In questo articolo vediamo come si calcola il prezzo delle azioni usando la formula di Gordon.
INDICE
AZIONI
Le azioni sono titoli finanziaria che attestano la proprietà di una quota si una S.p.A.
Il possessore dell’azione si chiama azionista e grazie al titolo vanta diritti di proprietà ed economici nei confronti dell’azienda.
CALCOLO DEL PREZZO DI UN’AZIONE
Ma come viene calcolato il prezzo di un’azione?
La risposta è almeno in apparenza molto semplice.
Come per qualsiasi altro titolo finanziario dobbiamo attualizzare i futuri flussi di cassa generato da quel titolo.
E quali flussi di cassa dobbiamo utilizzare e a quale tasso.
DIVIDENDI
I flussi di cassa che un’azione è in grado di generare sono chiamati dividendi.
I dividendi sono quella parte del reddito di esercizio che è destinata ai soci.
Quando un’azienda opera genera dei ricavi e dei costi.
Tali costi e ricavi sono riportati in un opportuno documento denominato Conto Economico.
Alla fine di ogni esercizi facendo la differenza tra i ricavi e i costi di esercizio il Conto Economico restituisce il risultato d’esercizio.
Tale risultato può essere positivo (Utile) oppure negativo (Perdita).
Quando si genera un Utile d’esercizio l’azienda ha la possibilità di reinvestire parte di questo nell’azienda, mentre l’altra parte verrà destinata ai soci come dividendo.
I dividendi rappresentano dunque il flusso di cassa generato dalle azioni.
Di conseguenza il prezzo delle azioni sarà determinato dall’attualizzazione dei dividendi futuri.
Ma come è possibile determinare con certezza i dividendi futuri se questi dipendono da i futuri redditi d’esercizio che possono dipendere da svariati e imprevedibili fattori?
Una stima certa non è affatto possibile!
Quello che possiamo fare è una stima ragionevole di quelli che possono essere i futuri dividendi attesi.
Contribuiranno a questa analisi:
- L’andamento economico degli anni passati
- L’andamento di aziende simili nel caso in cui si disponga di pochi dati
- L’analisi settoriale
- Le politiche aziendali in materia di dividendi e reinvestimento
Questi sono alcuni dei fattori su cui è possibile fare delle previsioni future.
TASSO DI RENDIMENTO ATTESO PER GLI AZIONISTI
Una volta determinati i dividendi attesi futuri a quale tasso dobbiamo attualizzarli?
Al tasso di remunerazione atteso per gli azionisti.
La decisione di un investitore di investire in un titolo (azione o obbligazione) dipende sostanzialmente da due fattori:
- Rischio
- Rendimento
Esistono due tipologie di investitori estreme: gli amanti del rischio (Risk lover) e quelli avversi al rischio (Risk averse).
Gli investitori amanti del rischio andranno, che sono la minoranza, andranno a scegliere titoli finanziari che sono caratterizzati da un alto tasso di rendimento e quindi un alto rischio.
D’altro canto la maggior parte degli investitori è avverso al rischio.
Questa categoria sceglie di investire in titoli caratterizzati da un basso profilo di rischio e da rendimenti in generale più bassi.
Ritorniamo dunque alla questione su quale sia il tasso di interesse che dobbiamo utilizzare per attualizzare i futuri dividendi dell’azienda.
La risposta è proprio il tasso di interesse atteso per gli azionisti che stanno investendo in quella società.
Il tasso potrebbe dunque variare quando cambia il tipo di azienda, di settore, ecc. e può dipendere dunque da tanti fattori.
FORMULA DI GORDON
Il professore ed economista Myron Gordon, vissuto tra il 1920 e il 2010, fornì una formula per poter calcolare il prezzo delle azioni.
Le ipotesi alla base di questo modello sono:
- Le azioni non hanno una scadenza
- Si conosce il dividendo atteso futuro per l’anno prossimo
- Le decisioni di reinvestimento dell’azienda determinano un certo tasso di crescita sui dividendi futuri.
La formula teorizzata da Gordon che oggi prende proprio il nome di “Formula di Gordon” è la seguente:
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r-g} $$
P è il prezzo dell’azione
Div è il dividendo atteso per l’anno prossimo
r è il tasso di rendimento atteso per gli azionisti (tasso di attualizzazione)
Senza entrare troppo in ulteriori dettagli dobbiamo sapere che il tasso di crescita g dipende dalla quota di reddito d’esercizio che l’impresa decide di reinvestire in azienda.
Maggiore sarà questa quota e maggiore sarà il tasso di crescita dei futuri dividendi.
TASSO DI CRESCITA NULLO
Un caso particolare nell’applicazione della formula di Gordon si verifica quando il tasso di crescita g è uguale a zero (nullo).
In questo caso supponiamo che l’azienda distribuisca il 100% dei propri dividendi e non ne reinvesta dunque nessuna parte all’interno dell’impresa.
