DETERMINANTE – INTERPRETAZIONE GRAFICA

In questo articolo parliamo dell‘interpretazione grafica del determinante di una matrice.

Il determinante è un numero associato ad una matrice quadrata che ci fornisce preziose informazioni sulla matrice stessa.

In particolare è molto utile per stabilire la dipendenza lineare dei vettori contenuti nella matrice e dunque ci aiuta a capirne il rango.

Nell’ambito dei sistemi lineari viene utilizzato per trovare la soluzioni del sistema stesso.

I determinanti ci permettono inoltre di ricavare la matrice inversa e nelle funzioni lineari di calcolare la funzione inversa.

Ma come possiamo interpretare graficamente il determinante?

INTREPRETAZIONE GRAFICA DEL DETERMINANTE

Il determinante di una matrice quadrata è la parte di spazio (o iperspazio) compresa nel parallelogramma, nel parallelepipedo o nella struttura n-dimensionale generata dai vettori.

DETERMINANTE DI MATRICI 2X2

Per capire meglio questa definizione consideriamo casi con due vettori di R²

CASO 1 – RETTANGOLO

Partiamo da un caso veramente molto semplici con i due vettori che sono paralleli agli assi e dunque perpendicolari tra di loro.

$$ v= \begin{pmatrix} 2 \\0 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$

 che andiamo a rappresentare nel piano cartesiano

Il determinante in valore assoluto in questo caso indica l’area del rettangolo costruito a partire dai due vettori perpendicolari.

Infatti andiamo a costruire la matrice A con i due vettori scritti in colonna

$$ A = \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&3 \end{pmatrix} $$

Il determinante della matrice A risulta essere:

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} 2&0 \\ 0&3 \end{array} \right| = 2 \cdot 3 – 0 \cdot 0 = 6 $$

Essendo il determinante positivo non c’è bisogno di imporre il valore assoluto.

CASO 2 – VETTORI MULTIPLI – AREA NULLA

Quando i vettori sono multipli risulta evidente che il parallelogramma costruito dai due vettori è semplicemente un segmento.

Dunque l’area di questa figura piana risulta essere nulla.

Consideriamo ad esempio i vettori

$$ v= \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$

Rappresentiamoli e costruiamo il parallelogramma di area nulla:

Infatti andiamo a costruire la matrice A con i due vettori scritti in colonna

$$ A = \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&4 \\ 3&6 \end{pmatrix} $$

Il determinante della matrice A risulta essere:

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} 2&4 \\ 3&6 \end{array} \right| = 2 \cdot 6 – 4 \cdot 3 = 0 $$

Ecco spiegato il perché il determinante risulta nullo quando i vettori sono linearmente dipendenti

CASO 3 – PARALLELOGRAMMA

Vediamo ora il caso più frequente, ovvero quando i vettori formano un generico parallelogramma.

Consideriamo i vettori:

$$ v= \begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

 e rappresentiamoli con il relativo parallelogramma

La matrice A con i due vettori scritti in colonna risulta:

$$ A = \begin{pmatrix} v & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&1 \\ 1&4 \end{pmatrix} $$

Il determinante della matrice A risulta essere:

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} 3&1 \\ 1&4 \end{array} \right| = 3 \cdot 4 – 1 \cdot 1 = 11 $$

Che rappresenta esattamente l’area contenuta del quadrilatero ABCD in figura.

DETERMINANTE DI MATRICI 3X3

Vediamo ora come interpretare i determinanti di matrici 3×3, vedendo qualche caso in particolare.

CASO 1 – PARALLELEPIPEDO RETTO

Cominciamo con il considerare il caso di tre vettori appartenenti a R3 che sono paralleli agli assi del sistema di riferimento tridimensionale ortogonale.

$$ v= \begin{pmatrix} 2 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Che mostriamo in figura

Il determinante in valore assoluto della matrice ottenuta mettendo a colonna i tre vettori risulta pari al volume del parallelepipedo rettangolo generato dai tre vettori.

$$ V = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $$

Infatti se costruiamo la matrice A affiancando i tre vettori in colonna:

$$ A = \begin{pmatrix} v&w&u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&5 \end{pmatrix} $$

 il determinante risulta pari alla produttoria degli elementi che si trovano sulla diagonale principale dal momento che si tratta di una matrice diagonale:

$$ \det A = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 = V $$

CASO 2 – PARALLELEPIPEDO GENERICO

In generale possiamo considerare il caso di tre vettori linearmente indipendenti che generano un parallelepipedo.

$$ v= \begin{pmatrix} 3 \\2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

La matrice A che otteniamo affiancando i vettori sulle colonne è:

$$ A = \begin{pmatrix} v&w&u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&2&-5 \\ 2&5&4 \\ 1&3&0 \end{pmatrix} $$

Il volume del parallelepipedo generato è pari al modulo del determinante della matrice A con i vettori scritti in colonna (o anche in riga)

$$ V = | \det A | = \left| \left| \begin{array}{c} 3&1 \\ 1&4 \end{array} \right| \right| = 3 \cdot 4 – 1 \cdot 1 = 11 $$

Calcoliamo il determinante applicando la regola di Laplace rispetto alla terza riga della matrice:

$$ \begin{array}{l} \det A &=& 1 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&-5 \\ 5&4 \end{array} \right| -3 \cdot \left| \begin{array}{c} 3&-5 \\ 2&4 \end{array} \right|+ 0 \cdot \left| \begin{array}{c} 3&2 \\ 2&5 \end{array} \right| \\ &=& 1 \cdot (8+25) -3 \cdot(12+10) +0 \\ &=& 33-66=-33 \end{array} $$

Per calcolare il volume facciamo il modulo del determinante:

$$ V = | \det A | = |-33| = 33 $$

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CASO 3 – VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

Il terzo caso che analizziamo è quello in cui i vettori risultano linearmente dipendenti che scomponiamo a sua volta in tre casi:

• Tre vettori multipli
• Due vettori multipli
• Terzo vettore che è combinazione lineare

CASO 3.A – TRE VETTORI MULTIPLI

Cominciamo con il caso più particolare ed evidente di tutti ovvero quello in cui i tre vettori siano multipli.

