COS’E’ LA CURVA DEI TASSI
La curva dei tassi, o struttura dei tassi di interesse in un certo mercato obbligazionario è una relazione che lega il tasso di rendimento di un titolo alla sua scadenza.
In generale per costruire una curva dei tassi si prendono come riferimento le obbligazioni statali, ma è possibile costruire curve dei tassi anche con obbligazioni private.
COME LEGGERLA
La curva dei tassi è un punto di riferimento molto importante per gli operatori di mercato. Dalla sua lettura possiamo capire molte cose circa le aspettative che gli operatori hanno nei confronti dell’economia.
CURVA CRESCENTE
Questa in figura è la curva dei tassi di interesse presente sul mercato italiano per i prossimi 50 anni.
Come si vede dal grafico i tassi partono
Una curva dei tassi crescente identifica il fatto che titoli che hanno scadenza più lontana hanno un tasso di rendimento maggiore.
Questa dovrebbe essere la situazione “normale” in cui ci si attende che l’economia cresca nel lungo periodo.
I tassi di interesse futuri più alti hanno due principali giustificazioni:
- Premio per il rischio
- Volatilità
Per quanto riguarda il premio per il rischio identifica il fatto che quando gli investitori guardano al futuro dell’economia vedono anche incertezza.
Molti possono essere i futuri scenari in un’economia.
Potrebbe essere che lo Stato per diminuire il suo debito cominci a tagliare la spesa pubblica o aumentare le imposte.
Potrebbe essere che a causa della forte inflazione la banca centrale decida di intraprendere una stretta monetaria.
Cosa succederebbe se da un giorno all’altro la Cina decida di interrompere i rapporti commerciali con l’Italia.
E se il cambio Euro/dollaro arrivasse ad 1,80 dollari per euro, quanto calerebbero le esportazioni rispetto a quelle attuali nel medio termine?
Certamente uno dei problemi che preoccupa di più i mercati è l’inflazione.
Una forte inflazione è spesso uno degli indici che il mercato sta andando bene.
Ma rappresentano anche una potenziale fonte di instabilità
Ciò che abbiamo detto sta ad indicare che questi tassi di interesse maggiore premiano il rischio che l’investitore si assume acquistando delle obbligazioni con scadenza medio- lunga.
Un maggior rischio che determina una maggior volatilità del titolo nel futuro.
CURVA DECRESCENTE
Una curva dei tassi decrescente, o invertita indica che gli operatori si attendono nel prossimo futuro:
- Un calo dei tassi di interesse di riferimento della Banca Centrale
- Un calo dell’inflazione, se non addirittura una deflazione
- Un ristagno dell’attività economica
Quando sono presenti queste aspettative nell’economia, abbiamo una diminuzione dei tassi di rendimento sulle attività con scadenza più lunga.
Una situazione di questo tipo descrive perciò una situazione caratterizzata dalla sfiducia per la crescita futura.
In questo caso agli investitori converrà certamente acquistare dei titoli con scadenza più corta, in quanto hanno un rendimento maggiore.
CURVA PIATTA
Nell’immagine la curva arancio mostra la curva dei rendimenti sui titoli di stato canadesi a 10 anni.
Quando la curva dei rendimenti è piatta i tassi a breve sono in linea con i tassi a medio e lungo termine.
Questa situazione si verifica quando vi è un’aspettativa di ribasso nei tasso di interesse.
COME OTTENERE UNA CURVA DEI TASSI
Fino a qui abbiamo introdotto il concetto di curva dei tassi o dei rendimenti.
Come facciamo però a d ottenere l’andamento di questa curva?
La risposta è che
- Bisogna disporre di dati che riguardano dei titoli obbligazionari con varie scadenze
- è necessario utilizzare dei calcoli matematici, legati soprattutto all’algebra lineare e non solo.
Per capire meglio come muoverci facciamo un esempio pratico.
ESEMPIO PRATICO
Supponiamo che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli.
- BOT con valore nominale pari a 100 e prezzo di emissione di 97,5
- TCF a due anni con cedola annuale pari a 2,2, valore nominale 100 e prezzo 95.
- TCF a tre anni con cedola annuale pari a 4, valore nominale 100 e prezzo 92
- TCF a quattro anni con tasso cedolare 3,8%, valore nominale 100 e prezzo 87,5
Si supponga altresì che un soggetto abbia sottoscritto un contrato a termine su un titolo a cedola fissa con scadenza a quattro anni che prevede ra 1,8 anni la consegna del titolo sottostante considerando che il tasso nominale è pari al 6% e il valore nominale di rimborso è pari a 150.
