Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare all’esponente.
Possiamo considerare le disequazioni esponenziali come un ampliamento delle equazioni esponenziali.
Sono Esempi di equazioni esponenziali:
Come possiamo notare il numero di disequazioni esponenziali che possiamo creare è potenzialmente infinito.
Necessitiamo pertanto di una classificazione di tale tipo di disequazioni che ne definisca alcune tipologie
Tali tipologie servono per individuare la procedura migliore per risolvere l’equazione.
CLASSIFICAZIONE DELLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Possiamo classificare le disequazioni esponenziali nelle seguenti tipologie:
Ovviamente l’inizio della frase è: disequazioni esponenziali
- Elementari risolubili con potenze
- Composte risolubili con potenze
- Elementari risolubili con logaritmi
- Composte risolubili con logaritmi
- Per sostituzione
- Con il metodo grafico
Dobbiamo precisare anzitutto due cose prima di presentare i vari casi.
La prima è che certe volte il confine tra una tipologia e l’altra non è sempre ben definito.
La seconda è che mano a mano scendiamo questa legenda il grado di difficoltà tende ad aumentare.
Detto ciò vi ricordo che per poter capire bene questo tipo di disequazioni serve aver ben chiari tutti gli step di matematica che sono precedenti a questo punto.
Tra questi ricordo:
- Espressioni numeriche e insiemi numerici
- Operazioni con monomi e polinomi
- Raccoglimenti e prodotti notevoli
- Equazioni di primo, secondo grado, fratte
- Numeri irrazionali ed equazioni irrazionali
Questi per citarne alcuni.
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Se stai preparando l’esame di matematica e sei carente nelle basi ti consiglio di scoprire i corsi di matematica
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE
Partiamo dalla tipologia più semplice di disequazione esponenziale, ovvero quella elementare che può essere risolta mediante le proprietà delle potenze.
Riporto a tal proposito tre esempi:
Tutti questi casi si presentano nella forma generica:
Ovvero sia il termine di sinistra che quello di destra possono essere ricondotti alla stessa base, applicando le opportune proprietà delle potenze
ESEMPIO 1
Partiamo dal primo esempio:
In questo caso dobbiamo semplicemente trasformare il termine di destra 4 in una potenza di 2.
Andiamo ora ad eliminare le basi e otteniamo:
Ecco il nostro risultato!
VISUALIZZAZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONE ESPONENZIALI
Torniamo ancora alla disequazione appena risolta
Sul lato sinistro dell’equazione è presenta la funzione esponenziale:
Mentre sul lato destra troviamo la funzione costante (retta orizzontale)
Che possiamo anche scrive come:
In particolare quando vogliamo vedere la soluzione della disequazione, dobbiamo guardare la parte sopra la retta
In particolare se proiettiamo questa parte di funzione sull’asse delle x evidenziamo tutti i valori di x che sono maggiori di 2.
ATTENZIONE ALLA BASE COMPRESA TRA ZERO E UNO !!!
Continuiamo con il secondo esempio:
Applicando le proprietà delle potenze possiamo riscrivere il lato destra come una moltiplicazione di potenze di 3:
Applichiamo le proprietà delle potenze:
ATTENZIONE ORA ALL’ULTIMO PASSAGGIO !!!
Non dobbiamo solamente eliminare le basi!!!
Dobbiamo infatti considerare che la base comune è compresa tra zero e uno.
In tal caso oltre ad eliminare le basi andiamo a cambiare il verso della disequazione !!!
Questo è molto importante!!!
Ecco il nostro risultato!
INTERPRETAZIONE GRAFICA QUANDO LA BASE E’ COMPRESA TRA 0 E 1
Perché oltre ad eliminare la base abbiamo anche cambiato il verso dell’esponente???
