EQUAZIONI LOGARITMICHE

Le equazioni logaritmiche sono equazioni in cui l’incognita compare nell’argomento oppure nella base di un logaritmo.

Esempi di equazioni logaritmiche sono:

$$ \begin{array}{ccc} \log_2 x = 2 & \log x = -3 & \log_2(x+3) = 0 \\ \ln(x^2-1= \ln(2x+4) & \log x – \log (x+1) = 1 & \log^2 x -3 \log x +2 = 0 \end{array}$$

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Premesso che non è sempre semplice offrire una classificazione con “etichette” a tutte le equazioni.

Comunque proviamoci.

Possiamo classificare le equazioni logaritmiche nelle seguenti tipologie.

• Elementari
• Risolubili mediante proprietà dei logaritmi
• Per sostituzione
• Risolubili con metodo grafico

EQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI

Anche qui possiamo andare a dividere questa tipologia di equazioni logaritmiche elementari in tre gruppi:

• Semplici
• Composte
• Nella forma base

EQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “SEMPLICI”

Queste costituiscono il cuore pulsante della teoria delle equazioni logaritmiche.

La forma con cui si presentano è la seguente:

$$ \log_a x = k $$

Sulla sinistra abbiamo una funzione logaritmica, mentre sulla destra una costante.

Esempi di questa tipologia sono:

$$ \log_2 x= 3 \quad \log_3 x = 5 \quad \ln x= -1 \quad \log x = \frac{1}{2} $$

Per risolvere questo tipo di equazione abbiamo tre opzioni:

• Metodo logaritmico
• Metodo esponenziale
• Metodo immediato

OPZIONE 1 – METODO LOGARITMICO

Partendo dall’equazione:

$$ \log_a x =k $$

Trasformiamo il termine a destra in un logaritmo con la stessa base del logaritmo di sinistra:

Eliminiamo a questo punto le basi e otteniamo la soluzione (valore di x)

$$ \log_a x =k \to \log_a x =\log_a k \to x= a^k$$

Prendiamo in esame il primo esempio:

$$ \log_2 = 3 \to \log_2 x = \log_2 2^3 \to x= 2^3 = 8 $$

OPZIONE 2 – METODO ESPONENZIALE

Partiamo sempre dall’equazione in oggetto:

$$ \log_a x = k $$

Imponiamo a destra e a sinistra la forma esponenziale con la stessa base del logaritmo

$$ \log_a x = k \to a^{\log_a x} = a^k $$

Sul lato sinistro la funzione esponenziale “si porta via” il logaritmo e pertanto otteniamo che

$$ \log_a x = k \to a^{\log_a x} = a^k \to x = a^k$$

Consideriamo a titolo di esempio il secondo caso:

$$ \log_3 x = 5 \to 3^{\log_3 x } = 3^5 \to x = 3^5 = 243 $$

OPZIONE 3 – METODO IMMEDIATO

Ritorniamo all’equazione iniziale:

$$ \log_a x = k $$

Se ci rifacciamo alla definizione di logaritmo possiamo dire che:

” k è l’esponente che dobbiamo dare alla base a per ottenere l’argomento x“

Pertanto possiamo anche dire che la x si ottiene elevando la base del logaritmo a alla k.

$$ \log_a x = k \to x=a^k $$

Prendiamo a riferimento il terzo esempio:

$$ \ln x = -1 $$

Il logaritmo sulla sinistra è definito anche “logaritmo naturale” e la sua base è il numero di Nepero e=2,7182…

Dunque -1 + l’esponente da dare alla base e per ottenere la x

$$ \ln x = -1 \to x = e^{-1} = \frac{1}{e} = 0,367879…$$

INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UNA EQUAZIONE LOGARITMICA ELEMENTARE SEMPLICE

L’equazione logaritmica in forma elementare semplice 

$$ \log_a x = k $$

Ha la seguente interpretazione grafica

Dove la funzione di colore verde rappresenta la funzione logaritmica elementare

$$ y = \log_a x $$

Che rappresenta il lato sinistro dell’equazione.

Mentre la funzione costante in blu è la retta orizzontale:

$$ y = k $$

(Ovviamente k può variare di valore)

In rosso è rappresentata la soluzione dell’equazione, che è la proiezione sull’asse delle x del punto di intersezione:

$$ x = a^k $$

A titolo di esempio mostriamo il grafico dell’ulimo esempio proposto in alto:

$$ \log x = \frac{1}{2} $$

Consideriamo il logaritmo a sinistra con la base 10

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CONDIZIONI DI ESISTENZA NELLE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Metto una piccola nota che riguarda le condizioni di esistenza di questa tipologia di equazioni.

Anche se in generale andrebbe posto che l’argomento del logaritmo deve essere un numero reale positivo, in questo caso non c’è bisogno.

Infatti come possiamo notare anche dal grafico la funzione logaritmica assume tutti i valori reali (quando questa esiste).

