In questo articolo cerchiamo di dare una definizione matematica di campo.
INDICE
CAMPO: DEFINIZIONE, OPERAZIONI E PROPRIETÀ
Un campo in matematica è una struttura algebrica nella quale possiamo mettere in relazione i suoi elementi attraverso due operazioni:
- Somma (+)
- Moltiplicazione (·)
Queste due operazioni ci sono certamente familiari in quanto sono le prime operazioni che studiamo sin dai tempi delle elementari.
Per avere un’idea immediata di campo 𝐊 possiamo pensare all’insieme dei numeri reali ℝ, all’insieme dei numeri razionali ℚ , oppure per chi è avvezzo a studiare matematica all’insieme dei numeri complessi ℂ.
Prima di vedere nello specifico il funzionamento dei campi definiamo meglio il ruolo delle operazioni binarie e vediamo quali sono le proprietà di un campo dal punto di vista formale.
OPERAZIONI BINARIE INTERNE DEI CAMPI
Una volta identificata la nostra idea possiamo proiettarla in una definizione più tecnica e matematica di campo.
Un campo è una struttura algebrica formata da elementi essenziali (detti scalari) su cui sono definite due operazioni binaria interna : la somma (+) e il prodotto (·).
Per operazione binaria interna intendiamo un’operazione che applicata su una coppia qualsiasi di elementi che appartengono al campo K otteniamo ancora un elemento del campo K.
Questo deve valere per entrambe le operazioni di somma (+) e moltiplicazione (·)
$$ \begin{array}{l} \forall a,b \in \mathbb{K} &\to& a+b \in \mathbb{K} \\ \forall a,b \in \mathbb{K} &\to& a \cdot b \in \mathbb{K} \end{array} $$
PROPRIETA’ DI UN CAMPO
Questa definizione di campo può essere meglio esplicitata con le seguenti proprietà:
Consideriamo tre elementi generici del campo 𝐊 a, b e c:
$$ a,b,c \in \mathbb{K} $$
Vale la proprietà commutativa sulle due operazioni binarie:
$$ \begin{array}{l} a+b = b+a & \text{commutativa della somma} \\ a \cdot b = b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} \end{array} $$
Nelle operazioni binarie deve valere la proprietà distributiva:
$$ \begin{array}{l} (a+b)+c = a+(b+c) & \text{distributiva della somma} \\(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{distributiva del prodotto} \end{array} $$
Le operazioni binarie hanno un elemento neutro: 0 (zero) per la somma e 1 (uno) per il prodotto.
Applicando tali operazioni su un elemento del campo agli elementi neutri tale elemento rimane immutato.
$$ \begin{array}{l} a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} \end{array} $$
Per entrambe le operazioni per ogni elemento a del campo esiste un elemento inverso (-a) per la somma e (a-1) per il prodotto.
Questi elementi sono tali che applicando all’elemento a l’operazione inversa con l’elemento inverso si ottiene l’elemento neutro di quella operazione.
Nella moltiplicazione abbiamo l’eccezione che a non può essere l’elemento neutro della somma.
$$ \begin{array}{l} a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} \end{array} $$
Un’ultima proprietà del campo riguarda è la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma che ci dice che:
$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} $$
CAMPI E PRINCIPALI INSIEMI NUMERICI
Proviamo ora a fare un percorso attraverso i principali insiemi numeri che ben conosciamo dai più semplici che sono i numeri naturali fino ai più complessi (i numeri complessi appunto).
In particolare vedremo se i seguenti insiemi numerici:
- Naturali (ℕ)
- Relativi (ℤ)
- Razionali o frazioni (ℚ)
- Reali (ℝ)
- Complessi (ℂ)
NUMERI NATURALI : NON SONO UN CAMPO
I primi numeri che siamo stati abituati ad usare sin da piccoli sono i stati numeri naturalidetto insieme ℕ
Questi sono definiti come numeri interi positivi con l’aggiunta dello 0.