Per prima cosa andiamo a rappresentare sulla linea del tempo (0,1,2,3,4) i flussi di cassa dei vari titoli
Al tempo 0 mettiamo i prezzi pagati, se volete con segno negativo, mentre ai tempi successivi i flussi di cassa dei titoli.
Per quanto riguarda il primo titolo mettiamo in zero il prezzo pagato di 97,5 e al tempo 1 il valore nominale di rimborso pari a 100, che comprende anche gli interessi.
Per il titolo 2 al tempo zero mettiamo il prezzo pari a 95. Nel primo anno verrà pagata la cedola pari a 2,2, che rappresenta gli interessi. Il secondo anno oltre alla cedola verrà rimborsato il valore nominale del titolo. Leggeremo quindi 100+2,2=102,2.
Per il titolo 3 mettiamo al tempo zero il prezzo pagato, ovvero 92. Ai tempi 1,2,3 scriviamo la cedola di 4 e ricordiamoci al tempo finale di aggiungere alla cedola il valore nominale.
Per l’ultimo titolo, stessa cosa. In t=0 scriviamo il prezzo di 87,5. Ai tempi 1,2,3,4 mettiamo la cedola, calcolata moltiplicando il valore nominale del titolo (100) per il tasso cedolare (3,8%). L’ultimo anno mettiamo il valore nominale maggiorato della cedola.
A questo punto non ci resta che passare al calcolo dei tassi di interesse presenti nel mercato.
Per fare questo dobbiamo impostare delle equazioni in cui imponiamo il valore attuale dei flussi di cassa uguale al prezzo.
Ad esempio per quanto riguarda la prima obbligazione imponiamo che il prezzo (97,5) deve risultare uguale al valore nominale attualizzato di un anno, al tasso di interesse ad un anno R1.
Passando al secondo titoli avremo che 95 (prezzo) deve essere eguagliato all’attualizzazione dei due flussi di cassa.
Da notare che il flusso di cassa al tempo uno (2,2) lo attualizziamo con il tasso a un anno (R1), mentre il flusso di cassa presente al tempo due (102,2) lo attualizziamo con il tasso a due anni (R2)
Facciamo la stessa cosa con le altre due obbligazioni, chiamando R3 il tasso a tre anni e R4 il tasso a quattro anni
A questo punto quello che otteniamo è un sistema con 4 equazioni e 4 incognite, che sono R1,R2, R3 e R4.
Ovvero proprio i tassi che sono presenti sul mercato obbligazionario.
Ora, per rendere un po’ più comprensibile questo sistema un po’ più comprensibile si possono effettuare le seguenti sostituzioni
Dove v1, v2, v3 e v4 rappresentano i fattori di attualizzazione rispettivamente a 1,2,3 e 4 anni.
A questo punto il sistema diventa estremamente più semplificato.
Come si può notare dalla rappresentazione in basso si tratta di un sistema lineare semplificato con 4 equazioni in 4 incognite.
Dalla prima equazione ci ricaviamo subito v1, risolvendo come un’equazione di primo grado
Una volta ricavato v1, sostituiamo v1 all’interno della seconda equazione e ci ricaviamo v2
Ricavati così v1 e v2 li sostiamo nella terza equazione e ricaviamo v3
Infine otteniamo v4 dalla quarta equazione sostituendo v1, v2 e v3.
Quando abbiamo ricavato tutte le v, andiamo a calcolarci tutti i tassi R.
Ricordiamo qui sotto la relazione che dobbiamo utilizzare.
Non ci resta che applicare queste formule e avremo i nostri tassi
Da ultimo non ci resta che fare il disegno.
COSTRUIRE LA CURVA DEI TASSI CON EXCEL
Esiste certamente un modo più piacevole per costruire la curva dei tassi utilizzando il calcolatore elettronico di Excel.
In primis andiamo a riportare nel nostro foglio i flussi di cassa come indicato in figura
In secondo luogo ricordiamo che il seguente sistema lineare
Può essere scritto anche nel seguente modo
Dove
F è la matrice dei flussi
V è il vettore delle attualizzazioni
P è il vettore dei prezzi
Se moltiplichiamo a sinistra di entrambi i membri la matrice inversa della matrice dei flussi otteniamo il vettore delle attualizzazioni
A questo punto possiamo ottenere il vettore dei tassi applicando le formule già descritte in precedenza
Ritornando dunque al foglio di Excel cominciamo a calcolare il vettore V delle attualizzazioni.
