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COS’E’ LA CURVA DEI TASSI

La curva dei tassi, o struttura dei tassi di interesse in un certo mercato obbligazionario è una relazione che lega il tasso di rendimento di un titolo alla sua scadenza.

In generale per costruire una curva dei tassi si prendono come riferimento le obbligazioni statali, ma è possibile costruire curve dei tassi anche con obbligazioni private.

COME LEGGERLA

La curva dei tassi è un punto di riferimento molto importante per gli operatori di mercato. Dalla sua lettura possiamo capire molte cose circa le aspettative che gli operatori hanno nei confronti dell’economia.

CURVA CRESCENTE

λοι 
Αε

Questa in figura è la curva dei tassi di interesse presente sul mercato italiano per i prossimi 50 anni.

Come si vede dal grafico i tassi partono 

Una curva dei tassi crescente identifica il fatto che titoli che hanno scadenza più lontana hanno un tasso di rendimento maggiore.

Questa dovrebbe essere la situazione “normale” in cui ci si attende che l’economia cresca nel lungo periodo.

I tassi di interesse futuri più alti hanno due principali giustificazioni:

  • Premio per il rischio
  • Volatilità

Per quanto riguarda il premio per il rischio identifica il fatto che quando gli investitori guardano al futuro dell’economia vedono anche incertezza.

Molti possono essere i futuri scenari in un’economia.

Potrebbe essere che lo Stato per diminuire il suo debito cominci a tagliare la spesa pubblica o aumentare le imposte.

Potrebbe essere che a causa della forte inflazione la banca centrale decida di intraprendere una stretta monetaria.

Cosa succederebbe se da un giorno all’altro la Cina decida di interrompere i rapporti commerciali con l’Italia.

E se il cambio Euro/dollaro arrivasse ad 1,80 dollari per euro, quanto calerebbero le esportazioni rispetto a quelle attuali nel medio termine?

Certamente uno dei problemi che preoccupa di più i mercati è l’inflazione. 

Una forte inflazione è spesso uno degli indici che il mercato sta andando bene. 

Ma rappresentano anche una potenziale fonte di instabilità

Ciò che abbiamo detto sta ad indicare che questi tassi di interesse maggiore premiano il rischio che l’investitore si assume acquistando delle obbligazioni con scadenza medio- lunga.

Un maggior rischio che determina una maggior volatilità del titolo nel futuro.

CURVA DECRESCENTE

ДОО% 
ВОТ 3 mesi 
ВОТ б rnesi 
ВОТ 12

Una curva dei tassi decrescente, o invertita indica che gli operatori si attendono nel prossimo futuro:

  • Un calo dei tassi di interesse di riferimento della Banca Centrale
  • Un calo dell’inflazione, se non addirittura una deflazione
  • Un ristagno dell’attività economica

Quando sono presenti queste aspettative nell’economia, abbiamo una diminuzione dei tassi di rendimento sulle attività con scadenza più lunga.

Una situazione di questo tipo descrive perciò una situazione caratterizzata dalla sfiducia per la crescita futura.

In questo caso agli investitori converrà certamente acquistare dei titoli con scadenza più corta, in quanto hanno un rendimento maggiore.

CURVA PIATTA

GOVERNMENT OF CANADA YIELD CURVE: 
JULY 2017 VS. JULY 2018 
.......—July 17, 2017 -a—July 17, 2018 
2.5 
2 
1.5 
1 
0.5 
2 YEAR 
3 YEAR 
5 YEAR 
7 YEAR 
10 YEAR 
LONG-TERM

Nell’immagine la curva arancio mostra la curva dei rendimenti sui titoli di stato canadesi a 10 anni.

Quando la curva dei rendimenti è piatta i tassi a breve sono in linea con i tassi a medio e lungo termine.

Questa situazione si verifica quando vi è un’aspettativa di ribasso nei tasso di interesse.

COME OTTENERE UNA CURVA DEI TASSI

Fino a qui abbiamo introdotto il concetto di curva dei tassi o dei rendimenti.

Come facciamo però a d ottenere l’andamento di questa curva?

La risposta è che 

  • Bisogna disporre di dati che riguardano dei titoli obbligazionari con varie scadenze
  • è necessario utilizzare dei calcoli matematici, legati soprattutto all’algebra lineare e non solo.

Per capire meglio come muoverci facciamo un esempio pratico.

ESEMPIO PRATICO

Supponiamo  che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli.

  • BOT con valore nominale pari a 100 e prezzo di emissione di 97,5
  • TCF a due anni con cedola annuale pari a 2,2, valore nominale 100 e prezzo 95.
  • TCF a tre anni con cedola annuale pari a 4, valore nominale 100 e prezzo 92
  • TCF a quattro anni con tasso cedolare 3,8%, valore nominale 100 e prezzo 87,5

Si supponga altresì che un soggetto abbia sottoscritto un contrato a termine su un titolo a cedola fissa con scadenza a quattro anni che prevede ra 1,8 anni la consegna del titolo sottostante considerando che il tasso nominale è pari al 6% e il valore nominale di rimborso è pari a 150.

Per prima cosa andiamo a rappresentare sulla linea del tempo (0,1,2,3,4) i flussi di cassa dei vari titoli

eno 
95 
flussi di cassa 
3,8 
102,2 
3,8 
103,8

Al tempo 0 mettiamo i prezzi pagati, se volete con segno negativo, mentre ai tempi successivi i flussi di cassa dei titoli.

Per quanto riguarda il primo titolo mettiamo in zero il prezzo pagato di 97,5 e al tempo 1 il valore nominale di rimborso pari a 100, che comprende anche gli interessi.

