DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare all’esponente.

Possiamo considerare le disequazioni esponenziali come un ampliamento delle equazioni esponenziali.

Sono Esempi di equazioni esponenziali:

$$ \begin{array}{cccc} 2^x>4 & 3^{|x|}-9 <0 & 4^x – 5 \cdot 2^x +4 \ge 0 & \frac{\sqrt{2} \cdot 4^x}{2 \sqrt{8}} \le 1 \\ 5^\frac{x+1}{x-3} > 25^\frac{1}{x} & 3^x <2 & 5 \cdot 2^x \ge 3 \cdot 25^x & e^x \le x+1 \end{array}$$

Come possiamo notare il numero di disequazioni esponenziali che possiamo creare è potenzialmente infinito.

Necessitiamo pertanto di una classificazione di tale tipo di disequazioni  che ne definisca alcune tipologie

Tali tipologie servono per individuare la procedura migliore per risolvere l’equazione.

CLASSIFICAZIONE DELLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Possiamo classificare le disequazioni esponenziali nelle seguenti tipologie:

Ovviamente l’inizio della frase è: disequazioni esponenziali

• Elementari risolubili con potenze
• Composte risolubili con potenze
• Elementari risolubili con logaritmi
• Composte risolubili con logaritmi
• Per sostituzione
• Con il metodo grafico

Dobbiamo precisare anzitutto due cose prima di presentare i vari casi.

La prima è che certe volte il confine tra una tipologia e l’altra non è sempre ben definito.

La seconda è che mano a mano scendiamo questa legenda il grado di difficoltà tende ad aumentare.

Detto ciò vi ricordo che per poter capire bene questo tipo di disequazioni serve aver ben chiari tutti gli step di matematica che sono precedenti a questo punto.

Tra questi ricordo:

• Espressioni numeriche e insiemi numerici
• Operazioni con monomi e polinomi
• Raccoglimenti e prodotti notevoli
• Equazioni di primo, secondo grado, fratte
• Numeri irrazionali ed equazioni irrazionali

Questi per citarne alcuni.

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE

Partiamo dalla tipologia più semplice di disequazione esponenziale, ovvero quella elementare che può essere risolta mediante le proprietà delle potenze.

Riporto a tal proposito tre esempi:

$$ 2^x > 4 \quad \left( \frac{1}{3} \right)^ x < \frac{1}{9} \sqrt{3} \quad 5^x \ge 25 \sqrt[3]{\frac{1}{25}} $$

Tutti questi casi si presentano nella forma generica:

$$ a^x > a^k \quad a^x <a^k $$

Ovvero sia il termine di sinistra che quello di destra possono essere ricondotti alla stessa base, applicando le opportune proprietà delle potenze

ESEMPIO 1

Partiamo dal primo esempio:

$$ 2^x > 4 $$

In questo caso dobbiamo semplicemente trasformare il termine di destra 4 in una potenza di 2.

$$ 2^x > 4 \to 2^x > 2^2$$

Andiamo ora ad eliminare le basi e otteniamo:

$$ 2^x > 4 \to 2^x > 2^2 \to x>2$$

Ecco il nostro risultato!

VISUALIZZAZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONE ESPONENZIALI

Torniamo ancora alla disequazione appena risolta

$$ 2^x > 4 $$

Sul lato sinistro dell’equazione è presenta la funzione esponenziale:

$$ y = 2^x $$

Mentre sul lato destra troviamo la funzione costante (retta orizzontale)

$$ y = 4 $$

Che possiamo anche scrive come:

$$ y= 2^\color{red}{2}$$

In particolare quando vogliamo vedere la soluzione della disequazione, dobbiamo guardare la parte sopra la retta

In particolare se proiettiamo questa parte di funzione sull’asse delle x evidenziamo tutti i valori di x che sono maggiori di 2.

ATTENZIONE ALLA BASE COMPRESA TRA ZERO E UNO !!!

Continuiamo con il secondo esempio:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \frac{1}{9} \sqrt{3} $$

Applicando le proprietà delle potenze possiamo riscrivere  il lato destra come una moltiplicazione di potenze di 3:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{- \frac{1}{2}}

Applichiamo le proprietà delle potenze:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \left( \frac{1}{3} \right)^{2-\frac{1}{2}} $$

ATTENZIONE ORA ALL’ULTIMO PASSAGGIO !!!

