METODO GENERALE PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE – REGOLA DI LAPLACE

Oggi vediamo il metodo generale per il calcolo del determinante formulato dal matematico Laplace.

Dopo aver introdotto il concetto di determinante oggi vediamo qual è il metodo generale per calcolarlo valido per ogni ordine di matrice quadrata.

Questo metodo prende il nome dal matematico francese Pierre Simon Laplace.

METODO DI LAPLACE PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE

Grazie al metodo di Laplace risulta possibile calcolare il determinante di una matrice quadrata di ogni ordine.

Il suo metodo è una generalizzazione dei casi 2×2 3 3×3 visti nel blog precedente.

La regola generale ci dice che possiamo ottenere il determinante di una matrice fissata una sua riga o colonna qualsiasi.

In particolare dobbiamo fare la sommatoria di ogni elemento algebrico per il relativo complemento algebrico.

Ad esempio se fissiamo una data riga i di una matrice quadrata A di ordine n scriviamo che:

$$ \det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot A^*_{ij} $$

$$ a_{ij} = \ \text{ elemento della matrice A sulla riga $i$ e sulla colonna $j$} $$

$$ A^*_{ij} = \ \text{ complemento algebrico relativo all’elemento algebrico $a_{ij}$} $$

L’elemento algebrico è ottenuto come prodotto tra: il segno della posizione di a_{ij} e il determinante della matrice complementare A_{ij}

$$ A^*_{ij} = \ \text{segno(posizione $(a_{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

$$ A_{ij} \ \text{ è la matrice complementare relativa all’elemento $a_{ij}$} $$

Tale matrice si ottiene eliminando dalla matrice A la riga i e la colonna j.

Se avete capito poco fino a qui non vi preoccupate perché è solamente con il prossimo esempio pratico che chiarirete tutti i vostri dubbi.

Quindi rilassatevi, prendetevi un bel caffè o the caldo prima di cominciare il nostro viaggio in questa entusiasmante procedura 😉

IL COMPLEMENTO ALGEBRICO

Prendiamo in esame la seguente matrice 3×3:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Il tre in basso sta ad indicare semplicemente che si tratta di una matrice di ordine 3, ovvero con 3 righe e 3 colonne.

La matrice di partenza la definiamo la matrice degli elementi algebrici.

ELEMENTO ALGEBRICO E COMPLEMENTO ALGEBRICO

In generale possiamo definire ogni elemento algebrico con due indici, convenzionalmente il primo che sta ad indicare la riga e il secondo la colonna in cui si trova.

Potremo quindi genericamente indicarla con questa scrittura generica:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Mettendo insieme la scrittura generica con quella specifica scriviamo:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Qui possiamo chiaramente capire che gli elementi algebrici che si trovano sulla prima riga sono:

$$ a_{11} = 2 \quad a_{12} = 1 \quad a_{13} = 3 $$

Sulla seconda riga abbiamo gli elementi

$$ a_{21} = 1 \quad a_{22} = 0 \quad a_{23} = 1 $$

Mentre sulla terza riga gli elementi sono:

$$ a_{31} = 1 \quad a_{32} = -1 \quad a_{33} = 0 $$

In generale un elemento che si trova sulla riga i-esima e sulla colonna j-esima può essere indicato con la scrittura:

$$ a_{ij}= \ \text{elemento algebrico della riga $i$ e della colonna $j$} $$

Quello che vogliamo creare ora è la matrice dei complementi algebrici.

In maniera generale possiamo scrivere una matrice:

$$ A_{C} = \begin{pmatrix} A^*_{11} & A^*_{12} & A^*_{13} \\ A^*_{21} & A^*_{22} & A^*_{23} \\ A^*_{31} & A^*_{32} & A^*_{33} \end{pmatrix} $$

Come vedete l’ho nominata A* con il simbolo di *.

Se leggete altri manuali potrebbero nominarla con un nome diverso.

L’idea geniale è quella di abbinare ad ogni elemento algebrico il suo complemento algebrico.

$$ A^*_{ij} = \ \text{complemento algebrico della riga $i$ e della colonna $j$} $$

$$ A^*_{ij} = \ \text{complemento algebrico associato all’elemento $a_{ij}$} $$

Ma come facciamo a calcolare questo complemento algebrico?