Pertanto l’equazione:

$$ \log_a x = k $$

 ammette sempre una soluzione del tipo:

$$ x= a^k $$

EQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “COMPOSTE”

Possiamo considerare queste come un ampliamento delle equazioni elementari “semplici”

In particolare si presentano nella forma:

$$ \log_a \left( f(x) \right) = k $$

Dove f(x) rappresenta una funzione composta in x.

Attraverso uno dei metodo predetti otteniamo che 

$$ \log_a \left( f(x) \right) = k \to f(x) = a^k $$

Da qui daremo vita ad una nuova equazione di vario genere

Facciamo qualche esempio:

$$ \log_2 (2x+1)= -2 \quad \ln (x^2-1) = 0 \quad \log(x^2-2x) = 1 $$

ESEMPIO 1

$$ \log_2 (2x+1)= -2 $$

Applicando la definizione di logaritmo perveniamo alla forma:

$$ \log_2 (2x+1)= -2 \to 2x+1=2^{-2} $$

Che possiamo anche scrivere come:

$$ \log_2 (2x+1)= -2 \to 2x+1=2^{-2} \to 2x+1 = \frac{1}{4} $$

Moltiplichiamo a destra e sinistra per 4 e risolviamo l’equazione di primo grado in x:

$$ \to 8x+4= 1 \to 8x= -3 \to x = – \frac{3}{8} $$

ESEMPIO 2

$$ \ln(x^2-1) = 0 $$

Vi faccio notare che quando l’argomento diventa molto ingombrante potete anche momentaneamente semplificare l’equazione con:

$$ \ln(x^2-1) = 0 \overset{x^2-1 = t}{\longrightarrow} \ln t = 0 \to t= e^0 \to t= 1$$

Risostituendo rispetto alla x otteniamo un’equazione di pura di secondo grado:

$$ x^2-1 = 1 \to x^2 = 2 \to x = \pm \sqrt{2} $$

Provate a svolgere il terzo esempio e scrivete la soluzione sotto nei commenti.

EQUAZIONI LOGARITMICHE ELEMENTARI “NELLA FORMA BASE”

Queste equazioni si presentano nella forma generale:

$$ \log \left( f(x) \right) = \log \left( g(x) \right) $$

Dove i logaritmi presentano la stessa base (che per questo non ho riportato)

In questo caso bisogna imporre le condizioni di esistenza sugli argomenti dei logaritmi.

$$ C.E.: \quad \begin{cases} f(x) >0 \\ g(x) >0 \end{cases} $$

E successivamente risolvere l’equazione eliminando i logaritmi:

$$ \log \left( f(x) \right) = \log \left( g(x) \right) \overset{C.E.: \begin{cases} f(x) >0 \\ g(x) >0 \end{cases}}{\longrightarrow} f(x) = g(x) $$

Supponendo che

$$ f(x) = g(x) \to x= x^* \in C.E.$$

Sia una generica soluzione, si dovrà verificare l’appartenenza al campo di esistenza.

ESEMPIO

Consideriamo il seguente esempio:

$$ \log (x^2 +x) = \log (6-4x) $$

Partiamo con le condizioni di esistenza:

$$ C.E. \quad \begin{cases} x^2 +x& >&0 \\ 6-4x &>&0 \end{cases} $$

Da cui risolvendo le due disequazioni otteniamo che:

$$ C.E. \quad \begin{cases} x^2 +x& >&0 \\ 6-4x &>&0 \end{cases} \to \begin{cases} x<-1 \lor x>0 \\ x<\frac{3}{2} \end{cases}$$

Da cui ricaviamo che il campo di esistenza della x è:

$$ C.E. \quad \begin{cases} x^2 +x& >&0 \\ 6-4x &>&0 \end{cases} \to \begin{cases} x<-1 \lor x>0 \\ x<\frac{3}{2} \end{cases} \to x<-1 \lor 0<x<\frac{3}{2}$$

Ripartiamo quindi dall’equazione iniziale  ed eliminiamo i logaritmi, pervenendo ad una equazione di secondo grado, che riordiniamo:

$$ \log (x^2 +x) = \log (6-4x) \to x^2 +x = 6-4x) \to x^2+5x-6= 0$$

Possiamo scomporre il polinomio di sinistra come un trinomio speciale di secondo grado, somma-prodotto e ricavare le due soluzioni con la legge di annullamento del prodotto:

$$ (x+6)(x-1) = 0 \to x=-6 \lor x= 1 $$

Entrambe le soluzioni sono accettabili perché rispettano le condizioni di esistenza iniziali

EQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLUBILI CON LE PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

Possiamo considerare questa categoria come un ampliamento della categoria precedente.

Vediamo un paio di esempi pratici

$$ \log(x+1) + \log x = \log (10-2x) \quad \log_2 x – \log_4 (x+1) = 1 $$

In questo tipo di equazioni si applicano tutte le proprietà dei logaritmi dopo avere opportunamente imposto le condizioni di esistenza.

Tali condizioni prevedono che l’argomento sia un numero reale positivo.

