In questo articolo vediamo come si calcola il determinante di una matrice 4×4.
Una premessa fondamentale per farlo è la conoscenza del metodo di Laplace.
Tale metodo infatti permette di calcolare il determinante di una matrice nxn qualunque sia la sua dimensione.
Siccome nell’articolo dedicato a questo metodo mi sono soffermato sul calcolo di una 3×3 mi è sembrato doveroso scriverne anche uno per una 4×4.
ESEMPIO:
Consideriamo la seguente matrice 4×4:
Grazie al metodo di Laplace è possibile calcolare il determinante a partire da una qualsiasi riga/colonna.
In questo caso andiamo a cercare la riga/colonna che presenta più zeri al suo interno.
Ricordiamo infatti che il determinante si calcola come la sommatoria dei prodotti tra elemento, segno della posizione dell’elemento e determinante della matrice complementare.
Ricordando la regola vista nell’articolo dedicato:
Scegliamo ad esempio la prima riga e riportiamola con i segni delle posizioni dei rispettivi elementi.
A questo punto andiamo ad applicare la regola:
Come potete notare per calcolare il determinate di una 4×4 dobbiamo calcolare 4 determinanti di matrici di ordine 3.
Ognuno di questi a sua volta presuppone il calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2.
E ognuno di questo ultimi avrà due calcoli interni.
Ricapitolando con una 4×4 abbiamo in totale:
Generalizzando in una matrice nxn avremo un totale di:
Vi faccio però notare che il è inutile che calcoliamo il terzo dei quattro determinanti perché questo viene moltiplicato per zero.
Quindi più zeri ci sono in una riga o una colonna e meno calcoli abbiamo per il determinante.
Andiamo ora a calcolarci il primo, il secondo e il quarto determinante:
Prendendo in esame il primo determinante applichiamo ulteriormente la regola di Laplace, scegliendo la prima riga
Anche in questo caso omettiamo il primo dei tre determinanti 2×2 poiché moltiplica lo zero.
Passiamo ora al secondo determinante scegliendo l’ultima riga ad esempio:
Ora non ci resta che calcolare il quarto determinante (scegliamo la prima riga)
Arrivati a questo punto andiamo ad inserire questi valori nel calcolo originario:
CONTROLLARE CON EXCEL
Ovviamente un metodo molto più semplice per calcolare il determinante è usare il programma Excel.
Una volta che abbiamo disposto i dati sulle righe e sulle colonne, basta che utilizziamo la funzione:
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