POSIZIONE PARI E POSIZIONE DISPARI

Per prima cosa dobbiamo introdurre il concetto di posizione di un elemento algebrico.

Un elemento algebrico può essere definito in posizione pari oppure dispari.

La posizione dell’elemento è pari se la somma della riga e della colonna cui appartiene è un numero pari, diversamente lo definiamo in posizione dispari.

$$ \text{ posizione $(a_{ij})$} = \begin{cases} \color{red}{\text{pari}} & \text{se } i+j = \text{pari} \\ \color{blue}{\text{dispari}} & \text{se } i+j = \text{dispari} \end{cases}$$

Riprendiamo come esempio la matrice di prima:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

PRIMA RIGA

L’elemento a_{11} che si trova sulla prima riga e sulla prima colonna è in posizione pari poiché 1+1=2 che è un numero pari.

$$ a_{\color{green}{11}} = 2 \to \ \text{ posizione $(a_{11})$} = \color{red}{\text{ pari }} \text{ poiché } \color{green}{1}+\color{green}{1}= 2 = {\text{pari}} $$

Procediamo in modo analogo per gli altri elementi della prima riga della matrice A.

$$\begin{array}{ccccc} a_{\color{green}{12}} &= 1 \to \ \text{ posizione $(a_{12})$} &= \color{blue}{\text{dispari}} \text{ poiché } \color{green}{1}+\color{green}{2}&= 3 &= \text{dispari} \\ a_{\color{green}{13}} &= 3 \to \ \text{ posizione $(a_{13})$} &= \color{red}{\text{ pari }} \text{ poiché } \color{green}{1}+\color{green}{3}&= 4 &= {\text{pari}} \end{array} $$

SECONDA RIGA

Proseguiamo con gli elementi della seconda riga:

$$\begin{array}{ccccc} a_{\color{green}{21}} &= 1 \to \ \text{ posizione $(a_{21})$} &= \color{blue}{\text{dispari}} \text{ poiché } \color{green}{2}+\color{green}{1} &= 3 &= \text{dispari} \\ a_{\color{green}{22}} &= 0 \to \ \text{ posizione $(a_{22})$} &= \color{red}{\text{ pari }} \text{ poiché } \color{green}{2}+\color{green}{2}&= 4 &= {\text{pari}} \\ a_{\color{green}{23}} &= 1 \to \ \text{ posizione $(a_{23})$} &= \color{blue}{\text{dispari}} \text{ poiché } \color{green}{2}+\color{green}{3}&= 5 &= \text{dispari} \end{array} $$

TERZA RIGA

Analizziamo quindi il segno della posizione degli elementi della terza riga:

$$\begin{array}{ccccc} a_{\color{green}{31}} &= 1 \to \ \text{ posizione $(a_{31})$} &= \color{red}{\text{ pari }} \text{ poiché } \color{green}{3}+\color{green}{1}&= 4 &= {\text{pari}} \\ a_{\color{green}{32}} &= -1 \to \ \text{ posizione $(a_{32})$} &= \color{blue}{\text{dispari}} \text{ poiché } \color{green}{3}+\color{green}{2}&= 5 &= \text{dispari} \\ a_{\color{green}{33}} &= 0 \to \ \text{ posizione $(a_{33})$} &= \color{red}{\text{ pari }} \text{ poiché } \color{green}{3}+\color{green}{3}&= 6 &= {\text{pari}} \end{array} $$

Notiamo con piacere che

SEGNO DELLA POSIZIONE PARI (+) E POSIZIONE DISPARI (-)

Riconosce la posizione (pari o dispari) di un elemento è un gioco di estrema semplicità.

Passiamo ora allo step successivo ed associamo un segno specifico ad ogni posizione.

In particolare associamo un segno + agli elementi che stanno in posizione pari.

Mentre associamo un segno – agli elementi che si trovano in posizione dispari.

