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In questo articolo vediamo come si calcola il determinante di una matrice 4×4.

Una premessa fondamentale per farlo è la conoscenza del metodo di Laplace.

Tale metodo infatti permette di calcolare il determinante di una matrice nxn qualunque sia la sua dimensione.

Siccome nell’articolo dedicato a questo metodo mi sono soffermato sul calcolo di una 3×3 mi è sembrato doveroso scriverne anche uno per una 4×4.

ESEMPIO:

Consideriamo la seguente matrice 4×4:

Grazie al metodo di Laplace è possibile calcolare il determinante a partire da una qualsiasi riga/colonna.

In questo caso andiamo a cercare la riga/colonna che presenta più zeri al suo interno.

Ricordiamo infatti che il determinante si calcola come la sommatoria dei prodotti tra elemento, segno della posizione dell’elemento e determinante della matrice complementare.

Ricordando la regola vista nell’articolo dedicato:

Scegliamo ad esempio la prima riga e riportiamola con i segni delle posizioni dei rispettivi elementi.

A questo punto andiamo ad applicare la regola:

Come potete notare per calcolare il determinate di una 4×4 dobbiamo calcolare 4 determinanti di matrici di ordine 3.

Ognuno di questi a sua volta presuppone il calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2.

E ognuno di questo ultimi avrà due calcoli interni.

Ricapitolando con una 4×4 abbiamo in totale:

Generalizzando in una matrice nxn  avremo un totale di:

Vi faccio però notare che il è inutile che calcoliamo il terzo dei quattro determinanti perché questo viene moltiplicato per zero.

Quindi più zeri ci sono in una riga o una colonna e meno calcoli abbiamo per il determinante.

Andiamo ora a calcolarci il primo, il secondo e il quarto determinante:

Prendendo in esame il primo determinante applichiamo ulteriormente la regola di Laplace, scegliendo la prima riga

Anche in questo caso omettiamo il primo dei tre determinanti 2×2 poiché moltiplica lo zero.

Passiamo ora al secondo determinante scegliendo l’ultima riga ad esempio:

Ora non ci resta che calcolare il quarto determinante (scegliamo la prima riga)

Arrivati a questo punto andiamo ad inserire questi valori nel calcolo originario:

CONTROLLARE CON EXCEL

Ovviamente un metodo molto più semplice per calcolare il determinante è usare il programma Excel.

Una volta che abbiamo disposto i dati sulle righe e sulle colonne, basta che utilizziamo la funzione:

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