OPERAZIONI CON LE MATRICI

In questo articolo vediamo come si svolgono le operazioni elementari tra matrici.

Nello specifico le operazioni che vediamo sono:

• somma e differenza di matrici
• moltiplicazione di una costante per una matrice
• matrice riga per matrice colonna
• trasposizione di una matrice
•  moltiplicazione tra due matrici.

SOMMA DI MATRICI

Consideriamo due matrici A e B con la stessa dimensione mxn ovvero con m righe e n colonne.

$$ A = [a_{ij}] , B= [b_{ij}] \in M (m \times n) $$

Possiamo sommare queste due matrici ottenendo una matrice C del medesimo ordine in cui ogni elemento cij è ottenuto dalla somma degli elementi aij e bij.

$$ A+B = C = [c_{ij}] = [a_{ij}+b_{ij} ] \in (m \times n) $$

$$ a_{ij} \ \text{ è l’elemento sulla riga $i$ e sulla colonna $j$ della matrice $A$} $$ \\ $$ b_{ij} \ \text{ è l’elemento sulla riga $i$ e sulla colonna $j$ della matrice $B$} $$ \\ $$ c_{ij} \ \text{ è l’elemento sulla riga $i$ e sulla colonna $j$ della matrice $C$} $$

Sinteticamente possiamo anche scrivere :

$$ C = A + B = [a_{ij}] + [b_{ij}]= [a_{ij}+b_{ij} ] = [c_{ij}] \in (m \times n) $$

Per molti di voi questo concetto potrà sembrare un po’ difficile da comprendere.

Il segreto per capire il è quello di abbinare sempre alla spiegazione teorica un esempio pratico.

ESEMPIO DI SOMMA DI MATRICI

Consideriamo le due seguenti matrici A e B tali che:

$$ A,B \in M(2 \times 3) $$

Ovvero con 2 righe e 3 colonne.

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Facciamo la somma di queste due matrici e chiamiamola C:

$$ C = A+B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Ora sommiamo l’elemento a11 con l’elemento b11, poi l’elemento a12 con l’elemento b12 e così via.

$$ C = \begin{pmatrix} 2+(-1) & 1+1 & 3+(-2) \\ 1+2 & 0+1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Ed ecco che magicamente abbiamo la matrice somma:

PROPRIETÀ’ DELLA SOMMA TRA MATRICI

L’operazione di somma tra matrici gode delle seguenti proprietà:

Per ogni terna di matrici A, B e C della stessa dimensione mxn

$$ \forall A,B,C \in M(m \times n) $$

L’insieme delle matrici è chiuso rispetto alla somma

$$ A+B \in M(m \times n) $$

Vale la proprietà commutativa

$$ A+B = B+A $$

Vale inoltre la proprietà associativa

$$ (A+B) +C = A + (B+C) $

Esiste l’elemento neutro (matrice nulla O) per cui vale che:

$$ A + 0 = 0+A = A $$

Per ogni matrice A esiste una matrice opposta chiamata –A tale che sommata ad A restituisce l’elemento neutro

$$ \forall A = [a_{ij}] \in M(n \times n) \ \exists -A | A+(-A) = 0 $$

ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA

L’elemento neutro nelle matrici è una matrice O in cui tutti gli elementi sono pari a zero.

Questo elemento si definisce anche matrice nulla.

$$ 0 = [a_{ij}] = [0] \in M(n \times n) $$

Un esempio di matrice nulla del tipo 2×3 è :

$$ O_{2,3} = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$

ELEMENTO OPPOSTO (INVERSO NELLA SOMMA) DI UNA MATRICE

L’elemento opposto di una matrice A del tipo mxn è una matrice –A tale che tutti i suoi elementi sono opposti alla matrice A:

$$ -A = – [a_{ij}] = [-a_{ij}] \in M(n \times n) $$

Tale elemento prende il nome di matrice opposta.