In generale possiamo scrivere la seguente regola per il calcolo del segno della posizione associata ad ogni elemento algebrico:

$$ \text{segno (posizione $(a_{ij})$)} = \begin{cases} \color{red}{+} & \text{se } i+j = \text{pari} \\ \color{blue}{-} & \text{se } i+j = \text{dispari} \end {cases}$$

Per giustificare questa scrittura potremmo dire che se eleviamo il (-1) alla somma (i+j) troviamo +1 se l’esponente è pari, mentre -1 se l’esponete è dispari:

$$ (-1)^{i+j} = \begin{cases} \color{red}{+} 1 & \text{se } i+j = \text{pari} \\ \color{blue}{-} 1 & \text{se } i+j = \text{dispari} \end {cases}$$

Tornando al caso della nostra matrice di partenza:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

PRIMA RIGA

Il segno associato alla posizione dell’elemento a₁₁ ovvero al 2 è +

$$ \text{segno (posizione $(a_{11})$)}= \color{red}{+} \text{ poiché } 1+1= 2 = \color{red}{\text{pari}} $$

Mentre il segno associato alla posizione dell’elemento a₁₂ ovvero all’1 è –.

$$ \text{segno (posizione $(a_{12})$)}= \color{blue}{+} \text{ poiché } 1+2= 3 = \color{blue}{\text{dispari}} $$

In modo analogo possiamo ragionare per il terzo elemento a_{13} della prima riga che risulta di segno +

$$ \text{segno (posizione $(a_{13})$)}= \color{red}{-} \text{ poiché } 1+3= 4 = \color{red}{\text{pari}} $$

SECONDA RIGA

Proseguiamo quindi con il segno della posizione degli elementi della seconda riga: a_{21}, a_{22}, a_{23}.

$$\begin{array}{cccc} \text{segno (posizione $(a_{21})$)}&= \color{blue}{+} \text{ poiché } 2+1&= 3 &= \color{blue}{\text{dispari}} \\ \text{segno (posizione $(a_{22})$)}&= \color{red}{+} \text{ poiché } 2+2&= 4 &= \color{red}{\text{pari}} \\ \text{segno (posizione $(a_{23})$)}&= \color{blue}{+} \text{ poiché } 2+3&= 5 &= \color{blue}{\text{dispari}} \end{array} $$

TERZA RIGA

Infine passiamo alla terza riga:

$$\begin{array}{ccccc} \text{segno (posizione $(a_{31})$)}&= \color{red}{+} \text{ poiché } 3+1&= 4 &= \color{red}{\text{pari}} \\ \text{segno (posizione $(a_{32})$)}&= \color{blue}{+} \text{ poiché } 3+2&= 5 &= \color{blue}{\text{dispari}} \\ \text{segno (posizione $(a_{33})$)}&= \color{red}{+} \text{ poiché } 3+3&= 6 &= \color{red}{\text{pari}} \end{array} $$

Non confondiamo quindi il segno dell’elemento con il segno della sua posizione!

Per avere un’idea grafica un po’ più forte di questa situazione possiamo scrivere sopra ogni elemento la matrice il suo segno:

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{a_{11}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{12}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{13}} \\ \overset{\color{blue}{-}}{a_{21}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{22}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{23}} \\ \overset{\color{red}{+}}{a_{31}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{32}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{33}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2} & \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{3} \\ \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{0} & \overset{\color{blue}{-}}{1} \\ \overset{\color{red}{+}}{1} & \overset{\color{blue}{-}}{-1} & \overset{\color{red}{+}}{0} \end{pmatrix} $$

MATRICE COMPLEMENTARE AD UN ELEMENTO ALGEBRICO

L’ultimo step logico che ci separa dal calcolo del complemento algebrico è il concetto di matrice complementare.

Dobbiamo sapere che ogni elemento algebrico ha una sua matrice complementare.

Questa matrice che possiamo chiamare Aij è ottenuta togliendo dalla matrice A di partenza la riga e la colonna sulla quale si trova l’elemento algebrico.

$$ A_{ij} = \ \text{ è la matrice complementare all’elemento algebrico $a_{ij}$ }$$

Otteniamo A*ij togliendo la riga i-esima e la colonna j-esima.

Considerando sempre la nostra matrice in oggetto:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

PRIMA RIGA

Se vogliamo ottenere la matrice A_{11} complementare all’elemento algebrico a11=2 dobbiamo togliere la prima riga e la prima colonna ottenendo la matrice complementare:

$$ a_{11} = 2 \to \ \ A_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Oppure se vogliamo ottenere la matrice complementare A_{12} dell’elemento a21=1 togliamo la seconda riga e la prima colonna ottenendo la matrice complementare:

$$ a_{12} = 1 \to \ \ A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

passando alle matrice complementare A_{13} relativo all’elemento algebrico a_{13} togliamo dalla matrice principale A la prima riga e la terza colonna

$$ a_{13} = 3 \to \ \ A_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

TUTTE LE MATRICI COMPLEMENTARI

Riportiamo ora sotto le nove matrici complementari relative alla matrice A:

$$ \begin{array}{ccc} A_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & A_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ A_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & A_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & A_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ A_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & A_{32} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & A_{33} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} $$

CALCOLO DEL COMPLEMENTO ALGEBRICO

Eccoci finalmente arrivati al calcolo del complemento algebrico.

