In questo articolo parliamo del metodo dei minori per trovare rango di una matrice quadrata.
Il rango di una matrice è il numero di vettori riga che sono linearmente indipendenti che coincide con il numero di vettori colonna linearmente indipendenti
Ma come facciamo a trovare questo rango?
Esistono diversi metodi per trovare il rango di una matrice.
Il primo metodo è quello del determinante dei minori (di cui parliamo in questo articolo).
Mentre il secondo metodo è quello degli elementi speciali, detti anche elementi pivotali.
INDICE
MINORE DI UNA MATRICE E ORDINE DEL MINORE
Si definisce minore di una matrice una sottomatrice quadrata ricavata dalla matrice presa in considerazione eliminando un certo numero di righe/ colonne dalla matrice di partenza.
Essendo una matrice quadrata il minore ha lo stesso numero di righe/colonne.
L’ordine del minore è il numero di righe/colonne del minore che stiamo considerando.
ESEMPIO
Supponendo che la matrice A è una m x n (m righe ed n colonne) l’ordine massimo dei minori ottenibile è il minimo valore tra m e n.
$$ \text{se } A \in (m \times n) \to \text{ordine max} = \min (m,n) $$
Consideriamo come esempio la seguente matrice:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Si tratta come vedete di una matrice con 3 righe e 4 colonne.
Eliminando una qualche riga o colonna al fine di ottenere matrici sotto quadrate al massimo tali matrici non potranno superare le tre righe e tre colonne.
Quindi diremo che l’ordine massimo dei minori è 3.
$$ A \in (4 \times 3) \to \text{ordine max} = \min (4,3) = 3$$
Ad esempio eliminando l’ultima colonna otteniamo il minore:
$$ M_{3,1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Quando scriviamo M(3,1) il 3 sta ad indicare l’ordine del minore, mentre l’1 indica che è il primo minore di quell’ordine preso in considerazione.
Si tratta di una simbologia convenzionale.
Vi faccio notare che da questa matrice possiamo ottenere un totale di 4 minori di ordine 3.
Otteniamo un minore di ordine 3 ogni volta che dalla matrice A eliminiamo una colonna.
Elenchiamo i minori di ordine 3.
$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Partendo sempre dalla matrice A se volessimo ottenere dei minori di ordine 2, dovremmo eliminare 1 riga e 2 colonne.
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Ad esempio se eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne otteniamo il minore di ordine 2.
Ad esempio se eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne otteniamo il minore di ordine 2:
$$ M_{2,1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Quanti minori di ordine 2 possiamo ottenere da questa matrice?
Il calcolo ad occhio comincia ad essere un po’ difficile ma se fate tutte le prove possibili vi garantisco che potete ottenere fino a ben 18 minori.
Per ovvie ragioni non andiamo a riportarli.
Da cosa ha origine questo calcolo?
In pratica moltiplichiamo le righe, cioè 3, che possiamo eleminare per tutte le coppie di colonne che possiamo eliminare che sono 6.
I minori di ordine 1 sono i singoli elementi della matrice A, ovvero 12 elementi.
QUANTI MINORI DI ORDINE h?
Se consideriamo una matrice m*n quanti minori di ordine h (con h<m,n) possiamo estrarre?
La numerosità dei minori di un generico ordine h può essere espressa in termini di combinazioni mediante la seguente formula:
$$ n ( \text{minori di ordine } h) = \begin{pmatrix} m \\ h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n \\ h \end{pmatrix} $$
Dove i termini dentro le parentesi sono i coefficienti binomiali e si leggono rispettivamente m combinato h e n combinato h.
Prendendo in considerazione ad esempio una matrice 4*3
abbiamo:
$$ \begin{array}{cccc} n ( \text{minori di ordine } 3) &= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} &= 1 \cdot 4 &= 4 \\ n ( \text{minori di ordine } 2) &= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} &= 3 \cdot 6 &= 18 \\ n ( \text{minori di ordine } 1) &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &= 3 \cdot 4 &= 12 \end{array} $$
Se pensiamo a matrici più grandi i risultati potrebbero veramente stupisci.
Ad esempio quanti minori di ordine 5 esistono in una matrice 10×9 ?
$$ n ( \text{minori di ordine } 5 = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \end{pmatrix} = 252 \cdot 126 = 31.752 $$
DETERMINANTE CON IL METODO DEI MINORI
Se partiamo da una matrice A m*n cominciamo a considerare i minori di ordine max supponiamo pari a k, dove:
$$ k = \text { ordine max } = \min (m,n) $$
Se almeno uno di questi minori ha determinante non nullo diciamo che il rango di questa matrice è pari a k.