ESEMPIO 1

$$ \log(x+1) + \log x = \log (10-2x) $$

Partiamo dalle condizioni di esistenza.

Nel testo compaiono tre logaritmi di base nota (supponiamo 10).

Affinché questi logaritmi esistano dobbiamo imporre che i loro argomentirisultino essere positivi.

Dunque imponiamo in un sistema di disequazioni la positività di tutti gli argomenti:

$$ C.E. \begin{cases} x+1>0 \\ x>0 \\ 10-2x >0 \end{cases} \to \begin{cases} x>-1 \\ x>0 \\ x<5 \end{cases} \to 0<x<5 $$

A questo punto ritorniamo al testo iniziale dell’equazione logaritmica ed applichiamo le proprietà dei logaritmi:

$$ \log(x+1) + \log x = \log (10-2x) \to \log \left( x(x+1) \right) = \log (10-2x) $$

Eliminiamo ora i logaritmi pervenendo ad una equazione di secondo grado che riordiniamo:

$$ x(x+1) = 10-2x \to x^2 +x = 10-2x \to x^2 +3x-10 =0 $$

Risolviamo l’equazione applicando la scomposizione del trinomio speciale con la legge di annullamento del prodotto (oppure con la classica formula risolutiva):

$$ (x+5)(x-2) = 0 \to x= -5 \lor x= 2 $$

Osserviamo la soluzione -5 non è accettabile in quanto non conforme alle condizioni di esistenza.

Pertanto l’unica soluzione è:

$$ S: \quad x= 2 $$

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EQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLTE PER SOSTITUZIONE

La terza grande categoria delle equazioni logaritmiche sono quelle che si risolvono per sostituzione.

Andiamo a riportarne un paio di esempi:

$$ \log^2 x = \log x -2 =0 \quad \sqrt{\ln x} = \ln x -12 $$

ESEMPIO 1

$$ \log^2 x = \log x -2 =0 $$

(supponiamo in base 10 il logaritmo)

Cominciamo a chiamare il logx = t per cui arriviamo ad una equazione di secondo grado in t:

$$ \log^2 x = \log x -2 =0 \overset{\log x = t}{\longrightarrow} t^2-t-2= 0 $$

Scomponiamo (oppure usiamo la formula risolutiva) per trovare le soluzioni

$$ t^2-t-2= 0 \to (t-2)(t+1) = 0 \to t= 2 \lor t= -1 $$

Ora andiamo a risostituire per determinare le soluzioni in x:

$$ t= 2 \to \log x = 2 \to x= 10^2 \to x= 100 \\ t= -1 \to \log x = -1 \to x= 10^{-1} \to x= \frac{1}{10} $$

ESEMPIO 2

$$ \sqrt{\ln x} = \ln x -12 $$

Procediamo nuovamente per sostituzione, questa volta imponendo la radice del logx uguale a t, ottenendo una equazione di secondo grado:

$$ \sqrt{\ln x} = \ln x -12 \overset{\sqrt{\ln x} = t}{\longrightarrow} t= t^2-12 \to t^2-t-12 =0$$

Ricordiamo che i valori della t che otterremo dovranno essere strettamente positivi.

Questo dal momento che la t, diversamente dal caso precedente, è una radice quadrata

Scomponiamo (oppure usiamo la formula risolutiva) per trovare le soluzioni di t:

$$ t^2-t-12 =0 \to (t+3)(t-4) = 0 \to t= -3 \lor t= 4 $$

Ora andiamo a risostituire per determinare le soluzioni in x:

$$ t= -3 \to \sqrt{\ln x} = -3 \to \ \text{impossibile} \\ t= 4 \to \sqrt{\ln x} = 4 \to x=e^4 = 54,598… $$

Come certamente potete immaginare questo tipo di equazione è veramente molto vasto!

Per creare un’equazione logaritmica di questo tipo basta che prendiate una pagina a caso del vostro libro in cui vi è scritta un’equazione e sostituite al posto della x il logx.

In questo modo potete ottenere anche da soli un’equazione logaritmica.

UNA REGOLA GENERALE PER LE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Per quello che abbiamo visto fino ad ora possiamo estratte la seguente regola generale.

Tutte le equazioni che abbiamo visto possono essere ricondotte all’equazione più semplice.

L’equazione logaritmica elementare semplice!

EQUAZONI LOGARITMICHE RISOLTE CON IL METODO GRAFICO

La forma certamente più complessa di equazione logaritmica è quella che si risolve graficamente.

Qui entriamo nella generalità dei casi:

La forma generale di tale tipo di equazione è:

$$ \log \left( f(x) \right) = g(x) $$

Da la complessità dell’argomento mi limito a riportarne un esempio con il relativo grafico:

$$ \log x = 1-x^2 $

Sulla sinistra abbiamo la funzione

$$ y = \log x $$

Mentre sulla destra la parabola:

$$ y = 1-x^2 $$

Ecco la rappresentazione grafica:

In questo caso siamo veramente fortunati dal momento che la soluzione è evidente e facilmente verificabile:

$$ S: \quad x=1 $$

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