Per elencazione possiamo definirli:
$$ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,4,5, \dots , 10, 11 , \dots , 100 , \dots , 1.000 , \dots \} $$
Sappiamo benissimo che si tratta di un insieme con infiniti elementi.
Nei numeri naturali sono certamente definite le operazioni di somma (+) e prodotto (·) e si tratta di operazioni interne.
Per la somma abbiamo che presi due elementi qualsiasi di questo insieme e sommati tra di loro otteniamo di certo un numero naturale.
$$ \forall a,b \in \mathbb{N} \to a+b \in \mathbb{N} $$
In questo senso l’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alla somma.
Allo stesso modo se facciamo il prodotto o moltiplicazione tra questi due elementi tra di loro otteniamo ancora un numero naturale
$$ \forall a,b \in \mathbb{N} \to a \cdot b \in \mathbb{N} $$
Dunque l’insieme ℕ risulta chiuso rispetto al prodotto.
Per fare un esempio pensiamo ai due generici elementi 2 e 3
$$ 2+3=5 \in \mathbb{N} \\ 2 \cdot 3=6 \in \mathbb{N} $$
Vediamo ora se valgono le proprietà per poter definire questo insieme un campo.
Per farlo consideriamo tre elementi generici dell’insieme ℕ a, b e c:
$$ a,b,c \in \mathbb{N} $$
Certamente sia la somma che il prodotto godono delle proprietà commutativa
$$\begin{array}{l} a+b=b+a & \text{commutativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot b=b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Come esempio specifico pensiamo sempre al 2 e al 3:
$$ 2+3 = 3+2 = 5 \\ 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6 $$
Nei numerati naturali le operazioni di somma e moltiplicazione godono certamente della proprietà associativa:
$$ \begin{array}{l} (a+b)+c = a+(b+c) & \text{associativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{associativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Ad esempio prendiamo i primi tre numeri naturali primi: 2, 3 e 5
$$ (2+3)+5 = 2+(3+5) = 10 \\ (2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5) = 30 $$
Nei numeri naturali la somma ha come elemento neutro lo 0 (zero) mentre quello del prodotto è l’ 1 (uno)..
Applicando tali operazioni su un elemento del campo agli elementi neutri tale elemento rimane immutato.
$$ \begin{array}{l} a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Anche in questo caso pensiamo agli esempi molto semplici:
$$ 2+0=2 \\ 2 \cdot 1 = 2 $$
Fino qui tutto bene ma tra poco sta per cascare l’asino.
Per entrambe le operazioni per ogni elemento a del campo esiste un elemento inverso (-a) per la somma e (a-1) per il prodotto.
Questi elementi sono tali che applicando all’elemento a l’operazione inversa con l’elemento inverso si ottiene l’elemento neutro di quella operazione.
Nella moltiplicazione abbiamo l’eccezione che a non può essere l’elemento neutro della somma.
Questo sono le due proprietà che non ci sono nei numeri naturali
$$ \begin{array}{l} a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} & \color{red}{\fbox{X}} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} & \color{red}{\fbox{X}} \end{array} $$
A titolo di esempio consideriamo il numero naturale 2.
Non esiste un numero che sommato al 2 restituisce l’elemento neutro 0 nella somma.
Questo numero dovrebbe essere il –2, ma per la stessa definizione di numero naturale questo numero non può appartenere:
$$ 2+ ( \color{red}{-2}) \quad \color{red}{\fbox{X}} \quad \color{red}{-2 \not \in \mathbb{N}} $$
Questo basta e avanza per concludere che i numeri naturali non sono un campo !!!
Andando comunque avanti non esiste neanche l’elemento inverso del prodotto.
Ovvero dovremmo trovare un numero che moltiplicato per il 2 ci restituisce l’elemento neutro del prodotto 1.
Questo numero dovrebbe valere 1/2 ma per la sua natura frazionaria o comunque di numero non intero dal momento che il suo valore è 0,5 questo non appartiene ai naturali.
$$ 2\cdot \color{red}{\frac{1}{2}} \quad \color{red}{\fbox{X}} \quad \color{red}{\frac{1}{2} \not \in \mathbb{N}} $$
La proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma è invece verificata:
$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} \quad \color{green}{\fbox{V}} $$
NUMERI RELATIVI : NON SONO UN CAMPO
I numeri relativi detto anche insieme ℤ sono un ampliamento dei numeri naturali e comprendono tutti i numeri interi indifferentemente dal loro segno.