Non dobbiamo solamente eliminare le basi!!!

Dobbiamo infatti considerare che la base comune  è compresa tra zero e uno.

In tal caso oltre ad eliminare le basi andiamo a cambiare il verso della disequazione !!!

Questo è molto importante!!!

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \left( \frac{1}{3} \right)^{2-\frac{1}{2}} \to x \color{red}{>} 2+\frac{1}{2} \to x > \frac{5}{2}$$

Ecco il nostro risultato!

INTERPRETAZIONE GRAFICA QUANDO LA BASE E’ COMPRESA TRA 0 E 1

Perché oltre ad eliminare la base abbiamo anche cambiato il verso dell’esponente???

Ritorniamo per un momento al penultimo passaggio di questa disequazione esponenziale

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \left( \frac{1}{3} \right)^{2-\frac{1}{2}} $$

Sulla sinistra abbiamo la funzione esponenziale:

$$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^x $4

(ricordiamo che questa è una funzione decrescente)

Mentre sul lato sinistro abbiamo una funzione costante o retta orizzontale

$$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^{2-\frac{1}{2}} $$

Osserviamo il grafico che interseca le due funzioni:

Dal momento che il testo dell’equazione dice che:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^x < \left( \frac{1}{3} \right)^{2-\frac{1}{2}} $$

Per determinare graficamente la soluzione della disequazione esponenziale dobbiamo guardare la parte di funzione esponenziale al di sotto della retta

La soluzione è la proiezione di tale funzione sull’asse delle x

Come si può facilmente notare sono tutti i valori per cui la x è maggiore di 2+ 1/2

$$ x > 2 + \frac{1}{2} $$

IMPARA LA MATEMATICA DA ZEO

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DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE

In questa categoria faccio rientrare un qualsiasi ampliamento del caso precedente.

La cosa che cambia è che abbiamo una funzione composta in x al posto della x semplice all’esponente

Vediamo alcuni esempi:

$$ 2^{|x|} > 4 \quad 3 ^\frac{x}{x+1} <9 \quad \frac{\sqrt{2} \cdot 4^x}{2 \sqrt{8}} \le 1 \quad 5^\sqrt{x} \ge 5 \cdot 5^x $$

ESEMPIO 1 – DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE

$$ 2^{|x|} > 4 $$

Rileggiamo il lato destro come potenza di 2.

$$ 2^{|x|} > 2^2 $$

Da cui eleminando le basi otteniamo che:

$$ |x| > 2 $$

Risolvendo l’equazione in modulo:

$$ x<-2 \lor x>2 $$

Questo e gli altri esempi che vediamo hanno la base dell’esponenziale maggiore di 1

Pertanto non è necessario fare operazioni sul “becco” della disequazione!

ESEMPIO 2

$$ 3 ^\frac{x}{x+1} <9 $$

Riscriviamo il 9 a destra come 3 alla seconda:

$$ 3 ^\frac{x}{x+1} <3^2 $$

Eliminiamo le basi:

$$ \frac{x}{x+1} < 2 $$

Siamo qui giunti ad una disequazione fratta.

Stiamo attenti al fatto che ci troviamo di fronte ad una disequazione.

Pertanto non possiamo “sbarazzarci” facilmente del denominatore.

Andiamo dunque a ricondurre la disequazione fratta nella sua forma base.

Tale forma base prevede di avere una unica frazione a sinistra e lo zero a destra.

Cominciamo con il creare lo zero sul lato destro spostando il 2 a sinistra.

$$ \frac{x}{x+1} – 2 <0$$

Ora andiamo a creare il denominatore comune e a sommare le frazioni a sinistra

$$ \frac{x-2(x+1)}{x+1} <0 \to \frac{x-2x-2}{x+1} <0 \to \frac{-x-2}{x+1} <0$$

Abbiamo ora raggiunto la forma base a sinistra con una unica frazione.

Siccome siamo pignoli e non ci piacciono troppi segni negativi, cambiamo il segno del numeratore a sinistra.