Per il titolo 2 al tempo zero mettiamo il prezzo pari a 95. Nel primo anno verrà pagata la cedola pari a 2,2, che rappresenta gli interessi. Il secondo anno oltre alla cedola verrà rimborsato il valore nominale del titolo. Leggeremo quindi 100+2,2=102,2.

Per il titolo 3 mettiamo al tempo zero il prezzo pagato, ovvero 92. Ai tempi 1,2,3 scriviamo la cedola di 4 e ricordiamoci al tempo finale di aggiungere alla cedola il valore nominale.

Per l’ultimo titolo, stessa cosa. In t=0 scriviamo il prezzo di 87,5. Ai tempi 1,2,3,4 mettiamo la cedola, calcolata moltiplicando il valore nominale del titolo (100) per il tasso cedolare (3,8%). L’ultimo anno mettiamo il valore nominale maggiorato della cedola.

A questo punto non ci resta che passare al calcolo dei tassi di interesse presenti nel mercato.

Per fare questo dobbiamo impostare delle equazioni in cui imponiamo il valore attuale dei flussi di cassa uguale al prezzo.

Ad esempio per quanto riguarda la prima obbligazione imponiamo che il prezzo (97,5) deve risultare uguale al valore nominale attualizzato di un anno, al tasso di interesse ad un anno R1.

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Passando al secondo titoli avremo che 95 (prezzo) deve essere eguagliato all’attualizzazione dei due flussi di cassa.

Da notare che il flusso di cassa al tempo uno (2,2) lo attualizziamo con il tasso a un anno (R1), mentre il flusso di cassa presente al tempo due (102,2) lo attualizziamo con il tasso a due anni (R2)

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Facciamo la stessa cosa con le altre due obbligazioni, chiamando R3 il tasso a tre anni e R4 il tasso a quattro anni

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A questo punto quello che otteniamo è un sistema con 4 equazioni e 4 incognite, che sono R1,R2, R3 e R4.

Ovvero proprio i tassi che sono presenti sul mercato obbligazionario.

Disegni a penna
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Ora, per rendere un po’ più comprensibile questo sistema un po’ più comprensibile si possono effettuare le seguenti sostituzioni

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Dove v1, v2, v3 e v4 rappresentano i fattori di attualizzazione rispettivamente a 1,2,3 e 4 anni.

A questo punto il sistema diventa estremamente  più semplificato.

Come si può notare dalla rappresentazione in basso si tratta di un sistema lineare semplificato con 4 equazioni in 4 incognite.

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Dalla prima equazione ci ricaviamo subito v1, risolvendo come un’equazione di primo grado

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Una volta ricavato v1, sostituiamo v1 all’interno della seconda equazione e ci ricaviamo v2

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Ricavati così v1 e v2 li sostiamo nella terza equazione e ricaviamo v3

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Infine otteniamo v4 dalla quarta equazione sostituendo v1, v2 e v3.

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Quando abbiamo ricavato tutte le v, andiamo a calcolarci tutti i tassi R.

Ricordiamo qui sotto la relazione che dobbiamo utilizzare.

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Non ci resta che applicare queste formule e avremo i nostri tassi

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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Da ultimo non ci resta che fare il disegno.

Curva dei tassi 
0,09 
0,08 
0,07 
0,06 
0,05 
0,04 
0,03 
0,02 
0,01 
1,5 
2,5 
4,5

COSTRUIRE LA CURVA DEI TASSI CON EXCEL

Esiste certamente un modo più piacevole per costruire la curva dei tassi utilizzando il calcolatore elettronico di Excel.

In primis andiamo a riportare nel nostro foglio i flussi di cassa come indicato in figura

Calibri (Corp... 
16 
Generale 
Incolla 
H26 
10 
11 
12 
13 
14 
prezzo 
97,5 
95 
92 
87,5 
flussi di cassa 
100 
2,2 
3,8 
102,2 
3,8 
104 
3,8 
103,8

In secondo luogo ricordiamo che il seguente sistema lineare

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
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Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
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Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Può essere scritto anche nel seguente modo

Immagine senza nome.png 
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Immagine senza nome.png 
Immagine senza nome.png, 103,5

Dove 

F è la matrice dei flussi

V è il vettore delle attualizzazioni

P è il vettore dei prezzi

Se moltiplichiamo a sinistra di entrambi i membri la matrice inversa della matrice dei flussi otteniamo il vettore delle attualizzazioni

A questo punto possiamo ottenere il vettore dei tassi applicando le formule già descritte in precedenza

Ritornando dunque al foglio di Excel cominciamo a calcolare il vettore V delle attualizzazioni.

Incolla 
SOMMA 
prezzo 
97,5 
95 
92 
87,5 
flussi di cassa 
100 
2,2 
3,8 
102,2 
3,8 
104 
3,8 
103,8 
B6:B9) 
0,90856 
0,81217 
0,74428

Inseriamo i tempi 1,2,3,4 uno sotto l’altro.

Selezioniamo le quattro celle sotto la V.

Entriamo nella barra delle formule e scriviamo la formula:

=MATR.PRODOTTO(MATR.INVERSA(C6:F9);B6:B9)

In questo modo stiamo facendo il prodotto tra:

  • La matrice inversa dei flussi di cassa
  • Il vettore dei prezzi

A questo punto possiamo calcolarci il vettore dei tassi, nel seguente modo

Incolla 
SOMMA 
prezzo 
97,5 
95 
92 
87,5 
flussi di cassa 
100 
2,2 
3,8 
Formattazi( 
condizione 
Ri 
0,975 
102,2 
3,8 
104 
3,8 
103,8 
0,90856 
0,81217 
0,74428 
0,049114285 
0,071809395 
0,076628764

La formula utilizzata nella cella è 

R = V ^ (-1/tempo) -1

Facciamo copia e incolla nelle celle sotto, ed ecco che abbiamo ottenuto i nostri tassi.

