Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita compare all’esponente.
Esempi di equazioni esponenziali sono:
EQUAZIONI ESPONENZIALI – TIPOLOGIE
Come possiamo notare il numero di equazioni esponenziali che possiamo creare è potenzialmente infinito.
Pertanto ci serve una classificazione di tale tipo di funzione che ne definisca alcune tipologie
Tali tipologie ci serve per individuare la procedura migliore per risolvere l’equazione.
CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI
Possiamo classificare le equazioni esponenziali nelle seguenti tipologie:
Daremo per scontato che l’inizio della frase è: equazioni esponenziali
- Elementari risolubili con potenze
- Composte risolubili con potenze
- Elementari risolubili con logaritmi
- Composte risolubili con logaritmi
- Per sostituzione
- Con il metodo grafico
Vi faccio notare due cose prima di presentare i vari casi.
La prima è che certe volte il confine tra una tipologia e l’altra non è sempre ben definito.
La seconda è che mano a mano scendiamo questa legenda il grado di difficoltà tende ad aumentare.
Detto ciò vi ricordo che per poter capire bene questo tipo di equazioni serve aver ben chiari tutti gli step di matematica che sono precedenti a questo punto.
Tra questi ricordo:
- Espressioni numeriche e insiemi numerici
- Operazioni con monomi e polinomi
- Raccoglimenti e prodotti notevoli
- Equazioni di primo, secondo grado, fratte
- Numeri irrazionali ed equazioni irrazionali
Questi per citarne alcuni.
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EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE
Partiamo dalla tipologia più semplice di equazione esponenziale, ovvero quella elementare che può essere risolta mediante le proprietà delle potenze.
Riporto a tal proposito tre esempi:
Tutti questi casi si presentano nella forma generica:
Ovvero sia il termine di sinistra che quello di destra possono essere ricondotti alla stessa base, applicando le opportune proprietà delle potenze
ESEMPIO 1
Partiamo dal primo esempio:
In questo caso dobbiamo semplicemente trasformare il termine di destra 4 in una potenza di 2.
Andiamo ora ad eliminare le basi e otteniamo:
Ecco il nostro risultato!
ESEMPIO 2
Continuiamo con il secondo esempio:
Scriviamo il lato destra come una moltiplicazione di potenze di 3:
Applichiamo le proprietà delle potenze:
Eliminiamo ora le basi:
Ecco il nostro risultato!
Ora provate a svolgere per esercizio il terzo esempio e scrivete la soluzione nei commenti qui sotto.
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EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE
In questa categoria faccio rientrare un qualsiasi ampliamento del caso precedente.
In pratica anziché la x pura all’esponente abbiamo una funzione composta di x.
Vediamo alcuni esempi:
ESEMPIO 1
Rileggiamo il lato destro come potenza di 2.
Da cui eleminando le basi otteniamo che:
Risolvendo l’equazione in modulo:
ESEMPIO 2
Riscriviamo il 9 a destra come 3 alla seconda:
Eliminiamo le basi:
Siamo qui giunti ad una equazione fratta.
Dopo aver imposto la condizione di esistenza
Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore comune:
Svolgiamo ora i calcoli sul lato destro:
Questa è una banale equazione di primo grado:
Spostiamo a destra le x e a sinistra i numeri:
Rileggiamo da destra a sinistra e otteniamo:
Risultato accettabile.
Provate a svolgere da soli il terzo esempio e vediamo il quarto:
ESEMPIO 4
Applichiamo a destra le proprietà delle potenze:
Questa è un’equazione irrazionale.
Posto il fatto che la x deve essere non negativa possiamo operare la seguente sostituzione:
Il testo pertanto diventa:
Ovvero questa è un’equazione di secondo grado:
Essendo che il polinomio di sinistra è un falso quadrato (delta negativo) l’equazione è impossibile nel campo dei numeri reali.
EQUAZIONI ELEMENTARI RISOLUBILI CON LOGARITMI
Questo tipo di equazioni si manifesta nel seguente modo:
Dove b non sembra riconducibile ad una “potenza perfetta” di a.
Il metodo risolutivo è: usare i logaritmi!”
Per risolverle possiamo usare tre metodi:
Il primo è il metodo esponenziale, che riconduce il tutto ad un’equazione esponenziale elementare.