Per elencazione possiamo così definirli:
$$ \mathbb{N} = \{ \dots , -100, \dots , -10 , \dots , -3,-2,-1 0,1,2,3,4,5, \dots , 10, \dots , 100 , \dots \} $$
È un insieme con infiniti elementi.
Nei numeri relativi sono certamente definite le operazioni di somma (+) e prodotto (·) e si tratta di operazioni interne.
Per la somma abbiamo che presi due elementi relativi qualsiasi sommati tra di loro otteniamo di certo un numero relativo.
$$ \forall a,b \in \mathbb{Z} \to a+b \in \mathbb{Z} $$
In questo senso l’insieme dei numeri relativi è chiuso rispetto alla somma.
Allo stesso modo se facciamo il prodotto o moltiplicazione tra questi due elementi tra di loro otteniamo ancora un numero relativo.
$$ \forall a,b \in \mathbb{N} \to a \cdot b \in \mathbb{N} $$
Dunque l’insieme risulta chiuso rispetto al prodotto.
Per fare un esempio pensiamo ai due generici elementi –2 e 3
$$ 2+3=5 \in \mathbb{N} \\ 2 \cdot 3=6 \in \mathbb{N} $$
Vediamo ora se valgono le proprietà per poter definire questo insieme un campo.
Per farlo consideriamo tre elementi generici dell’insieme ℕ a, b e c:
$$ a,b,c \in \mathbb{Z} $$
Certamente sia la somma che il prodotto godono delle proprietà commutativa
$$\begin{array}{l} a+b=b+a & \text{commutativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot b=b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Come esempio specifico pensiamo sempre al -2 e al 3:
$$ (-2)+3= 3+(-2) = -1 \\ (-2) \cdot 3 = 3 \cdot (-2) = -6 $$
Nei numerati relativi le operazioni di somma e moltiplicazione godono certamente della proprietà associativa:
$$ \begin{array}{l} (a+b)+c = a+(b+c) & \text{associativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{associativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Ad esempio prendiamo i primi tre numeri naturali primi: –2, 3 e 5
$$ (-2+3)+5 = -2+(3+5) = 6 \\ (-2 \cdot 3) \cdot 5 = -2 \cdot (3 \cdot 5 ) = -30 $$
Nei numeri relativi la somma ha come elemento neutro lo 0 (zero) mentre quello del prodotto è l’ 1 (uno)..
Applicando tali operazioni su un elemento del campo agli elementi neutri tale elemento rimane immutato.
$$ \begin{array}{l} a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Anche in questo caso pensiamo agli esempi molto semplici:
$$ -2+0= -2 \\ -2 \cdot 1 = -2 $$
Attenzione alle proprietà dell’inverso di queste operazioni
Per entrambe le operazioni per ogni elemento a del campo esiste un elemento inverso (-a) per la somma e (a-1) per il prodotto.
Questi elementi sono tali che applicando all’elemento a l’operazione inversa con l’elemento inverso si ottiene l’elemento neutro di quella operazione.
Nella moltiplicazione abbiamo l’eccezione che a non può essere l’elemento neutro della somma.
Solamente la prima proprietà è presente nei numeri relativi, ovvero l’elemento inverso della somma
$$ \begin{array}{l} a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} & \color{red}{\fbox{X}} \end{array} $$
A titolo di esempio consideriamo il numero relativo 2.
Il numero che sommato al 2 restituisce l’elemento neutro 0 nella somma è il suo opposto –2
Questo numero dovrebbe essere il –2, ma per la stessa definizione di numero naturale questo numero non può appartenere:
$$ 2+( \color{blue}{-2}) = 0 \quad \color{green}{\fbox{V}} \quad \color{blue}{-2 \in \mathbb{Z}} $$
Questo basta e avanza per concludere che i numeri naturali non sono un campo !!!