Per calcolare il complemento algebrico A*ij associato all’elemento algebrico aij usiamo la seguente regola:

$$ A^*_{ij} = \ \text{segno(posizione $(a_{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

Chiaramente dobbiamo sapere almeno come si calcola un determinante di una 2×2, o se vogliamo essere più pignoli di una 1×1.

Ritorniamo alla nostra matrice A di partenza, con gli elementi algebrici ed i relativi segni:

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{a_{11}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{12}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{13}} \\ \overset{\color{blue}{-}}{a_{21}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{22}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{23}} \\ \overset{\color{red}{+}}{a_{31}} & \overset{\color{blue}{-}}{a_{32}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{33}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2} & \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{3} \\ \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{0} & \overset{\color{blue}{-}}{1} \\ \overset{\color{red}{+}}{1} & \overset{\color{blue}{-}}{-1} & \overset{\color{red}{+}}{0} \end{pmatrix} $$

Riportiamo inoltre anche le matrici complementari sopra calcolate

$$ \begin{array}{ccc} A_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & A_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ A_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & A_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & A_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ A_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & A_{32} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & A_{33} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} $$

PRIMA RIGA

Il complemento algebrico A*_{11} è il prodotto tra il segno della posizione dell’elemento algebrico a_{11} ed il determinante della matrice complementare A_{11}

$$ A^*_{11} = \text{ segno (posizione $(a_{11})$)} \cdot \det A_{11}$$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ A^*_{11} = \color{red}{+} \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right| = +(0 \cdot 0 – (-1) \cdot 1) = +(0+1) = 1 $$

In modo analogo possiamo completare la prima riga inserendo direttamente i dati

$$\begin{array}{ccccc} A^*_{12} &= \color{blue}{-} \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| &= -(1 \cdot 0 – 1 \cdot 1) &= -(0-1) &= 1 \\ A^*_{13}&= \color{red}{+} \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right| &= +(1 \cdot (-1) – 0 \cdot 1) &= +(-1-0) &= -1 \end{array} $$

SECONDA RIGA

Procediamo quindi con la seconda riga:

$$\begin{array}{ccccc} A^*_{21} &= \color{blue}{-} \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{array} \right| &= -(1 \cdot 0 – 3 \cdot (-1)) &= -(0+3) &= -3 \\ A^*_{22}&= \color{red}{+} \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right| &= +(2 \cdot 0 – 3 \cdot 1) &= +(0-3) &= -3 \\ A^*_{23} &= \color{blue}{-} \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| &= -(2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) &= -(-2-1) &= 3 \end{array} $$

TERZA RIGA

Completiamo quindi anche la terza riga:

$$\begin{array}{ccccc} A^*_{31} &= \color{red}{+} \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right| &= +(1 \cdot 1 – 3 \cdot 0) &= +(1-0) &= 1 \\ A^*_{32} &= \color{blue}{-} \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right| &= -(2 \cdot 1 – 3 \cdot 1) &= -(2-3) &= 1 \\ A^*_{33}&= \color{red}{+} \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| &= +(2 \cdot 0 – 1 \cdot 1) &= +(2-1) &= 1 \end{array} $$

La nostra matrice dei complementi algebrici A_C risulta dunque:

$$ A_C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} $$

CALCOLO DEL DETERMINANTE

Ora che abbiamo calcolato la matrice dei complementi algebrici A_{C} visualizziamola accanto alla matrice A di partenza.

