EQUAZIONI ESPONENZIALI (1)

Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita compare all’esponente.

Esempi di equazioni esponenziali sono:

$$ \begin{array}{cccc} 2^x=4 & 3^{|x|}-9 =0 & 4^x – 5 \cdot 2^x +4 = 0 & \frac{\sqrt{2} \cdot 4^x}{2 \sqrt{8}} = 1 \\ 5^\frac{x+1}{x-3} = 25^\frac{1}{x} & 3^x =2 & 5 \cdot 2^x = 3 \cdot 25^x & e^x = x+1 \end{array}$$

EQUAZIONI ESPONENZIALI – TIPOLOGIE

Come possiamo notare il numero di equazioni esponenziali che possiamo creare è potenzialmente infinito.

Pertanto ci serve una classificazione di tale tipo di funzione che ne definisca alcune tipologie

Tali tipologie ci serve per individuare la procedura migliore per risolvere l’equazione.

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI

Possiamo classificare le equazioni esponenziali nelle seguenti tipologie:

Daremo per scontato che l’inizio della frase è: equazioni esponenziali

• Elementari risolubili con potenze
• Composte risolubili con potenze
• Elementari risolubili con logaritmi
• Composte risolubili con logaritmi
• Per sostituzione
• Con il metodo grafico

Vi faccio notare due cose prima di presentare i vari casi.

La prima è che certe volte il confine tra una tipologia e l’altra non è sempre ben definito.

La seconda è che mano a mano scendiamo questa legenda il grado di difficoltà tende ad aumentare.

Detto ciò vi ricordo che per poter capire bene questo tipo di equazioni serve aver ben chiari tutti gli step di matematica che sono precedenti a questo punto.

Tra questi ricordo:

• Espressioni numeriche e insiemi numerici
• Operazioni con monomi e polinomi
• Raccoglimenti e prodotti notevoli
• Equazioni di primo, secondo grado, fratte
• Numeri irrazionali ed equazioni irrazionali

Questi per citarne alcuni.

EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE

Partiamo dalla tipologia più semplice di equazione esponenziale, ovvero quella elementare che può essere risolta mediante le proprietà delle potenze.

Riporto a tal proposito tre esempi:

$$ 2^x = 4 \quad \left( \frac{1}{3} \right)^ x = \frac{1}{9} \sqrt{3} \quad 5^x = 25 \sqrt[3]{\frac{1}{25}} $$

Tutti questi casi si presentano nella forma generica:

$$ a^x = a^k $$

Ovvero sia il termine di sinistra che quello di destra possono essere ricondotti alla stessa base, applicando le opportune proprietà delle potenze

ESEMPIO 1

Partiamo dal primo esempio:

$$ 2^x = 4 $$

In questo caso dobbiamo semplicemente trasformare il termine di destra 4 in una potenza di 2.

$$ 2^x = 2^2 $$

Andiamo ora ad eliminare le basi e otteniamo:

$$ x= 2 $$

Ecco il nostro risultato!

ESEMPIO 2

Continuiamo con il secondo esempio:

$$ 3^x = 9 \sqrt{3} $$

Scriviamo il lato destra come una moltiplicazione di potenze di 3:

$$ 3^x = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$

Applichiamo le proprietà delle potenze:

$$ 3^x = t 3^{2+ \frac{1}{2}} $$

Eliminiamo ora le basi:

$$ x = 2+ \frac{1}{2} $$

Ecco il nostro risultato!

Ora provate a svolgere per esercizio il terzo esempio e scrivete la soluzione nei commenti qui sotto.

Il commento migliore otterrà uno sconto del 40% sul videocorso completo di matematica.

EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE

In questa categoria faccio rientrare un qualsiasi ampliamento del caso precedente.

In pratica anziché la x pura all’esponente abbiamo una funzione composta di x.

Vediamo alcuni esempi:

$$ 2^{|x|} = 4 \quad 3 ^\frac{x}{x+1} =9 \quad \frac{\sqrt{2} \cdot 4^x}{2 \sqrt{8}} = 1 \quad 5^\sqrt{x} = 5 \cdot 5^x $$

ESEMPIO 1

$$ 2^{|x|} = 4 $$

Rileggiamo il lato destro come potenza di 2.

$$ 2^{|x|} = 2^2 $$

Da cui eleminando le basi otteniamo che:

$$ |x| = 2 $$

Risolvendo l’equazione in modulo:

$$ x = \pm 2 $$

ESEMPIO 2

$$ 3 ^\frac{x}{x+1} =9 $$

Riscriviamo il 9 a destra come 3 alla seconda, poi eliminiamo le basi giungendo ad una equazione fratta:

$$ 3 ^\frac{x}{x+1} =3^2 \to \frac{x}{x+1} =2 $$

Siamo qui giunti ad una equazione fratta.