Ad esempio l’elemento inverso della matrice A 2×3:

$$ A = \begin{pmatrix} 2&1&-3 \\ -1&0&1 \end{pmatrix} $$

È la matrice 

$$ -A = \begin{pmatrix} -2&-1&3 \\ 1&0&-1 \end{pmatrix} $$

DIFFERENZA TRA MATRICI 

Definiamo differenza tra due matrici con la stessa dimensione mxn la somma tra la prima matrice e la matrice inversa della seconda.

$$ \forall A,B \in M(m \times n) $$

$$ A-B = A+(-B) = [a_{ij}] + [-b_{ij}] = [a_{ij} -b_{ij} ] \in M(m \times n) $$

Se consideriamo le due matrici A e B del tipo 3×3 :

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$

la loro differenza risulta:

$$ A-B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$

sottriamo i corrispondenti elementi di riga e colonna

$$ A-B = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-2 & 3-3 \\ 1+2 & 0-3 & 1-1 \\ 1-1 & -1-2 & 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$

MOLTIPLICAZIONE DI UNA COSTANTE PER UNA MATRICE

Quando moltiplichiamo una costante per una matrice moltiplichiamo la costante per tutti gli elementi della matrice.

Se consideriamo una costante generica reale k e una matrice A con m righe e n colonne

$$ k \in \Re , \quad A \in M(m \times n) $$

Il prodotto tra la costante e la matrice si può scrivere come:

$$ k \cdot A = k \cdot [a_{ij}] \ \forall i, j $$

A seguito di questa operazione ogni elemento aij della matrice viene moltiplicato per k.

$$ k \cdot A = k \cdot [a_{ij}] = [k \cdot a_{ij}] \in (m \times n) $$

La matrice risultante dal prodotto ha la stessa dimensione della matrice di partenza A.

ESEMPIO DI PRODOTTO TRA COSTANTE E UNA MATRICE

Consideriamo la matrice A (3×3) 

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Se vogliamo raddoppiare questa matrice ovvero moltiplicarla per 2 scriviamo:

$$ \color{red}{2} \cdot A = \color{red}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Questo significa che moltiplichiamo per 2 ogni elemento della matrice:

$$ = \begin{pmatrix} \color{red}{2} \cdot 2 & \color{red}{2} \cdot 1 & \color{red}{2} \cdot (-3) \\ \color{red}{2} \cdot 1 & \color{red}{2} \cdot 0 & \color{red}{2} \cdot 1 \\ \color{red}{2} \cdot 1 & \color{red}{2} \cdot (-1) & \color{red}{2} \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} $$

PROPRIETÀ’ DEL PRODOTTO COSTANTE-MATRICE

L’operazione di costante per una matrice gode delle seguenti proprietà:

Per ogni coppia di matrici A e B della stessa dimensione mxn e per ogni coppia di numeri reali k e h:

$$ \forall A,B \in (m \times n) \land k,h \in \Re $$

L’insieme delle matrici è chiuso rispetto al prodotto scalare

$$ k \cdot (A+B) = k \cdot A + k \cdot A $$

Vale la proprietà distributiva rispetto alla somma

$$ (k+h) \cdot A = k \cdot A + h \cdot B $$

Esiste un elemento neutro I tale che:

$$ I \cdot A = A \cdot I = A $$

Attenzione: in generale non vale la proprietà commutativa!

Vale la proprietà associativa 

$$ k \cdot (h \cdot A) = (k \cdot h) \cdot A $$

MOLTIPLICAZIONE TRA UNA MATRICE RIGA E UNA MATRICE COLONNA

Questa operazione è anche definita prodotto scalare vettoriale.

Infatti si tratta del prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna.

Si definisce anche scalare poiché il risultato di questa operazione è un elemento scalareovvero un semplice numero.

Per fare il prodotto scalare vettoriale è necessario che il vettore riga e il vettore colonna abbiamo lo stesso numero di componenti.

Prendiamo un vettore riga A, ovvero una matrice del tipo 1xn, e un vettore colonna del tipo nx1.

$$ \forall A = [a_{i}] \in M(1 \times \color{red}{n}) , B = [b_{i}] \in M(\color{red}{n} \times 1 ) $$

Definiamo l’operazione di moltiplicazione come la sommatoria dei prodotti degli elementi nella stessa posizione

$$ A \cdot B = [a_{i}] \cdot [b_{i}] = \sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i \ \in \Re $$

Il prodotto tra i due vettori risulta una costante (reale)!

