RETTA TANGENTE ALL’ELLISSE

La retta tangente all’ellisse può essere calcolata da un punto esterno oppure da un punto appartenente all’ellisse stessa.

In particolare da un punto esterno esistono due rette tangenti.

Mentre quando il punto appartiene all’ellisse troviamo una sola retta tangente.

Se il punto è interno all’ellisse non esiste nessuna retta tangente.

RETTA TANGENTE ALL’ELLISSE CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO

Analizziamo ora la situazione quando ci troviamo nel sistema cartesiano.

Data l’equazione di un’ellisse nella forma canonica o esplicita:

$$ \gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Preso un punto P esterno all’ellisse di generiche coordinate:

$$ P(x_0, y_0) \quad \text{esterno a $\gamma$} $$

Come facciamo a trovare le equazioni delle due rette tangenti?

FASCIO DI RETTE PASSANTI PER P

Consideriamo per prima cosa il fascio di rette proprio delle rette passanti per P

$$ y-y_0 = m(x-x_0) $$

 che esplicitato diventa:

$$ y = mx-mx_0 +y_0 $$

SISTEMA FASCIO – ELLISSE

Mettiamo ora a sistema il fascio di rette con la nostra ellisse, per cui scriviamo:

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y = mx-mx_0 +y_0 \end{cases} $$

Sostituendo il valore della y ricavata nel fascio nell’equazione dell’ellisse perveniamo ad una equazione di secondo grado in x con parametro m, del tipo:

$$ a(m)x^2 + b(m)x + c(m)= 0 $$

CONDIZIONE DI TANGENZA

Non ci resta ora che applicare la condizione di tangenza tra la retta e l’ellisse imponendo che il delta di questa equazione risulti pari a zero.

$$ \Delta (m) = 0 $$

Perveniamo in questo modo ad una equazione di secondo grado del tipo:

$$ a’ m^2 +b’m+c’ = 0 $$

Questa equazione avrà certamente un delta maggiore di zero in quanto il punto è stato preso esternamente.

Dunque possiamo calcolare i due valori di m che rendono il fascio tangente all’ellisse.

Calcoliamo questo valori sfruttando la formula risolutiva o con altri metodi di scomposizione:

$$ m_{1,2} = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{2a’} $$

A questo punto per trovare le due rette tangenti sostituiamo tali valori trovati all’interno dell’equazione del fascio:

$$ y = mx-mx_0 +y_0 \\ \ \\ \begin{array}{l} m=m_1 &\to& t_1: \quad y = m_1x-m_1x_0 +y_0 \\ m=m_2 &\to& t_2: \quad y = m_2x-m_2x_0 +y_0 \end{array} $$

RETTA TANGENTE ALL’ELLISSE CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO

Vediamo ora qualche esempio numerico per calcolare l’equazione della retta tangente ad una ellisse condotta da un suo punto esterno.

ESEMPIO UNO

Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse 𝛾 da un suo punto esterno P:

$$ \large{\gamma:\ x^2+2y^2= 9 \quad P(-9,0)} $$

DATI INIZIALI

L’equazione della nostra ellisse è:

$$ \gamma: \quad x^2+2y^2= 9 $$

Che possiamo scrivere facilmente nella forma esplicita così: 

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{\frac{9}{2}} = 1 $$

Dai valori del quadrato di a e del quadrato di b ricaviamo immediatamente i due raggi orizzontale e verticale a e b:

$$ \begin{array}{l} a^2 = 9 &\to& a= 3 \\ b^2 = \frac{9}{2} &\to& b = \frac{3}{\sqrt{2}} \end{array} $$