Andando comunque avanti non esiste neanche l’elemento inverso del prodotto.
Ovvero dovremmo trovare un numero che moltiplicato per il 2 ci restituisce l’elemento neutro del prodotto 1.
Questo numero dovrebbe valere 1/2 ma per la sua natura frazionaria o comunque di numero non intero dal momento che il suo valore è 0,5 questo non appartiene ai relativi.
$$ 2\cdot \color{red}{\frac{1}{2}} \quad \color{red}{\fbox{X}} \quad \color{red}{\frac{1}{2} \not \in \mathbb{N}} $$
La proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma è invece verificata:
$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} \quad \color{green}{\fbox{V}} $$
IMPARA L’ALGEBRA LINEARE
Impara l’algebra lineare con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.
Un viaggio che parte dai vettori e dalle matrici, passando per i sitemi lineari giungerai nei meandri degli spazi vettoriali, della diagonalizzazione delle matrici con tappa finale nelle coniche.
NUMERI RAZIONALI : SONO UN CAMPO
I numeri razionali detto anche insieme ℚ sono un ampliamento dei numeri relativi e comprendono tutti i numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri relativi.
Si presentano perciò nella forma generica:
$$ f= \frac{n}{d} \quad \text{con }\ n,d \in \mathbb{Z} $$
Oltre ai numeri relativi comprendono elementi che sono le tipiche frazioni come ad esempio:
$$ \frac{1}{2}= 0,5 \quad \frac{2}{3}= 0,666\dots \quad \frac{3}{5} = 0,6 \quad \frac{12}{7}= 1,714285\dots $$
Da notare che quando questi numeri sono trasformati in numeri decimali la loro parte decimale risulta finita o periodica.
È chiaramente un insieme con infiniti elementi.
Nei numeri razionali sono certamente definite le operazioni di somma (+) e prodotto (·) e si tratta di operazioni interne.
Somma e moltiplicazione sono operazioni interne:
$$ \forall a,b \in \mathbb{Q} \to \begin{cases} a + b \in \mathbb{Q} \\ a \cdot b \in \mathbb{Q} \end{cases} $$
Questo insieme risulta un campo poiché sono soddisfatte tutte le proprietà
Presi tre generici elementi razionali a, b, c
$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Q} :\ \begin{array}{l} a+b=b+a & \text{commutativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot b=b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (a+b)+c = a+(b+c) & \text{associativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{associativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c & \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
L’unica proprietà su cui ci soffermiamo che è quella che la distingue e la rende più completa rispetto ai numeri relativi riguarda l’elemento inverso del prodotto.
Prendiamo a riferimento ad esempio il numero razionale 3/5
L’elemento inverso rispetto al prodotto è 5/3, infatti:
$$ \frac{3}{5} \cdot \color{blue}{\frac{5}{3}} = 1 \quad \text{elemento inverso del prodotto} \quad \color{green}{\fbox{V}} $$
NUMERI REALI : SONO UN CAMPO
I numeri reali detti anche insieme ℝ sono un ampliamento dei numeri razionali ℚ.
Accanto alle classiche frazioni troviamo numeri irrazionali tra i quali troviamo radici quadrate:
$$ \sqrt{2} \approx 1,4142\dots \quad \sqrt{3} \approx 1,7320\dots \quad \sqrt{5} \approx 2,2360\dots $$
radici cubiche come
$$ \sqrt[3]{2} \approx 1,2599\dots \quad \sqrt[3]{3} \approx 1,4422\dots \quad \sqrt[3]{5} \approx 1,7099\dots $$
radici ennesime in generale:
$$ 2^\frac{2}{5} = 4^\frac{1}{5}= \sqrt[5]{4} \quad 3^\frac{5}{7} = \sqrt[7]{3^5} \quad \dots $$
Nei numeri reali troviamo anche i numeri detti trascendentali come il pi-greco, il numero di Nepero o il numero di Fidia o il seno di taluni angoli
$$ \pi= 3,14159\dots \quad e=2,7182\dots \varphi= 1,6180\dots \quad \sin 28^o= 0,4696\dots $$
e ovviamente tutte le loro potenze, radici e funzioni di numeri trascendentali.
