Nello studio della geometria analitica dello spazio, analizzare la posizione tra una retta e un piano significa stabilire se essi si intersecano in un punto, se non si incontrano mai (sono paralleli), o se la retta giace interamente sul piano.
Per risolvere questi problemi, sfruttiamo la combinazione tra l’equazione parametrica della retta e l’equazione cartesiana del piano.
INDICE
Il metodo della sostituzione
Il metodo più diretto per determinare la posizione reciproca consiste nel mettere a sistema le equazioni.
Sia data una retta $r$ in forma parametrica:
$$r: \begin{cases} x = x_0 + l t \\ y = y_0 + m t \\ z = z_0 + n t \end{cases}$$
E un piano $\pi$ in forma cartesiana:
$$\pi: ax + by + cz + d = 0$$
Sostituendo le espressioni di $x, y, z$ della retta nell’equazione del piano, otteniamo un’equazione di primo grado nella variabile $t$ del tipo $At + B = 0$. La soluzione di questa equazione ci dirà tutto sulla configurazione geometrica:
- Incidenza (1 soluzione): Se l’equazione in $t$ ha una soluzione unica (cioè il coefficiente di $t$ è diverso da zero), la retta buca il piano in un punto. Sostituendo il valore di $t$ trovato nelle equazioni parametriche si ottengono le coordinate del punto di intersezione.
- Parallelismo (0 soluzioni): Se otteniamo un’espressione impossibile (come ad esempio $5=0$, dove il coefficiente di $t$ è nullo ma il termine noto no), la retta è parallela al piano e non lo tocca mai.
- Appartenenza (infinite soluzioni): Se otteniamo un’identità (come $0=0$, dove sia il coefficiente di $t$ che il termine noto sono nulli), l’equazione è verificata per ogni valore di $t$. Questo significa che ogni punto della retta appartiene al piano, ovvero la retta è contenuta nel piano.
Esempi pratici svolti
1. Retta incidente al piano
Consideriamo il piano $\pi$ e la retta $r$:
- $\pi: 2x – y + z – 3 = 0$
- $r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 3 + t \end{cases}$
Sostituiamo le coordinate della retta nell’equazione del piano:
$$2(1+t) – (2t) + (3+t) – 3 = 0$$
Svolgiamo i calcoli:
$$2 + 2t – 2t + 3 + t – 3 = 0$$
$$t + 2 = 0 \Rightarrow t = -2$$
Poiché esiste un unico valore per $t$ ($t = -2$), la retta è incidente.
Per trovare il punto di intersezione $P$, sostituiamo $t=-2$ nelle equazioni della retta:
- $x = 1 + (-2) = -1$
- $y = 2(-2) = -4$
- $z = 3 + (-2) = 1$
Il punto di intersezione è $P(-1, -4, 1)$.
2. Retta parallela al piano
Consideriamo il piano $\pi$ e la retta $s$ (passante per $P(0,0,5)$ con vettore direttore $v(1, -1, 0)$):
- $\pi: x + y + z = 0$
- $s: \begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = 5 \end{cases}$
Sostituiamo nel piano:
$$(t) + (-t) + (5) = 0$$
$$5 = 0$$
Questa è un’equazione impossibile. Non esiste alcun valore di $t$ che la soddisfi. Geometricamente, significa che non ci sono punti in comune: la retta è parallela e distinta dal piano.
Nota sui vettori: Questo risultato è coerente con l’analisi vettoriale. Il vettore direzionale della retta è $v(1,-1,0)$ e il vettore normale del piano è $n(1,1,1)$. Il loro prodotto scalare è:
$$v \cdot n = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(1) = 1 – 1 + 0 = 0$$
Poiché il prodotto scalare è nullo, i vettori sono perpendicolari, il che implica che la retta è parallela al piano.
3. Retta giacente sul piano (contenuta)
Consideriamo il piano $\pi$ e la retta $k$:
- $\pi: x – 2y + z – 1 = 0$
- $k: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}$
Sostituiamo nel piano:
$$(1+2t) – 2(t) + (0) – 1 = 0$$
$$1 + 2t – 2t – 1 = 0$$
$$0 = 0$$
L’equazione è un’identità, verificata per ogni valore di $t$. Ogni punto della retta appartiene al piano, quindi la retta è contenuta nel piano.
Se ti sono persi i passaggi precedenti fondamentali per comprendere questo argomento, ti consiglio di rileggere i nostri articoli su:
- La retta nello spazio: equazione parametrica e cartesiana
- Posizione di due rette nello spazio: teoria ed esercizi
- Piani e iperpiani nello spazio
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