Dopo aver imposto la condizione di esistenza 

$$ C.E.: \quad x+1 \ne 0 \to x \ne -1 $$

Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore comune e risolviamo l’equazione di primo grado che e deriva:

$$ x = 2(x+1) \to x= 2x+2 \to x=-2 $$

Provate a svolgere da soli il terzo esempio e vediamo il quarto:

ESEMPIO 4

$$ 5^\sqrt{x} = 5 \cdot 5^x $$

Applichiamo a destra le proprietà delle potenze ed eliminiamo le basi, in modo da giungere ad una equazione irrazionale:

$$ 5^\sqrt{x} = 5^{1+x} \to \sqrt{x} = {1+x}$$

Poniamo la radice di x uguale a t (sostituzione) in modo da ottenere una equazione di secondo grado in t:

$$ \sqrt{x} = {1+x} \overset{ \sqrt{x} = t}{\longrightarrow} t = 1+t^2 \to t^2-t+1 =0 $$

Essendo che il polinomio di sinistra è un falso quadrato (delta negativo) l’equazione è impossibile nel campo dei numeri reali.

$$ \not \exists x \in \Re \quad \text{non esiste $x$ appartenente ad $\Re $) }$$

Potevamo giungere alla stessa conclusione verificando che il delta del polinomio di secondo grado è negativo!

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EQUAZIONI ELEMENTARI RISOLUBILI CON LOGARITMI

Questo tipo di equazioni si manifesta nel seguente modo:

$$ a^x = b $$

Dove b non sembra riconducibile ad una “potenza perfetta” di a.

Il metodo risolutivo è:  usare i logaritmi!”

Per risolverle possiamo usare tre metodi:

• esponenziale
• logaritmico
• immediato

METODO ESPONENZIALE

Il primo è il metodo esponenziale, che riconduce il tutto ad un’equazione esponenziale elementare.

$$ a^x = a ^{\log_a b} $$

Eliminando le basi otteniamo 

$$ x = {\log_a b} $$

METODO LOGARITMICO

Il secondo è il metodo logaritmico che riconduce l’espressione ad un’equazione logaritmica

$$ a^x = b \to \log_a a^x = \log_a b \to x = \log_a b $$

Come si può ben notare viene imposto a destra e a sinistra un logaritmo con la stessa base dell’esponenziale, di modo che sul lato sinistro esponenziale e logaritmo si “eliminino” a vicenda.

VARIANTE DELLA PROCEDURA LOGARITMICA

Facciamo ricondurre a questo ragionamento una variante di questo metodo logaritmico che usa mettere un logaritmo con una base generica.

I logaritmi più utilizzati sono quelli in base 10 oppure in base e=2,7182…

Partendo dall’equazione iniziale, imponiamo questa volta un generico logaritmo ad entrambi i membri dell’equazione:

$$ a^x = b \to \log a^x = \log b $$

Applichiamo la proprietà dei logaritmi per cui scriviamo l’esponente del logaritmo davanti, e risolviamo l’equazione di primo grado che ne deriva, ottenendo lo stesso risultato del metodo esponenziale

$$ \log a^x = \log b \to x \log a = \log b \to x = \frac{\log b}{\log a} = \log_a b$$

METODO IMMEDIATO (RAPIDO)

Infine possiamo applicare il metodo rapido.

$$ a^x = b $$

Da qui possiamo capire che:

x è l’esponente da dare alla base a per ottenere il termine b

x è il logaritmo in base a di b

$$ a^x = b \to x = \log_a b $$

Fine della storia!

Vediamo ora qualche esempio in cui andiamo ad applicare questi metodi differenti.

$$ 2^x = 3 \quad 3^x = 5 \quad 5^x = 7 \quad 25^x = 9 $$

ESEMPIO 1

$$ 2^x = 3 $$

Applichiamo qui il metodo esponenziale:

$$ 2^x = 3 \to 2^x = 2^{\log_2 3} \to x = \log_2 3$$

ESEMPIO 2

$$ 3^x = 5 $$

Utilizziamo ora il metodo logaritmico con base 3:

$$ 3^x = 5 \to \log_3 3^x = \log_3 5 \to x = \log_3 5$$

ESEMPIO 3

$$ 5^x = 7 $$

Applichiamo qui l’ultimo metodo ovvero la definizione fondamentale di logaritmo

X è l’esponente da dare a 5 per ottenere 7

X è il logaritmo in base 5 di 7

$$ 5^x = 7 \to x = \log_5 7$$

ESEMPIO 4

$$ 25^x = 9 $$

Applichiamo ora la variante del metodo logaritmico inserendo qualche interessante proprietà.

$$ 25^x = 9 \to \log 25^x = \log 9 = x \log 25 = \log 9 \to x = \frac{\log 9}{\log 25}$$

Scriviamo il 25 e il 9 come potenze di 5 e di 3, portiamo davanti gli esponenti e semplifichiamo:

$$ x = \frac{\log 9}{\log 25} \to x = \frac{\log 3^2}{\log 5^2}= \frac{2 \log 3}{2 \log 5} = \frac{ \log 3}{ \log 5}$$

Bello no?

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EQUAZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE RISOLUBILI CON LOGARITMI

Le equazioni esponenziali che stiamo per vedere ricopro una vasta gamma di equazioni.