Inseriamo i tempi 1,2,3,4 uno sotto l’altro.
Selezioniamo le quattro celle sotto la V.
Entriamo nella barra delle formule e scriviamo la formula:
=MATR.PRODOTTO(MATR.INVERSA(C6:F9);B6:B9)
In questo modo stiamo facendo il prodotto tra:
- La matrice inversa dei flussi di cassa
- Il vettore dei prezzi
A questo punto possiamo calcolarci il vettore dei tassi, nel seguente modo
La formula utilizzata nella cella è
R = V ^ (-1/tempo) -1
Facciamo copia e incolla nelle celle sotto, ed ecco che abbiamo ottenuto i nostri tassi.
Infine non ci resta che andare a disegnare la nostra bellissima curva dei tassi.
INSERIAMO IL GRAFICO
Andiamo si INSERISCI, GRAFICO A DISPERSIONE
Selezioniamo i dati dalle opzioni
A questo punto:
Aggiungiamo una serie con tasto +
Diamo il nome alla serie “curva dei tassi”
In Valori X inseriamo i tempi 1,2,3,4
In valori Y i tassi R1,R2,R3,R4
Schiacciamo OK e avremo il nostro bel grafico con la curva dei tassi.
Possiamo poi personalizzare il grafico con le varie proposte grafiche che ci compaiono nella barra in alto
Si supponga che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli
t ( 0, 1, 2, 3, 4)
A (98, 100, 0, 0, 0)
B (95, 2,5, 102,5, 0, 0)
C (91, 3, 3, 103, 0)
D (88, 3,7, 3,7, 3,7, 103,7)
Si supponga altresì che un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo a cedola fissa che prevede tra 3 mesi (0,25 anni) la consegna del titolo sottostante con scadenza fra 2 anni e tasso nominale pari al 4%. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del TCF il cui valore di rimborso alla scadenza è pari a 150.
Ciao Stefania,
Se il titolo viene venduto dopo tre mesi tutti i flussi di cassa vanno attualizzati a 3 mesi ovvero a 0,25 anni
Siccome il titolo ha scadenza a due anni ci interessano solamente i fattori attualizzanti dei primi due anni.
Questo titolo
Produce solo due flussi di cassa.
Al tempo 1 abbiamo la cedola di 4
Calcolata come il prodotto tra il valore nominale del titolo (100) e il tasso nominale 4%
Al secondo anno abbiamo 100+4=104
I’m calcolo che dobbiamo fare per calcolare il suo prezzo è:
P(0,25) = 4*v(0;0,25;1) + 104* v(0;0,25;2)
Per fare questo bisogna trovare i tassi a termine
v(0;0,25;1)
v(0;0,25;2)
Per calcolare il primo facciamo:
v(0;0,25;1)=v(0;1)/v(0;0,25)
Diciamo cioè due tassi a pronti
Al numeratore abbiamo
Il tasso spot ad in anno
Mentre al denominatore il tasso spot a due anni.
Mentre per il secondo
v(0;0,25;2)=v(0;2)/v(0;0,25)
Per quanto riguarda i due numeratori della frazione,ovvero
v(0;1) e v(0;2)
Che rappresentano i fattori attualizzanti a pronti a 1 e due anni li ricaviamo risolvendo il sistema lineare con i 4 titoli del testo
(In realtà bastano i primi due)
Per il fattore attualizzante a pronti a 0,25, ovvero il denominatore delle frazioni, anni usiamo l’interpolazione lineare.
Questo si trova infatti tra v(0;1) e v(0;2)
Essendo più vicino a v(0,1) lo ponderiamo con un numero più alto.
Il calcolo risulta dunque:
V(0;0,25)=0,75*v(0;1)+0,25*v(0,2)
Perfetto!!! Grazie mille ❤️
Non c’è di che ;)))
buongiorno Andrea. Di questo esercizio è possibile avere i calcoli? Ne devo fare uno simile ma non ho capito il procedimento. Grazie, Barbara
Ciao Barbara,
Ti interessano i calcoli a mano oppure con Excel?
ciao Andrea. Grazie innanzitutto per la tua disponibilità! Ti mando il testo dell’esercizio che devo risolvere (se poi anche con i calcoli).
