I monomi sono strutture matematiche in cui si moltiplicano una parte numerica, ovvero un qualsiasi numero reale e una parte letterale.
Esempi di monomi sono:
PARTE NUMERICA
La parte numerica del monomio viene anche chiamata coefficiente.
Si tratta del numero che moltiplica la parte letterale.
Evidenziamo in verde la parte numerica degli esempi che abbiamo proposto sopra:
Questi numeri possono essere naturali, relativi, frazionari o perfino irrazionali.
PARTE LETTERALE
La parte letterale del monomio consiste nella moltiplicazione di potenze che hanno per base una lettera e come esponente un numero naturale.
Evidenziamo con il colore blu la parte letterale degli esempi:
Nel primo esempio
la parte letterale è costituita da un’unica potenza di base x ed esponente 1.
Nel monomio:
la parte letterale è costituita da due potenze, la prima delle quali ha base a ed esponente 1.
Mentre la seconda ha base b ed esponente 1.
Nel quarto esempio:
troviamo nella parte letterale il prodotto di tre potenze di basi ripetitivamente a, b ed x ed esponenti rispettivamente 2,3 e 1.
troviamo nella parte letterale il prodotto di tre potenze di basi ripetitivamente a, b ed x ed esponenti rispettivamente 2,3 e 1.
BASI DELLA PARTE LETTERALE
Dietro ogni base della parte letterale (la lettera appunto) si può celare un qualsiasi numeroreale.
Il signor Viete, l’inventore dei monomi ha avuto la brillante idea con l’inserimento delle lettere di generalizzare il concetto di numero.
Prendiamo come esempio il monomio:
Potremmo ad esempio mettere al posto della x il numero 1, mentre al posto della y il numero 3:
In questo modo il valore del monomio sarebbe 2.
Oppure potremmo sostituire alla x il valore 3 e alla y il valore 1:
Oppure ancora alla x e alla y il valore 2:
Capite che in questo modo potremo avere infinite combinazioni possibili.
ESPONENTI DELLA PARTE LETTERALE
È importante considerare che gli esponenti della parte letterale sono numeri naturali.
Quindi, questi sono monomi.
Quando l’esponente non compare vuol dire che il suo valore è 1:
Questi invece non sono monomi:
Nel primo caso:
Vi è un esponente relativo negativo.
In questo caso classifichiamo questa scrittura come una frazione algebrica.
Infatti possiamo scriverlo anche nel seguente modo:
ricordando che quando l’esponente è negativo tende a ribaltare la frazione.
Essendo che la x si trova al denominatore deve essere necessariamente diversa da zero, pertanto non può assumere le sembianze di un qualsiasi numero reale.
Anche il secondo caso non può essere considerato un monomio:
L’esponente frazionario (2/3) relativo alla base a, indica la presenza di una radicale, infatti:
L’insieme dei numeri irrazionali classificato come radicali presenta delle condizioni di esistenza quando l’indice del radicale è pari.
In tale circostanza infatti il radicando deve essere maggiore o uguale a zero
Nel terzo caso
l’esponente relativo alla base h è un numero che quasi tutti conosciamo, il π (pi greco).
Questo è un numero irrazionale, ovvero che non può neanche essere considerato frazione.
La potenza di base h in questione è soggetta in queste situazione ad ulteriori restrizioni e deve essere positiva e diversa da uno.
Se questa ultima parte vi è risultata un po’ poco chiara non importa.
La cosa importante è che se siete alle prime armi con i monomi sappiate che l’esponente deve essere un numero naturale.
Il resto se avete un po’ di calma e di pazienza lo scoprirete a mano a mano continuate il vostro percorso con la matematica.
PICCOLA NOTA STORICA
Prima di addentrarci alla scoperta delle proprietà e delle operazioni che possiamo fare con i monomi è bene sapere che questi non sono sempre esistiti.
L’invenzione dei monomi si attribuisco al matematico Francois Viete.
In realtà non era un matematico di professione, bensì un vero e proprio appassionato di matematica.
Dobbiamo dire che pur essendo l’inventore dei monomi la forma da lui inventata di discostava un po’ da quella che utilizziamo oggi.
Ad esempio per scrivere la quarta potenza di A, oggi scriveremmo:
Mentre per Viète la scrittura era quella di scrivere la A quattro volte
STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?
