In questo articolo parliamo di come si sviluppa la potenza di un binomio.
La potenza di un binomio fa parte della più ampia categoria dei prodotti notevoli.
La formula per poterla calcolare è:
Dove il coefficiente binomiale:
Indica i numeri presenti sui livelli della piramide di Tartaglia.
Ma partiamo dall’inizio della storia.
LE PRIME POTENZE DI UN BINOMIO
Un binomio è un polinomio con due termini.
Lo possiamo rappresentare in modo semplice con questa scrittura.
Per indicare una generica potenza di un binomio con esponente n (numero naturale), possiamo scrivere:
Ora andiamo a vedere come calcolano le prime potenze partendo dall’esponente n zero fino a 3.
CASO n=0
Dalla teoria dei numeri sappiamo che una qualsiasi potenza con esponente zero, tranne quando la base vale zero, da come risultato 1.
Quindi possiamo affermare che:
Dalla teoria dei numeri sappiamo che una qualsiasi potenza con esponente zero, tranne quando la base vale zero, da come risultato 1.
Quindi possiamo affermare che:
Questo indipendentemente dal fatto che la base sia positiva oppure negativa:
L’unico caso escluso da questa teoria si verifica quando la base vale 0.
Infatti la quantità:
È una quantità non consentita.
Questo caso è trattato all’interno della teoria matematica nei limiti, in particolare nelle forme indeterminate.
Anche quando per base c’è un binomio le cose non cambiano, quindi:
CASO n=1
Quando eleviamo un qualsiasi numero alla prima il risultato sarà sempre pari a quel numero, qualsiasi esso sia.
Quindi possiamo ritenere con ragionevole certezza che:
E questo si verifica indipendentemente al segno assunto dalla base, positivo oppure negativo
A proposito con la lettera e intendiamo il numero di Nepero.
Anche quando abbiamo per base un binomio la teoria non cambia.
CASI n=2 e n=3
I casi dove l’esponente vale 2 e 3 li abbiamo trattati e dimostrati nell’articolo dedicato ai prodotti notevoli.
Mi limito dunque a riportarne le formule:
Il caso con n=2 è definito quadrato di binomio:
Mentre il caso con l’esponente che vale 3, è definito il cubo di binomio:
CASO n=4
Sviluppando un ragionamento identico a quello visto per il caso del quadrato e del cubo possiamo arrivare al risultato di n=4:
Possiamo infatti leggere la quarta potenza di (A+B) moltiplicando il binomio per il suo cubo:
Che sviluppando i conti sarebbe:
Riordinando il polinomio rispetto alla lettera A giungiamo al seguente risultato:
La procedura, come potete notare è un po’ macchinosa e serve qualcosa di più immediato.
Se dovessimo infatti utilizzarla per calcolare la quinta potenza di (A+B) dovremmo fare:
Il calcolo da sviluppare sarebbe il seguente:
Immaginate se dovessimo calcolare la decima potenza, o addirittura la ventesima.
Ci potrebbero volere dei mesi…
Vi garantisco che con lo strumento che andremo a vedere giungeremo quasi immediatamente ad affermare che:
IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Grazie al triangolo del matematico bresciano Niccolò Tartaglia la questione della potenza di un binomio prende una nuova piega.
I PRIMI LIVELLI DEL TRIANGOLO
Il triangolo di tartaglia può essere rappresentato come una piramide.
Al vertice della piramide, che definiamo livello zero, troviamo il numero 1.
Sotto il livello zero, al livello uno, troviamo due 1.
Una riga sotto troviamo il livello due, sulla quale si posiziona la terna:
Il numero centrale di questa terna, il 2, è dato dalla somma dei due 1, che si trovano al primo livello.
Al di sotto del livello due si trova il livello tre, dove troviamo quattro numeri:
Il primo e l’ultimo numero di questo livello (e dei successivi) è sempre pari a 1.
I due 3 che si trovano in posizione centrale sono dati dalle somme del numero centrale 2 con gli esterni 1.
Nel livello quattro troviamo cinque numeri:
I numeri 1 all’inizio e alla fine sono sempre fissi.
Mentre i due 4, che si trovano rispettivamente in seconda e penultima posizione sono dati dalla somma dei 3 de gli 1 al livello precedente.
Il numero 6 che occupa la posizione centrale è dato dalla somma dei due 3 al livello precedente.
Mostriamo meglio nel grafico la relazione tra i numeri della piramide e il loro posizionamento
Descriviamo ora cosa significano i vari livelli della piramide
LIVELLO ZERO
Nel livello zero abbiamo solo 1.
Il significato di questo 1 è che se eleviamo un binomio alla zero, otteniamo come risultato proprio 1.