Dall’altro lato abbiamo che le coordinate del punto P sono:

$$ P(0,-9) $$

FASCIO DI RETTE PASSANTE PER P

Determiniamo ora il fascio di rette passante per il punto P con la formula generale:

$$ P(x_0, y_0) \to y-y_0 = m(x-x_0) $$

 che nel nostro caso risulta:

$$ P(-9,0) \to y-0= m(x+9) $$

Scriviamo ora meglio il fascio esplicitando il valore della y

$$ y= mx+9m $$

SISTEMA ELLISSE – FASCIO

Mettiamo ora a sistema l’equazione del fascio con l’ellisse in questo modo:

$$ \begin{cases} x^2+2y^2= 9 \\ y= mx+9m \end{cases} $$

Sostituendo la y del fascio nell’equazione dell’ellisse perveniamo ad una equazione di secondo grado in x con parametro m

$$ \begin{array}{l} x^2+2(mx+9m)^2= 9 \\ x^2 +2(m^2x^2 +18m^2x+81m^2) -9=0 \\ x^2 +2m^2x^2+36m^2x+162m^2-0=0 \\ (2m^2+1) x^2 +36m^2x+9(18m^2-1) = 0 \end{array} $$

CONDIZIONE DI TANGENZA – DELTA UGUALE A ZERO

Imponiamo dunque la condizione di tangenza tra la retta e l’ellisse, ovvero che il delta (in funzione di m) risulti uguale a zero.

In questo caso usiamo il delta quarti per una comodità di calcolo:

$$ \frac{\Delta}{4} (m)= 0 \to 18^2m^4-9(2m^2+1)(18m^2-1)= 0 $$

Sviluppando l’equazione annulliamo i termini in m di grado 3 e 4 e perveniamo ad una equazione di secondo grado con incognita m:

$$ \begin{array}{l} 36m^4 -(2m^2+1)(18m^2-1)= 0 \\ 36m^4-(36m^4-2m^2+18m^2-1)= 0 \\ 16m^2-1=0 \end{array} $$

Il delta o discriminante di questa equazione è certamente positivo dal momento che l’equazione produce due soluzioni

$$ (4m+1)(4m-1)= 0 \to m= \pm \frac{1}{4} $$

Tali soluzioni sono i coefficienti angolari delle due rette tangenti all’ellisse condotte dal punto P.

EQUAZIONE DELLE DUE RETTE TANGENTI ALL’ELLISSE

Per determinare l’equazione delle due rette tangenti all’ellisse basta sostituire i due valori dei coefficienti trovati all’interno dell’equazione del fascio di rette:

$$ y= m(x+9) \to y= mx+9m $$

Dunque la prima retta tangente è:

$$ m_1= \frac{1}{4} \to y = \frac{1}{4}x + \frac{9}{4} $$

Mentre la seconda è:

$$ m_2= – \frac{1}{4} \to y = – \frac{1}{4}x – \frac{9}{4} $$

ESEMPIO DUE

Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse 

$$ \large{ \gamma:\ x^2+4y^2= 9 \quad P \left( 6, -\frac{3}{2} \right)} $$

DATI INIZIALI

L’equazione della nostra ellisse è:

$$ \gamma:\ x^2+4y^2= 9 $$

Che possiamo scrivere facilmente nella forma esplicita così: 

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{ \frac{9}{4}} = 1 $$

Dai valori del quadrato di a e del quadrato di b ricaviamo immediatamente i due raggi orizzontale e verticale a e b:

$$ \begin{array}{l} a^2= 9 &\to& a= 3 \\ b^2= \frac{9}{4} &\to& b = \frac{3}{2} \end{array} $$

Dall’altro lato abbiamo che le coordinate del punto P sono:

$$ P \left( 6, -\frac{3}{2} \right) $$

FASCIO DI RETTE PASSANTE PER P

Determiniamo ora il fascio di rette passante per il punto P con la formula generale:

$$ P(x_0, y_0) \to y-y_0 = m(x-x_0) $$

 che nel nostro caso risulta:

$$ P \left( 6, -\frac{3}{2} \right) \to y + \frac{3}{2} = m (x-6) $$

Scriviamo ora meglio il fascio esplicitando il valore della y:

$$ y = mx-6m- \frac{3}{2} $$

SISTEMA ELLISSE – FASCIO

Mettiamo ora a sistema l’equazione del fascio con l’ellisse in questo modo:

$$ \begin{cases} x^2+4y^2= 9 \\ y = mx-6m- \frac{3}{2} \end{cases} $$

Sostituendo la y del fascio nell’equazione dell’ellisse perveniamo ad una equazione di secondo grado in x con parametro m

$$ \begin{array}{l} x^2+4 \left( m^2x^2 +36m^2- \frac{9}{4} -12m^2x-3mx+18m \right) -9 = 0 \\ x^2 +4m^2x^2+144m^2+9-48m^2x-12mx+72m-9= 0 \\ (4m^2+1)x^2-12m(4m+1)x+72m(2m+1)= 0 \end{array} $$