Se stai preparando l’esame di matematica o vuoi riprendere i concetti dall’inizio del percorso scopri i corsi.
Ora siamo pronti per cominciare il nostro viaggio con i monomi.
GRADO DI UN MONOMIO
Il grado di un monomio è determinato dagli esponenti della parte letterale.
Se consideriamo ad esempio il monomio:
Possiamo riconoscere che 2 è l’esponente della a, 3 è l’esponente della b, mentre 1 (che non si vede) è l’esponente della x.
Il grado di un monomio può essere riferito alle singole lettere.
Sempre nel monomio preso come esempio diciamo che presenta grado 2 rispetto alla lettera a, grado 3 rispetto alla lettera b e grado 1 rispetto alla lettera x.
Il grado complessivo del monomio è la somma dei gradi relativi alle lettere.
Nel nostro caso sarà dunque un monomio di sesto grado.
MONOMI SIMILI
Si definiscono monomi simili i monomi che hanno la stessa parte letterale.
Sono monomi simili ad esempio:
Oppure:
Attenzione che quando diciamo stessa parte letterale non intendiamo semplicemente le stesse lettere.
Non sono monomi simili a esempio:
MONOMI OPPOSTI
Sono monomi opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale ma coefficiente con segno diverso.
Ad esempio riportiamo tre coppie di monomi opposti:
IL COEFFICIENTE 1
Quando un monomio ha un coefficiente pari a uno usiamo la convenzione di non scriverlo.
Per esempio se abbiamo:
Scriviamo semplicemente
Esempi di monomi con coefficiente unitario (=1) sono:
IL MONOMIO NULLO
Il monomio nullo può essere identificato anche con un monomio con coefficiente pari a zero.
Dunque:
LE OPERAZIONI CON I MONOMI
Le operazioni che possiamo fare con i monomi sono le classiche operazioni di somma e differenza, moltiplicazioni e divisione, potenze.
SOMMA E DIFFERENZA DI MONOMI
La somma tra monomi è ammessa solo per monomi simili.
È come sommare le sedie con le sedie, le banane con le banane, i gelati con i gelati.
Per sommare i monomi si sommano i loro coefficienti
Ad esempio:
MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI
Per moltiplicare due o più monomi moltiplichiamo i loro coefficienti e le loro parti letterali.
Queste ultime seguono le regole delle potenze.
Ad esempio:
DIVISIONE TRA MONOMI
Per dividere due monomi si dividono i coefficienti tra di loro e le parti letterali tra di loro applicando le regole delle potenze.
Un esempio di divisione è il seguente:
POTENZA DI UN MONOMIO
Per fare la potenza di un monomio facciamo la potenza della parte numeriche per la potenza della parte letterale applicando le proprietà delle potenze.
Un esempio di potenza è:
Per approfondire le operazioni tra i monomi accedi al blog.
HAI QUALCHE DOMANDA?
Per qualsiasi domanda inerente i monomi scrivi un commento qui sotto.
Il tuo commento è molto importante per tutti gli utenti che come te hanno auto dei dubbi.
Per approfondire i temi della matematica accedi ai corsi.
Non lo trovo nè online nè sui libri. Cioè, come al solito c’è negli esercizi ma non viene spiegato nella teoria…
4x^m y è un monomio se m appartiene a N? E in generale, se lo trovo, devo scrivere che è un monomio con m€ N oppure va considerato non monomio e quindi non analizzato (grado complessivo m+1; grado m rispetto a x; grado 1 rispetto a y) ? Grazie.
Secondo dubbio. (È l’ultimo).
Se ho 7x^8 x^(-7), che ridotto in forma normale diventa 7x, lo considero un monomio oppure essendoci un esponente negativo non va considerato monomio a prescindere e quindi non va ridotto a F.Normale?
Mi chiedo sempre perchè i libri di matematica passano sopra a queste cose, che sono i veri punti che mandano in confusione le persone…
Esatto Marce.
Consideriamo un monomio solo se m è un numero naturale : quindi (0;1;2;3…;m)
Se diversamente m fosse negativo sarerrebbe una frazione.
Ad esempio x^-2=1/x^2
Se fosse una frazione sarebbe un radicale
Ad esempio x^(2/3)=radcubica(x^2)
Il grado complessivo di x^m*y è m+1