In questo articolo vediamo come si svolgono le operazioni elementari tra matrici.
Nello specifico le operazioni che vediamo sono:
- somma e differenza di matrici
- moltiplicazione di una costante per una matrice
- matrice riga per matrice colonna
- trasposizione di una matrice
- moltiplicazione tra due matrici.
SOMMA DI MATRICI
Consideriamo due matrici A e B con la stessa dimensione mxn ovvero con m righe e n colonne.
Possiamo sommare queste due matrici ottenendo una matrice C del medesimo ordine in cui ogni elemento cij è ottenuto dalla somma degli elementi aij e bij.
Sinteticamente possiamo anche scrivere :
Per molti di voi questo concetto potrà sembrare un po’ difficile da comprendere.
Il segreto per capire il è quello di abbinare sempre alla spiegazione teorica un esempio pratico.
ESEMPIO DI SOMMA DI MATRICI
Consideriamo le due seguenti matrici A e B tali che:
Ovvero con 2 righe e 3 colonne.
Facciamo la somma di queste due matrici e chiamiamola C:
Ora sommiamo l’elemento a11 con l’elemento b11, poi l’elemento a12 con l’elemento b12 e così via.
Ed ecco che magicamente abbiamo la matrice somma:
PROPRIETÀ’ DELLA SOMMA TRA MATRICI
L’operazione di somma tra matrici gode delle seguenti proprietà:
Per ogni terna di matrici A, B e C della stessa dimensione mxn
L’insieme delle matrici è chiuso rispetto alla somma
Vale la proprietà commutativa
Vale inoltre la proprietà associativa
Esiste l’elemento neutro (matrice nulla O) per cui vale che:
Per ogni matrice A esiste una matrice opposta chiamata –A tale che sommata ad A restituisce l’elemento neutro
ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA
L’elemento neutro nelle matrici è una matrice O in cui tutti gli elementi sono pari a zero.
Questo elemento si definisce anche matrice nulla.
Un esempio di matrice nulla del tipo 2×3 è :
ELEMENTO INVERSO DI UNA MATRICE
L’elemento opposto di una matrice A del tipo mxn è una matrice –A tale che tutti i suoi elementi sono opposti alla matrice A:
Tale elemento prende il nome di matrice opposta.
Ad esempio l’elemento inverso della matrice A 2×3:
È la matrice
DIFFERENZA TRA MATRICI
Definiamo differenza tra due matrici con la stessa dimensione mxn la somma tra la prima matrice e la matrice inversa della seconda.
Se consideriamo le due matrici A e B del tipo 3×3 :
MOLTIPLICAZIONE DI UNA COSTANTE PER UNA MATRICE
Quando moltiplichiamo una costante per una matrice moltiplichiamo la costante per tutti gli elementi della matrice.
Se consideriamo una costante generica reale k
e una matrice A con m righe e n colonne
Il prodotto tra la costante e la matrice si può scrivere come:
A seguito di questa operazione ogni elemento aij della matrice viene moltiplicato per k.
La matrice risultante dal prodotto ha la stessa dimensione della matrice di partenza A.
ESEMPIO DI PRODOTTO TRA COSTANTE E UNA MATRICE
Consideriamo la matrice A (3×3)
Se vogliamo raddoppiare questa matrice ovvero moltiplicarla per 2 scriviamo:
Questo significa che moltiplichiamo per 2 ogni elemento della matrice:
PROPRIETÀ’ DEL PRODOTTO COSTANTE-MATRICE
L’operazione di costante per una matrice gode delle seguenti proprietà:
Per ogni coppia di matrici A e B della stessa dimensione mxn e per ogni coppia di numeri reali k e h:
L’insieme delle matrici è chiuso rispetto al prodotto scalare
Vale la proprietà distributiva rispetto alla somma
Esiste un elemento neutro I tale che:
Vale la proprietà associativa
Vale la proprietà associativa
MOLTIPLICAZIONE TRA UNA MATRICE RIGA E UNA MATRICE COLONNA
Questa operazione è anche definita prodotto scalare vettoriale.