Dobbiamo ricordarci però anche di cambiare il verso (becco) della disequazione:

$$ \frac{x+2}{x+1} >0 $$

A questo punto non ci resta che studiare il segno del numeratore e del denominatore della frazione (ovviamente positivi).

$$ x+2>0 \to x>-2 \\ x+1>0 \to x>-1 $

Riportiamo ora la linea dei segni:

Considerando l’ultimo cambiamento nel verso della disequazione (>0) ci interessa la zona positiva:

$$ x<-2 \lor x>-1 $$

Ecco la nostra soluzione!

ESEMPIO 4

$$ 5^\sqrt{x} \ge 5 \cdot 5^x $$

Applichiamo a destra le proprietà delle potenze:

$$ 5^\sqrt{x} \ge 5^{1+x} $$

E andiamo ad eliminare le basi:

$$ \sqrt{x} \ge {1+x} $$

Questa è un’disequazione irrazionale.

Nella “normalità dei casi” questa dovrebbe essere risolta con la seguente regola generale:

$$ \sqrt{f(x)} \ge g(x) \to \begin{cases} g(x)<0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \cup \begin{cases} g(x) \ge0 \\ f(x) \ge \left( g(x) \right)^2 \end{cases} $$

Dunque :

$$ \sqrt{x} \ge 1+x \to \begin{cases} 1+x<0 \\ x \ge 0 \end{cases} \cup \begin{cases} 1+x \ge0 \\ x \ge \left( 1+x \right)^2 \end{cases} $$

Lascerò risolvere a voi questi due due sistemi ed unire le soluzioni.

Il metodo che preferisco utilizzare in questo caso è il metodo della sostituzione, ponendo la radice di x uguale a t:

Poniamo:

$$ \sqrt{x} \ge {1+x} \overset{\color{red}{\sqrt{x}= t}}{\longrightarrow} t> 1+t^2 $$

Ovvero questa è una disequazione di secondo grado:

$$ t^2-t+1 \le 0 $$

Essendo che il polinomio di sinistra è un falso quadrato  risulta essere sempre strettamente positivo.

Pertanto la disequazione non ammette soluzioni in t, il che significa che la parabola non ammette punti di intersezione con l’asse t.

(potevamo giungere alla stessa conclusione verificando che il delta del polinomio di secondo grado è minore di zero! )

In particolare la parabola in questione è sempre positiva (sopra l’asse delle t).

Dal momento che noi la vogliamo minore di zero diciamo che non esiste nessuna soluzione per la disequazione in t, e dunque neanche per la disequazione di partenza in x.

$$ \not \exists x \in \Re \quad \text{non esiste $x$ appartenente ad $\Re $) }$$

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI RISOLUBILI CON LOGARITMI

Questo tipo di equazioni si manifesta nel seguente modo:

$$ a^x < b \quad a^x > b $$

Dove b non sembra riconducibile ad una “potenza perfetta” di a.

Il metodo risolutivo è:  usare i logaritmi!”

Per risolverle possiamo usare tre metodi:

• Esponenziale
• Logaritmico
• Immediato 

METODO ESPONENZIALE 

Nei metodi risolutivi che inizialmente presentiamo consideriamo per comodità il caso del maggiore di zero (>0) con la base a maggiore di 1.

Il primo è il metodo esponenziale, che riconduce il tutto ad un’equazione esponenziale elementare.

$$ a^x > b \to a^x > a^{\log_a b} \to x > \log_a b $$

Nota ancora bene: supponiamo che la base dell’esponenziale sia maggiore di 1 !!!

A tal proposito vedi l’articolo sulla funzione esponenziale.

METODO LOGARITMICO

Il secondo è il metodo logaritmico che riconduce l’espressione ad un’equazione logaritmica

$$ a^x > b \to \log_a a^x > \log_a b \to x > \log_a b $$

Facciamo ricondurre a questo ragionamento una variante di questo metodo logaritmico che usa mettere un logaritmo con una base generica.