Ritorniamo per un momento al penultimo passaggio di questa disequazione esponenziale
Sulla sinistra abbiamo la funzione esponenziale:
(ricordiamo che questa è una funzione decrescente)
Mentre sul lato sinistro abbiamo una funzione costante o retta orizzontale
Osserviamo il grafico che interseca le due funzioni:
Dal momento che il testo dell’equazione dice che:
Per determinare graficamente la soluzione della disequazione esponenziale dobbiamo guardare la parte di funzione esponenziale al di sotto della retta
La soluzione è la proiezione di tale funzione sull’asse delle x
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLUBILI CON POTENZE
In questa categoria faccio rientrare un qualsiasi ampliamento del caso precedente.
La cosa che cambia è che abbiamo una funzione composta in x al posto della x semplice all’esponente
Vediamo alcuni esempi:
ESEMPIO 1 – DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE
Rileggiamo il lato destro come potenza di 2.
Da cui eleminando le basi otteniamo che:
Risolvendo l’equazione in modulo:
Questo e gli altri esempi che vediamo hanno la base dell’esponenziale maggiore di 1
Pertanto non è necessario fare operazioni sul “becco” della disequazione!
ESEMPIO 2
Riscriviamo il 9 a destra come 3 alla seconda:
Eliminiamo le basi:
Siamo qui giunti ad una disequazione fratta.
Stiamo attenti al fatto che ci troviamo di fronte ad una disequazione.
Pertanto non possiamo “sbarazzarci” facilmente del denominatore.
Andiamo dunque a ricondurre la disequazione fratta nella sua forma base.
Tale forma base prevede di avere una unica frazione a sinistra e lo zero a destra.
Cominciamo con il creare lo zero sul lato destro spostando il 2 a sinistra.
Ora andiamo a creare il denominatore comune e a sommare le frazioni a sinistra
Svolgiamo i conti al numeratore:
Abbiamo ora raggiunto la forma base a sinistra con una unica frazione.
Siccome siamo pignoli e non ci piacciono troppi segni negativi, cambiamo il segno del numeratore a sinistra.
Dobbiamo ricordarci però anche di cambiare il verso (becco) della disequazione:
A questo punto non ci resta che studiare il segno del numeratore e del denominatore della frazione (ovviamente positivi).
Riportiamo ora la linea dei segni:
Ecco la nostra soluzione!
ESEMPIO 4
Applichiamo a destra le proprietà delle potenze:
E andiamo ad eliminare le basi:
Questa è un’disequazione irrazionale.
Nella “normalità dei casi” questa dovrebbe essere risolta con la seguente regola generale:
Dunque :
Lascerò risolvere a voi questi due due sistemi ed unire le soluzioni.
Il metodo che preferisco utilizzare in questo caso è il metodo della sostituzione:
Poniamo:
Otteniamo pertanto:
Ovvero questa è una disequazione di secondo grado:
Essendo che il polinomio di sinistra è un falso quadrato risulta essere sempre strettamente positivo.
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI RISOLUBILI CON LOGARITMI
Questo tipo di equazioni si manifesta nel seguente modo:
Dove b non sembra riconducibile ad una “potenza perfetta” di a.
Il metodo risolutivo è: usare i logaritmi!”
Per risolverle possiamo usare tre metodi:
- Esponenziale
- Logaritmico
- Immediato
METODO ESPONENZIALE
Il primo è il metodo esponenziale, che riconduce il tutto ad un’equazione esponenziale elementare.
Eliminando le basi otteniamo
Nota bene: supponiamo che la base dell’esponenziale sia maggiore di 1 !!!
A tal proposito vedi l’articolo sulla funzione esponenziale.
METODO LOGARITMICO
Il secondo è il metodo logaritmico che riconduce l’espressione ad un’equazione logaritmica
Da cui abbiamo sempre che:
Facciamo ricondurre a questo ragionamento una variante di questo metodo logaritmico che usa mettere un logaritmo con una base generica.
