LA PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO

LA PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO

La parabola nel piano è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice.

L’equazione della parabola nel piano cartesiano con asse parallelo all’asse delle y è:

$$ \large{y=ax^2+bx+c=0} $$

La sua forma canonica ovvero quella più elementare è:

$$ \large{y=ax^2} $$

Prima di vedere come si ricava una tale equazione vediamo dal principio le caratteristiche della parabole

LA PARABOLA E LE CONICHE

La parabola è una conica ovvero è determinata dall’intersezione di un cono a due falde con un piano.

Le coniche furono studiate sin dai tempi degli antichi greci e ne troviamo traccia ad esempio nel libro XI degli Elementi di geometria di Euclide (IV-III sec. a.C.)

Tuttavia il primo matematico che tratta di questo argomento in maniera compiuta trattandola nel piano è Apollonio di Perga (262-190 a.C.).

Le coniche sono inizialmente studiate come le intersezioni di un piano con un cono a due falde e Apollonio di Perga riuscì a dimostrare che da un unico cono possiamo generare tuttele coniche suddivide in:

• Circonferenza
• Parabola 
• Ellisse
• Iperbole

In particolare  consideriamo un cono a due falde regolare dove 𝛼 è l’angolo formato dall’asse centrale con l’apotema del cono.

Prendiamo inoltre un piano con inclinazione pari all’angolo 𝛽 rispetto all’asse.

𝛼 e 𝛽 li consideriamo entrambi compresi tra 0 e 90 gradi.

PIANO NON PASSANTE PER IL CENTRO

Quando tale piano non passa per il centro abbiamo una delle classiche coniche.

In particolare quando il piano è perfettamente perpendicolare all’asse, ovvero 𝛽 vale 90 gradi troviamo una circonferenza.

Quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 90 gradi e 𝛼 si crea un’ellisse.

Nel momento in cui l’angolo 𝛽 coincide con 𝛼 si forma una parabola.

In questi tre casi il piano trapassa solamente una delle due falde del cono.

Mentre quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 0 gradi e 𝛼 il piano attraversa èentrambe le falde e si forma l’iperbole.

PIANO  PASSANTE PER IL CENTRO – CONICHE DEGENERI

Se il piano passa per l’origine si formano coniche degeneri, che chiamiamo retta o punto.

In particolare quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 𝛼 (escluso) e 90 gradi (incluso) abiamo un punto.

Si manifesta una sola retta quando 𝛽 coincide con 𝛼.

Mentre si formano due rette se 𝛽 è compreso tra 0 gradi (incluso) e 𝛼.

IL CASO DELLA PARABOLA

Il caso della parabola appare ai nostri occhi quando l’inclinazione di 𝛽 coincide con 𝛼 e il piano non passa per il centro del cono a due falde.

Questo è uno dei capitoli più belli di tutta storia della matematica e fu proprio Apollonio a cominciarlo.

PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO DI PUNTI

Apollonio di Perga infatti a differenza dei suoi predecessori comincia a isolare il concetto di parabola dal cono e dal piano e comincia a studiarne le caratteristiche nel piano.

Grazie alla sua opera oggi possiamo definire la parabola in termini di luogo geometrico.

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano che risultano equidistanti da un punto detto fuoco e una retta chiamata direttrice.

PARABOLA NEL SISTEMA CARTESIANO

Circa 1800 anni dopo l’opera di Apollonio un matematico francese di nome Renato Cartesio conosciuto in Francia  anche come Renè Descartes (1596 – 1650) le opere greche antiche che erano sopravvissute.

Il suo scopo era quello di trasformare tutte le nozioni delle coniche in calcoli analitici(matematici).

Sempre in Francia qualche anno prima della sua morte erano nati i concetti di monomie polinomi grazie al genio del matematico Viete (1540 – 1603) 

Tali concetti furono in qualche caso applicati alle equazioni.

Cartesio completò l’opera.