Infine non ci resta che andare a disegnare la nostra bellissima curva dei tassi.

INSERIAMO IL GRAFICO

Andiamo si INSERISCI, GRAFICO A DISPERSIONE

Home Inserisci Disegno Layout di pagina 
vot consigliate 
ella Tabelle pivot Tabella 
A 
prezzo fl ussi di cassa 
87 、 5 
97 丶 5 
92 
95 
B 
Illustrazioni 
100 
2 、 2 
C 
102 、 2 
D 
Miei componenti aggiuntivi 
Ottenere componenti aggiuntivi 
104 
E 
Formule Dati 
103 、 8 
G 
Revisione Visualizza 
1 
Grafici 
H 
0 0 0 
Bolle 
erslone 
' Mappe Grafico Grafici 
pivot 
sparkline 
- sequenza temporale 
Colle

Selezioniamo i dati dalle opzioni

Aggiungi 
elemento grafico 
Grafico 9 
1 
2 
3 
5 
6 
7 
8 
9 
1 
2 
3 
Layout 
veloce 
B 
92 
87,5 
Cambia 
colori 
c 
3,8 
D 
3,8 
104 
3,8 
103,8 
Taglia 
Copia 
Incolla 
Reimposta secondo lo stile 
Carattere... 
Cambia tipo di grafico 
Salva come modello... 
Seleziona dati... 
Sposta grafico... 
Rotazione 3D... 
Raggruppa 
Porta in primo piano 
Porta in secondo piano

A questo punto:

Aggiungiamo una serie con tasto +

Diamo il nome alla serie “curva dei tassi”

In Valori X inseriamo i tempi 1,2,3,4

In valori Y i tassi R1,R2,R3,R4

calcoli extra 
Home 
Inserisci 
Disegno Layout di pagina 
Seleziona origine dati 
Formule 
Dati 
Revisione 
Visualizza 
Generale 
Struttura grafico 
Formato 
Formatta 
come tabella 
Stili 
cella 
Elimina 
Format 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
IO 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Dettagli di intervallo 
Intervallo dati grafico: 
Voci legenda (serie): 
struttura dei tassi 
='struttura tassi'!$H$6:$H$9;'struttura tassi'!$J 
Nome: 
struttura dei tassi 
0,975 
0,90856 
0,81217 : 
11a .art••..• 
0,74428 
Formattazione 
condizionale 
Ri 
0,025641026 
0,049114285 
0,071809395 
0 076628764 
Valori X: ='struttura tassi' 
Valori Y: ='struttura 
J22 
Etichette asse orizzontale (categoria): 
Celle nascoste e vuote 
Visualizza celle vuote come: »azi vuoti 
Mostra dati nelle righe e nelle colonne nascoste

Schiacciamo OK e avremo il nostro bel grafico con la curva dei tassi.

Possiamo poi personalizzare il grafico con le varie proposte grafiche che ci compaiono nella barra in alto

Curva dei tassi 
struttura dei tassi 
0,09 
0,08 
0,07 
0,06 
0,05 
0,04 
0,03 
0,02 
0,01 
0,5 
1,5 
2,5 
3,5

40 Comments

  • Stefania ha detto:

    Si supponga che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli

    t ( 0, 1, 2, 3, 4)

    A (98, 100, 0, 0, 0)

    B (95, 2,5, 102,5, 0, 0)

    C (91, 3, 3, 103, 0)

    D (88, 3,7, 3,7, 3,7, 103,7)

    Si supponga altresì che un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo a cedola fissa che prevede tra 3 mesi (0,25 anni) la consegna del titolo sottostante con scadenza fra 2 anni e tasso nominale pari al 4%. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del TCF il cui valore di rimborso alla scadenza è pari a 150.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Stefania,
      Se il titolo viene venduto dopo tre mesi tutti i flussi di cassa vanno attualizzati a 3 mesi ovvero a 0,25 anni
      Siccome il titolo ha scadenza a due anni ci interessano solamente i fattori attualizzanti dei primi due anni.
      Questo titolo
      Produce solo due flussi di cassa.
      Al tempo 1 abbiamo la cedola di 4
      Calcolata come il prodotto tra il valore nominale del titolo (100) e il tasso nominale 4%
      Al secondo anno abbiamo 100+4=104
      I’m calcolo che dobbiamo fare per calcolare il suo prezzo è:
      P(0,25) = 4*v(0;0,25;1) + 104* v(0;0,25;2)
      Per fare questo bisogna trovare i tassi a termine
      v(0;0,25;1)
      v(0;0,25;2)

      Per calcolare il primo facciamo:
      v(0;0,25;1)=v(0;1)/v(0;0,25)
      Diciamo cioè due tassi a pronti
      Al numeratore abbiamo
      Il tasso spot ad in anno
      Mentre al denominatore il tasso spot a due anni.

      Mentre per il secondo
      v(0;0,25;2)=v(0;2)/v(0;0,25)

      Per quanto riguarda i due numeratori della frazione,ovvero
      v(0;1) e v(0;2)
      Che rappresentano i fattori attualizzanti a pronti a 1 e due anni li ricaviamo risolvendo il sistema lineare con i 4 titoli del testo
      (In realtà bastano i primi due)
      Per il fattore attualizzante a pronti a 0,25, ovvero il denominatore delle frazioni, anni usiamo l’interpolazione lineare.
      Questo si trova infatti tra v(0;1) e v(0;2)
      Essendo più vicino a v(0,1) lo ponderiamo con un numero più alto.
      Il calcolo risulta dunque:
      V(0;0,25)=0,75*v(0;1)+0,25*v(0,2)

      • Stefania ha detto:

        Perfetto!!! Grazie mille ❤️

      • barbara ha detto:

        buongiorno Andrea. Di questo esercizio è possibile avere i calcoli? Ne devo fare uno simile ma non ho capito il procedimento. Grazie, Barbara

        • Andrea ha detto:

          Ciao Barbara,
          Ti interessano i calcoli a mano oppure con Excel?