Si supponga che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli
t ( 0, 1, 2, 3, 4)
A (97, 100, 0, 0, 0)
B (94, 2,5, 102,5, 0, 0)
C (91, 4, 4, 104, 0)
D (87.88, 3,5, 3,5, 3,5, 103,5)
Si supponga altresì che un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo ABC che prevede tra 1.5 anni la consegna del titolo sottostante con scadenza fra 3 anni. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola nulla ABC, il cui valore di rimborso alla scadenza è pari a 130.
come ti dicevo non lo so fare
Per rispondere a questa domanda dobbiamo attualizzare 130 dal tempo 3 al tempo 1,5
Per farlo utilizziamo il fattore attualizzando a termine v(0,1.5,3)
Possiamo ricavare questo ultimo a partire dai prezzi a pronti v(0,1.5) e v(0,3)
Mentre il primo lo si ricava direttamente dal sistema lineare per il secondo si fa uninterpolazione lineare tra v(0,1) e v(0,2)
In sintesi
Prezzo = 300* v(0,1.5,3)
Dove:
V(0,1.5,3) = v(0,3)/v(0,1.5)
Il denominatore della frazione lo ricaviamo mediante interpolazione
V(0,1.5) =0,5*v(0,1)+0,5*v(0,2)
Riprodurre i calcoli su tutti i numeri per risolvere il sistema è qui un po’ lungo.
Ti consiglio se hai difficoltà su questi concetti di andare al seguente link dove troverai il corso associati
Qui troverai tutta la teoria spiegata dettagliatamente.
E molti esercizi simili a quello che hai proposto, risolti nei minimi particolari
https://andreailmatematico.it/corso/prezzo-di-obbligazioni-azioni-e-struttura-dei-tassi/
solo i calcoli a mano dell’esercizio che ti ho mandato.
Grazie mille sei il mio salvatore!
Barbara
grazie mille!
È stato un piacere 😉
Ciao, i calcoli sarebbero gli stessi se dovessi andare a trovare il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola unica ABC?
Ciao Maria esatto
Ok grazie! Hai modo di poter svolgere quest’esercizio? Poichè non ho capito come svolgerlo dalla spiegazione soprastante, purtroppo è un argomento un po’ difficile!
Si suppone che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli.
0 1 2 3 4
98.5 100 0 0 0
95 2 102 0 0
91 3.5 3.5 103.5 0
88.75 4.2 4.2 4.2 104.2
Si supponga altresì che sia un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo ABC che prevede tra 1.5 anni la
consegna del titolo sottostante con scadenza tra 4 anni. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola unica ABC, il cui
valore di rimborso alla scadenza è pari a 200.
Grazie mille anticipatamente!!
Ciao Maria.
In questo caso ti serve il tasso ad un anno e mezzo che puoi ricavare dalla struttura dei tassi.
Possiamo sfruttare i fattori attualizzanti per poi fare l’interpolazione lineare.
Chiamiamo v(0,1) e v(0,2) i fattori attualizzanti detti anche prezzi spot.
Per semplicità chiamiamoli semplicemente v1 e v2
Dal primo titolo impostiamo la prima equazione:
100 v1 = 98,5 da cui v1 = 0,985
Dal secondo titolo impostiamo la seconda equazione:
2v1 + 102 v2 = 95 da cui v2 = (95 -2v1)/102
Sostituendo v2 che abbiamo già trovato:
v2 = (95 -2*0,985)/102 = 0,912
Siccome il nostro titolo scade tra un anno e mezzo dobbiamo trovare il prezzo a pronti v(0, 1.5)
Siccome un anno e mezzo si trova esattamente a metà Strada tra 1 e 2 mettiamo il 50% di v(0,1) e il 50% di v(0,2)
v(0, 1.5) = 0,5*v(0,1) + 0,5*v(0,2) = 0,5*0,985 + 0,5*0,912 = 0,9485
Apro una piccola parentesi.
Se fosse stato tra 1,8 anni avremmo fatto il 20% del primo e l’80% del secondo
v(0, 1.8) = 0,2*v(0,1) + 0,8*v(0,2) = ….
Mentre se fosse stato tra 1 anno e 8 mesi avremmo preso 4/12 del primo e i 8/12 del secondo:
v(0, 1+8/12) = 4/12*v(0,1) + 8/12*v(0,2) = ….