Ovvero in questa matrice ci sono k righe linearmente indipendenti e k colonne linearmente indipendenti.
Se diversamente tutti i minori hanno determinante nullo, allora dovremo prendere in considerazione i minori di ordine k-1 e ripetere la stessa procedura.
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ESEMPIO
Consideriamo come esempio la seguente matrice A 3*4
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Essendo una 3*4 l’ordine massimo dei minori è:
$$ k = \text { ordine max } = \min (4,3)= 3 $$
I minori di ordine 3 sono:
$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Se almeno uno di questi minori ha determinante diverso da zero concludiamo che il rango di A è pari a 3.
Calcoliamo il determinante del primo minore usando il metodo di Laplace.
Scegliamo come riferimento la seconda riga poiché contiene uno zero.
$$ \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right| = -1 \cdot \begin{array}{|cc|} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{array} -1 \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} = -1 \cdot 3 -1 \cdot (-3) = 0 $$
Siccome il determinante del primo minore di ordine 3 è pari a zero, dobbiamo testare anche gli altri determinanti.
Se troviamo che anche uno di questi ha determinante diverso da zero ci fermiamo e concludiamo che il rango è pari a tre.
Se diversamente tutti i determinanti sono nulli passeremo ai minori di ordine 2.
Proseguiamo dunque a calcolare il rango del secondo minore di ordine 3 e scegliamo la seconda riga.
$$ \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right| = -1 \cdot \begin{array}{|cc|} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{array} +2 \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} = -1 \cdot 6 +2 \cdot (-3) = 0 $$
Avendo trovato 0 passiamo al determinante del terzo minore, scegliendo l’ultima riga.
$$ \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right| = 1 \cdot \begin{array}{|cc|} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} +2 \cdot \begin{array}{|cc|} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} = 1 \cdot 2 +2 \cdot (-1) = 0 $$
Poiché anche il terzo minore ha determinante zero testiamo l’ultimo minore, scegliendo la seconda riga:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{array} \right| = 1 \cdot \begin{array}{|cc|} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{array} +2 \cdot \begin{array}{|cc|} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{array} = 1 \cdot 6 +2 \cdot (-3) = 0 $$
Siccome tutti i minori della matrice hanno determinante nullo il rango della matrice non può essere tre.
Passiamo dunque ad analizzare i minori di ordine due.
Abbiamo detto che in tutto la nostra matrice A ammette 18 minori, ma a noi basta identificarne anche uno solo con determinante diverso da zero per concludere che il rango della matrice è 2.
Se consideriamo la matrice A:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
ed eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne.
Notiamo immediatamente che si tratta di un minore con determinante diverso da zero.
$$ \begin{array}{|cc|} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} = 2 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \ne 0 $$
Il rango di questa matrice è pari a due.
Ovvero vi sono due righe linearmente indipendenti e due colonne linearmente indipendenti.
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QUALI SONO LE RIGHE/COLONNE LINEARMENTE INDIPENDENTI.
Se troviamo che il rango di una matrice A m*n è uguale a R questo significa che vi sono R righe linearmente indipendenti e R colonne linearmente indipendenti.
Delle m righe della matrice R sono linearmente indipendenti, mentre m–R righe sono linearmente dipendenti.
Questo significa che questo m–R righe possono essere ottenute attraverso una combinazione lineare delle R righe linearmente indipendenti.
Analogamente delle n colonne della matrice R colonne sono linearmente indipendenti, mentre n-R colonne sono linearmente dipendenti.
Ovvero queste m-R colonne sono una combinazione lineare delle R colonne linearmente indipendenti.
Come facciamo a capire quali sono queste R righe e queste R colonne linearmente indipendenti?
La risposta è semplice.
Sono le righe e le colonne che passano per il minore di ordine maggiore con determinante diverso da zero.
ESEMPIO
Consideriamo ancora la matrice A 3*4 di cui abbiamo precedentemente calcolato il rango.
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Abbiamo identificato come minore di ordine massimo con determinante non nullo:
$$ M_{2,1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Per questo minore passano proprio due righe e due colonne della matrice A.
Se infatti osserviamo bene la terza colonna è la somma delle prime 2:
$$ c_3= c_1 + c_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 9 \end{pmatrix} $$
Mentre la quarta colonna è il doppio della prima colonna:
$$ c_4 = 2 \cdot c_1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Passando alle righe possiamo notare che la terza riga è ottenuta sottraendo la prima riga dal triplo della seconda riga:
$$ r_3 = -r_1 +3r_3 = \ – \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
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