In tale situazione otteniamo il prezzo dell’azione semplicemente facendo il rapporto tra il dividendo (costante e perpetuo) per il tasso di rendimento atteso.
Partendo infatti dalla formula nota:
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r-g} $$
Se imponiamo il tasso di crescita g uguale a zero:
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r-g} \quad g=0 $$
Ne deriva la formula del prezzo semplificata
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r-g} \quad g=0 \to P = \frac{\text{Div}}{r}$$
ESEMPIO – tasso di crescita nullo
La società OMEGA ha distribuito quest’anno un dividendo pari a 2 euro per azione.
Determina il prezzo delle azioni della società sapendo che tutto l’utile è destinato come dividendo e che il tasso di remunerazione atteso per gli azionisti è pari al 12%.
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r} = \frac{ 2}{0,12} = 16,67 $$
ESEMPIO – Tasso di crescita costante
La società GAMMA si aspetta per l’anno prossimo un dividendo pari a 2 euro per azione.
Determina il prezzo delle azioni della società sapendo che ci si aspetta per il futuro un tasso di crescita dei dividendi pari al 5% costante.
Il tasso di remunerazione atteso per gli azionisti è pari al 12%.
$$ P = \frac{ \text{Div}}{r-g} = \frac{ 2}{0,12-0,05} = 28,57 $$
COMINCIA IL TUO VIAGGIO CON LA MATEMATICA FINANZIARIA
Impara la matematica finanziaria con un percorso strutturato che troverai nei videocorsi di matematica finanziaria.
Scopri il canale YouTube !
10 risposte
Corso di finanza utilissimo!
Ho preparato l’esame di finanza aziendale presso l’università degli studi di Bergamo, ed in tre settimane sono riuscito a prendere 27!
Ricco di contenuti, spiegazioni fatte con chiarezza ed esempi. Anche l’eserciziario molto utile, ottimo lavoro Andrea Il Matematico!!
Grazie Alessandro,
Sono molto contento del tuo risultato in finanza e ancora di più del fatto che hai capito bene la materia seguendo il corso. Comunque sappi che il materiale sarà continuamente migliorato di modo che i contenuti possano essere sempre più completi e comprensibili 😉
Un caro abbraccio 😉
Ciao Andrea, mi trovo di fronte a questo problema che riguarda il calcolo del prezzo delle azioni:
Il testo mi dice di calcolare il prezzo di un’azione sapendo che nell’anno t (oggi) distribuisce un dividendo pari a 5 euro.
Sappiamo che fino ad ora l’azienda ha avuto dividendi costanti poiché ha sempre distribuito tutto il reddito come dividendo.
A partire dall’anno prossimo le cose però cambiamo e si decide che il 30% dell’utile sarà destinato al reinvestimento.
Questo genera dei tassi di crescita per il futuro.
In particolare sappiamo che il dividendo cresce del 10% il primo anno, del 12% il secondo anno e dell’8% il terzo anno.
A partire dal quarto anno abbiamo il tasso di crescita si stabilizzerà in maniera permanente al 4%.
Qual è il prezzo dell’azione sapendo che il tasso di remunerazione atteso per gli azionisti è pari al 12%?
La strategia genera un VAOC positivo?
Grazie mille!!!
Ciao Luca, domanda molto interessante.
Per calcolare il prezzo delle azioni si attualizzano i dividendi attesi per il futuro al tasso atteso degli azionisti.
In questo caso il tasso che dobbiamo utilizzare è il 12%
Facciamo ora un po’ di ordine sui flussi di cassa.
In primo luogo partiamo dal dividendo di oggi, chiamiamolo per comodità tempo 0.
Div(t=0)=5
Ovviamente questo flusso di casa non viene considerato in quanto presente e non futuro.
Nel primo anno sappiamo che vi è un reinvestimento del 30% delle risorse quindi ci rimane l’altro 70%, che sappiamo però che incrementa del 10%.
Dunque il dividendo atteso per l’anno 1 è:
Div(t=1)=5·0,70·1,10= 3,85
Nell’anno 2 questo dividendo cresce ancora del 12%, per cui:
Div(t=2)= 3,85·1,12= 4,312
Nell’anno 3 vi è ancora una crescita dell’8%, perciò:
Div(t=3)= 4,312·1,08=4,657
Attenzione che da qui partirà una rendita perpetua con tasso di crescita del 4% annuo.
Quindi:
Div(t=4) =4,657·1,04
Div(t=5) =4,657·1,04^2
Div(t=6) =4,657·1,04^3
…
E così via.
Di questi ci interessa solo il primo!
Per calcolare il prezzo dell’azione attualizziamo tutti i dividendi futuri al tasso del 12%.
P’ = prezzo azione con crescita.
P’=3,85·1,12^-1 + 4,312·1,12^-2 + 4,657/(0,12-0,04)·1,12^-2
P’=53,28
Se non hai capito l’ultimo passaggio te lo spiego meglio:
4,657/(0,12-0,04) indica l’attualizzazione della rendita perpetua al tempo precedente al primo flusso ovvero al tempo 3.
