POTENZA DI UN BINOMIO – IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

In questo articolo parliamo di come si sviluppa la potenza di un binomio.

La potenza di un binomio fa parte della più ampia categoria dei prodotti notevoli.

La formula per poterla calcolare è:

$$ (A+B)^n = \sum_{x=0}^n \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} \cdot A^{n-x} \cdot B^x $$

Dove il coefficiente binomiale:

$$ \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} = \frac{n!}{x! \cdot (n-x)!} $$

Indica i numeri presenti sui livelli della piramide di Tartaglia.

Ma partiamo dall’inizio della storia.

LE PRIME POTENZE DI UN BINOMIO

Un binomio è un polinomio con due termini.

Lo possiamo rappresentare in modo semplice con questa scrittura.

$$ A+B $$

Per indicare una generica potenza di un binomio con esponente n (numero naturale), possiamo scrivere:

$$ (A+B)^n $$

Ora andiamo a vedere come calcolano le prime potenze partendo dall’esponente n zero fino a 3.

CASO n=0

Dalla teoria dei numeri sappiamo che una qualsiasi potenza con esponente zero, tranne quando la base vale zero, da come risultato 1.

Quindi possiamo affermare che:

Dalla teoria dei numeri sappiamo che una qualsiasi potenza con esponente zero, tranne quando la base vale zero, da come risultato 1.

Quindi possiamo affermare che:

$$ 1^\color{blue}{0} = 2^\color{blue}{0} = 3^\color{blue}{0} = \cdots = 10^\color{blue}{0} = \cdots = \left( \frac{2+\pi}{2 \sqrt 3} \right)^\color{blue}{0} = \color{red}{0}$$

Questo indipendentemente dal fatto che la base sia positiva oppure negativa:

$$ (-1)^\color{blue}{0} =(- 2)^\color{blue}{0} = (-3)^\color{blue}{0} = \cdots = (-10)^\color{blue}{0} = \cdots = \left( \frac{2-\pi}{2 \sqrt 3} \right)^\color{blue}{0} = \color{red}{0}$$

L’unico caso escluso da questa teoria si verifica quando la base vale 0.

Infatti la quantità:

$$0^0 = \text{non esiste!} $$

È una quantità non consentita. Nella teoria dei limiti verrà tratta come forma indeterminata.

Questo caso è trattato all’interno della teoria matematica nei limiti, in particolare nelle forme indeterminate.

Anche quando per base c’è un binomio le cose non cambiano, quindi:

$$(A+B)^0= 1 \quad \text{con } A+B \ne 0$$

CASO n=1

Quando eleviamo un qualsiasi numero alla prima il risultato sarà sempre pari a quel numero, qualsiasi esso sia.

Quindi possiamo ritenere con ragionevole certezza che:

$$ 0^\color{blue}{1} =0 \quad 1^\color{blue}{1} =1 \quad 2^\color{blue}{1} =2 \quad \cdots = 10^\color{blue}{1} =10 \quad \left( \frac{2+\pi}{2 \sqrt 3} \right)^\color{blue}{1} =\frac{2+\pi}{2 \sqrt 3} $$

E questo si verifica indipendentemente al segno assunto dalla base, positivo oppure negativo

$$ (-1)^\color{blue}{1} =-1 \quad (-2)^\color{blue}{1} =-2 \quad \cdots = (-10)^\color{blue}{1} =-10 \quad \left( \frac{2-\pi}{2 \sqrt 3} \right)^\color{blue}{1} =\frac{2-\pi}{2 \sqrt 3}$$

A proposito con la lettera e intendiamo il numero di Nepero.

Anche quando abbiamo per base un binomio la teoria non cambia.

$$ (A+B)^1 = A+B $$

CASI n=2 e n=3

I casi dove l’esponente vale 2 e 3 li abbiamo trattati e dimostrati nell’articolo dedicato ai prodotti notevoli.

