SPAZIO VETTORIALE

SPAZIO VETTORIALE – DEFINIZIONE

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica che indica l’insieme di tutti i vettori che partono dall’origine e che sono generati da un insieme di vettori linearmente indipendenti detta base dello spazio vettoriale.

Questi vettori sono generati attraverso una combinazione lineare dei vettori della base

$$ v= \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \\ \ \\ v= \lambda_2 v_2 + \lambda_1 v_1 +\cdots + \lambda_n v_n \\ \ \\ \begin{array}{l} \text{$v$ è un generico vettore (elemento) dello spazio vettoriale} \\ \text{$v_1,v_2, \dots , v_n$ sono gli $n$ vettori linearmente indipendenti} \\\text{$ \lambda_1, \lambda_2 ,\dots ,\lambda_n$ sono gli $n$ scalari di un campo $\mathbb{K}$ } \end{array}$$

La dimensione di questo spazio vettoriale è pari al numero di vettori linearmente indipendenti contenuti nella base

Prima di vedere le caratteristiche basilari degli spazi vettoriali andiamo a vediamone alcuni esempi che ci permettono di avere un’idea più concreta di cosa sono.

Ovviamente prima di vederli vi consiglio di vedere gli articoli:

ESEMPIO DI SPAZIO VETTORIALE R²

Cominciamo con il mostrare un esempio molto semplice di spazio vettoriale che è composto da tutti i vettori presenti nel piano cartesiano.

Prendiamo come base di questo spazio vettoriale due vettori di R² ovvero con due componenti linearmente indipendenti.

$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Lo spazio vettoriale R² che in questo caso è il piano cartesiano sono tutti i vettori che sono creati mediante una combinazione dei due vettori.

Fanno parte ad esempio di questo spazio vettoriale è vettori:

$$ \begin{array}{l} 2v= 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix} & -w = – \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-4 \end{pmatrix} & v+w= \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} \\ v-w= \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-3 \end{pmatrix} & 2v-w = 2 \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-2 \end{pmatrix} & -3v+w= -3 \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\1 \end{pmatrix} \end{array} $$

Mostriamoli in figura

SPAZIO VETTORIALE GENERATO DA UN SOLO VETTORE

Se fossimo partiti solamente dal primo vettore v saremmo riusciti a costruire lo spazio vettoriale R che sono tutti i vettori che si trovano sulla retta

$$ y= \frac{1}{2} x $$

In pratica stiamo considerando tutti i vettori di due componenti, dove la seconda componente y è la meta della componente in x:

$$ v= \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x\\x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} $$

Fanno parte di questo spazio vettoriale ad esempio i vettori:

$$ \begin{array}{l} 2v = 2 \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} & 3v = 3 \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\3 \end{pmatrix} \\ -v = – \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\-1 \end{pmatrix} & -3v = -3 \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\-3 \end{pmatrix} \end{array} $$

che mostriamo in figura

ESEMPIO DI SPAZIO VETTORIALE R³

Spostiamoci ora nello spazio a tre dimensioni e consideriamo i tre vettori linearmente indipendenti:

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\1 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 3\\0 \\2 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\5 \end{pmatrix} $$

che rappresentiamo:

Se prendiamo a riferimento solo il primo vettore questo genera un spazio vettoriale del tipo:

$$ \begin{pmatrix}x \\ y\\z \end{pmatrix} = tv = t \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{con $t \in \mathbb{R}$} $$

che sono tutti i vettori di R3 che si trovano sulla medesima retta di vettore direzionale v

Ad esempio appartengono i questo spazio i vettori:

$$ 2v \quad \frac{1}{2}v \quad -v \quad – \frac{3}{4} v \cdots $$

In questo senso possiamo affermare che il vettore v è un generatore delle spazio R.

Costruiamo ora lo spazio vettoriale generato dai due vettori v e w.

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\1 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 3\\0 \\2 \end{pmatrix} $$

Si tratta di tutti i vettori che si trano sul piano generato dai vettori e sono del tipo:

$$ \begin{pmatrix}x \\ y\\z \end{pmatrix} = \lambda v + \mu w= \lambda \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3\\0 \\2 \end{pmatrix} \quad \text{con $ \lambda , \mu \in \mathbb{R}$} $$

Fanno parte di questo spazio vettoriale i vettori:

$$ 2v \quad 3w \quad v+w \quad v-w \quad 2v+w \quad -v+3w \quad \dots $$

In questo senso possiamo affermare che i vettori v e w sono dei generatori e formano una base di R².

