Dopo aver introdotto il concetto di determinante oggi vediamo qual è il metodo generale per calcolarlo valido per ogni ordine di matrice quadrata.
Questo metodo prende il nome dal matematico francese Pierre Simon Laplace.
METODO DI LAPLACE
Grazie al metodo di Laplace risulta possibile calcolare i determinanti di matrici quadrate di ogni ordine.
Il suo metodo è una generalizzazione dei casi 2×2 3 3×3 visti nel blog precedente.
Dunque come facciamo a calcolare un determinante?
Per prima cosa dobbiamo creare il concetto di complemento algebrico.
IL COMPLEMENTO ALGEBRICO
Prendiamo in esame la seguente matrice 3×3:
Il tre in basso sta ad indicare semplicemente che si tratta di una matrice di ordine 3, ovvero con 3 righe e 3 colonne.
La matrice di partenza la definiamo la matrice degli elementi algebrici.
ELEMENTO ALGEBRICO
In generale possiamo definire ogni elemento algebrico con due indici, convenzionalmente il primo che sta ad indicare la riga e il secondo la colonna in cui si trova.
Potremo quindi genericamente indicarla con questa scrittura generica:
Mettendo insieme la scrittura generica con quella specifica scriviamo:
Qui possiamo chiaramente capire che l’elemento che si trova sulla prima riga e sulla prima colonna a11 è pari a 2.
Oppure che l’elemento che si trova sulla terza riga e sulla prima colonna è a31 è pari a 1.
E così via.
In generale un elemento che si trova sulla riga i-esima e sulla colonna j-esima può essere indicato con la scrittura:
Quello che vogliamo creare ora è la matrice dei complementi algebrici.
In maniera generale possiamo scrivere una matrice:
Come vedete l’ho nominata A* con il simbolo di *.
Se leggete altri manuali potrebbero nominarla con un nome diverso.
L’idea geniale è quella di abbinare ad ogni elemento algebrico il suo complemento algebrico.
Ma come facciamo a calcolare questo complemento algebrico?
POSIZIONE E SEGNO DELLA POSIZIONE DEGLI ELEMENTI ALGEBRICI
Per prima cosa dobbiamo introdurre il concetto di posizione di un elemento algebrico.
Un elemento algebrico può essere definito in posizione pari oppure dispari.
La posizione dell’elemento è pari se la somma della riga e della colonna cui appartiene è un numero pari, diversamente lo definiamo in posizione dispari.
In generale possiamo dire che:
Riprendiamo come esempio la matrice di prima:
L’elemento che si trova sulla prima riga e sulla prima colonna:
È in posizione pari poiché 1+1=2 che è un numero pari.
Mentre l’elemento che si trova sulla seconda riga e sulla prima colonna:
È in posizione dispari poiché 2+1=3 è dispari.
Associamo ora un segno alla posizione.
In particolare associamo un segno + agli elementi che stanno in posizione pari.
Mentre associamo un segno – agli elementi che si trovano in posizione dispari.
In generale possiamo scrivere
Per giustificare questa scrittura potremmo dire che:
Tornando al caso della nostra matrice di partenza:
Il segno associato alla posizione dell’elemento a11 ovvero al 2 è +
Mentre il segno associato alla posizione dell’elemento a12 ovvero all’1 è –.
Non confondiamo quindi il segno dell’elemento con il segno della sua posizione!
Per avere un’idea grafica un po’ più forte di questa situazione possiamo scrivere sopra ogni elemento la matrice il suo segno:
MATRICE COMPLEMENTARE AD UN LEMENTO ALGEBRICO
L’ultimo step logico che ci separa dal calcolo del complemento algebrico è il concetto di matrice complementare.
Dobbiamo sapere che ogni elemento algebrico ha una sua matrice complementare.
Questa matrice che possiamo chiamare A*ij è ottenuta togliendo dalla matrice A di partenza la riga e la colonna sulla quale si trova l’elemento algebrico.
