Dopo aver compreso la teoria, il modo migliore per padroneggiare l’algebra lineare è mettersi alla prova con esercizi su autovalori e autovettori.
Questi problemi sono un classico degli esami universitari e richiedono una procedura solida: calcolo del polinomio caratteristico, determinazione delle radici (autovalori) e risoluzione dei sistemi lineari omogenei per trovare gli autospazi (autovettori).
Vediamo insieme due esempi svolti passo dopo passo.
INDICE
Esercizio 1: Matrice 2×2 simmetrica
Data la matrice $A$:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Determina autovalori e autovettori.
Svolgimento
1. Calcolo degli autovalori
Dobbiamo risolvere l’equazione caratteristica $\det(A – \lambda I) = 0$.
Scriviamo la matrice $A – \lambda I$:
$$\begin{pmatrix} 2 – \lambda & 1 \\ 1 & 2 – \lambda \end{pmatrix}$$
Calcoliamo il determinante:
$$(2 – \lambda)(2 – \lambda) – (1)(1) = 0$$
$$(2 – \lambda)^2 – 1 = 0$$
Sviluppando il quadrato o usando la differenza di quadrati:
$$4 – 4\lambda + \lambda^2 – 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 – 4\lambda + 3 = 0$$
Risolviamo l’equazione di secondo grado:
$$(\lambda – 3)(\lambda – 1) = 0$$
Gli autovalori sono $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 1$.
2. Calcolo degli autovettori
- Per $\lambda_1 = 3$:Sostituiamo nell’equazione $(A – 3I)v = 0$:$$ \begin{pmatrix} 2-3 & 1 \\ 1 & 2-3 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0} \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0}$$Il sistema si riduce a $-x + y = 0$, ovvero $x = y$.Scegliendo $y=1$, otteniamo l’autovettore $v_1 = (1, 1)$.
- Per $\lambda_2 = 1$:Sostituiamo nell’equazione $(A – 1I)v = 0$:$$ \begin{pmatrix} 2-1 & 1 \\ 1 & 2-1 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{0}{0}$$Il sistema si riduce a $x + y = 0$, ovvero $x = -y$.Scegliendo $y=1$, otteniamo l’autovettore $v_2 = (-1, 1)$.
Esercizio 2: Matrice 3×3 triangolare
Risolvere esercizi su autovalori e autovettori con matrici $3 \times 3$ può sembrare lungo, ma spesso si possono sfruttare delle proprietà.
Data la matrice $B$:
$$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$
Svolgimento
1. Calcolo degli autovalori
La matrice è triangolare superiore. In questo caso speciale, gli autovalori sono semplicemente gli elementi della diagonale principale!
Possiamo scriverli direttamente senza calcolare il determinante completo:
$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 5$.
2. Calcolo degli autovettori
Calcolo dell’autovettore per $\lambda_1 = 3$
Impostiamo il sistema $(B – 3I)v = 0$:
$$\begin{pmatrix} 3-3 & 1 & 0 \\ 0 & 2-3 & 4 \\ 0 & 0 & 5-3 \end{pmatrix} \binom{x}{y}{z} = \binom{0}{0}{0}$$
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \binom{x}{y}{z} = \binom{0}{0}{0}$$
Il sistema è:
$$\begin{cases} y = 0 \\ -y + 4z = 0 \\ 2z = 0 \end{cases}$$
Dalle equazioni ricaviamo subito $z = 0$ e $y = 0$. La variabile $x$ non compare, quindi è libera.
Poniamo $x = 1$. L’autovettore è $v_1 = (1, 0, 0)$.
Calcolo dell’autovettore per $\lambda_2 = 2$
Dobbiamo risolvere il sistema omogeneo $(B – 2I)v = 0$.
Sottraiamo 2 dalla diagonale principale di $B$:
$$B – 2I = \begin{pmatrix} 3-2 & 1 & 0 \\ 0 & 2-2 & 4 \\ 0 & 0 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Scriviamo il sistema associato:
$$\begin{cases} x + y = 0 \\ 4z = 0 \\ 3z = 0 \end{cases}$$
Dalle ultime due equazioni otteniamo immediatamente $z = 0$.
Dalla prima equazione abbiamo $x = -y$.
La variabile libera è $y$. Ponendo $y = 1$, otteniamo $x = -1$.
L’autovettore associato a $\lambda_2 = 2$ è $v_2 = (-1, 1, 0)$.
Calcolo dell’autovettore per $\lambda_3 = 5$
Risolviamo il sistema $(B – 5I)v = 0$.
Sottraiamo 5 dalla diagonale:
$$B – 5I = \begin{pmatrix} 3-5 & 1 & 0 \\ 0 & 2-5 & 4 \\ 0 & 0 & 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Il sistema associato è:
$$\begin{cases} -2x + y = 0 \\ -3y + 4z = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}$$
Dalla prima equazione ricaviamo $y = 2x$.
Sostituiamo nella seconda: $-3(2x) + 4z = 0 \Rightarrow -6x + 4z = 0 \Rightarrow z = \frac{6}{4}x = \frac{3}{2}x$.
Abbiamo espresso tutto in funzione di $x$. Per avere numeri interi ed evitare frazioni, scegliamo un valore comodo per $x$, ad esempio $x = 2$.
- Se $x = 2 \Rightarrow y = 2(2) = 4$
- Se $x = 2 \Rightarrow z = \frac{3}{2}(2) = 3$
L’autovettore associato a $\lambda_3 = 5$ è $v_3 = (2, 4, 3)$.
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