LIVELLO UNO
Nel livello 1 della piramide troviamo la coppia 1, 1
Questi due numeri sono i coefficienti che mettiamo davanti al risultato della potenza di (A+B) elevato alla prima.
LIVELLO DUE
Spostandoci al livello 2 della piramide troviamo la terna 1,2,1.
Questi numeri rappresentano i coefficienti per sviluppare un quadrato di binomio.
Possiamo sviluppare ulteriormente questo trinomio scrivendolo nel seguente modo:
Come possiamo notare si tratta di un polinomio omogeneo di secondo grado.
Questo significa che tutti i termini di questo polinomio hanno grado pari a 2.
VUOI APPROFONDIRE I TEMI DELLA MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e non sai da dove cominciare scopri i corsi.
Presenta grado massimo rispetto alla lettera A (grado 3), mentre ha grado minimo rispetto alla lettera B (grado zero).
A mano a mano che scorriamo verso il termine successivo a destra la A perde un grado mentre la B ne guadagna uno.
Ad esempio nel secondo termine:
Il grado della A risulta 2 (ha perso un grado), mentre il grado della B è pari a 1 (ha guadagnato un grado.
Questa caratteristica che abbiamo visto in profondità per il livello tre della nostra piramide rimane sempre costante in tutti i livelli della piramide.
LIVELLO QUATTRO
Da qui comincia il vero e proprio divertimento poiché i casi delle potenze di binomio analizzate prima risultano ampliamente studiate nelle scuole superiori.
Nel livello quattro leggiamo i cinque numeri: 1, 4, 6, 4, 1
Se abbiamo capito i ragionamenti precedenti dovremo trarre tre conclusioni.
La prima è che questi numeri rappresentano i coefficienti per calcolare la quarta potenza di un binomio.
La seconda è che questo polinomio sarà omogeneo di grado 4.
Mentre la terza è che seguendo l’ordine dei numeri andremo ad attribuire un grado iniziale massimo alla prima lettera (grado 4) e un grado minimo (grado 0) alla seconda lettera.
Faremo dunque diminuire ogni volta che passiamo al coefficiente successivo alla A, mentre il contrario con la B.
Che possiamo più semplicemente scrivere come:
Utilizzando questo polinomio potremmo ad esempio calcolare:
LIVELLO 5
I sei numeri presenti a questo livello della piramide sono:
Questo significa che:
LIVELLO 6 E 7
Rappresentano rispettivamente la sesta e la settima potenza di un binomio:
Per quanto riguarda il livello 6 i numeri presenti sono:
Quindi la sesta potenza di un binomio sarà:
Al livello 7 possiamo trovare i numeri:
Questi ci dicono come si sviluppa la potenza 7 di un binomio:
Chiaramente potremo andare avanti per molto altro ancora
SIMMETRIA DELLA PIRAMIDE
Una cosa che notiamo in modo evidenti è la simmetria con cui i numeri si manifestano all’interno di ogni livello della piramide.
In particolare nei livelli pari come 0,2,4,…
Vi è un solo termine centrale e rispetto a questo i numeri sono simmetrici.
Mentre nei livelli dispari della piramide vi sono due termini centrali uguali tra di loro
UN ULTERIORIORE SEMPLIFICAZIONE: IL COEFFICIENTE BINOMIALE
Grazie al triangolo di tartaglia sembra possibile calcolare potenze di un binomio con un grado qualsiasi.
Questo evitando la fatica di dover ogni volta fare i calcoli per arrivare a quel risultato.
Tuttavia ci rendiamo certamente conto che quando abbiamo a che fare con potenze sempre più grandi la quantità di numeri cresce a dismisura.
Per ogni livello n della piramide ci sono n+1 termini.
E questi termini cominciano a diventare un po’ ingombranti e poco comprensibili.
Se ad esempio ci troviamo al livello 20 troviamo i numeri:
Mi sino fermato all’undicesimo termine poiché gli altri risultano simmetrici.
Capite che può essere un bel problemone.
Fortunatamente un certo individuo di nome Newton ha risolto questo problema utilizzando il coefficiente binomiale.
Questo coefficiente si presenta come due numeri dentro una parentesi:
Ed indica la combinazione semplice di n elementi di classe x.
Per ottenerne il seguente valore si fa il seguente calcolo:
Dove:
Newton, o chi per lui si era accorto che la piramide di tartaglia può essere letta in modo molto più semplice:
E cosi nasce la formula della potenza di un binomio:
Fine della storia.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti.
Grazie al tuo commento centinaia di altri utenti troveranno le giuste risposte.
Per approfondire i temi della matematica scopri i corsi.
