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TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

ENUNCIATO

Il teorema fondamentale del calcolo integrale asserisce che quando abbiamo una una funzione f(x) ad una variabile reale continua in un certo intervallo I, allora avremo continua anche una qualsiasi sua primitiva.

Questo teorema è molto importante in quanto stabilisce una relazione univoca tra la continuità di una funzione e la continuità del calcolo delle aree sottese tra tale funzione e l’asse delle x.

Per arrivare alla sua dimostrazione sfrutteremo la relazione che esiste tra la derivabilità di una funzione e la sua continuità.

In base a questo teorema se una funzione risulta derivabile in un punto allore è ivi anche continua.

CONCETTI PRELIMINARI

Prima di passare alla dimostrazione vera e propria del teorema ci tenevo a fare un piccolo ripasso dei seguenti concetti:

  • Continuità di una funzione in un punto x
  • Derivabilità della funzione in un punto x
  • Proprietà additiva dell’integrale
  • Teorema del valore medio, o media integrale

Naturalmente qualora questi concetti vi siano già chiari potete passare subito all’enunciato e alla dimostrazione del teorema

CONTINUITA’

DERIVABILITA’

Sia f: R –> R

Continua in un certo intervallo I

Essa è derivabile sse il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero esiste ed è finito.

Il suo valore prende il nome di derivata nel punto, f'(x).

Questo valore è geometricamente il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x.

PROPRIETA’ ADDITIVA DELL’INTEGRALE

Sia f: R –> R, integrabile in un certo intervallo I

Siano a, b, c tre punti appartenenti all’intervallo I, 

 con c compreso tra a, b.

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TEOREMA DEL VALORE MEDIO, O MEDIA INTEGRALE

Sia f: R –> R

Continua in un certo intervallo I

Considerato un verto intervallo [a , b] appartenente all’intervallo I, esiste certamente un punto c in cui la funzione assume il valore medio.

Dal punto di vista grafico.

L’area sottesa tra la funzione, l’asse delle x e le due rette x=a e x=b è pari all’area del rettangolo che ha 

per base il segmento che va dal punto a al punto b e 

per altezza il valore della funzione nel punto c.

TEOREMA DEL CALCOLO INTEGRALE

PREMESSA IMPORTANTE

Il teorema si applica ad una funzione a una cariabile reale che risulti continua in un certo intervallo I.

Su questa funzione deve vale l’ipotesi di continuità.

Se prendiamo una funzione F(x) che è una primitiva di f, noi dovremo andare a dimostrare che questa funzione integrale è continua.

Immaginiamo di riuscire a dimostrare che la derivata prima di questa primitiva è una funzione continua.

Staremmo ammettendo che la funzione primitiva F ammette derivata continua.

Quindi questa funzione sarebbe derivabile.

In tal modo stiamo implicitamente desumendo che tale funzione è anche continua.

Infatti ricordiamo che esiste un teorema che afferma che la derivabilità implica continuità.

Questo è il vero senso del teorema.

Infatti il nucleo centrale della dimostrazione è proprio quello di dimostrare che la derivata prima di F(x) è proprio f(x), funzione sulla quale vige l’ipotesi di continuità.

Ora siamo pronti per la dimostrazione!

IPOTESI DEL TEOREMA

Sia f: R –> R

Continua in un certo intervallo I

Sia F(x) una primitiva di f(x) all’interno dell’intervallo considerato.

Calcoliamo ora la derivata prima della primitiva:

H 十 x 
。 忄 M 
0 忄 q

Il numeratore ci sta dicendo :

AREA GIALLA  –  AREA VERDE

Per la proprietà additiva degli integrali potremmo scrivere che:

0 忄 q

AREA GIALLA = AREA VERDE + AREA BLU

Semplificando le aree verdi avremo che:

h 0 
× 十 h

Per il teorema della media integrale applicato all’intervallo (x; x+h) esiste un punto c appartenente al suddetto intervallo tale che f(c) è il valore medio.

Possiamo calcolare tale valore dividendo l’integrale da x a x+h proprio per l’incremento h.

A tal proposito si possiamo scrivere il seguente limite.

5 e 
h 0 
f 冖 × 一

Se per il limite h sta tendendo a zero, 

Allora il punto x+h tende al punto x, 

Ma poiche c è compreso nell’intervallo (x, x+h), allora anche c tende ad x.

Ricordando inoltre che per le ipotesi la funzione f è continua, 

Avremo che al tendere di c ad x, anche la il valore f(c) tende al valore f(x).

Dunque, ricapitolando:

Disegni a penna
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Abbiamo cioè dimostrato che la derivata prima di una funzione primitiva di una funzione f coincide con la funzione f stessa.

O per dire meglio ancora abbiamo dimostrato che la derivata prima di una primitiva è una funzione continua.

Cioè abbiamo dimostrato che sotto le ipotesi date la funzione primitiva è derivabile.

Dovremo perciò ammettere che la funzione F(x) è per forza continua.

Questo in virtù del teorema che afferma che la derivabilità implica continuità.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai una qualsiasi domanda su questo teorema scrivi pure un commento qui sotto, sarò lieto di risponderti.

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