Quando consideriamo lo spazio vettoriale generato dai tre vettori linearmente indipendenti

$$ v = \begin{pmatrix} 2\\1 \\3 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 3\\0 \\2 \end{pmatrix} \quad u= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\5 \end{pmatrix} $$

Tale spazio sono tutti i vettori che hanno tre componenti e costituiscono le spazio R³.

Questi vettori si manifestano nella forma generale:

$$ \begin{pmatrix}x \\ y\\z \end{pmatrix} = \alpha v + \beta w + \gamma u= \alpha \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 3\\0 \\2 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 1\\ 2\\5 \end{pmatrix} \quad \text{con $ \alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R}$} $$

Ad esempio fanno parte di questa grande famiglia i vettori:

$$ v+w+u \quad 2v-w+3u \quad -v+2w-u \quad \frac{1}{2} v – \frac{3}{5} w + \frac{5}{2} u \quad \dots $$

I vettori v, w e u sono una base di R³.

Chiaramente quando i vettori presentano più di n componenti risulta impossibile darne una rappresentazione grafica.

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SPAZI VETTORIALI – INCIPIT

Adesso che abbiamo cominciato a toccare con mano l’idea di spazio vettoriale ripartiamo dall’inizio riprendendone in mano la definizione.

Questi vettori sono generati attraverso una combinazione lineare dei vettori della base

Come descritto all’interno della definizione gli elementi che ci servono per avere uno spazio vettoriale sono:

campo
vettore
operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione di scalare per vettore

CAMPO E OPERZIONE BINARIA INTERNA

Ogni vettore è costruito sopra di un campo 𝐊.

Per avere un’idea immediata di campo 𝐊 possiamo pensare all’insieme dei numeri reali ℝ, all’insieme dei numeri razionali ℚ , oppure per chi è avvezzo a studiare matematica all’insieme dei numeri complessi ℂ.

OPERAZIONI BINARIE INTERNE DEI CAMPI

Una volta identificata la nostra idea possiamo proiettarla in una definizione più tecnica e matematica di campo.

Un campo è una struttura algebrica formata da elementi essenziali (detti scalari) su cui sono definite due operazioni binaria interna : la somma (+) e il prodotto (·).

Per operazione binaria interna intendiamo un’operazione che applicata su una coppia qualsiasi di elementi che appartengono al campo K otteniamo ancora un elemento del campo K.

Questo deve valere per entrambe le operazioni di somma (+) e moltiplicazione (·)

$$ \begin{array}{l} \forall a,b \in \mathbb{K} &\to& a+b \in \mathbb{K} \\ \forall a,b \in \mathbb{K} &\to& a \cdot b \in \mathbb{K} \end{array} $$

PROPRIETA’ DI UN CAMPO

Questa definizione di campo può essere meglio esplicitata con le seguenti proprietà:

Consideriamo tre elementi generici del campo 𝐊 a, b e c:

$$ a,b,c \in \mathbb{K} $$

Vale la proprietà commutativa sulle due operazioni binarie:

$$ \begin{array}{l} a+b = b+a & \text{commutativa della somma} \\ a \cdot b = b \cdot a & \text{commutativa del prodotto} \end{array} $$

Nelle operazioni binarie deve valere la proprietà distributiva:

$$ \begin{array}{l} (a+b)+c = a+(b+c) & \text{distributiva della somma} \\(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) & \text{distributiva del prodotto} \end{array} $$

Le operazioni binarie hanno un elemento neutro: 0 (zero) per la somma e 1 (uno) per il prodotto.

Applicando tali operazioni su un elemento del campo agli elementi neutri tale elemento rimane immutato.

$$ \begin{array}{l} a+0 = 0+a = a & \text{elemento neutro della somma} \\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a & \text{elemento neutro del prodotto} \end{array} $$

Per entrambe le operazioni per ogni elemento a del campo esiste un elemento inverso (-a) per la somma e (a^-1) per il prodotto.

Questi elementi sono tali che applicando all’elemento a l’operazione inversa con l’elemento inverso si ottiene l’elemento neutro di quella operazione.