I logaritmi più utilizzati sono quelli in base 10 oppure in base e=2,7182…

Vediamo in modo più dettagliati i passaggi con logaritmi di cui non è specificata la base (oppure è una base specifica)

Partendo dalla disequazione di partenza:

$$ a^x > b $$

Imponiamo i logaritmi a destra e a sinistra;

$$ \log a^x > \log b $$

Applichiamo la proprietà dei logaritmi per cui scriviamo l’esponente del logaritmo davanti

$$ x \log a > \log b $$

Ricaviamo la x come se risolvessimo un’equazione di primo grado:

$$ x > \frac{\log b}{\log a} $$

(anche in questo caso supponiamo positivo il coefficiente della x)

Per le proprietà dei logaritmi possiamo anche scrivere

$$ x > \frac{\log b}{\log a} = \log_ a b $$

METODO RAPIDO

Infine possiamo applicare il metodo rapido.

$$ a^x > b \to x > \log_a b $$

x è l’esponente da dare alla base a per ottenere il termine b

x è il logaritmo in base a di b

Fine della storia!

Vediamo ora qualche esempio in cui andiamo ad applicare questi metodi differenti.

$$ 2^x > 3 \quad 3^x > 5 \quad 5^x \ge 7 \quad 25^x \le 9 $$

ESEMPIO 1

$$ 2^x >3 $$

Applichiamo qui il metodo esponenziale:

$$ 2^x >3 \to \color{red}{2}^x > \color{red}{2}^{\log_2 3} \to x> \log_2 3$$

ESEMPIO 2

$$ 3^x <5 $$

Utilizziamo ora il metodo logaritmico con base 3

$$ 3^x <5 \to \color{red}{\log_3} 3^x < \color{red}{\log_3} 5 \to x < \log_3 5$$

Il termine di sinistra vale ora l’incognita x:

ESEMPIO 3

$$ 5^x \ge 7 $$

Applichiamo qui l’ultimo metodo ovvero la definizione fondamentale di logaritmo

X è l’esponente da dare a 5 per ottenere 7

X è il logaritmo in base 5 di 7

$$ 5^x \ge 7 \to x \ge \log_5 7 $$

ESEMPIO 4

$$ 25^x \le 9 $$

Applichiamo ora la variante del metodo logaritmico inserendo qualche interessante proprietà.

$$ 25^x \le 9 \to \color{red}{\log} 25^x \le \color{red}{\log} 9$$

Portiamo la x davanti

$$ 25^x \le 9 \to \color{red}{\log} 25^x \le \color{red}{\log} 9 \to x \log 25 \le \log 9$$

Scriviamo il 25 e il 9 come potenze di 5 e di 3

$$ \to x \log 5^2 \le \log 3^2 $$

Portiamo davanti gli esponenti

$$ \to x \log 5^2 \le \log 3^2 \to 2x \log 5 \le 2 \log 3 $$

Risolviamo l’equazione di primo grado e semplifichiamo:

$$ \to x \log 5^2 \le \log 3^2 \to 2x \log 5 \le 2 \log 3 \to x \log 5 \le \log 3 \to x \le \frac{\log 3}{\log 5}$$

Bello no?

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA?

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DISEQUAZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE RISOLUBILI CON LOGARITMI

Le equazioni esponenziali che stiamo per vedere ricopro una vasta gamma di equazioni.

Mi limiterò a fornire solamente due esempi

ESEMPIO 1

$$ 2 ^\frac{2x-1}{x+1} >3 $$

Se sostituiamo con la lettera t l’esponente :

$$ 2 ^\frac{2x-1}{x+1} >3 \overset{ t= \frac{2x-1}{x+1}}{\longrightarrow} 2^t>3 \to t > \log_2 3$$

Risostituiamo ora l’espressione in x

$$ \frac{2x-1}{x+1} > \log_2 3 $$

Da notare che il termine a destra altro non è che un banale numero:

$$ \log_2 3 = 1,584962… $$

Spostiamo a sinistra facendo il denominatore comune:

$$ \frac{2x-1- (x+1) \log_2 3}{x+1} >0 $$

Riscriviamo meglio il testo:

$$ \frac{x (2-\log_2 3) – ( 1+ \log_2 3) }{x+1} >0 $$

Studiamo numeratore e denominatore positivi

Studiamo numeratore e denominatore positivi:

$$ x (2-\log_2 3) – ( 1+ \log_2 3) >0 \to x > \frac{1+ \log_2 3}{2-\log_3} \approx 6,228… \\ x+1>0 \to x>-1 $$