I vettori si trovano dunque sulla stessa retta poiché seguono tutti e tre la stessa direzione.

Fissiamo dunque un vettore di riferimento

$$ v= \begin{pmatrix}1\\2 \\3 \end{pmatrix} $$

Costruiamo gli altri due vettori di modo che risultino multipli del primo, ovvero che sono ottenuti moltiplicando una costante per il vettore v di riferimento.

Ad esempio:

$$ w= 2u \quad u=3v $$

Dunque i tre vettori sono:

$$ v= \begin{pmatrix}1\\2 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\6 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} 3\\ 6\\9 \end{pmatrix} $$

Risulta dunque palese che il parallelepipedo formato dai tre vettori altro non è che un segmento e dunque il volume compreso è nullo.

Se andiamo a calcolare il determinante della matrice (con rango 1) formata dai tre vettori scopriamo con piacere che questo vale zero.

$$ V = \det A = 0$$

Vi risparmio i calcoli che potete svolgere con tranquillità

CASO 3.B- DUE VETTORI MULTIPLI

Cominciamo con il caso più particolare ed evidente di tutti ovvero quello in cui due vettori siano multipli e il terzo è linearmente indipendente da questi

I due vettori  multipli si trovano dunque sulla stessa retta poiché seguono la stessa direzione, mentre il terzo risulta non allineato

Fissiamo dunque un vettore di riferimento

$$ v= \begin{pmatrix}1\\2 \\3 \end{pmatrix}$$

Costruiamo il secondo vettore di modo che risulti multiplo del primo, ovvero che sia ottenuto moltiplicando una costante per il vettore v di riferimento.

Ad esempio:

$$ w= 2v $$

Scegliamo ora un terzo vettore che risulti linearmente indipendente dal primo (e dunque anche dal secondo).

Scriviamo i tre vettori così:

$$ v = \begin{pmatrix}1\\2 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix}2\\4 \\6 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix}3\\5 \\1 \end{pmatrix} $$

Questa volta il parallelepipedo formato è un parallelogramma dunque di area nulla

Se calcoliamo il determinante della matrice (con rango 1) formata dai tre vettori scopriamo questo risulta zero.

$$ V = \det A = 0 $$

Infatti calcoliamo il determinante con la regola di Laplace scegliendo a riferimento la prima riga

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} 1&2&3 \\ 2&4&5 \\ 3&6&1 \end{array} \right| \\ \ \\ \begin{array}{l} \det A &=& 1 \cdot \left| \begin{array}{c} 4&5 \\ 6&1 \end{array} \right| -2 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&5 \\ 3&1 \end{array} \right|+ 3 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&4 \\ 3&6 \end{array} \right| \\ &=& 1 \cdot (4-30) -2 \cdot(2-15) +3 \cdot (12-12) \\ &=& -26+26+0=0 \end{array} $$

CASO 3.C – TERZO VETTORE COME COMBINAZIONE LINEARE

Consideriamo infine il caso in cui abbiamo due vettori linearmente indipendenti e il terzo vettore che è combinazione lineare dei primi due.

I primi vettori si trovano su rette diverse e dunque la loro combinazione lineare genera un piano.

Il terzo vettore si trova sul piano generato dei primi due

Fissiamo dunque due vettori linearmente indipendenti

$$ v= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0\\-3\\1 \end{pmatrix} $$

Costruiamo il terzo vettore di modo che sia una combinazione lineare dei primi due, ad esempio:

$$ u= 2v+w= 2\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-3\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&1&7 \end{pmatrix} $$

Scegliamo ora un terzo vettore che risulti linearmente indipendente dal primo (e dunque anche dal secondo).

Scriviamo i tre vettori così:

$$ v= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \quad\begin{pmatrix} 0\\-3\\1 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} 2&1&7 \end{pmatrix} $$

Il parallelepipedo formato è un parallelogramma dunque di area nulla

Se calcoliamo il determinante della matrice (con rango 1) formata dai tre vettori scopriamo questo risulta zero.

$$ V = |\det A| =0 $$

Infatti calcoliamo il determinante con la regola di Laplace scegliendo a riferimento la prima riga

$$ \det A = \left| \begin{array}{c} 1&0&2 \\ 2&-3&1 \\ 3&1&7 \end{array} \right| \\ \ \\ \begin{array}{l} \det A &=& 1 \cdot \left| \begin{array}{c} -3&1 \\ 1&7 \end{array} \right| -0 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&-1 \\ 3&7 \end{array} \right|+ 2 \cdot \left| \begin{array}{c} 2&-3 \\ 3&1 \end{array} \right| \\ &=& 1 \cdot (-21-1) -0 +2 \cdot (2+9) \\ &=& -22+0+22=0 \end{array} $$

Anche se la figura sembra indicare la presenza di un parallelepipedo la figura che si forma è un parallelogramma, come mostrato meglio da un’altra angolazione.

DETERMINANTI DI MATRICI NXN  CON N>3

Quando analizziamo i determinanti di matrici 4×4, 5×5 , in generale nxn quando n è maggiore di 3 non riusciamo ad analizzare la questione graficamente.

Con un po’ di immaginazione possiamo però pensarli come ipervolumi di ipersolidi (passatemi il termine).

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