Il rango di una matrice è il numero di vettori riga che sono linearmente indipendenti che coincide con il numero di vettori colonna linearmente indipendenti
Ma come facciamo a trovare questo rango?
Esistono diversi metodi per trovare il rango di una matrice.
Due di questi sono molto citati nell’ambito dell’algebra lineare.
Il primo metodo è quello del determinante dei minori.
Mentre il secondo metodo è quello degli elementi speciali, detti anche elementi pivotali.
METODO DEL DETERMINANTE DEI MINORI
In questo articolo parliamo del primo metodo, quello del determinante dei minori.
MINORE DI UNA MATRICE E ORDINE DEL MINORE
Si definisce minore di una matrice una sottomatrice quadrata ricavata dalla matrice presa in considerazione eliminando un certo numero di righe/ colonne dalla matrice di partenza.
Essendo una matrice quadrata il minore ha lo stesso numero di righe/colonne.
L’ordine del minore è il numero di righe/colonne del minore che stiamo considerando.
ESEMPIO
Supponendo che la matrice A è una m x n (m righe ed n colonne) l’ordine massimo dei minori ottenibile è il minimo valore tra m e n.
Consideriamo come esempio la seguente matrice:
Si tratta come vedete di una matrice con 3 righe e 4 colonne.
Eliminando una qualche riga o colonna al fine di ottenere matrici sotto quadrate al massimo tali matrici non potranno superare le tre righe e tre colonne.
Quindi diremo che l’ordine massimo dei minori è 3.
Ad esempio eleminando l’ultima colonna otteniamo il minore:
Quando scriviamo M(3,1) il 3 sta ad indicare l’ordine del minore, mentre l’1 indica che è il primo minore di quell’ordine preso in considerazione.
Si tratta di una simbologia convenzionale.
Vi faccio notare che da questa matrice possiamo ottenere un totale di 4 minori di ordine 3.
Otteniamo un minore di ordine 3 ogni volta che dalla matrice A eliminiamo una colonna.
Elenchiamo i minori di ordine 3.
Partendo sempre dalla matrice A se volessimo ottenere dei minori di ordine 2, dovremmo eliminare 1 riga e 2 colonne.
Ad esempio se eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne otteniamo il minore di ordine 2.
Ad esempio se eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne otteniamo il minore di ordine 2:
Quanti minori di ordine 2 possiamo ottenere da questa matrice?
Il calcolo ad occhio comincia ad essere un po’ difficile ma se fate tutte le prove possibili vi garantisco che potete ottenere fino a ben 18 minori.
Per ovvie ragioni non andiamo a riportarli.
Da cosa ha origine questo calcolo?
In pratica moltiplichiamo le righe, cioè 3, che possiamo eleminare per tutte le coppie di colonne che possiamo eliminare che sono 6.
I minori di ordine 1 sono i singoli elementi della matrice A, ovvero 12 elementi.
QUANTI MINORI DI ORDINE h?
Se consideriamo una matrice m*n quanti minori di ordine h (con h<m,n) possiamo estrarre?
La numerosità dei minori di un generico ordine h può essere espressa in termini di combinazioni mediante la seguente formula:
Dove i termini dentro le parentesi sono i coefficienti binomiali e si leggono rispettivamente m combinato h e n combinato h.
Prendendo in considerazione ad esempio una matrice 4*3
abbiamo:
DETERMINANTE CON IL METODO DEI MINORI
Se partiamo da una matrice A m*n cominciamo a considerare i minori di ordine max supponiamo pari a k, dove:
Se almeno uno di questi minori ha determinante non nullo diciamo che il rango di questa matrice è pari a k.
Ovvero in questa matrice ci sono k righe linearmente indipendenti e k colonne linearmente indipendenti.
Se diversamente tutti i minori hanno determinante nullo, allora dovremo prendere in considerazione i minori di ordine k-1 e ripetere la stessa procedura.
Per approfondire scopri il corso di algebra lineare.
ESEMPIO
Consideriamo come esempio la seguente matrice A 3*4
Essendo una 3*4 l’ordine massimo dei minori è:
I minori di ordine 3 sono:
Se almeno uno di questi minori ha determinante diverso da zero concludiamo che il rango di A è pari a 3.
Calcoliamo il determinante del primo minore usando il metodo di Laplace.
Scegliamo come riferimento la seconda riga poiché contiene uno zero.
Siccome il determinante del primo minore di ordine 3 è pari a zero, dobbiamo testare anche gli altri determinanti.
Se troviamo che anche uno di questi ha determinante diverso da zero ci fermiamo e concludiamo che il rango è pari a tre.
Se diversamente tutti i determinanti sono nulli passeremo ai minori di ordine 2.
Per questo minore scegliamo la seconda riga.
Avendo trovato 0 passiamo al determinante del terzo minore, scegliendo l’ultima riga.
Poiché anche il terzo minore ha determinante zero testiamo l’ultimo minore, scegliendo la seconda riga:
Siccome tutti i minori della matrice hanno determinante nullo il rango della matrice non può essere tre.
Passiamo dunque ad analizzare i minori di ordine due.
Se consideriamo la matrice A:
ed eliminiamo l’ultima riga e le ultime due colonne otteniamo il seguente minore:
Notiamo immediatamente che si tratta di un minore con determinante diverso da zero.
Infatti:
Il rango di questa matrice è pari a due.
Ovvero vi sono due righe linearmente indipendenti e due colonne linearmente indipendenti.
QUALI SONO LE RIGHE/COLONNE LINEARMENTE INDIPENDENTI.
Se troviamo che il rango di una matrice A m*n è uguale a R questo significa che vi sono R righe linearmente indipendenti e R colonne linearmente indipendenti.
Delle m righe della matrice R sono linearmente indipendenti, mentre m–R righe sono linearmente dipendenti.
Questo significa che questo m–R righe possono essere ottenute attraverso una combinazione lineare delle R righe linearmente indipendenti.
Analogamente delle n colonne della matrice R colonne sono linearmente indipendenti, mentre n-R colonne sono linearmente dipendenti.
Ovvero queste m-R colonne sono una combinazione lineare delle R colonne linearmente indipendenti.
Come facciamo a capire quali sono queste R righe e queste R colonne linearmente indipendenti?
La risposta è semplice.
Sono le righe e le colonne che passano per il minore di ordine maggiore con determinante diverso da zero.
ESEMPIO
Consideriamo ancora la matrice A 3*4 di cui abbiamo precedentemente calcolato il rango.
Abbiamo identificato come minore di ordine massimo con determinante non nullo:
Per questo minore passano proprio due righe e due colonne della matrice A.
Se infatti osserviamo bene la terza colonna è la somma delle prime 2:
Mentre la quarta colonna è il doppio della prima colonna:
Passando alle righe possiamo notare che la terza riga è ottenuta sottraendo la prima riga dal triplo della seconda riga:
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