Nel nostro caso dunque il prezzo equo del titolo è semplicemente l’attualizzazione dei 200
P = 200 * v(0, 1.5) = 200 * 0,9485 = 189,7
Per chiarire questi concetti “un po difficili” prendi il mini corso prezzo azioni obbligazioni e curva dei tassi
é il minicorso numero 5
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Qui entro nei minimi dettagli di ogni calcolo nella parte dedicata agli esercizi
Si supponga che sul mercato siano scambiati titoli a cedola nulla unitari con i seguenti prezzi:
V(0,1)=0,90
V(0,2)=0,84
V(0,3)=0,80
V(0,4)=0,78
V(0,5)=0,76
Assumendo che non siano consentite operazioni di arbitraggio, determinare la struttura per scadenza dei prezzi a termine V (0,3,s) con s=1,2,3,4,5
Ciao Piero, grazie della domanda;)
Se vogliamo calcolare a partire dalla struttura SPOT:
V(0,1)=0,90
V(0,2)=0,84
V(0,3)=0,80
V(0,4)=0,78
V(0,5)=0,76
La struttura FORWARD(FUTURE) dei prezzi del tipo v(0,3,s) dove s è la scadenza posteriore a 3,
ci rendiamo conto che possiamo calcolare solo 2 prezzi FUTURE, ovvero:
v(0,3,4) e v(0,3,5)
In particolare:
v(0,3,4)=v(0,4) / v(0,3) = 0,78/0,80=0,975
v(0,3,5)=v(0,5) / v(0,3) = 0,76/0,80=0,95
Se vogliamo anche i tassi forward abbiamo che:
i(0,3,4)=(v(0,3,4)^(-1/1)-1=0,975^(-1) -1 = 0,025641
i(0,3,5)=(v(0,3,5)^(-1/2)-1=0,95^(-1/2) -1 = 0,025978
Si supponga che il mercato sia regolato dalla seguente struttura per scadenza dei tasisi di interesse:
i(0,1)=2,2%
i(1,2)=2,5%
i(2,3)=2,7%
i(3,4)=3,0%
i(4,5)=3,2%
Assumendo che il mercato sia perfetto , determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti (i,(0,t) per t=1,2,3,4,5) in condizioni di certezza
Ciao Piero grazie della domanda.
A partire dalla struttura Future:
i(0,1)=2,2%
i(1,2)=2,5%
i(2,3)=2,7%
i(3,4)=3,0%
i(4,5)=3,2%
Dobbiamo ricavare la struttura dei tassi SPOT i(0,t)
Ovviamo il primo tasso i(0,1) è già dato:
i(0,1)=2,2%
Il secondo tasso i(0,2) è:
i(0,2)=((1+i(0,1))*(1+i(1,2)))^(1/2) -1 = (1,022*1,025)^(1/2)-1=0,0235
Seguendo lo stesso ragionamento avremo che:
i(0,3)=(1,022*1,025*1,027)^(1/3)-1=0,024664
i(0,4)=(1,022*1,025*1,027*1,03)^(1/4)-1=0,026
i(0,5)=(1,022*1,025*1,027*1,03*1,032)^(1/5)-1=0,0271938
Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titoli sul mercato obbligazionario:
a) un titolo a cedola nulla ad 1 anno con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR=0,022
;
b) un titolo a cedola nulla a 2 anni con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR= O.O31
c) un titolo a cedola fissa a 3 anni, tasso nominale TN=O,O4, emesso alla pari con valore
nominale pari a 100;
d) un titolo a cedola fissa a 5 anni, tasso nominale TN=0,055 , emesso alla pari con
valore nominale pari a 100.
Si calcoli la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t=(1,2,3,4,5)
con il metodo del Tasso interno di rendimento.
Ciao Iacopo, Grazie per il tuo quesito.
Prima di tutto cominciamo con il dire che esistono due metodi principali per poter calcolare la struttura dei pressi e dei tassi.
Il primo metodo si basa sul TIR, mentre il secondo è il BOOTSTRAP.
Nel tuo caso è richiesto di applicare il metodo del TIR.
Per i dati che ti sono proposti quindi il quesito diventa molto semplice.
In effetti hai quasi tutti i dati per risolverlo.
Per quanto riguarda le prime due obbligazioni, quella a 1 anno e quella a 2 anni, possiedi già il TIR.