Successivamente per portarlo al tempo 0 lo attualizziamo ancora di 2 anni, moltiplicandolo per 1,12^-2
Passiamo ora al VAOC.
Il VAOC ovvero il Valore Attuale delle Opportunità di Crescita indica la differenza che esiste tra il prezzo con crescita (P’) che si determina con il reinvestimento e quello senza crescita (P).
Tale ultimo sarebbe il prezzo dell’azione quando gli azionisti decidono di non reinvestire parte dell’utile per impiegarlo in progetti redditizi.
Se l’azienda avesse continuato a distribuire tutto il reddito agli azionisti senza disinvestire allora i dividendi avrebbero continuato a valere 5.
Pertanto vi sarebbe stata una semplice rendita perpetua e il prezzo delle azioni sarebbe stato:
P=5/012=41,67.
Senza ombra di dubblio il reinvestimento ha determinato un immediata crescita del prezzo alle azioni e il VAOC è certamente positivo:
VAOC = P’ – P = 53,28 – 41,67 = 11,61
Ciao Andrea avrei un altro esercizio su prezzo delle azioni…
L’azienda Omega paga oggi un dividendo pari a 5 euro.
A partire dell’anno prossimo decide di ritenere il 30% dell’utile per investire in nuovi progetti con un ROE atteso del 15%.
Sappiamo che il rendimento atteso degli azionisti è il 12%.
Calcola il nuovo prezzo delle azioni e il VAOC.
Sapresti aiutarmi?
Bene Luca passiamo ora alla seconda domanda.
L’azienda alfa oggi distribuisce un dividendo pari a euro per ogni azione.
E decide quindi di reinvestire il 30% dei profitti il dividendo base per l’anno successivo è pari al 70% di 5 ovvero 3,5.
Tuttavia avendo reinvestito una parte dell’utile i dividendi negli anni successivi cresceranno.
Il tasso di crescita g costante e perpetuo è pari al prodotto tra la quota reinvestita e il ROE atteso dei progetti in cui investirà. Perciò:
g = 0,30·0,15= 0,045.
Il nuovo prezzo P’ è calcolato come il valore attuale di una rendita perpetua con primo flusso pari a 3,5 e tasso di crescita del 4,5%.
Questa rendita è attualizzata con il tasso atteso degli azionisti pari al 12%.
P’ = 3,5/(0,12-0,045) = 46,67
Tale operazione genera dunque un aumento del prezzo delle azioni pari a VAOC (valore attuale delle opportunità di crescita).
VAOC = P’ – P = 46,67 – 45 = 1,67
Ciao,
Grazie per tutto l aiuto che ci dai. Potresti descrivere quali calcoli hai fatto per avere P=45? Grazie mille
Dove vedi il 45???
Ciao Andrea, intanto ti faccio i complimenti per il tuo sito che è pazzesco, poi approfitto per chiederti una cosa che non capisco, il problema è il seguente:
In base al modello di Gordon, se una società presenta un utile corrente di 10 euro, un payout ratio del 40%, un rendimento atteso del 10% e un tasso di crescita dei dividendi del 5%, il prezzo di equilibrio dovrebbe essere di 84 euro ma io non riesco a capire come si arriva a 84, ti chiedo quindi aiuto, grazie infinite.
Ciao Laura, grazie per i complimenti 😉
Cominciamo con il dire che l’utile attuale è pari a 10
Siccome la payout ratio è del 40%. Questo significa che il 40% di quei 10 euro (ovvero 4 euro) sono il dividendo della società.
Siccome il tasso di crescita è del 5% i dividendi attesi per l’anno prossimo saranno pari a 4,2 euro.
Questo è il nostro dividendo al tempo 1.
$$ Div_1 = \text{utile}_0 \cdot \text{pay-ratio} \cdot (1+ g) = 10 \cdot 0,4 \cdot (1+0,05) = 4,2$$
Adesso che abbiamo il dividendo 1 applichiamo la formula di Gordon per il calcolo del prezzo dell’azione.
$$ P = \frac{Div_1}{r-g} = \frac{4,2}{0,10-0,05} = 84 $$
Il calcolo scritto per esteso sarebbe il seguente:
$$ P = \frac{\text{utile}_0 \cdot \text{pay-ratio} \cdot (1+g) }{r-g} = \frac{10 \cdot 0,4 \cdot 1,05}{0,10-0,05} = 84 $$
Ti invito a dare anche un’occhiata al MINI corso 2 di finanza aziendale “PREZZO DELLE AZIONI, DELLE OLIGAZIONI E CURVA DEI TASSI DI INTERESSE”.
https://andreailmatematico.it/blog/corsi-finanza/
Se vuoi puoi anche contribuire con un semplice caffè allo sviluppo di questo progetto di divulgazione
https://www.paypal.com/donate?hosted_button_id=ZW4L7U8UQKWNS