Consideriamo un punto, il nostro fuoco, nel sistema cartesiano di coordinate:

$$ F(x_F, y_F) $$

 e una retta, la nostra direttrice di equazione:

$$ d: \quad ax+by+c=0 $$

Noi sappiamo che la parabola è il luogo dei punti del piano che sono equidistanti contemporaneamente dal fuoco e dalla direttrice.

Dunque eguagliamo la distanza tra due punti alla distanza punto-retta per trovare l’equazione della nostra parabola:

$$ \begin{array}{l} \overline{PF}= \gamma: & \text{dist}(P,F) = \text{dist}(PH) \\ & \overline{PF}= \overline{PH} \quad P(x,y) \in \gamma \end{array} $$

Inseriamo le formule:

$$ \sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2} = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Sviluppando i conti perveniamo dunque all’equazione della conica.

EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA

Ovviamente per chi parte dal principio sarebbe veramente un suicidio addentrarsi in tali calcoli.

Per questo motivo partiamo dalla formula canonica della parabola, ovvero la forma più elementare in assoluto.

L’equazione in forma canonica della parabola è:

$$ \gamma: \quad y=ax^2 $$

Si tratta di una parabola passante per il centro, il cui asse coincide con la sse delle x e il cui vertice è l’origine del sistema cartesiano.

L’asse di simmetria della conica è l’asse delle y (la retta x=0)

 Il suo unico punto di intersezione con l’asse delle x e contemporaneamente con l’asse delle y è il vertice (origine del sistema cartesiano).

Il coefficiente a indica il verso della concavità della parabola.

Quando questo è maggiore di zero (positivo) la concavità della parabola risulta verso l’alto, mentre quando è negativo la concavità è verso il basso.

$$ \begin{array}{l} a>0 &\to& \text{concavità verso l’alto} \\ a<0 &\to& \text{concavità verso il basso} \end{array} $$

Maggiore è il suo valore assoluto la parabola si stringe attorno all’asse.

EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA

Per giungere all’equazione della parabola nella sua forma canonica:

$$ y=ax^2$$

Fissiamo un fuoco e una direttrice che risultino equidistanti dall’asse delle x, in particolare dall’origine.

Ad esempio di una distanza pari ad f.

Fissiamo il fuoco sull’asse delle y:

$$ F(0,f) $$

E come retta direttrice consideriamo la retta parallela all’asse delle x:

$$ y=-f \quad y+f=0 $$

A questo punto consideriamo un generico punto P della parabola:

$$ P(x,y) \in \gamma $$

Imponiamo che la sua distanza dal fuoco e dalla direttrice risultino uguali

$$ \begin{array}{l} \overline{PF}= \gamma: & \text{dist}(P,F) = \text{dist}(PH) \\ & \overline{PF}= \overline{PH} \quad P(x,y) \in \gamma \end{array} $$

Ora inseriamo le formule corrispondenti:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

EQUAZIONE  DELLA PARABOLA – CALCOLI

I calcoli da sviluppare sono molto semplici.

Partendo dall’ultimo passaggio:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

 che possiamo meglio riscrivere in questo modo:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = |y+f| $$

Eleviamo alla seconda ambo i membri:

$$ x^2+(y-f)^2= (y+f)^2 $$

Sviluppiamo i due quadrati di binomio:

$$ x^2+y^2-2fy+f^2= y^2+2fy+f^2 $$

Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale:

$$ x^2= 4fy $$

 che possiamo leggere in funzione della y:

$$ y= \frac{1}{4f} x^2 $$

Ora non ci resta che chiamare a la costante parametrica che moltiplica il quadrato della x

$$ a= \frac{1}{4f} $$

Questo parametro risulta dunque uguale al reciproco del quadruplo dell’ordinata del fuoco.