CONDIZIONE DI TANGENZA – DELTA UGUALE A ZERO

Imponiamo dunque la condizione di tangenza tra la retta e l’ellisse, ovvero che il delta (in funzione di m) risulti uguale a zero.

Anche in questo caso utilizziamo il delta quarti (più comodo per i calcoli):

$$ \frac{\Delta}{4} = 0 \to 36m^2(4m+1)^2 -72m(4m^2+1)(2m+1)= 0 $$

Raccogliamo subito la m a fattor comune:

$$ 36m\ [m(4m+1)^2-2(4m^2+1)(2m+1)] = 0 $$

Per la legge di annullamento del prodotto troviamo immediatamente che l’equazione è verificata per m=0

Sostituiamo dunque questo valore nel fascio ricavando l’equazione della prima retta tangente:

$$ y= mx-6m-\frac{3}{2} \overset{m=0}{\longleftarrow} y= – \frac{3}{2} $$

Imponiamo ora che tutta l’espressione dentro la parentesi sia uguale a zero e perveniamo ad una equazione di primo grado in m.

Questo dal momento che i termini di grado 2 e 3 si annullano

$$ \begin{array}{l} m(4m+1)^2-2(4m^2+1)(2m+1)=0 \\ m(16m^2+8m+1)-2(8m^3+4m^2+2m+1) = 0 \\ 16m^3+8m^2+m-16m^3-8m^2-4m-2=0 \\ -3m-2= 0 \to 3m= -2 \to m=- \frac{2}{3} \end{array} $$

Pe ricavare l’equazione della seconda retta tangente imponiamo questo coefficiente all’interno del fascio:

$$ y= mx-6m-\frac{3}{2} \overset{m=- \frac{2}{3}}{\longleftarrow} y= – \frac{2}{3}x +4 – \frac{3}{2} \to y= – \frac{2}{3}x + \frac{5}{2} $$

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RETTA TANGENTE IN UN PUNTO ALL’ELLISSE

Per determinare l’equazione della retta tangente ad una ellisse condotta da un punto che appartiene all’ellisse vi sono due modi.

Il primo modo è agire come prima mettendo a sistema l’equazione dell’ellisse con il fascio di rette passanti per un punto.

Imponendo uguale a zero il delta che ne deriva dall’equazione parametrica di secondo grado.

Il secondo modo certamente consigliato è quello di applicare la formula di sdoppiamento.

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Consideriamo la nostra ellisse di equazione:

$$ \gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Ed un punto P che appartiene all’ellisse stessa

$$ P(x_0, y_0) \in \gamma $$

Per la formula di sdoppiamento l’equazione della retta tangente risulta:

$$ t: \quad \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$

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ESEMPI DI RETTA TANGENTE ALL’ELLISSE IN UN SUO PUNTO

Andiamo ora a svolgere due esercizi in cui determiniamo con la formula di sdoppiamento l’equazione della retta tangente all’ellisse in un suo punto

RETTA TANGENTE IN UN PUNTO ALL’ELLISSE – ESEMPIO UNO

Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse:

$$ \large \gamma: \quad 9x^2+2y^2= 54 $$

 nei suoi punti di ordinata 3.