I logaritmi più utilizzati sono quelli in base 10 oppure in base e=2,7182…
Imponiamo i logaritmi a destra e a sinistra;
Applichiamo la proprietà dei logaritmi per cui scriviamo l’esponente del logaritmo davanti
Ricaviamo la x come se risolvessimo un’equazione di primo grado:
(anche in questo caso supponiamo positivo il coefficiente della x)
Per le proprietà dei logaritmi possiamo anche scrivere
METODO RAPIDO
Infine possiamo applicare il metodo rapido.
Da qui possiamo capire che:
x è l’esponente da dare alla base a per ottenere il termine b
x è il logaritmo in base a di b
Fine della storia!
Vediamo ora qualche esempio in cui andiamo ad applicare questi metodi differenti.
ESEMPIO 1
Applichiamo qui il metodo esponenziale:
Possiamo riscrivere il 3 a destra come segue:
Eliminiamo ora le basi:
Ecco fatto!
ESEMPIO 2
Utilizziamo ora il metodo logaritmico con base 3
Il termine di sinistra vale ora l’incognita x:
ESEMPIO 3
Applichiamo qui l’ultimo metodo ovvero la definizione fondamentale di logaritmo
X è l’esponente da dare a 5 per ottenere 7
X è il logaritmo in base 5 di 7
ESEMPIO 4
Applichiamo ora la variante del metodo logaritmico inserendo qualche interessante proprietà.
Portiamo la x davanti
Scriviamo il 25 e il 9 come potenze di 5 e di 3
Portiamo davanti gli esponenti
Risolviamo l’equazione di primo grado e semplifichiamo:
Bello no?
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE RISOLUBILI CON LOGARITMI
Le equazioni esponenziali che stiamo per vedere ricopro una vasta gamma di equazioni.
Mi limiterò a fornire solamente due esempi
ESEMPIO 1
Se sostituiamo con la lettera t l’esponente :
Ovvero:
Risostituiamo ora l’espressione in x
Da notare che il termine a destra altro non è che un banale numero:
Spostiamo a sinistra facendo il denominatore comune:
Riscriviamo meglio il testo:
Studiamo numeratore e denominatore positivi
Studiamo numeratore e denominatore positivi:
Dopo aver fatto il grafico dei segni prendiamo la zona positiva:
ESEMPIO 2
Imponiamo subito il logaritmo a destra e a sinistra:
Fattorizziamo ora tutto a destra e a sinistra:
Riscriviamo tutto con le proprietà dei logaritmi:
Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra
Abbiamo un’equazione di primo grado!
Spostiamo quindi le x a sinistra e i numeri a destra
Ricaviamo infine la x:
Se siete proprio dei patiti dell’ordine potete anche scrivere:
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Per comprendere al massimo i logaritmi, gli esponenziali e tutti i concetti di base
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE PER SOSTITUZIONE
Qui giungiamo ad una vastissima gamma di disequazione.
Riporto solo due esempi:
ESEMPIO 1
Chiamiamo
Quindi la disequazione esponenziale diventa:
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado:
Risolvendo con un qualsiasi metodo:
Quindi abbiamo che:
Altro non sono che disequazioni esponenziali elementari:
ESEMPIO 2
Chiamiamo
Quindi la disequazione diventa di secondo grado:
Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado:
Ricaviamo ora i due valori della t annullando i fattori:
Risostiamo e troviamo una disequazione esponenziale elementare:
O se preferite:
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI RISOLTE COL METODO GRAFICO
Questo metodo si può applicare in tutti quei casi di disequazioni esponenziali dove non esistono regole matematiche certe.
In pratica è sempre utilizzabile!
Vediamo un esempio significativo
Come notate questa espressione non è risolvibile con i logaritmi.
Sulla sinistra troviamo una funzione esponenziale:
Sul lato destro una retta con pendenza e ordinata pari a 1.
Andiamo a rappresentarle graficamente…
Ora dobbiamo concentrarci su tutti i valori della x per cui la funzione esponenziale si trovi al di sopra della retta
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
SCOPRI I CORSI DI MATEMATICA
Scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua conoscenza!