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad = A_C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Chiamiamo ora r_1 , r_2, r_3 le tre righe della matrice A, ed r_{C1}, r_{C2}, r_{C3} le tre righe della matrice complementare A_C

Facciamo ora i prodotti scalare tra le rispettive righe delle matrici.

$$ \begin{array}{ccccc} r_1 \cdot r^T_{C1} &= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot {\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}^T &= 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 +3 \cdot (-1) &= 2+1-3&=0 \\ r_2 \cdot r^T_{C2} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot {\begin{pmatrix} -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}}^T &= 1 \cdot (-3) + 0 \cdot (-3) +1 \cdot 3 &= -3+3 &=0 \\ r_3 \cdot r^T_{C3} &= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot {\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}^T &= 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 +0 \cdot (-1) &= 1-1+0&=0 \end{array} $$

NB1: Notiamo che abbiamo messo il simbolo di trasposizione T sulle righe della matrice complementare poiché nella teoria è ammesso il prodotto tra righe e colonne

NB2: la seconda cosa che non possiamo non notare sono i risultati tutti uguali che coincidono con il determinante della matrice A.

$$ \det A = r_1 \cdot r^T_{C1} = r_2 \cdot r^T_{C2} = r_3 \cdot r^T_{C3} = 0 $$

Otteniamo lo stesso risultato (con le dovute trasposizioni) moltiplicando le colonne di A (c_1, c_2 , c_3) per le rispettive colonne di A_C ( c_{C1}, c_{C2}, c_{3C}).

NB: ovviamente metteremo il simbolo di trasposizione T sulle colonne di A

$$ \begin{array}{ccccc} c^T_{C1} \cdot c_1 &= {\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}^T \cdot {\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}} &= 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) +1 \cdot (1) &= 2+3+1&=0 \\ c^T_{C2} \cdot c_2 &= {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}}^T \cdot {\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}} &= 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) +(-1) \cdot 1 &= 1+0-1 &=0 \\ c^T_{C3} \cdot c_3 &= {\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}^T \cdot {\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}} &= 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 +0 \cdot (-1) &= -3-3-0&=0 \end{array} $$

In sintesi possiamo scrivere:

$$ \det A = c^T_{C1} \cdot c_1 = c^T_{C2} \cdot c_3 = c^T_{C3} \cdot c_1 = 0 $$

METODO DI LAPLACE PERL IL DETERMINANTE IN SINTESI

Sintetizziamo ancora meglio la procedura di Laplace per il calcolo del determinante.

Possiamo ottenere il determinante scegliendo una riga o una colonna qualsiasi della matrice.

Una volta scelta facciamo la sommatoria dei prodotto tra gli elementi e i rispettivi elementi di quella riga o colonna.

Se scegliamo una riga i-esima quando la “scorriamo” con la sommatoria passiamo per tutte le colonne, dunque facciamo scorrere l’indice j relativo alla colonna:

$$ \det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot A^*_{ij} $$

Scegliendo diversamente una colonna di riferimento fissiamo l’indice j di colonna e facciamo scorrere l’indice i della riga:

$$ \det A = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot A^*_{ij} $$

Ricordiamo che dietro il complemento algebrico c’è la moltiplicazione del segno della posizione per il determinante della matrice complementare:

$$ A^*_{ij} = \ \text{segno(posizione $(a_{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

Quindi il determinante fissando ad esempio una riga può essere letto come la sommatoria del prodotto tra:

• Il segno della posizione di aij
• L’elemento algebrico aij
• Il determinate della matrice complementare A*ij

$$ A^*_{ij} = \ \text{segno(posizione $(a_{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

Proviamo a ricollocarci sulla matrice A di partenza

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Fissiamo ora come punto di riferimento la prima riga con i relativi segni delle posizioni

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2} & \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Ora applichiamo la formula:

$$ \begin{array}{cc} \det A &= \color{red}{+} 2 \cdot \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right| \color{blue}{-} 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \color{red}{+} 3 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right| \\ \det A &= +2 \cdot (0+1) -1 \cdot (0-1) + 3 \cdot (-1-0) \\ \det A &= 2+1-3 =0 \end{array} $$

Fissiamo ora l’attenzione sulla seconda riga della matrice A:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{0} & \overset{\color{blue}{-}}{1} \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{array}{cc} \det A &= \color{blue}{-} 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \color{red}{+} 0 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \color{blue}{-} (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \\ \det A &= -1 \cdot (0-1) +0 \cdot (0-3) + 1 \cdot (2-3) \\ \det A &= 1+0-1 =0 \end{array} $$

In questo caso il determinante risulta molto più semplice

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