IPERBOLE – INTRODUZIONE

L’iperbole è una figura piana ed è definito come il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanza dai fuochi è costante.

Nel piano cartesiano la sua equazione canonica è:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$

Il centro di questa iperbole è l’origine e dalla sua equazione è possibile ricavare:

• Vertici
• Asintoti

$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE ASSE X}: & (-a,0) \quad (a,0) \\ \text{VERTICE ASSE Y}: & (0,-b) \quad (0, b) \\ \text{ASINTOTI}: & y= \pm \frac{b}{a} x \end{array}$$

In particolare possiamo operare una distinzione tra l’iperbole con i fuochi sull’asse delle x e quelli sull’asse delle y.

IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSE DELLE X

L’equazione dell’iperbole coni fuochi sull’asse delle x è:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Da questa è possibile ricavare:

• Vertici
• Fuochi 
• Asintoti
• Eccentricità 

In questo caso i vertici sull’asse delle x sono definiti vertici reali poiché la conica passa per questi punti e le loro coordinate sono:

$$ \text{VERTICI REALI (ASSE X)}: \quad (-a,0) \quad (a,0) $$

I vertici che si trovano sull’asse y li definiamo immaginari, poiché non vediamo l’iperbole che passa per essi

$$ \text{VERTICI IMMAGINARI (ASSE Y)}: \quad (0,-b) \quad (0,b) $$

I fuochi che si trovano sull’asse delle x hanno coordinate:

$$ \text{FUOCHI (ASSE X)}: \quad (-c,0) \quad (c,0) $$

Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c tale per cui:

$$ \text{RELAZIONE PITAGORICA}: \quad c^2= a^2+b^2$$

Gli asintoti sono rette passanti per il centro e le loro equazioni sono:

$$ \text{ASINTOTI}: \quad y= \pm \frac{b}{a} x$$

L’eccentricità dell’ellisse è definita come il rapporto che esiste tra la (semi)distanza focale e il (semi)asse reale.

$$ \text{ECCENTRICITÀ}: \quad e = \frac{c}{a} \ge 1 $$

Dal punto di vista grafico vediamo i due rami in espansione sulla parte destra e sinistra del sistema cartesiano fino a raggiungere gli asintoti.

IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSE X – ESEMPIO

Studiamo le caratteristiche e rappresentiamo il grafico della seguente iperbole con i fuochi sull’asse delle x:

$$ \large \gamma: \quad \frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{36} = 1 $$

Mostriamo i risultati nella figura sotto:

IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSE DELLE Y

L’equazione dell’iperbole coni fuochi sull’asse delle y è:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} =-1 $$

Come possiamo subito notare l’elemento che la contraddistingue dall’iperbole con i fuochi sull’asse delle y è il –1 sul lato destro

Da questa è possibile ricavare:

• Vertici
• Fuochi 
• Asintoti
• Eccentricità 

In questo caso i vertici sull’asse delle x sono definiti vertici immaginari poiché la conica non passa per tali punti.

$$ \text{VERTICI IMMAGINARI (ASSE X)}: \quad (-a,0) \quad (a,0) $$

I vertici che si trovano sull’asse y li definiamo reali, poiché  l’iperbole che passa per essi

$$ \text{VERTICI REALI (ASSE Y)}: \quad (0,-b) \quad (0,b) $$

I fuochi che si trovano sull’asse delle x sono reali poiché hanno coordinate:

$$ \text{FUOCHI (ASSE X)}: \quad (0, -c) \quad (0,c) $$

Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c tale per cui:

$$ \text{RELAZIONE PITAGORICA}: \quad c^2= a^2+b^2$$

Gli asintoti sono rette passanti per il centro e le loro equazioni sono:

$$ \text{ASINTOTI}: \quad y= \pm \frac{b}{a} x$$

L’eccentricità dell’ellisse è definita come il rapporto che esiste tra la (semi)distanza focale e il (semi)asse reale.

$$ \text{ECCENTRICITÀ}: \quad e = \frac{c}{b} \ge 1 $$

Dal punto di vista grafico vediamo i due rami in espansione sulla parte destra e sinistra del sistema cartesiano fino a raggiungere gli asintoti.

IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSE Y – ESEMPIO

Studiamo le caratteristiche e rappresentiamo il grafico della seguente iperbole con i fuochi sull’asse delle x:

$$ \large \gamma: \quad \frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{36} = -1 $$

Mostriamo i risultati nella figura sotto:

L’ELLISSE E LE CONICHE

L’iperbole è una conica ovvero è determinata dall’intersezione di un cono a due falde con un piano.

Le coniche furono studiate sin dai tempi degli antichi greci e ne troviamo traccia ad esempio nel libro XI degli Elementi di geometria di Euclide (IV-III sec. a.C.)

Tuttavia il primo matematico che tratta di questo argomento in maniera compiuta trattandola nel piano è Apollonio di Perga (262-190 a.C.).

Le coniche sono inizialmente studiate come le intersezioni di un piano con un cono a due falde e Apollonio di Perga riuscì a dimostrare che da un unico cono possiamo generare tuttele coniche suddivide in:

• Circonferenza
• Parabola 
• Ellisse
• Iperbole

In particolare  consideriamo un cono a due falde regolare dove 𝛼 è l’angolo formato dall’asse centrale con l’apotema del cono.

Prendiamo inoltre un piano con inclinazione pari all’angolo 𝛽 rispetto all’asse.

𝛼 e 𝛽 li consideriamo entrambi compresi tra 0 e 90 gradi.

PIANO NON PASSANTE PER IL CENTRO

Quando tale piano non passa per il centro abbiamo una delle classiche coniche.

In particolare quando il piano è perfettamente perpendicolare all’asse, ovvero 𝛽 vale 90 gradi troviamo una circonferenza.

Quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 90 gradi e 𝛼 si crea un’ellisse.

Nel momento in cui l’angolo 𝛽 coincide con 𝛼 si forma una parabola.

In questi tre casi il piano trapassa solamente una delle due falde del cono.

Mentre quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 0 gradi e 𝛼 il piano attraversa èentrambe le falde e si forma l’iperbole.

PIANO  PASSANTE PER IL CENTRO – CONICHE DEGENERI

Se il piano passa per l’origine si formano coniche degeneri, che chiamiamo retta o punto.

In particolare quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 𝛼 (escluso) e 90 gradi (incluso) abiamo un punto.

Si manifesta una sola retta quando 𝛽 coincide con 𝛼.

Mentre si formano due rette se 𝛽 è compreso tra 0 gradi (incluso) e 𝛼.

IL CASO DELL’IPERBOLE

Il caso dell’iperbole appare ai nostri occhi quando l’inclinazione di 𝛽 è compresa tra 𝛼 e 90 gradi e il piano non passa per il centro del cono a due falde.

Questo è uno dei capitoli più belli di tutta storia della matematica e fu proprio Apollonio a cominciarlo.

IPERBOLE NEL PIANO COME LUOGO GEMETRICO

Apollonio di Perga diversamente dai suoi predecessori studiò le caratteristiche dell’iperboleall’interno del piano.

L’iperbole nel piano è intesa come il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza (in valore assoluto) delle distanze dei fuochi rimane costante.

ASINTOTI DELL’IPERBOLE

Gli asintoti dell’iperbole sono rette passanti per il centro dell’ellisse cui l’ellisse espandendosi si avvicina sempre di più.

Questo avviene fino a quando on un’espansione infinita i rami dell’iperbole e le rette diventano indistinguibili.

L’IPERBOLE NEL SISTEMA CARTESIANO

Circa 1800 anni dopo l’opera di Apollonio un matematico francese di nome Renato Cartesio conosciuto in Francia  anche come Renè Descartes (1596 – 1650) le opere greche antiche che erano sopravvissute.

Il suo scopo era quello di trasformare tutte le nozioni delle coniche in calcoli analitici(matematici).

Sempre in Francia qualche anno prima della sua morte erano nati i concetti di monomie polinomi grazie al genio del matematico Viete (1540 – 1603) 

Tali concetti furono in qualche caso applicati alle equazioni.

