DETERMINANTE DI UNA MATRICE 4X4

In questo articolo vediamo come si calcola il determinante di una matrice 4×4.

Una premessa fondamentale per farlo è la conoscenza del metodo di Laplace.

Tale metodo infatti permette di calcolare il determinante di una matrice nxn qualunque sia la sua dimensione.

Siccome nell’articolo dedicato a questo metodo mi sono soffermato sul calcolo di una 3×3 mi è sembrato doveroso scriverne anche uno per una 4×4.

ESEMPIO DI CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE 4X4

Consideriamo la seguente matrice 4×4:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Grazie al metodo di Laplace è possibile calcolare il determinante a partire da una qualsiasi riga/colonna.

In questo caso andiamo a cercare la riga/colonna che presenta più zeri al suo interno.

Ricordiamo infatti che il determinante si calcola come la sommatoria dei prodotti tra elemento, segno della posizione dell’elemento e determinante della matrice complementare.

Ricordando la regola vista nell’articolo dedicato:

$$ \det A = \sum_{i=1}^n \text{ segno (posizione $(a_{ij})$}) \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij} $$

$$ a_{ij} \ \text{ è l’elemento algebrico sulla riga $i$ e sulla colonna $j$} $$

$$ A_{ij} \ \text{ è la matrice complementare rispetto all’elemento $a_{ij}$} $$

PS: la matrice complementare A_{ij} è ottenuta a partire dalla matrice A eliminando la riga i e la colonna j.

SCELTA DELLA RIGA ED IMPOSTAZIONE

Scegliamo ad esempio la prima riga e riportiamola con i segni delle posizioni dei rispettivi elementi.

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{2}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}} & \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{0}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{3}} \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

A questo punto andiamo ad applicare la regola:

$$ \det A = \color{red}{+} \color{green}{2} \cdot \det A_{11} \color{blue}{-} \color{green}{1} \cdot \det A_{12} \color{red}{+} \color{green}{0} \cdot \det A_{13} \color{blue}{-} \color{green}{3} \cdot \det A_{14} $$

Entrando nel dettaglio:

$$ \det A = +2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 0&1&-1 \\ 2&-1&2 \\ -2&1&2 \end{array} \right| -1 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&1&-1 \\ 3&-1&2 \\ 1&1&2 \end{array} \right| +0 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&0&-1 \\ 3&2&2 \\ 1&-2&2 \end{array} \right| -3 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&0&1 \\ 3&2&-1 \\ 1&-2&1 \end{array} \right| $$

Come potete notare per calcolare il determinate di una 4×4 dobbiamo calcolare 4 determinanti di matrici di ordine 3.

Ognuno di questi a sua volta presuppone il calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2.

E ognuno di questo ultimi avrà due calcoli interni.

Ricapitolando con una 4×4 abbiamo in totale:

$$ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24 \ \text{ calcoli} $$

Generalizzando in una matrice nxn  avremo un totale di:

$$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \ \text{ calcoli} $$

Vi faccio però notare che il è inutile che calcoliamo il terzo dei quattro determinanti perché questo viene moltiplicato per zero.

Quindi più zeri ci sono in una riga o una colonna e meno calcoli abbiamo per il determinante.

Andiamo ora a calcolarci il primo, il secondo e il quarto determinante:

DETERMINANTE DELLA PRIMA COMPLEMENTARE

Prendendo in esame il primo determinante della complementare A_{11} applichiamo ulteriormente la regola di Laplace, scegliendo la prima riga

$$ \det A_{11} = \left| \begin{array}{ccc} \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{1}&\overset{\color{red}{+}}{-1} \\ 2&-1&2 \\ -2&1&2 \end{array} \right| = $$

Omettiamo il primo dei tre determinanti 2×2 poiché moltiplica lo zero.

$$ = +0 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&2 \\ 1&2 \end{array} \right| -1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&2 \\ -2&2 \end{array} \right| +(-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&-1 \\ -2&1 \end{array} \right| = 0 -1 \cdot (4+4) -(2-2)= -8 $$

DETERMINANTE DELLA SECONDA COMPLEMENTARE

Passiamo ora al secondo determinante della complementare A_{12} scegliendo l’ultima riga ad esempio:

$$ \det A_{12} = \left| \begin{array}{ccc} -1&1&-1 \\ 3&-1&2 \\ \overset{\color{red}{+}}{1}& \overset{\color{blue}{-}}{1}&\overset{\color{red}{+}}{2} \end{array} \right| = $$

$$ = +1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1&-1 \\ -1&2 \end{array} \right| -2 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&-1 \\ 3&2 \end{array} \right| +2 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&1 \\ 3&-1 \end{array} \right| = (2-1) – (-2+3) +2 \cdot (1-3)= -4 $$

DETERMINANTE DELLA TERZA COMPLEMENTARE

Il terzo determinante della complementare A_{13} possiamo anche no calcolarlo dal momento che verrà moltiplicato per l’elemento a_{13} che vale zero !

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DETERMINANTE DELLA QUARTA COMPLEMENTARE

Ora non ci resta che calcolare il quarto determinante della complementare A_{14}(scegliamo la prima riga)

$$ \det A_{14} = \left| \begin{array}{ccc} \overset{\color{red}{+}}{-1}& \overset{\color{blue}{-}}{0}&\overset{\color{red}{+}}{1} \\ 3&2&-1 \\ 1&-2&-1 \end{array} \right| = $$

$$ = +(-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&-1 \\ -2&1 \end{array} \right| -0 \cdot \left| \begin{array}{cc} \cdots \end{array} \right| +1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3&2 \\ 1&-2 \end{array} \right| = -(2-2) – 0 + (-6-2)= -8 $$

Arrivati a questo punto andiamo ad inserire questi valori nel calcolo originario.

Riportiamo la matrice di partenza

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{2}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}} & \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{0}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{3}} \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

il calcolo che abbiamo impostato sulla prima riga:

$$ \det A = \color{red}{+} \color{green}{2} \cdot \det A_{11} \color{blue}{-} \color{green}{1} \cdot \det A_{12} \color{red}{+} \color{green}{0} \cdot \det A_{13} \color{blue}{-} \color{green}{3} \cdot \det A_{14} $$

con i risultati dei determinanti delle matrici complementari appena trovati

$$ \det A_{11} =-8 \quad \det A_{12} =-4 \quad \det A_{13} =\text{inutile} \quad \det A_{14} =-8 $$

quindi inseriamo i dati:

$$ \det A = 2 \cdot (-8) -1 \cdot (-4) -3 \cdot (-8) = -16+4+24 = 12 $$

CONTROLLARE CON EXCEL

Ovviamente un metodo molto più semplice per calcolare il determinante è usare il programma Excel.

Una volta che abbiamo disposto i dati sulle righe e sulle colonne, basta che utilizziamo la funzione:

$$ = \text{MATR.DETERM ( <matrice> )} $$

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