Ed ecco che infine abbiamo l’equazione della parabola nella forma canonica:

$$ y=ax^2 $$

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ESEMPIO DI FORMA CANICA DI UNA PARABOLA

Trova il luogo dei punti del piano equidistante dal fuoco F(0,1) e dalla retta direttrice di equazione

$$ d: \quad y=-1 $$

Le coordinate del fuoco F sono:

$$ F(0,1) $$

Mentre l’equazione della direttrice è:

$$ d:\ y=-1 \to y+1=0 $$

Prendiamo un generico punto P appartenente al luogo geometrico che vogliamo determinare ed imponiamo che la sua distanza dal fuoco sia uguale a quella della direttrice:

$$ \begin{array}{l} \overline{PF}= \gamma: & \text{dist}(P,F) = \text{dist}(PH) \\ & \overline{PF}= \overline{PH} \quad P(x,y) \in \gamma \end{array} $$

Inserendo le opportune formule abbiamo che

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} = \frac{|y+1|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

EQUAZIONE DELLA PARABOLA – CALCOLI

Sviluppando i calcoli otterremo l’equazione della parabola cercata, dunque ripartiamo dall’ultimo passaggio:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} = \frac{|y+1|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

Riscriviamolo meglio:

$$ \sqrt{x^2+(y-1)^2} = |y+1| $$

Eleviamo tutto al quadrato a destra e sinistra:

$$ x^2+(y-1)^2= (y+1)^2 $$

Sviluppiamo i quadrati di binomio:

$$ x^2+y^2-2y+1= y^2+2y+1 $$

Eliminiamo i termini simili

$$ x^2= 4y $$

Ed ecco l’equazione della parabola cercata:

$$ y= \frac{1}{4} x^2 $$

GENERICA PARABOLA CON ASSE ∥ ASSE Y

L’equazione di una generica parabola con l’asse parallelo all’asse delle x è la seguente:

Grazie ai coefficienti a,b,c è possibile trovare i seguenti elementi:

• Vertice
• Fuoco 
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con l’asse x e y

Dotto riportiamo lo schema.

Scopri il corso di geometria cartesiana.

Per capire meglio da dove vengono queste formule leggete l’articolo sulla traslazione della parabola.

∆ DELLA PARABOLA E PUNTI DI INTERSEZIONE CON ASSE X

A seconda del valore che assume il delta (discriminante) possiamo trovare due, una o nessuna intersezione con l’asse della x.

Possiamo ricavare il delta a partire dall’equazione:

 relazionando i coefficienti nel seguente modo:

Quadrato della cosa che moltiplica le x meno il quadruplo del prodotto tra il coefficiente del quadrato delle x e il termine noto.

Quando il valore delle b è pari possiamo calcolare anche la quarta parte del delta:

Per descriverlo usiamo le parole del matematico Al- Khwarizmi (780-850) a proposito delle soluzioni di un’equazione di secondo grado:

Al- Khwarizmi scriveva a proposito:

“Devi sapere che se tu prendi la metà della radice (p/2), 

  e la moltiplichi per se stessa, (ovvero ne calcoli il quadrato)

 e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato (q=q*1)

 allora il problema è impossibile”

ESEMPIO DI CALCOLO DELL’EQUAZIONE Y = ax² +bx +c

Determina l’equazione della parabola con fuoco e direttrice rispettivamente:

Le coordinate del fuoco F sono:

Mentre l’equazione della direttrice è:

Prendiamo un generico punto P appartenente al luogo geometrico che vogliamo determinare ed imponiamo che la sua distanza dal fuoco sia uguale a quella della direttrice:

Inserendo le opportune formule abbiamo che

EQUAZIONE DELLA PARABOLA – CALCOLI

Sviluppando i calcoli otterremo l’equazione della parabola cercata, dunque ripartiamo dall’ultimo passaggio:

Riscriviamolo meglio:

Eleviamo tutto al quadrato a destra e sinistra:

Sviluppiamo i quadrati di binomio:

Eliminiamo i termini simili

Dividiamo infine tutto per 4.

Scopri il corso di geometria cartesiana.

 PARABOLA CON ASSE ∥ ASSE X

Quando rappresentiamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x altro non dobbiamo fare che ribaltare le x con le y.

L’equazione risulta dunque:

Nello schema sotto riportiamo il calcolo dei seguenti elementi:

• Vertice
• Fuoco 
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con l’asse x e y

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