          • barbara ha detto:

            ciao Andrea. Grazie innanzitutto per la tua disponibilità! Ti mando il testo dell’esercizio che devo risolvere (se poi anche con i calcoli).

            Si supponga che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli

            t ( 0, 1, 2, 3, 4)

            A (97, 100, 0, 0, 0)

            B (94, 2,5, 102,5, 0, 0)

            C (91, 4, 4, 104, 0)

            D (87.88, 3,5, 3,5, 3,5, 103,5)

            Si supponga altresì che un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo ABC che prevede tra 1.5 anni la consegna del titolo sottostante con scadenza fra 3 anni. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola nulla ABC, il cui valore di rimborso alla scadenza è pari a 130.

            come ti dicevo non lo so fare

          • Andrea ha detto:

            Per rispondere a questa domanda dobbiamo attualizzare 130 dal tempo 3 al tempo 1,5
            Per farlo utilizziamo il fattore attualizzando a termine v(0,1.5,3)
            Possiamo ricavare questo ultimo a partire dai prezzi a pronti v(0,1.5) e v(0,3)
            Mentre il primo lo si ricava direttamente dal sistema lineare per il secondo si fa uninterpolazione lineare tra v(0,1) e v(0,2)
            In sintesi
            Prezzo = 300* v(0,1.5,3)
            Dove:
            V(0,1.5,3) = v(0,3)/v(0,1.5)
            Il denominatore della frazione lo ricaviamo mediante interpolazione
            V(0,1.5) =0,5*v(0,1)+0,5*v(0,2)

            Riprodurre i calcoli su tutti i numeri per risolvere il sistema è qui un po’ lungo.
            Ti consiglio se hai difficoltà su questi concetti di andare al seguente link dove troverai il corso associati
            Qui troverai tutta la teoria spiegata dettagliatamente.
            E molti esercizi simili a quello che hai proposto, risolti nei minimi particolari
            https://andreailmatematico.it/corso/prezzo-di-obbligazioni-azioni-e-struttura-dei-tassi/

          • barbara ha detto:

            solo i calcoli a mano dell’esercizio che ti ho mandato.
            Grazie mille sei il mio salvatore!
            Barbara

          • barbara ha detto:

            grazie mille!

          • Andrea ha detto:

            È stato un piacere ;)

      • Maria ha detto:

        Ciao, i calcoli sarebbero gli stessi se dovessi andare a trovare il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola unica ABC?

        • Andrea ha detto:

          Ciao Maria esatto

          • Maria ha detto:

            Ok grazie! Hai modo di poter svolgere quest’esercizio? Poichè non ho capito come svolgerlo dalla spiegazione soprastante, purtroppo è un argomento un po’ difficile!
            Si suppone che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli.
            0 1 2 3 4
            98.5 100 0 0 0
            95 2 102 0 0
            91 3.5 3.5 103.5 0
            88.75 4.2 4.2 4.2 104.2
            Si supponga altresì che sia un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo ABC che prevede tra 1.5 anni la
            consegna del titolo sottostante con scadenza tra 4 anni. Si calcoli il prezzo di non arbitraggio del titolo a cedola unica ABC, il cui
            valore di rimborso alla scadenza è pari a 200.
            Grazie mille anticipatamente!!

          • Andrea ha detto:

            Ciao Maria.
            In questo caso ti serve il tasso ad un anno e mezzo che puoi ricavare dalla struttura dei tassi.
            Possiamo sfruttare i fattori attualizzanti per poi fare l’interpolazione lineare.
            Chiamiamo v(0,1) e v(0,2) i fattori attualizzanti detti anche prezzi spot.
            Per semplicità chiamiamoli semplicemente v1 e v2
            Dal primo titolo impostiamo la prima equazione:
            100 v1 = 98,5 da cui v1 = 0,985
            Dal secondo titolo impostiamo la seconda equazione:
            2v1 + 102 v2 = 95 da cui v2 = (95 -2v1)/102
            Sostituendo v2 che abbiamo già trovato:
            v2 = (95 -2*0,985)/102 = 0,912
            Siccome il nostro titolo scade tra un anno e mezzo dobbiamo trovare il prezzo a pronti v(0, 1.5)
            Siccome un anno e mezzo si trova esattamente a metà Strada tra 1 e 2 mettiamo il 50% di v(0,1) e il 50% di v(0,2)
            v(0, 1.5) = 0,5*v(0,1) + 0,5*v(0,2) = 0,5*0,985 + 0,5*0,912 = 0,9485
            Apro una piccola parentesi.
            Se fosse stato tra 1,8 anni avremmo fatto il 20% del primo e l’80% del secondo
            v(0, 1.8) = 0,2*v(0,1) + 0,8*v(0,2) = ….
            Mentre se fosse stato tra 1 anno e 8 mesi avremmo preso 4/12 del primo e i 8/12 del secondo:
            v(0, 1+8/12) = 4/12*v(0,1) + 8/12*v(0,2) = ….
            Nel nostro caso dunque il prezzo equo del titolo è semplicemente l’attualizzazione dei 200
            P = 200 * v(0, 1.5) = 200 * 0,9485 = 189,7
            Per chiarire questi concetti “un po difficili” prendi il mini corso prezzo azioni obbligazioni e curva dei tassi
            é il minicorso numero 5
            https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
            Qui entro nei minimi dettagli di ogni calcolo nella parte dedicata agli esercizi

  • Piero ha detto:

    Si supponga che sul mercato siano scambiati titoli a cedola nulla unitari con i seguenti prezzi:
    V(0,1)=0,90
    V(0,2)=0,84
    V(0,3)=0,80
    V(0,4)=0,78
    V(0,5)=0,76

    Assumendo che non siano consentite operazioni di arbitraggio, determinare la struttura per scadenza dei prezzi a termine V (0,3,s) con s=1,2,3,4,5

    • Andrea ha detto:

      Ciao Piero, grazie della domanda;)
      Se vogliamo calcolare a partire dalla struttura SPOT:
      V(0,1)=0,90
      V(0,2)=0,84
      V(0,3)=0,80
      V(0,4)=0,78
      V(0,5)=0,76
      La struttura FORWARD(FUTURE) dei prezzi del tipo v(0,3,s) dove s è la scadenza posteriore a 3,
      ci rendiamo conto che possiamo calcolare solo 2 prezzi FUTURE, ovvero:
      v(0,3,4) e v(0,3,5)
      In particolare:
      v(0,3,4)=v(0,4) / v(0,3) = 0,78/0,80=0,975
      v(0,3,5)=v(0,5) / v(0,3) = 0,76/0,80=0,95

      Se vogliamo anche i tassi forward abbiamo che:
      i(0,3,4)=(v(0,3,4)^(-1/1)-1=0,975^(-1) -1 = 0,025641
      i(0,3,5)=(v(0,3,5)^(-1/2)-1=0,95^(-1/2) -1 = 0,025978

  • Piero ha detto:

    Si supponga che il mercato sia regolato dalla seguente struttura per scadenza dei tasisi di interesse:
    i(0,1)=2,2%
    i(1,2)=2,5%
    i(2,3)=2,7%
    i(3,4)=3,0%
    i(4,5)=3,2%

    Assumendo che il mercato sia perfetto , determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti (i,(0,t) per t=1,2,3,4,5) in condizioni di certezza

    • Andrea ha detto:

      Ciao Piero grazie della domanda.
      A partire dalla struttura Future:
      i(0,1)=2,2%
      i(1,2)=2,5%
      i(2,3)=2,7%
      i(3,4)=3,0%
      i(4,5)=3,2%
      Dobbiamo ricavare la struttura dei tassi SPOT i(0,t)
      Ovviamo il primo tasso i(0,1) è già dato:
      i(0,1)=2,2%
      Il secondo tasso i(0,2) è:
      i(0,2)=((1+i(0,1))*(1+i(1,2)))^(1/2) -1 = (1,022*1,025)^(1/2)-1=0,0235
      Seguendo lo stesso ragionamento avremo che:
      i(0,3)=(1,022*1,025*1,027)^(1/3)-1=0,024664
      i(0,4)=(1,022*1,025*1,027*1,03)^(1/4)-1=0,026
      i(0,5)=(1,022*1,025*1,027*1,03*1,032)^(1/5)-1=0,0271938

  • iacopopanfi@gmail.com ha detto:

    Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titoli sul mercato obbligazionario:
    a) un titolo a cedola nulla ad 1 anno con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR=0,022
    ;
    b) un titolo a cedola nulla a 2 anni con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR= O.O31
    c) un titolo a cedola fissa a 3 anni, tasso nominale TN=O,O4, emesso alla pari con valore
    nominale pari a 100;
    d) un titolo a cedola fissa a 5 anni, tasso nominale TN=0,055 , emesso alla pari con
    valore nominale pari a 100.
    Si calcoli la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t=(1,2,3,4,5)
    con il metodo del Tasso interno di rendimento.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Iacopo, Grazie per il tuo quesito.
      Prima di tutto cominciamo con il dire che esistono due metodi principali per poter calcolare la struttura dei pressi e dei tassi.
      Il primo metodo si basa sul TIR, mentre il secondo è il BOOTSTRAP.
      Nel tuo caso è richiesto di applicare il metodo del TIR.
      Per i dati che ti sono proposti quindi il quesito diventa molto semplice.
      In effetti hai quasi tutti i dati per risolverlo.
      Per quanto riguarda le prime due obbligazioni, quella a 1 anno e quella a 2 anni, possiedi già il TIR.
      Perciò questi rappresentano già i primi due tassia pronti (spot) della struttura.
      i(0,1) = 0,022
      i(0,2) = 0,031

      Per quanto riguarda i titoli a 3 e 5 anni, sembra che questo dato non ci sia.
      In effetti ci fornisce i tassi nominali.
      Però il testo ci da un’informazione che non lascia ombra di dubbio.
      Ovvero che i titoli sono stati emessi alla pari.
      Quando si verifica una tal situazione il TIR coincide con il tasso nominale.

      In questa particolare situazione dunque emerge immediatamente che:
      i(0,3) = 0,004
      i(0,5) = 0,055

      L’unico tasso che sembra mancare in questa struttura è il tasso spot a 4 anni.
      Per ricavarlo possiamo fare un’interpolazione lineare tra il tasso a 3 anni e quello a 5 anni.
      Siccome il 4 si trova esattamente a metà strada tra il 3 e il 5, possiamo anche procedere in questa maniera più veloce:

      i(0,4) = 0,5* i(0,3) + 0,5* i(0,5)
      Inserendo i valori numerici abbiamo che:
      i(0,4) = 0,5* 0,04 + 0,5* 0,055 = 0,0475

      Ora non ci resta che ricavare la struttura dei prezzi spot, ovvero dei fattori attualizzanti a pronti.
      Per farlo usiamo la formula generale:
      v(0,t) = (1 +i(0,t)) ^ (-t)