Otteniamo A*ij togliendo la riga i-esima e la colonna j-esima.
Considerando sempre la nostra matrice in oggetto:
Se vogliamo ottenere la matrice complementare all’elemento algebrico a11=2 dobbiamo togliere la prima riga e la prima colonna ottenendo la matrice complementare:
Oppure se vogliamo ottenere la matrice complementare dell’elemento a21=1 togliamo la seconda riga e la prima colonna ottenendo la matrice complementare:
CALCOLO DEL COMPLEMENTO ALGEBRICO
Eccoci finalmente arrivati al calcolo del complemento algebrico.
Per calcolare il complemento algebrico Aij associato all’elemento algebrico aij usiamo la seguente regola:
Chiaramente dobbiamo sapere almeno come si calcola un determinante di una 2×2, o se vogliamo essere più pignoli di una 1×1.
Ritorniamo alla nostra matrice A di partenza, inclusa dei segni per semplificare il lavoro:
Consideriamo l’elemento della prima riga e della prima colonna a11=2.
Il complemento algebrico A11 sarà:
Completiamo tutta la prima riga.
Il complemento algebrico A12 sarà:
Passiamo ora all’ultimo complemento algebrico della prima riga A13:
Se avete fatto bene i vostri conti dovreste ottenere che la matrice dei complementi algebrici A* è:
Si tratta chiaramente di una matrice di rango pari a 1.
Come notare la seconda e la terza riga sono una combinazione lineare della prima riga.
Infatti la terza riga è –3 volte la prima, mentre la terza è uguale alla prima.
Per approfondire scopri il corso di algebra lineare.
CALCOLO DEL DETERMINANTE
Ora che abbiamo calcolato la matrice dei complementi algebrici A* visualizziamola accanto alla matrice di partenza.
Prendiamo la rima riga della matrice A (r1) e moltiplichiamo per la prima riga della matrice A* (r*1).
È chiaro che due vettori riga non possono essere moltiplicati, ma armatevi di un po’ di fantasia o semplicemente immaginate che il secondo vettore sia trasposto.
Prendiamo la rima riga della matrice A (r1) e moltiplichiamo per la prima riga della matrice A* (r*1).
È chiaro che due vettori riga non possono essere moltiplicati, ma armatevi di un po’ di fantasia o semplicemente immaginate che il secondo vettore sia trasposto.
Questo è proprio il determinante di A.
Se facciamo la stessa operazione con le altre due righe:
Otteniamo lo stesso risultato (con le dovute trasposizioni) moltiplicando le colonne di A per le rispettive colonne di A*.
METODO DI LAPLACE IN SINTESI
Possiamo ottenere il determinante scegliendo una riga o una colonna qualsiasi della matrice.
Una volta scelta facciamo la sommatoria dei prodotto tra gli elementi e i rispettivi elementi di quella riga o colonna.
Se scegliamo una riga i-esima quando la “scorriamo” con la sommatoria passiamo per tutte le colonne, dunque facciamo scorrere l’indice j relativo alla colonna:
Scegliendo diversamente una colonna di riferimento fissiamo l’indice j di colonna e facciamo scorrere l’indice i della riga:
Ricordiamo che dietro il complemento algebrico c’è la moltiplicazione del segno della posizione per il determinante della matrice complementare:
Quindi il determinante fissando ad esempio una riga può essere letto come la sommatoria del prodotto tra:
- Il segno della posizione di aij
- L’elemento algebrico aij
- Il determinate della matrice complementare A*ij
Proviamo a ricollocarci sulla matrice A di partenza inclusa dei segni degli elementi per agevolare il nostro compito:
Fissiamo ora come punto di riferimento la prima riga:
Ora applichiamo la formula:
Fissiamo ora l’attenzione sulla seconda riga della matrice A:
In questo caso il determinante risulta molto più semplice
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