Dopo aver fatto il grafico dei segni prendiamo la zona positiva:

$$ x<-1 \lor x> \frac{1+\log_2 3}{2- \log_2 3} $$

ESEMPIO 2

$$ 24 \cdot 3^x < \frac{15}{2^x} $$

Imponiamo subito il logaritmo a destra e a sinistra:

$$ \log (24 \cdot 3^x) < \log \left( \frac{15}{2^x} \right) $$

Fattorizziamo ora tutto a destra e a sinistra:

$$ \log (2^3 \cdot 3 \cdot 3^x ) < \log \left( \frac{3 \cdot 5}{2^x} \right) $$

Riscriviamo tutto con le proprietà dei logaritmi:

$$ 3 \log 2 + \log 3 + x \log 3 < \log 3 + \log 5 – x \log 2 $$

Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra

$$ 3 \log 2 + x \log 3 < \log 5 – x \log 2 $$

Abbiamo un’equazione di primo grado!

Spostiamo quindi le x a sinistra e i numeri a destra

$$ x ( \log 3 + \log 2) < \log 5 + 3 \log 2 $$

Ricaviamo infine la x:

$$ x < \frac{\log 5 + 3 \log 2}{\log 3 + \log 2} $$

Se siete proprio dei patiti dell’ordine potete anche scrivere:

$$ x < \frac{ 3 \log 2 + \log 5 }{ \log 2 + \log 3} $$

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE PER SOSTITUZIONE

Qui giungiamo ad una vastissima gamma di disequazione.

Riporto solo due esempi:

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4>0 \quad 4^x -8 \cdot 2^x +15 <0 $$

ESEMPIO 1

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4>0 $$

Chiamiamo  2^x = t, quindi la disequazione esponenziale diventa una disequazione di secondo grado in t:

$$ 4^x – 5 \cdot 2^x +4>0 \overset{2^x= t}{\longrightarrow} t^2-5t+4>0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado e risolviamo la disequazione (con qualsiasi metodo)

$$ (t-4)(t-1)>0 \to t<1 \lor t>4 $$

Quindi otteniamo delle disequazioni esponenziali elementari facilmente risolvibili

$$ 2^x <1 \lor 2^x>4 \to 2^x <2^0 \lor 2^x >2^2 \to x<0 \lor x>2 $$

ESEMPIO 2

$$ 4^x -8 \cdot 2^x +15 <0 $$

Chiamiamo ancora 2^x = t, quindi la disequazione esponenziale diventa una disequazione di secondo grado in t:

$$ 4^x -8 \cdot 2^x +15 <0 \overset{2^x= t}{\longrightarrow} t^2-8t+15<0$$

Risolviamo la disequazione (magari con il metodo del trinomio speciale oppure del delta)

$$ (t-3)(t-5) <0 \to 3<t<5 $$

Risostituiamo e troviamo una disequazione esponenziale elementare che risolviamo con il logaritmi.

$$ 3<t<5 \overset{t=2^x}{\longrightarrow} 3<2^x<5 \to \log_2 3 <x< \log_2 5 $$

O se preferite:

$$ 3<t<5 \overset{t=2^x}{\longrightarrow} 3<2^x<5 \to \frac{\log 3}{\log 2} <x< \frac{\log 5}{\log 2} $$

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE COL METODO GRAFICO

Questo metodo si può applicare in tutti quei casi di disequazioni esponenziali dove non esistono regole matematiche certe.

In pratica è sempre utilizzabile!

Vediamo un esempio significativo

$$ 2^x > x+1 $$

Come notate questa espressione non è risolvibile con i logaritmi.

Sulla sinistra troviamo una funzione esponenziale:

$$ y = 2^x $$

Sul lato destro una retta con pendenza e ordinata pari a 1.

$$ y = x+1 $$

Andiamo a rappresentarle graficamente…

Ora dobbiamo concentrarci su tutti i valori della x per cui la funzione esponenziale si trovi al di sopra della retta

In questo caso ci va anche bene poiché la retta e la funzione esponenziale si incontrano in due ascisse intere:

$$ x<0 \lor x>1 $$

Nella maggior parte dei casi non è così, e diventa più complesso determinare le soluzioni-

HAI QUALCHE DOMANDA???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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