Vista in maniera più “tridimensionale” possiamo anche scrivere

$$ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_j & \cdots & a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_j \\ \cdots \\ b_n \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \cdots a_n \cdot b_n $$

Attenzione! nella teoria che vediamo è ammissibile “riga per colonna” ma non il contrario!

Prendiamo inconsiderazione il vettore riga A e il vettore colonna B:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Il prodotto scalare vettoriale dei due vettori è:

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) -2 \cdot 2 = 3+0-4 = -1 $$

Fin qui tutto “abbastanza semplice”.

Ora comincia il vero problema.

PER APPROFONDIRE L’ALGEBRA LINEARE

Per approfondire i temi dell’algebra lineare accedi al corso.

TRASPOSIZIONE DI UNA MATRICE : MATRICE TRASPOSTA.

La matrice trasposta è ottenuta invertendo le righe con le colonne di una matrice.

Consideriamo ad esempio la matrice A (2×3):

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La sua trasposta è:

$$ A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $$

La prima riga e la seconda riga della matrice A della matrice A sono diventate la prima e la seconda colonna della matrice trasposta.

Dunuqe, la trasposta di A ha in questo caso dimensione 3×2

Se in generale la matrice A è del tipo mxn la sua trasposta avrà dimensione nxm

$$ A = [a_{ij}] \in M(m \times n) \to \ A^T =[a_{ij}]^T= [a^T_{ij}]= [a_{ji}] \in (n \times m) $$

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

Scopri tutti i segreti dell’algebra lineare.

Vettori, matrici e sistemi lineari ti aspettano aspettano per un entusiasmante percorso.

Scopri il corso di algebra lineare ed affronta con successo i principali argomenti con teoria e tanti esempi pratici.

MOLTIPLICAZIONE TRA DUE MATRICI

L’ultima operazione che andiamo a vedere è tecnicamente più difficile delle altre.

Si tratta della moltiplicazione tra due matrici.

Moltiplicare due matrici significa andare a moltiplicare ogni vettore riga della prima matrice per ogni vettore colonna della seconda matrice.

Si tratta di tanti prodotti scalari vettoriali riga per colonna.

L’operazione è fattibile solamente quando il numero degli elementi di riga della prima matrice (sinistra) è uguale al numero di elemento della colonna della seconda matrice (destra).

Questa cosa succede quando le colonne della prima matrice sono uguali alle righe della seconda.

Sembra un grattacapo tremendo a leggersi per la prima volta.

Se A è una matrice nxh è ammissibile il prodotto con la matrice B solamente se questa è del tipo hxm.

La matrice prodotto C risultante dal prodotto di A (sinistra) e B (destra) sarà di ordine nxm.

Ovvero avrà come numero di righe quello di A e come numero di colonne quello di B.

$$ A \in M(\color{blue}{m} \times \color{red}{h}) , B \in M(\color{red}{h} \times \color{green}{n}) \to C = A \cdot B \in ( \color{blue}{m} , \color{green}{n}) $$

La matrice A va letta per righe:

$$ A= \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \cdots \\ r_i \\ \cdots \\ r_\color{blue}{m} \end{pmatrix} \begin{array}{cc} r_i \ \text{ è la $i$-esima riga della matrice A} \\ r_1, r_2, \dots , r_i , \dots , r_\color{blue}{m} \ \text{sono le $\color{blue}{m}$ righe della matrice} \end{array} $$

Ogni riga della matrice A ha h elementi.

