In questo articolo vediamo come si calcola il determinante di una matrice 4×4.
Una premessa fondamentale per farlo è la conoscenza del metodo di Laplace.
Tale metodo infatti permette di calcolare il determinante di una matrice nxn qualunque sia la sua dimensione.
Siccome nell’articolo dedicato a questo metodo mi sono soffermato sul calcolo di una 3×3 mi è sembrato doveroso scriverne anche uno per una 4×4.
ESEMPIO:
Consideriamo la seguente matrice 4×4:
Grazie al metodo di Laplace è possibile calcolare il determinante a partire da una qualsiasi riga/colonna.
In questo caso andiamo a cercare la riga/colonna che presenta più zeri al suo interno.
Ricordiamo infatti che il determinante si calcola come la sommatoria dei prodotti tra elemento, segno della posizione dell’elemento e determinante della matrice complementare.
Ricordando la regola vista nell’articolo dedicato:
Scegliamo ad esempio la prima riga e riportiamola con i segni delle posizioni dei rispettivi elementi.
A questo punto andiamo ad applicare la regola:
Come potete notare per calcolare il determinate di una 4×4 dobbiamo calcolare 4 determinanti di matrici di ordine 3.
Ognuno di questi a sua volta presuppone il calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2.
E ognuno di questo ultimi avrà due calcoli interni.
Ricapitolando con una 4×4 abbiamo in totale:
Generalizzando in una matrice nxn avremo un totale di:
Vi faccio però notare che il è inutile che calcoliamo il terzo dei quattro determinanti perché questo viene moltiplicato per zero.
Quindi più zeri ci sono in una riga o una colonna e meno calcoli abbiamo per il determinante.
Andiamo ora a calcolarci il primo, il secondo e il quarto determinante:
Prendendo in esame il primo determinante applichiamo ulteriormente la regola di Laplace, scegliendo la prima riga
Anche in questo caso omettiamo il primo dei tre determinanti 2×2 poiché moltiplica lo zero.
Passiamo ora al secondo determinante scegliendo l’ultima riga ad esempio:
Ora non ci resta che calcolare il quarto determinante (scegliamo la prima riga)
Arrivati a questo punto andiamo ad inserire questi valori nel calcolo originario:
CONTROLLARE CON EXCEL
Ovviamente un metodo molto più semplice per calcolare il determinante è usare il programma Excel.
Una volta che abbiamo disposto i dati sulle righe e sulle colonne, basta che utilizziamo la funzione:
HAI QUALCHE DOMANDA
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Il determinante di una matrice 2×2 (tipo rappresenta l’area racchiusa del parallelogramma racchiuso tra i vettori,
mentre se invece abbiamo una matrice 3×3, il significato geometrico del determinante rappresenta il volume racchiuso tra i vettori.
Domanda : se invece ho una matrice 4×4 o superiore, cosa rappresenta (geometricamente) il suo determinante ?
Ciao Nello,
Grazie del commento.
Quando ci troviamo oltre la terza dimensione le cose si fanno un po’ difficili da immaginare.
Potremmo concepire il determinante come un iperbole me di dimensione 4.
Si potrebbe immaginare li per Vilme come l’area di un triangolo che ha per base un volume.
C’è chi preferisce usare come quarta dimensione il tempo.
Altri utilizzano come dimensioni aggiuntive parametri come:
– pressione
– temperatura
– stabilità
– equilibrio
Secondo me l’approccio più semplice è quello di ragionare in aree di triangoli.
La base, ogni volta che aumentiamo di una dimensione, aumenta anch’essa di una dimensione
Così è più semplice concettualmente