Le matrici sono delle strutture matematiche composte da numeri disposti in righe e colonne.
DIMENSIONE DI UNA MATRICE
Ogni matrice può essere visto come un insieme di vettori riga o come un insieme di vettori messi in colonna.
Consideriamo una generica matrice A con m righe ed n colonne.
Potremo dire che questa matrice ha dimensione mxn.
Analogamente si può dire che A è una matrice del tipo mxn.
Per scrivere matematicamente questo possiamo usare le forme:
Dove aij è l’elemento che della matrice che si trova sulla riga i-esima e sulla colonna j-esima.
Se consideriamo ad esempio la matrice A:
diremo che è del tipo 2×3, o ancora più semplicemente è una 2×3ovvero presenta 2 righe e 3 colonne.
Quindi possiamo scrivere:
Per esprimere lo stesso concetto possiamo usare anche la seguente scrittura:
Dove con M(mxn) intendiamo l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne.
Nel caso della matrice 2×3 di prima possiamo affermare:
Questa è la scrittura che useremo in maniera principale.
Esistono tuttavia altri modi per definire questo concetto.
Quando i suoi elementi sono numeri reali possiamo anche scrivere:
Vedete un po’ voi qual è la vostra scrittura preferita e fatela vostra.
ELEMENTI ALGEBRICI, VETTORI RIGA E VETTORI COLONNA
ELEMENTI ALGEBRICI
Una matrice è dunque una struttura matematica dove i numeri sono disposti su n righe ed n colonne.
Una matrice generica di questo tipo può essere rappresentata in questo modo:
Definiamo aij l’elemento algebrico che si trova sulla riga i e sulla colonna j.
Il primo indice i sta indicare la riga sulla quale si trova, mentre il secondo indice j la colonna.
Ad esempio se consideriamo la matrice del tipo 4×3:
L’elemento a11 della prima riga e della prima colonna è:
Oppure l’elemento a23 che si trova sulla seconda riga e sulla terza colonna è:
Ancora, l’elemento a42 della quarta riga e seconda colonna è:
VETTORI RIGA E VETTORI COLONNA
La matrice A del tipo mxn può essere letta come un insieme m vettori scritti in riga e n vettori scritti in colonna.
Prendendo in esame la matrice A del tipo 4×3 vista sopra:
La possiamo vedere come 4 vettori scritti in riga:
Oppure anche come 3 vettori scritti in colonna:
MATRICI RIGA
La prima matrice più semplice è la matrice riga del tipo 1xn, composta da una sola riga.
Viene denominata anche vettore riga:
Ad esempio la seguente matrice riga:
È del tipo 1×4.
MATRICI COLONNA
La seconda matrice più semplice è del tipo mx1, con m righe e una sola colonna.
Viene chiamata anche vettore colonna.
Un esempio di vettore colonna del tipo 3×1 è:
MATRICI RETTANGOLARI
Le matrici rettangolari sono matrici del tipo mxn in cui il numero di riga è diverso dal numero di colonne:
Per esempio la matrice 3×2
MATRICI QUADRATE
Una matrice quadrata è una matrice mxn in cui il numero di righe m è uguale al numero di colonne n.
Quindi la possiamo definire come una matrice del tipo nxn.
Il numero di righe n che coincide con il numero di colonne è definito ordine della matrice
Parliamo dunque di matrici di ordine n.
Ne è un esempio la seguente matrice 3×3.
Le matrici quadrate sono le più studiate nell’ambito dell’algebra lineare.
Ad ogni matrice quadrata possiamo associare un numero particolare chiamato determinante.
Sono le uniche matrici che quando sono invertibili ammettono sia l’inversa a destra che quella a sinistra che si equivalgono.
Grazie al metodo dei minori, che sono sotto matrici quadrate è possibile ricavare il rango di una matrice.
Sono utilizzate nell’ambito dei sistemi lineari che presentano lo stesso numero di equazioni e di incognite.
PER APPROFONDIRE
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Una caratteristica fondamentale che si trova solo nelle matrici quadrate è la diagonale.
La diagonale principale è quella n-pla di numeri che parte dall’alto a sinistra e finisce in basso a destra.
Nella matrice appena presentata coloriamo gli elementi sulla diagonale principale:
Negli elementi della diagonale principale il numero della riga e della colonna su cui si trovano coincidono.
Definiamo un elemento sulla diagonale principale nel seguente modo:
La diagonale secondaria è invece formata dagli elementi che partono dall’alto a destra e finiscono in basso a destra.
Se n è l’ordine della matrice A la somma della riga e della colonna in cui tali elementi di trovano è pari a n+1.
Ad esempio nella matrice di ordine 3appena analizzata la somma degli indici di riga e di colonna è pari a 4.
MATRICI SIMMETRICHE
Le matrici simmetriche sono particolari matrici quadrate in cui gli elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.
Perciò avremo che:
Un esempio di questo tipo di matrice è:
Possiamo notare che:
MATRICI ANTISIMMETRICHE
Le matrici antisimmetriche hanno gli elementi che “si specchiano” (simmetrici) rispetto alla diagonale secondaria.
Ne costituisce un esempio la matrice:
MATRICI TRIANGOLARI SUPERIORI ED INFERIORI
Le matrici triangolari sono matrici quadrate che presentano tutti zeri sotto oppure sopra la diagonale principale.
TRIANGOLARI SUPERIORI
Quando gli zeri sono presenti nella parte inferiore si definiscono triangolari superiori.
In questo casi i numeri che non sono zeri formano un triangolo nella parte superiore della matrice.
Un esempio di matrice triangolare superiore è:
TRIANGOLARI INFERIORI
Quando gli zeri li troviamo sopra la diagonale principale i numeri sotto la diagonale insieme alla diagonale formano un triangolo inferiore.
Da qui prende il nome di matrice triangolare inferiore.
Ad esempio possiamo avere:
MATRICI DIAGONALI
Le matrici diagonali sono contemporaneamente triangoli superiori e inferiori.
Presentano zeri sia al di sotto che al di sopra della diagonale principale:
Come ad esempio la seguente matrice
MATRICI ANTIDIAGONALI
Le matrici anti diagonali hanno zeri sia al di sopra che al di sotto della diagonale secondaria.
Ad esempio:
MATRICE IDENTICA
La matrice identica è una matrice diagonale che presenta 1 lungo la diagonale principale.
Parliamo di identica di ordine 1, 2, 3, 4, ecc. a seconda della dimensione della matrice:
Le matrici identiche possono essere paragonali al numero 1 nel campo dei numeri reali.
Esse ricoprono un ruolo fondamentale per il calcolo delle matrici inverse della matrici quadrate.
MATRICE NULLA
La matrice nulla è una matrice che ha come elementi tutti zeri.
Possiamo trovarne di diversi tipi nxm
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