NOZIONE DI VETTORE
Nell’algebra lineare lo studio dei vettori linearmente dipendenti e indipendenti occupa un ruolo di assoluta importanza.
Fissato un campo k, molto spesso coincidente con l’insieme dei numeri reali, possiamo immaginare un vettore come una ennupla ordinata di numeri.
V = (x1, x2, x3, …., xn), con x1, x2, .., xn appartenenti ad R
Diciamo quindi che il vettore v appartiene ad R^n.
Molto spesso per indicare che ci troviamo di fronte ad un vettore indichiamo la lettera v con un trattino in basso.
Esempio di vettore potrebbe essere il seguente
VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI
Dati k vettori costruiti sopra lo stesso campo (esempio R), ed aventi lo stesso numero di componenti (esempio n) dichiamo che questi vettori sono linearmente dipendenti se non possiamo scrivere nessuno di questi k vettori come combinazione lineare degli altri k-1 vettori.
Scritto in simboli:
Dati k vettori con n componenti
e k-1 costanti
Preso un generico vettore vi:
COMBINAZIONI LINEARI E VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI
Siccome è sempre difficile capire queste simbologie molto astratte, vediamo un esempio in concreto.
Prendiamo ad esempio i vettori:
Dove T messo all’esponente significa che leggiamo i vettori in colonna anziché in riga, per semplicità
Creiamo ora il vettore
Allora possiamo scrivere:
Ora il vettore v3 è sicuramente ottenuto da una combinazione lineare dei vettori v1 e v2.
Perciò affermiamo che v3 è linearmente dipendente dai vettori v1 e v2.
UNA DEFINIZIONE PIU’ PRECISA DI DIPENDENZA LINEARE
Dati k vettori
dati k scalari
e data la seguente equazione vettoriale:
Diremo che:
Se l’unica soluzione di questa equazione è
allora diremo che i vettori tra di loro risultano essere linearmente indipendenti.
Ovvero nessuno dei vettori dati potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri k-1 vettori
Questa soluzione di tutti coefficienti, che sono le incognite del nostro sistema, si definisce anche soluzione banale.
Proprio perché è la più ovvia.
Risulta infatti subito evidente che se moltiplichiamo per zero ogni vettore otteniamo il vettore nullo (inteso come vettore nullo).
Ed una somma di vettori nulli darà come risultato sicuramente il vettore nullo
Se oltre a questa soluzione banale otteniamo anche altre soluzioni (di solito infinite) allora i vettori sono tra di loro linearmente dipendenti.
ESEMPIO NUMERICO
Come sempre quando leggiamo queste definizioni troppo astratte ci viene il mal di testa.
È sempre meglio prendere qualche esempio pratico.
Partiamo proprio dai tre vettori che abbiamo creato prima e vediamo cosa succede costruendo l’equazione:
Ora per comodità chiamiamo le incognite a1, a2, a3 con i nomi più comodi di x, y, z.
Ora costruiamo il sistema lineare di tre equazioni dove otteniamo ogni componente i-esima nulla del vettore nullo coma la somma tra:
x volte la componente i-esima del primo vettore
y volte la componente i-esima del secondo vettore
z volte la componente i-esima del terzo vettore
Per risolvere tale sistema dalla prima equazione possiamo ricavarci la x in funzione della z.
Ora sostituiamo questo risultato nella seconda equazione:
E da qui ricaviamo la y in funzione della z.
Adesso che abbiamo sia la x che la y in funzione della z entriamo nella terza equazione e sostituiamo tali incognite di modo da avere tutto in funzione della z.
Cambiamo prima i segni per comodità di lettura:
Questa è una forma indeterminata, pertanto risulta sempre vera qualsiasi valore di z noi inseriamo.
In questo senso z è una variabile libera.
Detto in altre parole i valori della x e della y rimangono vincolate al valore che assume la z.
Immaginiamo ora di riassumere attraverso un vettore le tre incognite, in maniera ordinata avremo:
Da qui capite che se z = 0 , otteniamo la soluzione banale, ovvero:
Per z =1, otteniamo un’altra soluzione non banale, ovvero:
Da qui possiamo affermare che i vettori tra di loro sono linearmente dipendenti.
In realtà le possibili soluzioni sono infinite poiché sono infiniti i valori reali che la z può assumere.
Ricordando ora l’equazione
Con la seconda soluzione trovata avremo che:
Da qui possiamo ricavare v1 in funzione di v2 e v3.
Oppure v2 in funzione di v1 e v3:
Oppure ancora v3 in funzione di v1 e v2
Questa era appunto la relazione con cui abbiamo creato v3 all’inizio!
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VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI- ESERCIZIO
Prendiamo i seguenti tre vettori:
Impostiamo l’equazione:
Avremo dunque:
Creiamo dunque il seguente sistema lineare con 3 equazioni e 3 incognite:
Dall’ultima equazione si capisce immediatamente che:
Sostituendo nella prima equazione, otteniamo:
Inseriamo tale risultato nella seconda equazione, e abbiamo:
Siccome l’unica soluzione ammessa è la soluzione banale, concludiamo che i tre vettori sono linearmente indipendenti.
UN METODO PIU’ VELOCE
Per sapere se in generale k vettori risultano essere linearmente dipendenti o indipendentiabbiamo impostato un sistema lineare del tipo:
Ma questa è la strada più veloce?
In effetti no.
Esiste infatti un metodo che si basa sulle matrici ed in particolare sullo studio del rango di una matrice.
Per determinare il rango di una matrice si può ricorrere a più metodi tra i quali ricordiamo:
- Sistema lineare (ma siamo sempre al punto di partenza)
- Determinante e minori
- Metodo di riduzione a scala di una matrice
Utilizzando uno degli ultimi due metodi non abbiamo bisogno di “sporcarci” con le incognite nella risoluzione di sistemi lineari.
In pratica concentriamo tutta la nostra attenzione sui numeri della matrice in cui troviamo i vettori oggetto della nostra attenzione scritti sulle colonne della stessa.
In realtà anche se volessimo risolvere un sistema lineare potremmo farlo con il solo utilizzo degli elementi algebrici della matrice.
Per risolvere i sistemi lineari cito due metodi quali:
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