Nello studio delle trasformazioni lineari, i concetti di autovalori e autovettori sono tra i più potenti e utilizzati. Essi ci permettono di individuare le direzioni “privilegiate” di una trasformazione, lungo le quali l’azione della matrice si riduce a un semplice “allungamento” o “accorciamento”, senza rotazioni.
INDICE
Definizione geometrica e algebrica
Sia $A$ una matrice quadrata $n \times n$ e $v$ un vettore non nullo.
Diciamo che $v$ è un autovettore di $A$ se, applicando la matrice al vettore, otteniamo un vettore parallelo a quello di partenza:
$$A v = \lambda v$$
Lo scalare $\lambda$ (numero reale o complesso) è detto autovalore associato all’autovettore $v$.
In pratica, la matrice $A$ agisce sul vettore $v$ semplicemente moltiplicandolo per il fattore $\lambda$.
Come si calcolano?
Il calcolo di autovalori e autovettori avviene in due fasi distinte: prima si trovano gli scalari ($\lambda$) e poi i vettori ($v$).
1. Calcolo degli autovalori
Per trovare $\lambda$, riscriviamo l’equazione fondamentale come un sistema omogeneo:
$$(A – \lambda I) v = 0$$
Affinché questo sistema abbia soluzioni diverse dal vettore nullo ($v \neq 0$), il determinante della matrice dei coefficienti deve essere zero. Risolviamo quindi l’equazione caratteristica:
$$\det(A – \lambda I) = 0$$
Le soluzioni di questa equazione sono gli autovalori.
2. Calcolo degli autovettori (Autospazi)
Una volta trovati gli autovalori, li sostituiamo uno alla volta nel sistema $(A – \lambda I) v = 0$. Risolvendo il sistema lineare, troviamo l’insieme dei vettori $v$ (l’autospazio) associati a quel $\lambda$.
Esempio pratico svolto
Consideriamo la matrice $2 \times 2$ (tratta dal PDF di riferimento):
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
Passo 1: Polinomio caratteristico
Costruiamo la matrice $A – \lambda I$:
$$\begin{pmatrix} 1 – \lambda & 3 \\ 2 & 2 – \lambda \end{pmatrix}$$
Calcoliamo il determinante e poniamolo a zero:
$$(1 – \lambda)(2 – \lambda) – (3)(2) = 0$$
$$2 – \lambda – 2\lambda + \lambda^2 – 6 = 0$$
$$\lambda^2 – 3\lambda – 4 = 0$$
Risolvendo l’equazione di secondo grado $(\lambda – 4)(\lambda + 1) = 0$, otteniamo due autovalori:
$$\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = -1$$
Passo 2: Autovettori per $\lambda_1 = 4$
Sostituiamo $\lambda = 4$ nella matrice:
$$\begin{pmatrix} 1 – 4 & 3 \\ 2 & 2 – 4 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0} \Rightarrow \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0}$$
Il sistema si riduce all’equazione $-3x + 3y = 0 \Rightarrow x = y$.
Scegliendo $y=1$, otteniamo l’autovettore $v_1 = (1, 1)$.
Passo 3: Autovettori per $\lambda_2 = -1$
Sostituiamo $\lambda = -1$:
$$\begin{pmatrix} 1 – (-1) & 3 \\ 2 & 2 – (-1) \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0}$$
Il sistema si riduce a $2x + 3y = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}y$.
Per evitare frazioni, scegliamo $y=2$, quindi $x=-3$. L’autovettore è $v_2 = (-3, 2)$.
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