      Perciò scriviamo:

      v(0,1) = 1,022 ^(-1) = 0,97847
      v(0,2) = 1,031 ^(-2) = 0,94076
      v(0,3) = 1,04 ^(-3) = 0,889
      v(0,4) = 1,0475 ^(-4) = 0,83058
      v(0,5) = 1,055 ^(-5) = 0,76513

  • Giuancarlo ha detto:

    Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titolo:

    A) TCN ad 1 anno con TIR=0,022 annuale
    B)TCN a 2 anni con TIR=0,031
    C)TCF a 3 anni con TN= 0.04 emesso alla pari con valore nominale a 100
    D)TCF a 5 anni con TN=0,05 emesso alla pari con valore nominale a 100
    Chiede di calcolare la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t= (0,1,2,3,4,5) con il metodo del TIR
    Qual é la risoluzione dell’esercizio considerando che per i titoli a cedola nulla fornisce il TIR e poi chiede di calcolare la struttura di tassi e di prezzi con il metodo del TIR?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giancarlo, grazie per la domanda.
      Per quanto riguarda la struttura dei tassi ce l’hai già quasi tutta.
      Definiamo
      i(0,1) il tasso spot (a pronti) ad una anno
      i(0,2) il tasso a pronti a due anni e così via…
      i(0,1)= 0,022 in quanto è già il TIR del titolo con scadenza un anno
      i(0,2)=0,031 in quanto è il TIR del titolo con scadenza due anni
      i(0,3)=0,04 poiché il TIR di un titolo coincide con il TN (tasso nominale) nel caso in cui il titolo viene emesso alla pari
      i(0,5)=0,05 per lo stesso motivo.

      L’unico tasso che serve per completare la struttura spot (a pronti) è il tasso a 4 anni i(0,4).
      Per ottenere tale tasso possiamo procedere con l’interpolazione lineare tra il tasso i(0,3) a tre anni e il tasso i(0,5) a 5 anni.
      Siccome il tempo 4 occupa esattamente la posizione centrale tra il 3 e il 5 prendiamo il 50% di questi due tassi.
      Perciò avremo che:
      i(0,4)= 0,50* i(0,3) + 0,50*i(0,4)
      Ora non devi fare altro che inserire i valori per calcolarlo.

      STRUTTURA DEI PREZZI A PRONTI
      Definiamo v(0,1), v(0,2),…, v(0,5)
      I prezzi a pronti (o fattori attualizzanti)
      Per ottenerli basta che applichiamo la seguente formula generale
      V(0,n) (1 + i(0,n))^(-n)
      Ad esempio
      Se vogliamo calcolare v(0,1) esso è pari a:
      V(0,1) = (1+i(0,1))^(-1)
      Inserendo i numeri avremo che:
      V(0,1)=1,022^(-1)=…
      E così per gli altri prezzi:
      V(0,2)=1,031^(-2)=…
      V(0,3)=1,04^(-3)=…

      V(0,5)=1,05^(-5)=…

      Spero di essermi spiegato bene ;)

  • Giuancarlo ha detto:

    Il signor Alfa 6 anni fa ha investito un capitale di 8300 presso una banca che capitalizza al 2,10% e negli ultimi 4 anni ha prelevato annualmente 650€. quanto ha oggi a disposizione?
    Mi aiuteresti in questo esercizio?
    Grazie

    • Andrea ha detto:

      Cominciamo con il calcolare il montante dell’investimento di 8.300 fatto 6 anni fa.
      Se non vi fossero stati i prelevamenti il signor Alfa disporrebbe oggi della seguente cifra che chiameremo M1:
      M1=8.300*1,021^6 = …
      Ora però sappiamo che negli ultimi 4 anni (supponiamo per ipotesi alla fine di ogni anno dal momento che il testo non lo specifica) 650 euro.
      Chiameremo M2 il montante di tale cifra.
      M2 è il montante di una rendita posticipata composta da 4 rate.
      Il valore di tale montante può essere ottenuto applicando la formula per il montante di una rendita a rata costante e posticipata (come ipotesi)
      Tale montante viene calcolato in questo modo:
      M2=R*s(n,i)
      Dove:
      R indicat la rata che nel nostro caso ammonta a 650 euro
      s(n,i) si legge “esse figurato n al tasso i)
      Dove n è il numero di rate(4 nel nostro caso)
      i è il tasso di interesse
      s(n,i)= ((1+i)^n -1)/i
      Ora calcoliamo M2:
      M2=650*s(4,0.021)
      Che possiamo calcolare come:
      M2=650*(1,021^4 -1)/0,021=…

      Per ottenere la cifra che il signor alfa ha nel fondo, che chiameremo M facciamo la differenza tra M1 e M2
      M = M1 – M2

      Se vuoi allenarti con tanti esercizi di questo tipo ti consiglio nella sezione corsi del sito di acquistare lESERCIZIARIO di matematica finanziaria.

      Se invece vuoi inquadrare meglio il lato teorico degli argomenti con alcuni esercizi associati invece c’è il CORSO COMPLETO

      Spero di aver chiarito i tuoi dubbi ;)

    • Andrea ha detto:

      Cominciamo con il calcolare il montante dell’investimento di 8.300 fatto 6 anni fa.
      Se non vi fossero stati i prelevamenti il signor Alfa disporrebbe oggi della seguente cifra che chiameremo M1:
      M1=8.300*1,021^6 = …
      Ora però sappiamo che negli ultimi 4 anni (supponiamo per ipotesi alla fine di ogni anno dal momento che il testo non lo specifica) 650 euro.
      Chiameremo M2 il montante di tale cifra.
      M2 è il montante di una rendita posticipata composta da 4 rate.
      Il valore di tale montante può essere ottenuto applicando la formula per il montante di una rendita a rata costante e posticipata (come ipotesi)
      Tale montante viene calcolato in questo modo:
      M2=R*s(n,i)
      Dove:
      R indicat la rata che nel nostro caso ammonta a 650 euro
      s(n,i) si legge “esse figurato n al tasso i)
      Dove n è il numero di rate(4 nel nostro caso)
      i è il tasso di interesse
      s(n,i)= ((1+i)^n -1)/i
      Ora calcoliamo M2:
      M2=650*s(4,0.021)
      Che possiamo calcolare come:
      M2=650*(1,021^4 -1)/0,021=…