Mi limito dunque a riportarne le formule:

Il caso con n=2 è definito quadrato di binomio:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB+B^2 $$

Mentre il caso con l’esponente che vale 3, è definito il cubo di binomio:

$$ (A+B)^3 = A^3 +2A^2B+3AB^2 +B^3$$

CASO n=4

Sviluppando un ragionamento identico a quello visto per il caso del quadrato e del cubo possiamo  arrivare al risultato di n=4:

Possiamo infatti leggere la quarta potenza di (A+B) moltiplicando il binomio per il suo cubo:

$$ (A+B)^4 = (A+B)^3 (A+B) $$

Sviluppiamo i conti, riordinando il polinomio finale rispetto alla lettera A

$$\begin{array}{ccccc}&=&(A^3 +3A^2B+3AB^2 +B^3)(A+B) &=& \\ &=& A^4 +3A^3B+3A^2B^2 +AB^3+A^3B +3A^2B^2+3AB^3 +B^4 &=& \\ &=& A^4+4A^3B + 6A^2B^2 +4AB^3+B^4 \end{array}$$

giungiamo al seguente risultato:

$$ (A+B)^4 =A^4+4A^3B + 6A^2B^2 +4AB^3+B^4 $$

CASO n=5 – CALCOLI ENORMI

La procedura, come potete notare è un po’ macchinosa e serve qualcosa di più immediato.

Se dovessimo infatti  utilizzarla per calcolare la quinta potenza di (A+B) dovremmo fare:

$$ \begin{array}{ccccc} (A+B)^5 &=& (A+B)^4(A+B) &=& \\ &=& (A^4+4A^3B + 6A^2B^2 +4AB^3+B^4 )(A+B) &=& \\ &=& \cdots &=& \\ A^5 +5A^4B +10 A^3B^2 +5A^2B^3 +10AB^4 +B^5 \end{array}$$

Il calcolo da sviluppare sarebbe il seguente:

Immaginate se dovessimo calcolare la decima potenza, o addirittura la ventesima.

Ci potrebbero volere dei mesi…

IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Grazie al triangolo del matematico bresciano Niccolò Tartaglia la questione della potenza di un binomio prende una nuova piega.

I PRIMI LIVELLI DEL TRIANGOLO

Il triangolo di tartaglia può essere rappresentato come una piramide.

Al vertice della piramide, che definiamo livello zero, troviamo il numero 1.

$$1$$

Sotto il livello zero, al livello uno, troviamo due 1.

$$1 \quad 1$$

Una riga sotto troviamo il livello due, sulla quale si posiziona la terna:

$$1 \quad 2 \quad 1$$

Il numero centrale di questa terna, il 2, è dato dalla somma dei due 1, che si trovano al primo livello.

Al di sotto del livello due si trova il livello tre, dove troviamo quattro numeri: 

$$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$$

Il primo e l’ultimo numero di questo livello (e dei successivi) è sempre pari a 1.

I due 3 che si trovano in posizione centrale sono dati dalle somme del numero centrale 2 con gli esterni 1.

Nel livello quattro troviamo cinque numeri:

$$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$$

I numeri 1 all’inizio e alla fine sono sempre fissi.

Mentre i due 4, che si trovano rispettivamente in seconda e penultima posizione sono dati dalla somma dei 3 de gli 1 al livello precedente.

Il numero 6 che occupa la posizione centrale è dato dalla somma dei due 3 al livello precedente.

Mostriamo meglio nel grafico la relazione tra i numeri della piramide e il loro posizionamento

Descriviamo ora cosa significano i vari livelli della piramide

LIVELLO ZERO

Nel livello zero abbiamo solo 1.