Nella moltiplicazione abbiamo l’eccezione che a non può essere l’elemento neutro della somma.

$$ \begin{array}{l} a+(-a) = (-a)+a = 0 & \text{elemento inverso della somma} \\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \quad \text{con $a \ne 0$} & \text{elemento inverso del prodotto} \end{array} $$

Un’ultima proprietà del campo riguarda è la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma che ci dice che:

$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \text{distributiva del prodotto rispetto alla somma} $$

Per chiarire meglio questa parte leggi l’articolo: campi in matematica

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NOZIONE DI VETTORE

Per definire uno spazio vettoriale abbiamo ovviamente bisogno del concetto stesso di vettore.

Questo oggetto può essere inteso come:

vettore in senso stretto
polinomio
matrice
funzione

VETTORE IN SENSO STRETTO

Un vettore inteso nel senso più semplice che possiamo immaginare altro non è che una n-pla ordinata di scalari presi sopra un campo 𝐊 (definiti sopra) del tipo:

$$ v = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \cdots \\ v_i \\ \cdots \\ v_n \end{pmatrix} \\ \ \\ v_1, v_2, \dots , v_i, \dots , v_n \text{ sono le componenti del vettore}$$

Le componenti sono elementi del campo 𝐊

Quando le componenti sono di numerosità n dichiamo che:

$$ v = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \cdots \\ v_i \\ \cdots \\ v_n \end{pmatrix}\ \in \mathbb{K^n} $$

Ad esempio i vettori

$$ v = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix} $$

sono vettori di R² poiché hanno due componenti nel campo dei reali 𝐑

Mentre i vettori:

$$ v= \begin{pmatrix} 1+i\\-2 \\ 3+2i \end{pmatrix} \quad w= \begin{pmatrix} 0 \\-1 + \frac{1}{2}i \\ \sqrt{3} +2i \end{pmatrix} \quad u = \begin{pmatrix} 1+i \\ 5i \\ 2-i \end{pmatrix} $$

sono vettori di ℂ³ poiché hanno tre componenti nel campo dei numeri complessi.

VETTORE INTESO COME POLINOMIO

Una concezione più allargata di vettore ci può portare a vedere il vettore stesso come un polinomio.

Possiamo infatti definire il concetto di ℝ_n[x] come lo spazio vettoriale dei polinomi in x con grado massimo pari a n.

Prendiamo ad esempio il caso dello spazio vettoriale dei polinomi ℝ₂[x] con grado massimo pari a 2.

Un suo generico elemento è il polinomio:

$$ p(x) = a_0 +a_1 x + a_2 x^2 $$

Esse può essere univocamente associato rispetto alla base canonica (che potrebbe essere vista a sua volta come un vettore

$$ b = \begin{pmatrix} 1&x&x^2 \end{pmatrix} $$

Alle coordinate del vettore

$$ a= \begin{pmatrix} a_0 \\a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} $$

Se facciamo il prodotto scalare tra il vettore base e le sue coordinate identificativo del polinomio rispetto alla base otteniamo proprio il polinomio (ovvero il vettore v)

$$ v = b \cdot a = \begin{pmatrix} 1&x&x^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_0 +a_1 x + a_2 x^2 = p(x) $$

VETTORE INTESO COME MATRICE

Ragionando nella stessa direzione possiamo estendere il concetto di vettore al concetto di matrice.

Definiamo ad esempio l’oggetto matrice A come una matrice di dimensione 2×2 ad elementi reali

$$ A = \begin{pmatrix} a&c \\ b&d \end{pmatrix} \quad \text{con }\ a,b,c,d \in \mathbb{R} \quad A \in M[2 \times 2 ] $$

Dove con M(mxn) intendiamo l’insieme delle matrici con 2 righe ed 2 colonne.

Potremmo associare questa matrice ad un vettore unico con quattro componenti

$$ A= \begin{pmatrix} a&c \\ b&d \end{pmatrix} \to v = \begin{pmatrix} a \\b \\ c \\ d \end{pmatrix} $$

riferito ovviamente alla base canonica delle matrici 2×2 che è:

$$ B_{R^2 \times R^2} = \left\{ \begin{pmatrix} 1&0 \\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \right\} $$

VETTORE INTESO COME FUNZIONE

In alcuni contesti possiamo pensare al vettore come ad una funzione che gode della proprietà di linearità tipica del vettore.

