v(1,2)
$$ v(0,2)=v(0,1)\cdot v(1,2)=0,96\cdot 0,95=0,912$$
Mentre otteniamo v(0,3) moltiplicando v(0,1) per v(1,3)
$$ v(0,3)=v(0,1)\cdot v(1,3)=0,96\cdot0,830952=0,797714$$
Ora ci ricordiamo della relazione che esiste tra il prezzo spot (fattore attualizzante) v(0,t) ed il tasso spot che vale su quel determinato periodo i(0,t):
$$ i(0,t)=\left(v(0,t)\right)^\frac{1}{t}-1$$
Dunque ricaviamo in ordine i tre tassi di interesse spot della nostra struttura:
$$ i(0,1)=(v(0,1))^{-\frac{1}{1}}-1=0,96^{-\frac{1}{1}}-1=0,0416667 \\ i(0,2)=(v(0,2))^{-\frac{1}{2}}-1=0,912^{-\frac{1}{2}}-1=0,0471348 \\ i(0,3)=(v(0,3))^{-\frac{1}{3}}-1=0,797714^{-\frac{1}{3}}-1=0,0782453 $$
Ti consiglio inoltre il seguente corso dal titolo: PREZZO DI AZIONI, OBBLIGAZIONI E STRUTTURA DEL TASSO DI INTERESSE
https://andreailmatematico.it/corso/prezzo-di-obbligazioni-azioni-e-struttura-dei-tassi/
DOVE PUOI TROVARE TANTI ESERCIZI DI UESTO TIPO SULLE STRUTTURE DEI TASSI SPOT E FORWARD
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