      Per ottenere la cifra che il signor alfa ha nel fondo, che chiameremo M facciamo la differenza tra M1 e M2
      M = M1 – M2

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      Se invece vuoi inquadrare meglio il lato teorico degli argomenti con alcuni esercizi associati invece c’è il CORSO COMPLETO

      Spero di aver chiarito i tuoi dubbi 😉

  • Maria ha detto:

    Alla data t=0, si consideri un mercato con i seguenti titoli
    • TCN, che paga 100 a due anni al prezzo di 92€
    • Una rendita francese a rata semestrale di 11€ e durata 4 semestri, al prezzo di 41,8€
    • BTP con nominale 100€, durata 2 anni, TAN: 4% quotato alla pari
    Si determini un arbitraggio che permetta un profitto di 10€ alla data di valutazione, avendo chiuso in pareggio le posizioni ai rimanenti istanti.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Maria.
      La questione in realtà è un po’ più complessa di come sto rispondendo.
      E mi richiederebbe un bel po’ di tempo per essere affrontata a modo.
      Provo comunque a darti una risposta breve.
      Cominciamo con il chiamare
      x = quantità del titolo 1
      Y = quantità del titolo 2
      z = quantità del titolo 3
      Definiamo un vettore temporale
      T = (0, 0.5, 1, 1.5, 2)
      Questo è il vettore dei tempi espressi in anni
      In base alle caratteristiche dei titoli andiamo ad esprimere i flussi di casso dei titoli
      FC1 = (-92X, 0, 0, +100X)
      Questi sono i flussi di cassa relativi al titolo 1.
      Ho ipotizzato un acquisto poiché il tasso a due anni di questo titolo è pari al 4,2572%
      Per ottenere tale tasso ho applicato la seguente formula:
      i(0,2)= (100/92)^(1/2) -1 = 0,042572
      Come si può notare per ogni quantità X di titolo acquistato spendiamo 92 euro.
      Tra due anni ci verranno rimborsato 100X euro.
      Stessa cosa per il titolo 2 (ho ipotizzato un acquisto)
      FC2 = (-41,38Y ; 11Y, 11Y, 11Y)
      e per il titolo 3 (ho ipotizzato una vendita) abbiamo che:
      FC3 = (100Z, -2Z, -2Z, -102Z)

      i flussi di cassa complessivi sono:
      FC (-92X – 41,38Y +100Z ; 11Y -2Z; 11Y -2Z; 100X +11Y -2Z)
      Se vogliamo il profitto in zero di 10 euro avremo che:
      -92X – 41,38Y = 0
      Se vogliamo il pareggio agli altri tempi:
      11Y -2Z = 0
      100X +11Y -2Z = 0
      Si tratta chiaramente di risolvere un sistema lineare con tre equazioni in tre incognite ;)

      • Maria ha detto:

        Non mi è del tutto chiaro ad essere sincera, come hai detto tu è parecchio complesso come problema, cercherò di applicarmi di più, ti ringrazio tanto per il tempo che hai speso per me :)

  • Francesco ha detto:

    Ciao Andrea, perdonami ancora del disturbo, volevo chiederti una cosa, la scrivo qui visto che non so dove posso chiedertela, ma se tu ti trovassi davanti ad una domande del genere cosa metteresti:
    L’equazione del BOOTSTRAP:
    A)Mette in relazione ciascun tasso a pronti con i successivi tassi a pronti.
    B)Mette in relazione ciascun tasso a pronti con i precedenti tassi a pronti.
    C)Mette in relazione diretta ciascun tasso di parità con i precedenti tassi di parità.
    Grazie mille e scusa ancora del disturbo.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Francesco, a prima vista devo ammettere che mi si incrociano gli occhi a vedere queste opzioni perché mi sembrano tutte molto simili.
      Perche se possiamo confrontare i tassi precedenti con quelli successivi, dovremo saper confrontare i tassi successivi con quelli precedenti.
      Quindi fatico a vedere una via d’uscita.
      Detto ciò se dovessi sceglierne ua direi la B, ovvero confrontare i precedenti con quelli successivi per questa ragione .
      Tale ragione sta proprio nel come si procede al calcolo del BOOTSTRAP.
      Infatti in questa procedura vengono calcolati prima i tassi spot con durata più breve e a mano a mano che si prosegue si allunga il periodo.
      Quindi ogni volta che si procede a calcolare un tasso di interesse si è in grado di confrontarlo con quelli che lo precedono.
      Ad esempio dalla prima equazione calcoliamo il tasso spot ad un anno i(0,1)
      Dalla seconda equazione calcoliamo i(0,2) e lo confrontiamo col precedente i(0,1)
      Dalla terza equazione calcoliamo i(0,3) e lo confrontiamo con i precedenti i(0,1) e i(0,2) e così via.

      In generale se i tassi successi sono maggiori dei precedenti la curva è crescente il che identifica prospettive ottimistiche per il futuri dell’economia.
      Diversamente è piatta o decrescente

  • Giorgia ha detto:

    Ciao Andrea, scusa il disturbo, potresti aiutarmi con questo?