Mi limiterò a fornire solamente due esempi

$$ 2^{\frac{}{}} = 1 \quad 24 \cdot 3^x = \frac{15}{2^x}$$

ESEMPIO 1

$$ 2^{\frac{2x-1}{x+1}} = 1 $$

Se sostituiamo con la lettera t l’esponente che si trova a sinistra otteniamo un’equazione esponenziale elementare risolubile con logaritmi

$$ 2^{\frac{2x-1}{x+1}} = 1 \overset{\frac{2x-1}{x+1}= t}{\longrightarrow} 2^t= 3 \to t = \log_2 3$$

Risostituiamo ora l’espressione in x

$$ \frac{2x-1}{x+1} = \log_2 3 $$

Da notare che il termine a destra altro non è che un banale numero:

$$ \log_2 3 = 1,584962… $$

Dunque, una volta imposte le condizioni di esistenza:

$$ C.E. : \quad x+1 \ne 0 \to x \ne -1 $$

Moltiplichiamo a destra e a sinistra per il denominatore della frazione, ottenendo un’equazione di primo grado:

$$ 2x-1 = (x+1) \log_2 3 \to 2x-1 = x \log_2 3 + \log_2 3 $$

Isoliamo le x a sinistra (raccogliendo) e i numeri a destra e ricaviamo la soluzione dell’equazione:

$$ x ( 2- \log_2 3) = \log_2 3 +1 \to x = \frac{\log_2 3 +1}{2- \log_2 3} $$

Da cui ricaviamo facilmente la x:ù

Da notare che questa quantità è un numero!!!

$$ x = \frac{\log_2 3 +1}{2- \log_2 3} = 6,228… $$

ESEMPIO 2

$$ 24 \cdot 3^x = \frac{15}{2^x}$$

Imponiamo subito il logaritmo a destra e a sinistra:

$$ \log (24 \cdot 3^x) = \log \left( \frac{15}{2^x} \right) $$

Fattorizziamo ora tutto a destra e a sinistra:

$$ \log (2^3 \cdot 3 \cdot 3^x ) = \log \left( \frac{3 \cdot 5}{2^x} \right) $$

Riscriviamo tutto con le proprietà dei logaritmi:

$$ 3 \log 2 + \log 3 + x \log 3 = \log 3 + \log 5 – x \log 2 $$

Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra

$$ 3 \log 2 + x \log 3 < \log 5 – x \log 2 $$

Abbiamo un’equazione di primo grado!

Spostiamo quindi le x a sinistra e i numeri a destra

$$ x ( \log 3 + \log 2) = \log 5 + 3 \log 2 $$

Ricaviamo infine la x:

$$ x = \frac{\log 5 + 3 \log 2}{\log 3 + \log 2} $$

Se siete proprio dei patiti dell’ordine potete anche scrivere:

$$ x = \frac{ 3 \log 2 + \log 5 }{ \log 2 + \log 3} $$

EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE PER SOSTITUZIONE

Qui giungiamo ad una vastissima gamma di equazione.

Riporto solo due esempi:

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4=0 \quad 4^x -8 \cdot 2^x +15 =0 $$

ESEMPIO 1

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4=0 $$

Chiamiamo  2^x = t, quindi l’equazione esponenziale diventa una disequazione di secondo grado in t:

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4=0 \overset{2^x= t}{\longrightarrow} t^2-5t+4=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado e risolviamo l’equazione (con qualsiasi metodo)

$$ (t-4)(t-1)=0 \to t=1 \lor t=4 $$

Quindi otteniamo delle disequazioni esponenziali elementari facilmente risolvibili

$$ 2^x =1 \lor 2^x=4 \to 2^x =2^0 \lor 2^x =2^2 \to x=0 \lor x=2 $$

ESEMPIO 2

$$ 4^x -8 \cdot 2^x +15 =0 $$

Chiamiamo ancora 2^x = t, quindi l’equazione esponenziale diventa una equazione di secondo grado in t:

$$ 4^x -8 \cdot 2^x +15 =0 \overset{2^x= t}{\longrightarrow} t^2-8t+15=0$$

Risolviamo l’equazione (magari con il metodo del trinomio speciale oppure del delta)

$$ (t-3)(t-5) =0 \to t= 3 \lor t=5 $$

Risostituiamo e troviamo una disequazione esponenziale elementare che risolviamo con il logaritmi.

$$ t= 3 \lor t=5 \overset{t=2^x}{\longrightarrow} 2^x= 3 \lor 2^x=5 \to x= \log_2 3 \lor x= \log_2 5$$

EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE COL METODO GRAFICO

Questo metodo si può applicare in tutti quei casi di equazioni esponenziali dove non esistono regole matematiche certe.

In pratica è sempre utilizzabile!

Vediamo un esempio significativo

$$ 2^x = x+1 $$

Come notate questa espressione non è risolvibile con i logaritmi.

Sulla sinistra troviamo una funzione esponenziale:

$$ y = 2^x $$

Sul lato destro una retta con pendenza e ordinata pari a 1.

$$ y = x+1 $$

Andiamo a rappresentarle graficamente…

In questo caso ci va anche bene poiché la retta e l’esponenziale si incontrano in due ascisse intere:

$$ x = 0 \lor x= 1 $$

Vi faccio notare che non  è così nella maggior parte dei casi

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