Perciò questi rappresentano già i primi due tassia pronti (spot) della struttura.
i(0,1) = 0,022
i(0,2) = 0,031
Per quanto riguarda i titoli a 3 e 5 anni, sembra che questo dato non ci sia.
In effetti ci fornisce i tassi nominali.
Però il testo ci da un’informazione che non lascia ombra di dubbio.
Ovvero che i titoli sono stati emessi alla pari.
Quando si verifica una tal situazione il TIR coincide con il tasso nominale.
In questa particolare situazione dunque emerge immediatamente che:
i(0,3) = 0,004
i(0,5) = 0,055
L’unico tasso che sembra mancare in questa struttura è il tasso spot a 4 anni.
Per ricavarlo possiamo fare un’interpolazione lineare tra il tasso a 3 anni e quello a 5 anni.
Siccome il 4 si trova esattamente a metà strada tra il 3 e il 5, possiamo anche procedere in questa maniera più veloce:
i(0,4) = 0,5* i(0,3) + 0,5* i(0,5)
Inserendo i valori numerici abbiamo che:
i(0,4) = 0,5* 0,04 + 0,5* 0,055 = 0,0475
Ora non ci resta che ricavare la struttura dei prezzi spot, ovvero dei fattori attualizzanti a pronti.
Per farlo usiamo la formula generale:
v(0,t) = (1 +i(0,t)) ^ (-t)
Perciò scriviamo:
v(0,1) = 1,022 ^(-1) = 0,97847
v(0,2) = 1,031 ^(-2) = 0,94076
v(0,3) = 1,04 ^(-3) = 0,889
v(0,4) = 1,0475 ^(-4) = 0,83058
v(0,5) = 1,055 ^(-5) = 0,76513
Grazie mille!
Prego 😉
Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titolo:
A) TCN ad 1 anno con TIR=0,022 annuale
B)TCN a 2 anni con TIR=0,031
C)TCF a 3 anni con TN= 0.04 emesso alla pari con valore nominale a 100
D)TCF a 5 anni con TN=0,05 emesso alla pari con valore nominale a 100
Chiede di calcolare la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t= (0,1,2,3,4,5) con il metodo del TIR
Qual é la risoluzione dell’esercizio considerando che per i titoli a cedola nulla fornisce il TIR e poi chiede di calcolare la struttura di tassi e di prezzi con il metodo del TIR?
Ciao Giancarlo, grazie per la domanda.
Per quanto riguarda la struttura dei tassi ce l’hai già quasi tutta.
Definiamo
i(0,1) il tasso spot (a pronti) ad una anno
i(0,2) il tasso a pronti a due anni e così via…
i(0,1)= 0,022 in quanto è già il TIR del titolo con scadenza un anno
i(0,2)=0,031 in quanto è il TIR del titolo con scadenza due anni
i(0,3)=0,04 poiché il TIR di un titolo coincide con il TN (tasso nominale) nel caso in cui il titolo viene emesso alla pari
i(0,5)=0,05 per lo stesso motivo.
L’unico tasso che serve per completare la struttura spot (a pronti) è il tasso a 4 anni i(0,4).
Per ottenere tale tasso possiamo procedere con l’interpolazione lineare tra il tasso i(0,3) a tre anni e il tasso i(0,5) a 5 anni.
Siccome il tempo 4 occupa esattamente la posizione centrale tra il 3 e il 5 prendiamo il 50% di questi due tassi.
Perciò avremo che:
i(0,4)= 0,50* i(0,3) + 0,50*i(0,4)
Ora non devi fare altro che inserire i valori per calcolarlo.
STRUTTURA DEI PREZZI A PRONTI
Definiamo v(0,1), v(0,2),…, v(0,5)
I prezzi a pronti (o fattori attualizzanti)
Per ottenerli basta che applichiamo la seguente formula generale
V(0,n) (1 + i(0,n))^(-n)
Ad esempio
Se vogliamo calcolare v(0,1) esso è pari a:
V(0,1) = (1+i(0,1))^(-1)
Inserendo i numeri avremo che:
V(0,1)=1,022^(-1)=…
E così per gli altri prezzi:
V(0,2)=1,031^(-2)=…
V(0,3)=1,04^(-3)=…
…
V(0,5)=1,05^(-5)=…
Spero di essermi spiegato bene 😉
Il signor Alfa 6 anni fa ha investito un capitale di 8300 presso una banca che capitalizza al 2,10% e negli ultimi 4 anni ha prelevato annualmente 650€. quanto ha oggi a disposizione?