Eliminando le basi otteniamo
Il secondo è il metodo logaritmico che riconduce l’espressione ad un’equazione logaritmica
Da cui abbiamo sempre che:
Facciamo ricondurre a questo ragionamento una variante di questo metodo logaritmico che usa mettere un logaritmo con una base generica.
I logaritmi più utilizzati sono quelli in base 10 oppure in base e=2,7182…
Imponiamo i logaritmi a destra e a sinistra;
Applichiamo la proprietà dei logaritmi per cui scriviamo l’esponente del logaritmo davanti
Ricaviamo la x come se risolvessimo un’equazione di primo grado:
Per le proprietà dei logaritmi possiamo anche scrivere
Infine possiamo applicare il metodo rapido.
Da qui possiamo capire che:
x è l’esponente da dare alla base a per ottenere il termine b
x è il logaritmo in base a di b
Fine della storia!
Vediamo ora qualche esempio in cui andiamo ad applicare questi metodi differenti.
ESEMPIO 1
Applichiamo qui il metodo esponenziale:
Possiamo riscrivere il 3 a destra come segue:
Eliminiamo ora le basi:
Ecco fatto!
ESEMPIO 2
Utilizziamo ora il metodo logaritmico con base 3
Il termine di sinistra vale ora l’incognita x:
ESEMPIO 3
Applichiamo qui l’ultimo metodo ovvero la definizione fondamentale di logaritmo
X è l’esponente da dare a 5 per ottenere 7
X è il logaritmo in base 5 di 7
ESEMPIO 4
Applichiamo ora la variante del metodo logaritmiche inserendo qualche interessante proprietà.
Portiamo la x davanti
Scriviamo il 25 e il 9 come potenze di 5 e di 3
Portiamo davanti gli esponenti
Risolviamo l’equazione di primo grado:
Semplifichiamo infine la frazione
Bello no?
EQUAZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE RISOLUBILI CON LOGARITMI
Le equazioni esponenziali che stiamo per vedere ricopro una vasta gamma di equazioni.
Mi limiterò a fornire solamente due esempi
ESEMPIO 1
Se sostituiamo con la lettera t l’esponente che si trova a sinistra otteniamo un’equazione esponenziale elementare risolubile con logaritmi
Ovvero:
Risostituiamo ora l’espressione in x
Da notare che il termine a destra altro non è che un banale numero:
Dunque, una volta imposte le condizioni di esistena:
Moltiplichiamo a destra e a sinistra per il denominatore della frazione:
Isoliamo le x a sinistra (raccogliendo) e i numeri a destra:
Da cui ricaviamo facilmente la x:ù
Da notare che questa quantità è un numero!!!
ESEMPIO 2
Imponiamo subito il logaritmo a destra e a sinistra:
Fattorizziamo ora tutto a destra e a sinistra:
Riscriviamo tutto con le proprietà dei logaritmi:
Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra
Abbiamo un’equazione di primo grado!
Spostiamo quindi le x a sinistra e i numeri a destra
Ricaviamo infine la x:
Se siete proprio dei patiti dell’ordine potete anche scrivere:
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EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE PER SOSTITUZIONE
Qui giungiamo ad una vastissima gamma di equazione.
Riporto solo due esempi:
ESEMPIO 1
Chiamiamo
Quindi l’equazione diventa:
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado:
Ricaviamo ora i due valori della t annullando i fattori:
Risostiamo e troviamo le soluzioni risolvendo equazioni elementari:
ESEMPIO 2
Chiamiamo
Quindi l’equazione diventa:
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado:
Ricaviamo ora i due valori della t annullando i fattori:
Risostiamo e troviamo le soluzioni risolvendo equazioni elementari:
EQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE COL METODO GRAFICO
Questo metodo si può applicare in tutti quei casi di equazioni esponenziali dove non esistono regole matematiche certe.
In pratica è sempre utilizzabile!
Vediamo un esempio significativo
Come notate questa espressione non è risolvibile con i logaritmi.
Sulla sinistra troviamo una funzione esponenziale:
Sul lato destro una retta con pendenza e ordinata pari a 1.
Andiamo a rappresentarle graficamente…
In questo caso ci va anche bene poiché la retta e l’esponenziale si incontrano in due ascisse intere:
Vi faccio notare che non è così nella maggior parte dei casi
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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