    Data la curva dei tassi i(0;t) = 0,04 + 0,005*(t-1) determinare i tassi a pronti i(0; t) e i tassi a termine i(0; t-1; t); calcolare il valore di un’obbligazione
    che paga cedole annue al 5% e rimborsa il capitale alla pari all’epoca 3, sapendo che il valore
    nominale è pari a 100.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giorgia
      Per costruire la curva è molto semplice e basta inserire i tempi al posto della t nella funzione
      Dunque
      i(0,1)= 0,04+0,005(1-1)=0,04
      i(0,2)= 0,04+0,005(2-1)=0,045
      i(0,3)= 0,04+0,005(3-1)=0,050
      E così via
      Per quanto riguarda l’obbligazione
      La scadenza è tre anni il valore nominale è 100 e le cedole sono calcolare al 5% del valore nominale dunque valgono 5
      I flussi dellobbligazione sono
      F= (5,5,105) ai tempi T=(1,2,3)
      Per calcolarne il valore attuale attualizziamo i flussi ai tassi di mercato
      Dunque avremo
      P= 5*1,04^(-1) + 5*1,045^(-2) + 105*1,05^(-3)
      Dunque P = 100,089

  • Maria ha detto:

    Ciao potresti aiutarmi? Grazie mille!! Al tempo corrente t=0 sono quotati i seguenti titoli sul mercato obbligazionario:
    a) un titolo a cedola nulla ad 1 anno con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,022;
    b) un titolo a cedola nulla a 2 anni con tasso interno di rendimento annuale pari a TIR = 0,031
    c) un titolo a cedola fissa a 3 anni, tasso nominale TN= 0,04, emesso alla pari con valore nominale pari a 100;
    d) un titolo a cedola fissa a 5 anni, tasso nominale TN = 0,0555, emesso alla pari con valore nominale pari a 100.
    Si calcoli la struttura dei tassi e dei prezzi a pronti relativamente allo scadenziario t = 1,2,3,4,5 con il metodo TIR

    • Andrea ha detto:

      Ciao!!!
      Il metodo utilizzato è quello del TIR perciò il TIR del titolo ad un anno sarà il tasso sulla curva ad un anno
      Il TIR del titolo a due anni sarà il tasso sulla curva a due anni e così via …
      Del primo e del secondo titolo di durata uno e due anni abbiamo già i TIR
      Dunque abbiamo anche i tassi spot ad uno e due anni
      i(0,1)= 0,022
      i(0,2)=0,031
      Della terza e della quarta obbligazione rispettivamente a tre e cinque anni ci viene dato il tasso nominale sul quale si calcolano le cedole.
      Essendo che però tali titoli sono emessi ALLA PARI conosciamo in automatico anche il TIR che coincide con i tassi cedolari
      Dunque
      i(0,3)=0,04
      i(0,5)=0,055
      La cosa che resta in sospeso è il tasso a 4 anni
      Non avendo altri dati a disposizione agiamo per INTERPOLAZIONE LINEARE
      Ovvero
      i(0,4)=0,50*i(0,3)+0,50*i(0,5)
      Inserendo i dati abbiamo completato

  • Maria ha detto:

    Ciao puoi aiutarmi con quest’esercizio? Si supponga che nel mercato obbligazionario siano quotati i seguenti titoli
    t ( 0, 1, 2, 3, 4)
    A (98, 100, 0, 0, 0)
    B (95, 2,5, 102,5, 0, 0)
    C (91, 3, 3, 103, 0)
    D (88, 3,7, 3,7, 3,7, 103,7)
    Si supponga altresì che un soggetto X abbia sottoscritto un contratto a termine sul titolo a cedola fissa che prevede tra 3 mesi
    (0,25 anni) la consegna del titolo sottostante con scadenza fra 2 anni e tasso nominale pari al 4%. Si calcoli il prezzo di non
    arbitraggio del TCF il cui valore di rimborso alla scadenza è pari a 150.

    • Andrea ha detto:

      Ciao!!!!!
      Per stabilire il prezzo del titolo future che verrà consegnato a tre mesi dobbiamo per prima cosa calcolare i flussi del titolo stesso
      Il suo valore nominale è 150
      La scadenza è tra 2 anni
      Immaginiamo dunque in assenza di altri dati sulla periodicità delle cedole che queste siano annue
      Essendo il tasso nominale pari al 4% la cedola varrà il 4% di 150 ovvero 6
      Dunque i flussi sono
      (6, 106) ai tempi (1,2,)
      Dobbiamo dunque calcolare il prezzo di questi flussi tra 3 mesi (0.25 anni)
      Dunque vi servono i fattori attualizzanti
      v(0,0.25,1) che serve per spostare il flusso da 1 a 0.25
      V(0,0.25,2) che serve per spostare i flussi da 2 a 0.25
      Ricordiamo che
      v(0,0.25,1)=v(0,1) / v(0,0.25)
      v(0,0.25,2)=v(0,2) / v(0,0.25)

      I due numeratori v(0,1) e v(0,2) li ricostruiamo dalla struttura delle obbligazioni iniziali

      In particolare dalla prima obbligazione (A)ricaviamo che
      v(0,1)=98/100=0,98
      Dalla seconda obbligazione impostiamo l’equazione
      2,5 v(0,1) + 102,5 v(0,2) = 95
      Dunque
      V(0,2)= (95 -2,5v(0,1))/102,5
      Sostituendo v(0,1) ricavato prima otteniamo
      V(0,2)=0,9029

      Ora non ci resta che calcolare v(0,0.25)
      In questo caso usiamo linterpolazione tra
      v(0,0)=1 e v(0,1)=0,98

      v(0,0.25)= 0,75*1 + 0,25*0,98= 0,995

      A questo punto non ci resta che inserire i dati numerici nellequazione
      P(0.25) = 6* v(0,1)/v(0,0.25)+ 106* v(0,2)/v(0, 0.25)

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