Mi aiuteresti in questo esercizio?
Grazie
Cominciamo con il calcolare il montante dell’investimento di 8.300 fatto 6 anni fa.
Se non vi fossero stati i prelevamenti il signor Alfa disporrebbe oggi della seguente cifra che chiameremo M1:
M1=8.300*1,021^6 = …
Ora però sappiamo che negli ultimi 4 anni (supponiamo per ipotesi alla fine di ogni anno dal momento che il testo non lo specifica) 650 euro.
Chiameremo M2 il montante di tale cifra.
M2 è il montante di una rendita posticipata composta da 4 rate.
Il valore di tale montante può essere ottenuto applicando la formula per il montante di una rendita a rata costante e posticipata (come ipotesi)
Tale montante viene calcolato in questo modo:
M2=R*s(n,i)
Dove:
R indicat la rata che nel nostro caso ammonta a 650 euro
s(n,i) si legge “esse figurato n al tasso i)
Dove n è il numero di rate(4 nel nostro caso)
i è il tasso di interesse
s(n,i)= ((1+i)^n -1)/i
Ora calcoliamo M2:
M2=650*s(4,0.021)
Che possiamo calcolare come:
M2=650*(1,021^4 -1)/0,021=…
Per ottenere la cifra che il signor alfa ha nel fondo, che chiameremo M facciamo la differenza tra M1 e M2
M = M1 – M2
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Se invece vuoi inquadrare meglio il lato teorico degli argomenti con alcuni esercizi associati invece c’è il CORSO COMPLETO
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi 😉
Grazie mille!
Cominciamo con il calcolare il montante dell’investimento di 8.300 fatto 6 anni fa.
Se non vi fossero stati i prelevamenti il signor Alfa disporrebbe oggi della seguente cifra che chiameremo M1:
M1=8.300*1,021^6 = …
Ora però sappiamo che negli ultimi 4 anni (supponiamo per ipotesi alla fine di ogni anno dal momento che il testo non lo specifica) 650 euro.
Chiameremo M2 il montante di tale cifra.
M2 è il montante di una rendita posticipata composta da 4 rate.
Il valore di tale montante può essere ottenuto applicando la formula per il montante di una rendita a rata costante e posticipata (come ipotesi)
Tale montante viene calcolato in questo modo:
M2=R*s(n,i)
Dove:
R indicat la rata che nel nostro caso ammonta a 650 euro
s(n,i) si legge “esse figurato n al tasso i)
Dove n è il numero di rate(4 nel nostro caso)
i è il tasso di interesse
s(n,i)= ((1+i)^n -1)/i
Ora calcoliamo M2:
M2=650*s(4,0.021)
Che possiamo calcolare come:
M2=650*(1,021^4 -1)/0,021=…
Per ottenere la cifra che il signor alfa ha nel fondo, che chiameremo M facciamo la differenza tra M1 e M2
M = M1 – M2
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Spero di aver chiarito i tuoi dubbi 😉
Alla data t=0, si consideri un mercato con i seguenti titoli
• TCN, che paga 100 a due anni al prezzo di 92€
• Una rendita francese a rata semestrale di 11€ e durata 4 semestri, al prezzo di 41,8€
• BTP con nominale 100€, durata 2 anni, TAN: 4% quotato alla pari
Si determini un arbitraggio che permetta un profitto di 10€ alla data di valutazione, avendo chiuso in pareggio le posizioni ai rimanenti istanti.
Ciao Maria.
La questione in realtà è un po’ più complessa di come sto rispondendo.
E mi richiederebbe un bel po’ di tempo per essere affrontata a modo.
Provo comunque a darti una risposta breve.
Cominciamo con il chiamare
x = quantità del titolo 1
Y = quantità del titolo 2
z = quantità del titolo 3
Definiamo un vettore temporale
T = (0, 0.5, 1, 1.5, 2)
Questo è il vettore dei tempi espressi in anni
In base alle caratteristiche dei titoli andiamo ad esprimere i flussi di casso dei titoli
FC1 = (-92X, 0, 0, +100X)
Questi sono i flussi di cassa relativi al titolo 1.