Pensiamo ad esempio alle funzioni che vanno da R³ a R:

$$ f(x,y,z) = 2x+y-3z \quad g(x,y,z)= x-y+z $$

Potremmo benissimo chiamare il primo oggetto v e il secondo w

$$ v= 2x+y-3z \quad w= x-y+z $$

Dunque lo possiamo vedere come dei semplici polinomi in tre variabili.

Associamo a questi due oggetti i polinomi:

$$ v’= \begin{pmatrix} 2&1&-3 \end{pmatrix} \quad w’= \begin{pmatrix} 1&-1&1 \end{pmatrix} $$

Entrambi rispetto alla base:

$$ B= \begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} $$

SPAZI VETTORIALI E OPERZIONI INTERNE

Questi vettori sono generati attraverso una combinazione lineare dei vettori della base

Gli spazi vettoriali sono definito sopra un campo 𝐊.

Questo avviene poiché gli elementi stessi dei vettori intesi come ennuple ordinate di elementi del tipo:

$$ v = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \cdots \\ v_i \\ \cdots \\ v_n \end{pmatrix}\ \in \mathbb{K^n} = V$$

sono gli elementi del campo di appartenenza.

All’interno degli spazi vettoriale sono dunque definite le stesso due operazioni binarie interne che valgono per i campi.

Parliamo perciò della somma (+) e del prodotto (·).

Per quanto riguarda la somma (+) è una operazione binaria interna.

$$ +\ : \quad V \times V \to V \quad \text{con $V=\mathbb{K^n}$} $$

diciamo che presi due elementi interni allo spazio vettoriale tale operazione applicata a questi elementi ci rimanda ancora in un elemento nello spazio vettoriale

$$ (v,w) \to v+w \quad v,w \in V $$

Per il prodotto diciamo invece che si tratta di una operazione binaria esterna che vale tra un elemento v del campo vettoriale 𝑽 e un elemento 𝜆 del campo scalare 𝐊

$$ \cdot \ : \quad V \times V \to V \quad \text{con $V=\mathbb{K^n}$} \\ \ \\ (\lambda , w) \to \lambda \cdot w \quad \text{con}\ \lambda \in K \land vow \in V $$

Da notare che l’operazione di moltiplicazione può essere fatto solamente con la costante a sinistra e il vettore a destra (dunque non commutativa)

PROPRIETÀ DEGLI SPAZI VETTORIALI

Elenchiamo ora le otto proprietà di cui godono gli spazi vettoriali che sono abbastanza simili (ma non le stesse) dei campi

Presi dunque a riferimento tre elementi generici v, w, u del campo vettoriale 𝑽(vettori) e due scalari a,b (elementi del campo 𝐊)

$$ v,w,u \in V = \mathbb{K^n} \quad \land \quad a,b \in \mathbb{K} $$

si devono verificare le seguenti proprietà.

In primo luogo la somma è commutativa (ma non il prodotto)

$$ v+w = w+v \quad \text{commutativa della somma} $$

Esiste un elemento neutro della somma detto 0 (zero o vettore nullo) e neutro nel prodotto (che è lo scalare 1)

$$ \begin{array}{l} v+0 = 0+v = v & \text{elemento neutro della somma} \\ 1 \cdot v = v & \text{elemento neutro del prodotto} \end{array}$$

La somma ha un elemento inverso detto opposto (non vale per il prodotto)

$$ v+(-v)=(-v)+v= 0 \quad \text{elemento inverso della somma} $$

Somma e prodotto godono di una proprietà associativa

$$ \begin{array}{l} (v+w)+u = v+(w+u) & \text{associativa della somma} \\ (a \cdot b) \cdot v = a \cdot (b \cdot v) & \text{associativa del prodotto} \end{array} $$

La proprietà distributiva del prodotto si può manifestare sia rispetto alla somma di vettori (destra) sia rispetto alla somma di scalari (sinistra)

$$ \begin{array}{l} a \cdot (v+w) = a \cdot v + a \cdot w & \text{distributiva rispetto alla somma di vettori a destra} \\ (a + b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v & \text{distributiva rispetto alla somma di scalari a sinistra} \end{array} $$

Per chiarire meglio questa parte leggi l’articolo: proprietà degli spazi vettoriali

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