L’ASSE DI UN SEGMENTO

In questo articolo definiamo che cosa è l’asse di un segmento e come trovare la sua equazione nel sistema cartesiano.

DUE DEFINIZIONE DELL’ASSE DI UN SEGMENTO

Cominciamo col dire che esistono due definizioni di asse di un segmento.

La prima è quella tradizionale che quasi tutti conosciamo, mentre la seconda è legata al concetto di luogo geometrico.

ASSE DI UN SEGMENTO: PRIMA DEFINIZIONE

L’asse di un segmento è la retta che passa per il punto medio che cade perpendicolarmente rispetto al segmento.

Una definizione più generale indica l’asse come il luogo geometrico dei punti del piano che risultano equidistanti dagli estremi del segmento.

ASSE DI UN SEGMENTO: SECONDA DEFINIZIONE

Una definizione più generale indica l’asse come il luogo geometrico dei punti del piano che risultano equidistanti dagli estremi del segmento.

ASSE DI UN SEGMENTO NEL SISTEMA CARTESIANO

Se ci troviamo nel sistema cartesiano, come facciamo a calcolare l sua equazione?

Consideriamo inizialmente due punti generici che chiamiamo A e B:

$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$

Seguendo la prima definizione di asse sappiamo che passa per il punto medio di AB.

Dunque applichiamo la formula per calcolare il punto medio che chiamiamo M.

$$ M (x_M, y_M) = \left( \frac{x_A +x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) $$

In secondo luogo sappiamo che l’asse è perpendicolare al segmento, dunque il suo coefficiente angola deve esse anti-reciproco del coefficiente passante per AB

Tale coefficiente risulta essere pari al rapporto tra la differenza delle ordinate e quella delle scissa

$$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B -y_A}{x_B – x_A} $$

Quindi il coefficiente angolare dell’asse è:

$$ m_a = m_{\perp AB} =\ – \frac{1}{m_{AB}} $$

Successivamente scriviamo il fascio di rette passanti per il punto m a cui il nostro asse appartiene asse:

$$ M(x_M, y_M) \overset{\text{fascio proprio}}{\longrightarrow} y-y_M = m (x-x_M ) $$

Infine non ci resta che calcolare l’equazione dell’asse sostituendo al posto di m il coefficiente perpendicolare:

$$ a_{AB}: \quad y-y_M = m_{\perp AB} (x-x_M) $$

ESEMPIO – CALCOLO DELL’ASSE DI UN SEGMENTO

Calcola l’asse del segmento delimitato dagli estremi A e B:

$$ A(2,1) \quad B(6,3) $$

Cominciamo a rappresentare il segmento AB nel sistema cartesiano:

Adesso calcoliamo le coordinate del punto medio M di AB

$$ M = \left( \frac{2+6}{2} , \frac{1+3}{2} \right) = (4,2) $$

 ed il suo coefficiente angolare:

$$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3-1}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

L’asse di AB risulta perpendicolare al segmento AB dunque il suo  coefficiente angolare dell’asse è l’anti reciproco di tale coefficiente:

$$ m_a = m_{\perp AB} =\ – \frac{1}{m_{AB}} = -2 $$

Ora consideriamo il fascio di rette passante per il punto medio M:

$$ \begin{array}{l} M(4,2) &:& y-y_M = m(x-x_M) \\ & & y-2= m(x-4) \end{array} $$

Infine per determinare l’equazione dell’asse imponiamo come coefficiente angolare quello per perpendicolare.

$$ \begin{array}{l} a &:& y-y_M = m_{\perp AB} (x-x_M) \\ & & y-2= -2(x-4) \\ & & y= 2-2x+8 \\ & & y=-2x+10 \end{array} $$

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ASSE DI UN SEGMENTO: LUOGO GEMETRICO

Ricordiamo che la seconda definizione di asse è: il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti degli estremi del segmento.

Ritorniamo dunque nel sistema cartesiano e ripartiamo dalle coordinate dei punti A e B:

$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$

Consideriamo ora un generico punto P(x,y) che appartiene all’asse di AB:

$$ P(x,y) \in a_{AB} $$

Dunque deve necessariamente valere che la sua distanza dal punto A sia uguale alla sua distanza dal punto B.

Detto in parole più semplici il segmento PA è congruente al segmento PB

$$ \text{dist} (P,A) = \text{dist} (P,B) \to \overline{PA} = \overline{PB} $$

Applicando la formula della distanza tra due punto abbiamo che:

$$ \sqrt{(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2} = \sqrt{(x-x_B)^2 + (y-y_B)^2} $$

Elevando entrami i termini dell’equazione possiamo eliminare le radici e ricavare l’equazione dell’asse.

$$ (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = (x-x_B)^2 + (y-y_B)^2 $$

Ovviamente poi andremo a sviluppare questa equazione.

ESEMPIO CALCOLO DELL’ASSE CON LA FORMULA

Calcola l’asse del segmento delimitato dagli estremi A e B:

$$ A(2,1) \quad B(6,3) $$

Proviamo a rifare lo stesso esercizio visto sopra con questo secondo metodo.

Rappresentiamo quindi per prima cosa il segmento AB nel sistema cartesiano

Successivamente prendiamo un generico punto P del sistema cartesiano che appartenga all’asse di AB:

$$ P(x,y) \in a_{AB} $$

Imponiamo che la distanza tra il punto P e il punto A sia uguale alla distanza tra il punto P e il punto :

$$ \text{dist}(P,A) = \text{dist}(P,B) $$

Elevando alla seconda e inserendo i dati abbiamo che:

$$ \overline{PA}^2 = \overline{PB}^2 \\ (x-2)^2 +(y-1)^2 = (x-6)^2 + (y-3)^2 $$

Sviluppiamo i quattro quadrati di binomio ed eliminiamo i quadrati delle x e delle y

$$ x^2-4x+4+y^2-2y+1 = x^2-12x+36+y^2-6y+9 \\ -4x-2y+5= -12x-6y+45 $$

Riorganizziamo bene i termini sul lato sinistro: prima le x, poi le y e poi i numeri.

$$ 8x+y-10 = 0 $$

Dividendo per 4 abbiamo l’equazione dell’asse nella forma implicita.

Per ottenere la forma esplicita basta che lasciamo la y sul lato sinistro

$$ y = -2x+10 $$

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