Ho ipotizzato un acquisto poiché il tasso a due anni di questo titolo è pari al 4,2572%
Per ottenere tale tasso ho applicato la seguente formula:
i(0,2)= (100/92)^(1/2) -1 = 0,042572
Come si può notare per ogni quantità X di titolo acquistato spendiamo 92 euro.
Tra due anni ci verranno rimborsato 100X euro.
Stessa cosa per il titolo 2 (ho ipotizzato un acquisto)
FC2 = (-41,38Y ; 11Y, 11Y, 11Y)
e per il titolo 3 (ho ipotizzato una vendita) abbiamo che:
FC3 = (100Z, -2Z, -2Z, -102Z)
i flussi di cassa complessivi sono:
FC (-92X – 41,38Y +100Z ; 11Y -2Z; 11Y -2Z; 100X +11Y -2Z)
Se vogliamo il profitto in zero di 10 euro avremo che:
-92X – 41,38Y = 0
Se vogliamo il pareggio agli altri tempi:
11Y -2Z = 0
100X +11Y -2Z = 0
Si tratta chiaramente di risolvere un sistema lineare con tre equazioni in tre incognite 😉
Non mi è del tutto chiaro ad essere sincera, come hai detto tu è parecchio complesso come problema, cercherò di applicarmi di più, ti ringrazio tanto per il tempo che hai speso per me 🙂
Ciao Andrea, perdonami ancora del disturbo, volevo chiederti una cosa, la scrivo qui visto che non so dove posso chiedertela, ma se tu ti trovassi davanti ad una domande del genere cosa metteresti:
L’equazione del BOOTSTRAP:
A)Mette in relazione ciascun tasso a pronti con i successivi tassi a pronti.
B)Mette in relazione ciascun tasso a pronti con i precedenti tassi a pronti.
C)Mette in relazione diretta ciascun tasso di parità con i precedenti tassi di parità.
Grazie mille e scusa ancora del disturbo.
Ciao Francesco, a prima vista devo ammettere che mi si incrociano gli occhi a vedere queste opzioni perché mi sembrano tutte molto simili.
Perche se possiamo confrontare i tassi precedenti con quelli successivi, dovremo saper confrontare i tassi successivi con quelli precedenti.
Quindi fatico a vedere una via d’uscita.
Detto ciò se dovessi sceglierne ua direi la B, ovvero confrontare i precedenti con quelli successivi per questa ragione .
Tale ragione sta proprio nel come si procede al calcolo del BOOTSTRAP.
Infatti in questa procedura vengono calcolati prima i tassi spot con durata più breve e a mano a mano che si prosegue si allunga il periodo.
Quindi ogni volta che si procede a calcolare un tasso di interesse si è in grado di confrontarlo con quelli che lo precedono.
Ad esempio dalla prima equazione calcoliamo il tasso spot ad un anno i(0,1)
Dalla seconda equazione calcoliamo i(0,2) e lo confrontiamo col precedente i(0,1)
Dalla terza equazione calcoliamo i(0,3) e lo confrontiamo con i precedenti i(0,1) e i(0,2) e così via.
In generale se i tassi successi sono maggiori dei precedenti la curva è crescente il che identifica prospettive ottimistiche per il futuri dell’economia.
Diversamente è piatta o decrescente
Ciao Andrea, scusa il disturbo, potresti aiutarmi con questo?
Data la curva dei tassi i(0;t) = 0,04 + 0,005*(t-1) determinare i tassi a pronti i(0; t) e i tassi a termine i(0; t-1; t); calcolare il valore di un’obbligazione
che paga cedole annue al 5% e rimborsa il capitale alla pari all’epoca 3, sapendo che il valore
nominale è pari a 100.
Ciao Giorgia
Per costruire la curva è molto semplice e basta inserire i tempi al posto della t nella funzione
Dunque
i(0,1)= 0,04+0,005(1-1)=0,04
i(0,2)= 0,04+0,005(2-1)=0,045
i(0,3)= 0,04+0,005(3-1)=0,050
E così via
Per quanto riguarda l’obbligazione
La scadenza è tre anni il valore nominale è 100 e le cedole sono calcolare al 5% del valore nominale dunque valgono 5
I flussi dellobbligazione sono
F= (5,5,105) ai tempi T=(1,2,3)
Per calcolarne il valore attuale attualizziamo i flussi ai tassi di mercato
Dunque avremo
P= 5*1,04^(-1) + 5*1,045^(-2) + 105*1,05^(-3)
Dunque P = 100,089