Nel calcolo geometrico tridimensionale, determinare la distanza di una retta da un piano è un problema che si riconduce spesso a casi più semplici. Questa misura rappresenta la minima distanza possibile tra i punti della retta e quelli del piano.
Prima di applicare qualsiasi formula, è essenziale stabilire la posizione reciproca tra i due enti, poiché ciò influenza drasticamente il risultato.
INDICE
Analisi preliminare della posizione
Sia data una retta $r$ con vettore direzionale $v = (l, m, n)$ e un punto $P_0$ appartenente a essa.
Sia dato un piano $\pi$ con equazione $ax + by + cz + d = 0$ e vettore normale $n = (a, b, c)$.
Verifichiamo il prodotto scalare tra il vettore direzionale della retta e il normale del piano:
$$v \cdot n = al + bm + cn$$
Si presentano due scenari:
- Se $v \cdot n \neq 0$: La retta e il piano non sono perpendicolari tra i vettori (quindi la retta non è parallela al piano), bensì incidenti. La retta buca il piano in un punto. In questo caso, la distanza è nulla.
- Se $v \cdot n = 0$: La retta è parallela al piano oppure contenuta in esso. In questo scenario, la distanza è costante in ogni punto.
Calcolo della distanza (caso parallelo)
Se la retta è parallela al piano, la distanza di una retta da un piano equivale alla distanza di un qualsiasi punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ della retta dal piano $\pi$.
Possiamo quindi usare la formula della distanza punto-piano:
$$d(r, \pi) = d(P_0, \pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Esempi pratici
1. Retta parallela al piano
Calcoliamo la distanza tra la retta $r$ e il piano $\pi$.
- Retta $r$: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 3 \end{cases}$
- Piano $\pi$: $x + y – 2z + 4 = 0$
Passo 1: Verifica del parallelismo
Il vettore direzionale di $r$ è $v(1, -1, 0)$.
Il vettore normale di $\pi$ è $n(1, 1, -2)$.
Prodotto scalare: $1(1) + (-1)(1) + 0(-2) = 1 – 1 + 0 = 0$.
La retta è parallela al piano.
Passo 2: Scelta di un punto
Scegliamo un punto su $r$ ponendo $t=0$: $P_0(1, 2, 3)$.
Passo 3: Calcolo della distanza
$$d(r, \pi) = \frac{|1(1) + 1(2) – 2(3) + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$
$$d = \frac{|1 + 2 – 6 + 4|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$
2. Retta incidente (distanza nulla)
Consideriamo la retta $s$ e il piano $\pi$.
- Retta $s$: $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$
- Piano $\pi$: $x + y + z – 10 = 0$
Passo 1: Verifica del parallelismo
Vettore direzionale $v(1, 1, 1)$, vettore normale $n(1, 1, 1)$.
Prodotto scalare: $1(1) + 1(1) + 1(1) = 3 \neq 0$.
La retta incide il piano. Di conseguenza, la distanza di una retta da un piano in questo caso è 0.
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