Infatti si tratta del prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna.
Si definisce anche scalare poiché il risultato di questa operazione è un elemento scalareovvero un semplice numero.
Per fare il prodotto scalare vettoriale è necessario che il vettore riga e il vettore colonna abbiamo lo stesso numero di componenti.
Prendiamo un vettore riga A, ovvero una matrice del tipo 1xn, e un vettore colonna del tipo nx1.
Definiamo l’operazione di moltiplicazione come:
Vista in maniera più “tridimensionale” possiamo anche scrivere
Prendiamo inconsiderazione il vettore riga A e il vettore colonna B:
Il prodotto scalare vettoriale dei due vettori è:
Fin qui tutto “abbastanza semplice”.
Ora comincia il vero problema.
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TRASPOSIZIONE DI UNA MATRICE : MATRICE TRASPOSTA.
La matrice trasposta è ottenuta invertendo le righe con le colonne di una matrice.
Consideriamo ad esempio la matrice A (2×3):
La sua trasposta è:
La prima riga e la seconda riga della matrice A della matrice A sono diventate la prima e la seconda colonna della matrice trasposta.
La trasposta di A ha in questo caso dimensione 3×2
Se in generale la matrice A è del tipo mxn la sua trasposta avrà dimensione nxm
MOLTIPLICAZIONE TRA DUE MATRICI
L’ultima operazione che andiamo a vedere è tecnicamente più difficile delle altre.
Si tratta della moltiplicazione tra due matrici.
Moltiplicare due matrici significa andare a moltiplicare ogni vettore riga della prima matrice per ogni vettore colonna della seconda matrice.
Si tratta di tanti prodotti scalari vettoriali riga per colonna.
L’operazione è fattibile solamente quando il numero degli elementi di riga della prima matrice (sinistra) è uguale al numero di elemento della colonna della seconda matrice (destra).
Questa cosa succede quando le colonne della prima matrice sono uguali alle righe della seconda.
Sembra un grattacapo tremendo a leggersi per la prima volta.
Se A è una matrice nxh è ammissibile il prodotto con la matrice B solamente se questa è del tipo hxm.
La matrice prodotto C risultante dal prodotto di A (sinistra) e B (destra) sarà di ordine nxm.
Ovvero avrà come numero di righe quello di A e come numero di colonne quello di B.
La matrice A va letta per righe:
Dove:
In particolare
Ogni riga della matrice A ha h elementi.
Ciò significa che la matrice A ha h colonne.
La seconda colonna B (destra) va letta invece per colonne:
Dove:
In particolare
Sapendo che ogni colonna di B ha h elementi, significa affermare che la matrice B ha h righe.
Se la matrice C è il prodotto della matrice A (mxh) con la matrice B (hxn) allora ha dimensione mxh.
Ovvero avrà il numero di righe della matrice A e il numero di colonne della matrice B.
Ogni suo elemento cij (riga i e colonna j)è ottenuto come il prodotto della riga i della matrice A con a colonna j della matrice B.
ESEMPIO DI MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI
Consideriamo le seguenti matrici A (2×3) e B(2×3).
Se moltiplichiamo la matrice A (sinistra) per la matrice B (destra) otteniamo una matrice C (2×2)
Calcoliamo ora c11.
Per farlo moltiplichiamo la prima riga di A per la prima colonna di B.
Ora passiamo a c12
Adesso occupiamoci del calcolo di c21:
Infine non ci resta che c22:
Ed ecco che abbiamo trovato la nostra matrice prodotto C:
PROPRIETÀ’ DEL PRODOTTO DI MATRICI
PROPRIETÀ’ DELLA MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI
Se A, B e C sono tre matrici aventi un numero di righe e di colonne che consentono le operazioni indicate, allora il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà:
distributiva rispetto alla somma:
Associativa
La matrice trasposta di un prodotto è il prodotto delle trasposte:
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