Il significato di questo 1 è che se eleviamo un binomio alla zero, otteniamo come risultato proprio 1.

$$(A+B)^0= 1 \quad \text{con } A+B \ne 0$$

LIVELLO UNO

Nel livello 1 della piramide troviamo la coppia 1, 1

Questi due numeri sono i coefficienti che mettiamo davanti al risultato della potenza di (A+B) elevato alla prima.

$$ (A+B)^1 = \color{blue}{1} A^\color{green}{1} + \color{blue}{1} B^\color{green}{1} $$

Si tratta di un polinomio in A e B omogeneo di primo grado.

LIVELLO DUE

Spostandoci al livello 2 della piramide troviamo la terna 1,2,1.

Questi numeri rappresentano i coefficienti per sviluppare un quadrato di binomio.

$$ (A+B)^2 = \color{blue}{1} A^2 + \color{blue}{2} AB + \color{blue}{1} B^2 $$

Possiamo sviluppare ulteriormente questo trinomio scrivendolo nel seguente modo:

$$ (A+B)^2 = \color{blue}{1} A^\color{green}{2} + \color{blue}{2} A^\color{green}{1}B^\color{green}{1} + \color{blue}{1} B^\color{green}{2} $$

Come possiamo notare si tratta di un polinomio omogeneo di secondo grado.

Questo significa che tutti i termini di questo polinomio hanno grado pari a 2.

Si tratta quindi di un polinomio in A e B omogeneo di secondo grado.

LIVELLO TRE

Consideriamo ora la terna 1,3,3,1 posta al terzo livello della piramide.

Possiamo individuare in questi coefficienti lo sviluppo di un cubo di binomio:

$$ (A+B)^3 = \color{blue}{1} A^3 + \color{blue}{3} A^2B + \color{blue}{3} AB^2 + \color{blue}{1} B^3 $$

Notiamo anche guardando gli esponenti che si tratta di un polinomio omogeneo di terzo grado.

$$ (A+B)^3 = \color{blue}{1} A^\color{green}{3} + \color{blue}{3} A^\color{green}{2}B^\color{green}{1} + \color{blue}{3} A^\color{green}{1}B^\color{green}{2} + \color{blue}{1} B^\color{green}{3} $$

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LIVELLO QUATTRO 

Da qui comincia il vero e proprio divertimento poiché i casi delle potenze di binomio analizzate prima risultano ampliamente studiate nelle scuole superiori.

Nel livello quattro leggiamo i cinque numeri: 1, 4, 6, 4, 1

Se abbiamo capito i ragionamenti precedenti dovremo trarre tre conclusioni.

La prima è che questi numeri rappresentano i coefficienti per calcolare la quarta potenza di un binomio.

La seconda è che questo polinomio  sarà omogeneo di grado 4.

Mentre la terza è che seguendo l’ordine dei numeri andremo ad attribuire un grado iniziale massimo alla prima lettera (grado 4) e un grado minimo (grado 0) alla seconda lettera.

Faremo dunque diminuire ogni volta che passiamo al coefficiente successivo alla A, mentre il contrario con la B.

$$ (A+B)^4=$$

$$ \color{blue}{1} A^\color{green}{4} + \color{blue}{4} A^\color{green}{3}B^\color{green}{1} + \color{blue}{6} A^\color{green}{2}B^\color{green}{2}+ \color{blue}{4} A^\color{green}{1}B^\color{green}{3} + \color{blue}{1} B^\color{green}{4} $$

Si tratta di un polinomio omogeneo di quarto grado, he possiamo più semplicemente scrivere come:

$$A^4+4A^3B + 6A^2B^2 +4AB^3+B^4$$

Utilizzando questo polinomio potremmo ad esempio calcolare:

$$\begin{array}{ccc}(2x-3y)^4 &=& (2x)^4 +4(2x)^3(-3y)+6(2x)^2(-3y)^2+4(2x)(-3y)^3+(-3y)^4 = \\ &=& 16x^4-96x^3y+72x^2y^2-72xy^2+81y^4 \end{array} $$

LIVELLO 5

I sei numeri presenti a questo livello della piramide sono:

$$ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 $$

Questo significa che:

$$ (A+B)^5 = $$

$$A^5+5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4+B^5 $$

LIVELLO 6 E 7

Rappresentano rispettivamente la sesta e la settima potenza di un binomio:

Per quanto riguarda il livello 6 i numeri presenti sono:

$$ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 $$

Quindi la sesta potenza di un binomio sarà:

$$ (A+B)^6 = $$

$$A^6+6A^5B+15A^4B^2+20A^3B^3+15A^2B^4+6AB^5+B^6 $$

Al livello 7 possiamo trovare i numeri:

$$ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 $$

Questi ci dicono come si sviluppa la potenza 7 di un binomio:

$$ (A+B)^7 = $$

$$A^7+6A^6B+6A^5B^2+15A^4B^3+20A^3B^4+15A^2B^5+6AB^6+B^7 $$

Chiaramente potremo andare avanti per molto altro ancora

SIMMETRIA DELLA PIRAMIDE

Una cosa che notiamo in modo evidenti è la simmetria con cui i numeri si manifestano all’interno di ogni livello della piramide.

In particolare nei livelli pari come 0,2,4,…

Vi è un solo termine centrale e rispetto a questo i numeri sono simmetrici.

$$ \begin{array}{c} \color{red}{1} \\ 1\quad \color{red}{2} \quad 1 \\ 1\quad 4\quad \color{red}{6} \quad 4 \quad 1\\ 1\quad 6\quad 15 \quad \color{red}{20} \quad 15 \quad 6 \quad 1 \end{array} $$

Mentre nei livelli dispari della piramide vi sono due termini centrali uguali tra di loro

$$ \begin{array}{c} \color{red}{1} \quad \color{red}{1} \\ 1\quad \color{red}{3} \quad \color{red}{3} \quad 1 \\ 1\quad 5\quad \color{red}{10} \quad \color{red}{10} \quad 5 \quad 1\\ 1\quad 7\quad 21 \quad \color{red}{20} \quad \color{red}{20} \quad 21 \quad 7 \quad 1 \end{array} $$

UN ULTERIORIORE SEMPLIFICAZIONE: IL COEFFICIENTE BINOMIALE

Grazie al triangolo di tartaglia sembra possibile calcolare potenze di un binomio con un grado qualsiasi.

Questo evitando la fatica di dover ogni volta fare i calcoli per arrivare a quel risultato.

Tuttavia ci rendiamo certamente conto che quando abbiamo a che fare con potenze sempre più grandi la quantità di numeri cresce a dismisura.

Per ogni livello n della piramide ci sono n+1 termini.

E questi termini cominciano a diventare un po’ ingombranti e poco comprensibili.

Se ad esempio ci troviamo al livello 20 troviamo i numeri:

$$ 1 \quad 20 \quad 190 \quad 1.140 \quad 4.845 \quad 15.504 \quad 38.760 \quad 77.520 \quad 125.970 \quad 167.960 \quad \color{red}{184.756} \quad \dots $$

Mi sino fermato all’undicesimo termine poiché gli altri risultano simmetrici.

Capite che può essere un bel problemone.

Fortunatamente un certo individuo di nome Newton ha risolto questo problema utilizzando il coefficiente binomiale.

Questo coefficiente si presenta come due numeri dentro una parentesi:

$$ \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} $$

Ed indica la combinazione semplice di n elementi di classe x.

Per ottenerne il seguente valore si fa il seguente calcolo:

$$ \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} = \frac{n!}{x! \cdot (n-x)!}$$

Dove n! indica il fattoriale di un numero naturale

$$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n $$

Ad esempio: 5C3 (cinque combinato 3)

$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot(1 \cdot 2)} = 10$$

Newton, o chi per lui si era accorto che la piramide di tartaglia può essere letta in modo molto più semplice:

E cosi nasce la formula della potenza di un binomio:

$$ (A+B)^n = \sum_{x=0}^n \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} \cdot A^{n-x} \cdot B^x $$

Fine della storia.

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