I numeri reali sono un campo perché hanno due operazioni binarie interne che godono di tutte le proprietà.
$$ \forall a,b,c \in \mathbb{R} :\ \begin{array}{l} a+b=b+a & \text{commutativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot b=b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (a+b)+c = a+(b+c) & \text{associativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{associativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c & \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Il campo maggiormente utilizzato negli studi matematici è proprio quello dei numeri reali.
NUMERI COMPLESSI : SONO UN CAMPO
I numeri complessi detti anche insieme ℂ sono a loro volta un apliamento dei numeri reali ℝ.
Essi hanno una componente reale e una immaginaria e si presentano nella forma:
$$ z= a+ib \quad \text{con }\ a,b \in \mathbb{R} \\ \ \\ \begin{array}{l} \text{$a$ è la parte reale di $z$} \\ \text{$b$ è la parte immaginaria di $z$} \end{array} $$
Un altro modo per esprimerli è la formula di Eulero:
$$ z= \rho \cdot e^{i \theta} $$
La formula esplicitata è
$$ z= \rho \cdot e^{i \theta} = \rho \cdot ( \cos \theta + i \sin \theta ) $$
Per comprendere questa scrittura è necessario studiarli come vettori nel piano di Gauss.
𝜌 indica il modulo o lunghezza del vettore z
$$ \rho = \sqrt{a^2+b^2} $$
𝜃 è l’angolo che il vettore z forma rispetto all’asse dei numeri reali (orizzontale)
$$ \theta = \begin{cases} \tan^{-1} \frac{b}{a} &\text{se}& a>0 \\ \tan^{-1} \frac{b}{a} + \pi &\text{se}& a<0 \end{cases}
L’insieme dei numeri complessi ℂ forma un campo poiché sono definite le operazioni binarie di somma e moltiplicazione e vengono soddisfatte tutte le proprietà.
CAMPI NUMERABILI VS CAMPI NON NUMERABILI
I campi che abbiamo appena visto sono certamente campi non numerabili, ovvero che sono composti da infiniti elementi.
Nella teoria dei campi tuttavia sono stati creati campi che sono numerabili, composti cioè da un numero finito di elementi.
Il più famoso esempio di questa tipologia è il campo che chiamiamo ad esempio campo Icomposto da solo due elementi che sono:
- Elemento neutro nella somma (0)
- Elemento neutro del prodotto (1)
$$ I = \{ 0,1 \} $$
In queste due tabelle riassumiamo come si comportano le due operazioni binarie { +, –} all’interno di questo piccolo campo.
Verifichiamo insieme per sicurezza tutte le otto proprietà dei campi (talune solo su una possibile combinazione)
$$ \begin{array}{l} 0+1=1+0=1 & \text{commutativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ 0 \cdot 1=1 \cdot 0= 0 & \text{commutativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (0+1)+1 = 0+(1+1)=0 & \text{associativa della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ (0 \cdot 1) \cdot 1 = 0 \cdot (1 \cdot 1)= 0 & \text{associativa del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ a+\color{blue}{0} = \color{blue}{0}+a = a & \text{elemento neutro della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ 0 \cdot \color{blue}{1} = \color{blue}{1} \cdot 0 = 0 & \text{elemento neutro del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ 1+\color{blue}{1} = 0 & \text{elemento inverso della somma} & \color{green}{\fbox{V}} \\ 1 \cdot \color{blue}{1} = 1 \quad \text{con $\color{blue}{1} \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} & \color{green}{\fbox{V}} \\ 1 \cdot (0+1) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 & \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} & \color{green}{\fbox{V}} \end{array} $$
Da notare il ruolo tattico dell’elemento 1 che è contemporaneamente:
- Elemento neutro del prodotto
- Elemento inverso della somma
- Elemento inverso del prodotto
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