Per calcolare una matrice inversa esistono diversi metodi.
Tra i più importanti ricordiamo il metodo del sistema lineare, quello del determinante ed infine quello di Gauss.
In questo articolo andiamo a parlare proprio di quest’ultimo.
Premetto che ci occuperemo solamente di matrici quadrate.
METODO GAUSS PER IL CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA.
Una matrice inversa di una matrice quadrata A è quella matrice A-1 tale che moltiplicata a destra o a sinistra per la matrice A ci fa ottenere come risultato la matrice identica.
Il metodo Gauss per il calcolo della matrice inversa si può definire come un ampliamento della procedura per risolvere un sistema lineare, sfruttando le combinazioni lineari tra le righe.
Se partiamo da un generico sistema lineare del tipo:
Lavoriamo sulla matrice completa di sistema:
Con il metodo Gauss andiamo a diagonalizzare la matrice A fino a renderla matrice identica.
In questo modo giungiamo ad una forma del tipo:
Dove il vettore B’ coincide con X vettore delle incognite.
Quindi potremmo anche scrivere
Questa diagonalizzazione avviene effettuando combinazioni lineari tra le righe di modo da avere gli zeri nelle posizioni desiderate.
In modo analogo si potrebbe ampliare il ragionamento per calcolare la matrice inversa.
Supposto di trovarci di fronte alla seguente equazione matriciale:
Dove la matrice I è la matrice identica di ordine n.
Si intuisce subito che la matrice X deve essere per forza la matrice inversa della matrice A.
Infatti è quella matrice che moltiplicata per la matrice A (in questo caso a destra) mi fa ottenere la matrice identica.
Confrontiamo un attimo le due scritture:
Ne deve necessariamente scaturire che:
Basandoci sulla matrice completa:
Possiamo effettuare il procedimento di diagonalizzazione di Gauss che si basa sulle combinazioni lineari tra righe, in modo da ottenere la matrice identica al posto della matrice A.
In questo modo otteniamo la matrice inversa al posto della matrice identica:
Questo corrisponde in termini di sistemi lineari a risolvere l’equazione matriciale nel seguente modo:
Per chi di voi facesse fatica a leggere questa scrittura non preoccupatevi.
Il segreto per comprendere quanto appena detto consiste nel fare un esercizio pratico che vi possa chiarire la maggior parte dei dubbi.
ESEMPIO DI COME RICAVARE LA MATRICE INVERSA CON IL METODO GAUSS
Prendiamo in esame la seguente matrice quadrata A di ordine 3:
Vogliamo risolvere la seguente equazione matriciale del tipo:
Dove X rappresenta la matrice inversa.
Se volessimo scriverla per esteso diremo:
Prendiamo ora la matrice completa di sistema A|I
Vogliamo diagonalizzare per prima cosa la matrice A.
A tal fine focalizziamo l’attenzione sulla prima riga ed in particolare sul primo elemento.
Se vogliamo creare gli zeri sotto questo elemento sostituiamo la seconda riga e la terza riga con il doppio di queste meno la prima:
ottenendo così la matrice A|B
Da notare che abbiamo chiamato questa matrice A|B e non A|I’.
Questa scelta è stata assolutamente personale.
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Ho volutamente togliere la tratta della matrice identica, ma è solo questione di simbologia.
Se preferite chiamare la prossima A|C, oppure A’|B’ o ancora A|B’ (come faremo) non c’è problema.
L’importante è capire che si tratta di una matrice distinta ma equivalente in quanto a soluzioni del sistema lineare.
Quindi massima concentrazione perché dobbiamo fare il calcoli giusti.
La prossima mossa è quella di concentrarci sulla seconda riga e fissare la nostra attenzione sul secondo elemento.
L’obiettivo è creare gli zeri sopra e sotto questo elemento (sulla seconda colonna).
A tal fine sostituiamo la prima riga con la somma tra la prima e la seconda riga.
Mentre al posto della terza riga scriviamo la differenza tra la terza riga e il triplo della seconda
Ora dividiamo sia la prima che la terza riga per 2.
Adesso non ci resta che focalizzare l’attenzione sulla terza riga, in particolare sul terzo elemento per creare gli zeri sopra di questo.
Al posto della prima riga scriviamo la somma tra il quadruplo della prima e la terza.
Mentre al posto della seconda riga scriviamo 8 volte la seconda più 7 volte la terza.
Ora siamo a un breve passo dalla vittoria.
Dobbiamo ottenere solamente la matrice identica alla sinistra della barra separatrice.
Per far questo dividiamo le tre righe rispettivamente per 4, –8 e –8.
Otteniamo a questo punto quella che possiamo chiamare matrice I|A-1, dove magicamente compare la nostra matrice inversa a destra della barra.
Ecco qui la nostra bellissima matrice inversa ricavata grazie al metodo Gauss:
PICCOLA NOTA FINALE SUL METODO DI GAUSS
Come abbiamo accennato in precedenza il metodo di Gauss per ricavare la matrice inversa non è altro che un ampliamento del metodo di Gauss per risolvere sistemi lineari.
Partendo dal sistema lineare
Con A matrice dei coefficienti e X e B vettori.
Se volessimo inserire altre incognite con la stessa matrice A dei coefficienti non dovremmo fare altro che appaiare in maniera ordinata i vettori X e i vettori B.
Se volessimo ad esempio unire i 2 sistemi lineari:
Potremmo scrivere:
Ad esempio consideriamo questi due sistemi lineari:
Le forme matriciali di questi due sistemi sono rispettivamente:
Essendo che i due sistemi hanno la stessa matrice dei coefficienti possiamo anche scrivere il tutto con un’equazione di tipo matriciale:
Quando adottiamo il metodo Gauss di riduzione della matrice A ad una matrice identica stiamo risolvendo contemporaneamente i due sistemi lineari.
Allo stesso modo quando vogliamo mettere insieme tre sistemi lineari possiamo scrivere:
Se A è una matrice quadrata di ordine 3, proprio come quella dell’esempio analizzato, e B1, B2 e B3 sono i tre versori fondamentali di R3 otteniamo proprio l’equazione:
Che è l’equazione che ci permette di trovare la matrice inversa.
Ovviamente questo può essere facilmente generalizzabili in Rn ovvero quando tutte e tre le matrici dell’equazione sono quadrate di ordine n.
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