Cartesio completò l’opera.

Cominciamo con il fissare due punti detti fuochi all’interno del sistema cartesiano F₁ e F₂.

Per comodità li fissiamo sull’asse delle x equidistanti dal centro:

$$ F_1(-c,0) \quad F_2(c,0) $$

Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra iperbole che chiamiamo 𝛾

$$ P(x,y) \in \gamma $$

Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 2a.

$$ | PF_1 – PF_2 | = 2a $$

Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:

$$ \left| \sqrt{(x+c)^2+y^2} – \sqrt{(x-c)^2+y^2} \right| = 2a $$

Sviluppando i calcoli arriviamo all’equazione generica dell’ellisse:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{con }\ b^2= c^2-a^2 $$

Per quelli di voi che vogliono capire l’origine di questa formula ho creato un articolo apposito: dimostrazione della forma canonica dell’iperbole.

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IPERBOLE NEL SISTEMA CARTESIANO – ESEMPIO

Scrivi il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanza dai fuochi F₁(-3,0) e F₂(3,0) risulta costante e pari a 2.

SVOLGIMENTO 

I nostri fuochi hanno coordinate

$$ F_1(-3,0) \quad F_2(3,0) $$

Prendiamo un punto generico P dell’iperbole (che chiamiamo 𝛾)

$$ P(x,y) \in \gamma $$

Per ricavare l’equazione dell’iperbole imponiamo la condizione che la somma delle distanze in modulo dai fuochi risulti pari a 2.

$$ | PF_1-PF_2| = 2 $$

Sciogliendo il modulo avremo che:

$$ \left| \sqrt{(x+3)^2+y^2} – \sqrt{(x-3)^2+y^2} \right| = 2 $$

Sciogliendo il modulo avremo che:

$$ \sqrt{(x+3)^2+y^2} – \sqrt{(x-3)^2+y^2} = \pm 2 $$

Ora andiamo a considerare il caso del +2 a destra che vi assicuro alla fine di tutti i calcoli coinciderà esattamente con il caso del –2.

$$ \sqrt{(x+3)^2+y^2} – \sqrt{(x-3)^2+y^2} = 2 $$

Spostiamo la radice con segno negativo a destra

$$ \sqrt{(x+3)^2+y^2} = 2 +\sqrt{(x-3)^2+y^2} $$

Eleviamo ora tutto al quadrato ricordando di svolgere a destra un quadrato di binomio:

$$ \begin{array}{l} (x+3)^2+y^2= 4 + (x-3)^2 +4 \sqrt{(x-3)^2+y^2} \\ x^2+6x+9+y^2= 4+x^2-6x+9 + 4 \sqrt{(x-3)^2+y^2} \end{array} $$

Eliminiamo i termini simili leggendo da destra verso sinistra

$$ 4 \sqrt{(x-3)^2+y^2} = 12x-4 $$

Dividiamo tutto per 4 poi eleviamo di nuovo tutto al quadrato:

$$ \begin{array}{l} \sqrt{(x-3)^2+y^2} = 3x-1 \\ (x-3)^2+y^2= (3x-1)^2 \\ x^2-6x+9+y^2 = 9x^2-6x+1 \end{array} $$

Ecco l’equazione della nostra iperbole

$$ 8x^2-y^2=8 $$

FORMA CANONICA DELL’IPERBOLE

Andiamo ora a ricavare l’equazione dell’iperbole nella sua forma canonica:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Partendo dall’ultima equazione ricavata:

$$ 8x^2-y^2=8 $$

Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per 8 di modo da lasciare 1 a destra

$$ \frac{8x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=\frac{8}{8} $$

Ed ecco l’equazione della nostra iperbole

$$ x^2 – \frac{y^2}{8} = 1 $$

CARATTERISTICHE GENERALI DELL’IPERBOLE

Chiudiamo ricordando ancora una volta le formule e le caratteristiche generali dell’iperbole con i fuchi sull’asse x e sull’asse y

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