In questo articolo vediamo come costruire la funzione logaritmica.
Vi consiglio se non lo avere ancora fatto di dare un’occhiata a cosa è un logaritmo.
FUNZIONE LOGARITMICA
La funzione logaritmica nasce come funzione inversa della funzione esponenziale.
Consideriamo infatti l’equazione della generica funzione esponenziale:
Per ottenere la funzione inversa dobbiamo scambiare di posto la x con la y:
Che possiamo rileggere da destra a sinistra (come gli arabi):
A questo punto introduciamo il logaritmo ad entrambi i membri dell’equazione:
Otteniamo quindi la nostra funzione logaritmica dal momento che sul lato sinistro il logaritmo si porta via l’esponenziale:
BASE DEL LOGARITMO
È doveroso fare una premessa importante che riguarda la base del logaritmo.
Questa deve essere positiva e diversa da zero.
Quindi le basi ammissibili sono comprese tra 0 e 1 oppure sono maggiori di 1.
RAPPRESENTAZIONE DELLA FUNZIONE LOGARITMICA
È molto importante quando si parla di logaritmi avere bene in mente come può essere visualizzato un logaritmo.
Andiamo ora quindi a costruire la funzione logaritmica.
Partiamo da un caso molto semplice di logaritmo che presenta una base maggiore di 1.
Per comodità possiamo scegliere il numero 2 come base.
Costruiamo dunque la funzione:
Per usare una notazione di funzione più professionale possiamo anche scrivere:
Andiamo ora ad attribuire dei valori “comodi” alla x.
Ci conviene quindi andare ad utilizzare delle potenze di 2.
Partiamo dalle potenze classiche 2, 4, 8, e 16.
Se vi trovate in difficoltà con questi passaggi correte subito a vedervi l’articolo sui logaritmi.
Il logaritmo di 1 vale sempre zero!
Ricordatevelo ( e ricordatevi anche che non vale il contrario!)
Proseguiamo ora con un’altra terna di potenze di 2 (con esponente negativo)
Potremo perfino scegliere delle radici come valori:
Rappresentiamo ora una tabella in cui riportiamo i valori che abbiamo calcolato.
Associamo ora ad ogni valore di x e y della tabella un punto ben definito all’interno delsistema cartesiano:
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DOMINIO DELLA FUNZIONE LOGARITMICA (VALORI DELL’ARGOMENTO)
Come possiamo facilmente notare dal grafico la funzione logaritmica è definita solamente per i valori dell’argomento x che sono positivi.
Ricordiamo che il logaritmo di zero e di valori negativi non esiste.
Pertanto il dominio D (campo di esistenza) della funzione ovvero il suo campo di esistenza è x maggiore di zero.
Potremo anche usare le scritture:
Con la prima delle due scritture intendiamo dire che il dominio va da zero (escluso) a più infinito.
Con la seconda che x appartiene ai reali positivi, quindi escluso lo zero.
CODOMINIO DELLA FUNZIONE LOGARITMICA (VALORI DEL LOGARITMO)
Attenzione a non confondere il fatto che l’argomento del logaritmo è positivo con il fatto che il logaritmo deve essere positivo.
Il logaritmo può assumere qualsiasi valore reale quindi il codominio C della funzione logaritmica è pari a R
Possiamo anche scrivere:
Oppure alternativamente:
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
Essendo che il dominio della funzione sono i reali positivi non vi sono intersezioni con l’asse delle y.
Mentre sappiamo che il logaritmo vale 0 quando il suo argomento vale 1.
Pertanto vi è una sola intersezione con l’asse delle x, in particolare il punto di coordinate:
Questo significa (lo diciamo ancora una volta) che:
Si tratta senza ombra di dubbio di risolvere un’equazione logaritmica:
Ponendo l’esponenziale da entrambi i lati al fine di eliminare il logaritmo:
SEGNO DELLA FUNZIONE
Quando la base del logaritmo è maggiore di 1 il logaritmo risulta positivo per i valori dell’argomento maggiori di 1.
Matematicamente possiamo andare a risolvere la seguente disequazione:
Possiamo anche rappresentare la seguente tabella dei segni:
Graficamente possiamo vedere la positività della funzione come segue:
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LIMITI DELLA FUNZIONE LOGARITMICA
Dal momento che il dominio della funzione logaritmica è :
I limiti agli estremi del dominio che ci interessano analizzare sono 0+ e +∞.
Partiamo dal limite tendente allo zero.
Come si comporta il logaritmo con base maggiore di 1 quando l’argomento x tende allo zero (dalla parte positiva)?
Basta pensare a questa sequenza in cui facciamo tendere l’argomento progressivamente verso lo zero.
Osserviamo che quando l’argomento va allo zero il valore del logaritmo scende verso il meno infinito.
In particolare quando siamo già prossimi allo zero bastano sempre piccoli incrementi verso lo zero per determinare una forte risposta negativa del logaritmo.
Possiamo utilizzare la scrittura:
Procediamo in modo analogo verso l’altro estremo del dominio, il più infinito.
Come si comporta il logaritmo con base maggiore di 1 quando l’argomento va verso l’infinito?
Pensiamo ancora una volta alla seguente sequenza:
Quando l’argomento cresce anche il valore del logaritmo cresce, e lo fa in modo infinito.
Questa volta per servono incrementi sempre più grandi dell’argomento per determinare una risposta positiva del logaritmo.
Ad esempio quando l’argomento passa da 8 a 16 l’incremento del logaritmo è di 1.
Per avere un incremento del logaritmo ancora di una unità serve che l’argomento passi da 16 a 32.
Quindi nel caso della base pari a due abbiamo un aumento del logaritmo di una unità ogni qualvolta l’argomento raddoppia.
Per usare la simbologia dei limiti scriviamo:
FUNZIONE LOGARITMICA E FUNZIONE ESPONENZIALE
Come abbiamo detto all’inizio dell’articolo la funzione logaritmica è la funzione inversa rispetto alla funzione esponenziale.
In particolare:
è funzione inversa della funzione esponenziale con la stessa base ovvero di:
Dal punto di vista geometrico la funzione logaritmica è simmetrica della funzione esponenziale rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ovvero della retta:
FUNZIONE LOGARITMO NATURALE
Il logaritmo naturale è il logaritmo che ha per base il numero e, detto numero di Nepero o numero di Eulero.
Questo numero è calcolato come il limite per n che tende a infinito della somma tra 1 e il reciproco di n, il tutto elevato alla n e vale circa 2,718281…
Indichiamo il logaritmo naturale con la scrittura ln:
La funzione che rappresenta il logaritmo naturale è:
è molto simile al logaritmo di 2.
Cambiano solamente i punti per cui passa nel piano cartesiano.
FUNZIONE LOGARITMICA CON BASE COMPRESA TRA 0 E 1
La funzione logaritmica con base compresa tra zero e uno, ha lo stesso dominio e codominio della funzione già studiata sopra.
La cosa che cambia è il suo andamento decrescente.
Se ad esempio consideriamo la funzione logaritmica:
Possiamo anche vederla applicando il cambio di base (scegliendo ad esempio il 2) come:
Possiamo ora rileggere il logaritmo in base 2 di 1/2 come segue:
Quindi riprendendo i conti di prima:
La funzione da studiare è dunque:
Questa funzione è esattamente l’opposto della funzione che rappresenta il logaritmo di 2.
Quindi per rappresentarla graficamente andiamo a ribaltarla rispetto all’asse delle y.
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