Ciò significa che la matrice A ha h colonne.

$$ A= \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \cdots \\ r_i \\ \cdots \\ r_\color{blue}{m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1\color{red}{h}} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2\color{red}{h}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & {a_{ij}} & \cdots & a_{i\color{red}{h}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{\color{blue}{m}1} & a_{\color{blue}{m}2} & \cdots & a_{\color{blue}{m}j} & \cdots & a_{\color{blue}{m}\color{red}{h}} \end{pmatrix} $$

La seconda colonna B (destra) va letta invece per colonne:

$$ B= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_j & \cdots & c_\color{green}{n} \end{pmatrix} \begin{array}{cc} c_j \ \text{ è la $j$-esima colonna della matrice B} \\ c_1, c_2, \dots , c_j , \dots , c_\color{green}{n} \ \text{sono le $\color{green}{n}$ colonne della matrice} \end{array} $$

Sapendo che ogni colonna di B ha h elementi, significa affermare che la matrice B ha h righe.

$$ B= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_j & \cdots & c_\color{green}{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1\color{green}{n}} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2\color{green}{n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & {a_{ij}} & \cdots & a_{i\color{green}{n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{\color{red}{h}1} & a_{\color{red}{h}2} & \cdots & a_{\color{red}{h}j} & \cdots & a_{\color{red}{h}\color{green}{n}} \end{pmatrix} $$

Se la matrice C è il prodotto della matrice A (mxh) con la matrice B (hxn) allora ha dimensione mxh.

Ovvero avrà il numero di righe della matrice A e il numero di colonne della matrice B.

Ogni suo elemento cij (riga i e colonna j)è ottenuto come il prodotto della riga i della matrice A con a colonna j della matrice B.

$$ C = [c_{ij}] = [a_{ij}] \cdot [b_{ij}] = [r_i \cdot c_j] $$

$$ C = A \cdot B = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \cdots \\ \color{red}{r_i} \\ \cdots \\ r_{m} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & \color{red}{c_j} & \cdots & c_{n} \end{pmatrix} = [\color{red}{c_{ij}} ] = [\color{red}{r_i} \cdot \color{red}{c_j} ] $$

ESEMPIO DI MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI

Consideriamo le seguenti matrici A (2×3) e B(2×3).

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Se moltiplichiamo la matrice A (sinistra) per la matrice B (destra) otteniamo una matrice C (2×2)

$$ A \in M(\color{blue}{2} \times \color{red}{3}) , B \in M(\color{red}{3} \times \color{green}{2}) \to C = A \cdot B \in ( \color{blue}{2} , \color{green}{2}) $$

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$

Calcoliamo ora c11.

Per farlo moltiplichiamo la prima riga di A per la prima colonna di B.

$$ \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{3} \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 \\ \color{red}{-1} & 1 \\ \color{red}{1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{c_{11}} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$

$$ \color{red}{c_{11}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 2-1+3 = 4 $$

Ora passiamo a c12

$$ \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{3} \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{2} \\ -1 & \color{red}{1} \\ 1 & \color{red}{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & \color{red}{c_{12}} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$

$$ \color{red}{c_{12}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 4+1+0 = 5 $$

Adesso occupiamoci del calcolo di c21:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 \\ \color{red}{-1} & 1 \\ \color{red}{1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ \color{red}{c_{21}} & c_{22} \end{pmatrix}$$

$$ \color{red}{c_{21}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1+0+1 = 2 $$

Infine non ci resta che c22:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{2} \\ -1 & \color{red}{1} \\ 1 & \color{red}{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & \color{red}{c_{22}} \end{pmatrix}$$

$$ \color{red}{c_{22}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2+0+0 = 2 $$

Ed ecco che abbiamo trovato la nostra matrice prodotto C:

$$ C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

PROPRIETÀ’ DEL PRODOTTO DI MATRICI

PROPRIETÀ’ DELLA MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI

Se A, B e C sono tre matrici aventi un numero di righe e di colonne che consentono le operazioni indicate, allora il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà:

distributiva rispetto alla somma:

$$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C $$

$$ A \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C $$

Associativa 

$$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $$

La matrice trasposta di un prodotto è il prodotto delle trasposte:

$$ (A \cdot B) ^T = B^T \cdot A^T $$

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se questo articolo ti ha ispirato qualche domanda inerente all’argomento, scrivila pure nei commenti.

Grazie ai tuoi dubbi potrai aiutare molti altri utenti a risolvere i loro dubbi.

IMPARA L’ALGEBRA LINEARE

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

Scopri tutti i corsi di matematica