SVOLGIMENTO

La nostra ellisse di partenza è:

$$ \gamma: \quad 9x^2+2y^2= 54 $$

Per rappresentarne graficamente il grafico ricaviamo la sua equazione nella forma esplicita

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{27} = 1 $$

I valori dei due raggi risultano perciò:

$$ a= \sqrt{6} \quad b= 3 \sqrt{3} $$

Siccome i punti appartenenti alla conica da cui vogliamo determinare l’equazione delle rette tangenti hanno ordinata 3, mettiamo a sistema l’ellisse con la retta orizzontale: y=3

$$ \begin{cases} 9x^2+2y^2= 54 \\ y=3 \end{cases} \to 9x^2+2 \cdot 9 = 54 $$

Per sostituzione ricaviamo una equazione pura di secondo facilmente risolvibile da cui ricaviamo i due punti della curva:

$$ x^2+2= 6 \to x^2= 4 \to x= \pm 2 \\ P_1(-2,3) \quad p_2(2,3) $$

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Applichiamo ora la formula di sdoppiamento per determinare le equazioni delle rette tangenti

$$ P(x_0, y_0) \to t: \ \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$

Utilizziamo pure l’equazione dell’ellisse nella sua forma implicita:

$$ \gamma: \quad 9x^2+2y^2= 54 $$

Inseriamo le coordinate del primo punto dell’ellisse per ricavare la prima retta tangente.

$$ \begin{array}{l} P_1(-2,3) \to t_1:\ 9(-2)x+2 \cdot 3y-54=0 \\ t_1:\ -18x+6y-54=0 \to 3x-y+9= 0 \\ t_1:\ y= 3x+9 \end{array} $$

Procedendo con il secondo punto abbiamo la seconda retta tangente.

$$ \begin{array}{l} P_2(2,3) \to t_2:\ 9\cdot 2x+2 \cdot 3y-54=0 \\ t_2:\ 18x+6y-54=0 \to 3x+y-9= 0 \\ t_2:\ y= -3x+9 \end{array} $$

RETTA TANGENTE IN UN PUNTO ALL’ELLISSE – ESEMPIO DUE

Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse:

$$ \large \gamma: \quad 4x^2+y^2= 4 $$

 nei suoi punti di ascissa 1/2.

SVOLGIMENTO

La nostra ellisse di partenza è:

$$ \gamma: \quad 4x^2+y^2= 4 $$

Per rappresentarne graficamente il grafico ricaviamo la sua equazione nella forma esplicita

$$ \gamma: \quad x^2+\frac{y^2}{4} = 1 $$

I valori dei due raggi risultano perciò:

$$ a= 1 \quad b= 2 $$

Siccome i punti appartenenti alla conica da cui vogliamo determinare l’equazione delle rette tangenti hanno ordinata 3, mettiamo a sistema l’ellisse con la retta orizzontale: y=3

$$ \begin{cases} 4x^2+y^2= 4 \\ x= \frac{1}{2} \end{cases} \to 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2+y^2= 4 $$

Per sostituzione ricaviamo una equazione pura di secondo facilmente risolvibile da cui ricaviamo i due punti della curva:

$$ 1+y^2=4 \to y^2= 3 \to y= \pm \sqrt{3} \\ P_1 \left( \frac{1}{2}, – \sqrt{3} \right) \quad P_2 \left( \frac{1}{2}, \sqrt{3} \right) $$

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Applichiamo ora la formula di sdoppiamento per determinare le equazioni delle rette tangenti

$$ P(x_0, y_0) \to t: \ \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$

Utilizziamo pure l’equazione dell’ellisse nella sua forma implicita:

$$ \gamma:\ quad 4x^2+y^2= 4 $$

Inseriamo le coordinate del primo punto dell’ellisse per ricavare la prima retta tangente.

$$ \begin{array}{l} P_1 \left( \frac{1}{2}, – \sqrt{3} \right) \to t_1:\ 4 \cdot \frac{1}{2} x +\sqrt{3}x -4=0 \\ t_1: \quad 2x+ \sqrt{3}y-4=0 \end{array} $$

Procedendo con il secondo punto abbiamo la seconda retta tangente.

$$ \begin{array}{l} P_2 \left( \frac{1}{2}, \sqrt{3} \right) \to t_2:\ 4 \cdot \frac{1}{2} x + \sqrt{3}x -4=0 \\ t_1: \quad 2x+ \sqrt{3}y-4=0 \end{array} $$

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