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Ellisse, luogo geometrico, coniche, equazione

ELLISSE DEFINIZIONE ED EQUAZIONE

L’ellisse è una conica data dall’intersezione di un cono con un piano.

Nel piano essa è definita come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi è costante.

La sua equazione canonica nel piano cartesiano è:

Le coordinate dei fuochi sono:

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ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X

Esiste una relazione pitagorica tra i parametri a,b e c

Quando i fuochi appartengono all’asse delle x la relazione è:

In questo caso l’asse orizzontale di valore 2a diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

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Scopri il corso di geometria cartesiana.

ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE Y

Mentre quando i fuochi appartengono all’asse delle y la relazione pitagorica tra i parametri a,b e diventa:

In questo caso l’asse verticale di valore 2b diventa asse focale poiché passa per i fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse in questo caso è data da:

Ellisse, luogo geometrico, coniche, equazione

ESEMPIO DI STUDIO DI UN’ELLISSE

Consideriamo l’ellisse di equazione:

Data la generica formulazione dell’ellisse:

Ne deriva che il valore del quadrato di a è 9, da cui riusciamo a ricavare a (semi asse orizzontale) che vale la sua radice ovvero 3:

Mentre capiamo che il quadrato di b (semi asse verticale) vale 4, dunque b deve valere la sua radice ovvero 2

fuochi si trovano sull’asse delle x in quanto il valore di a è maggiore a quello di b.

Sfruttiamo dunque la relazione pitagorica per ricavare la c:

Da cui risulta che il valore della c (semi distanza focale) è pari a :

Dunque le coordinate dei fuochi sono:

Ellisse, luogo geometrico, coniche, equazione

L’ELLISSE E LE CONICHE

L’ellisse è una conica ovvero è determinata dall’intersezione di un cono a due falde con un piano.

Le coniche furono studiate sin dai tempi degli antichi greci e ne troviamo traccia ad esempio nel libro XI degli Elementi di geometria di Euclide (IV-III sec. a.C.)

Tuttavia il primo matematico che tratta di questo argomento in maniera compiuta trattandola nel piano è Apollonio di Perga (262-190 a.C.).

Le coniche sono inizialmente studiate come le intersezioni di un piano con un cono a due falde e Apollonio di Perga riuscì a dimostrare che da un unico cono possiamo generare tuttele coniche suddivide in:

  • Circonferenza
  • Parabola 
  • Ellisse
  • Iperbole

In particolare  consideriamo un cono a due falde regolare dove 𝛼 è l’angolo formato dall’asse centrale con l’apotema del cono.

Prendiamo inoltre un piano con inclinazione pari all’angolo 𝛽 rispetto all’asse.

𝛼 e 𝛽 li consideriamo entrambi compresi tra 0 e 90 gradi.

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PIANO NON PASSANTE PER IL CENTRO

Quando tale piano non passa per il centro abbiamo una delle classiche coniche.

In particolare quando il piano è perfettamente perpendicolare all’asse, ovvero 𝛽 vale 90 gradi troviamo una circonferenza.

Quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 90 gradi e 𝛼 si crea un’ellisse.

Nel momento in cui l’angolo 𝛽 coincide con 𝛼 si forma una parabola.

In questi tre casi il piano trapassa solamente una delle due falde del cono.

Mentre quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 0 gradi e 𝛼 il piano attraversa èentrambe le falde e si forma l’iperbole.

Ellisse, luogo geometrico, coniche, equazione

PIANO  PASSANTE PER IL CENTRO – CONICHE DEGENERI

Se il piano passa per l’origine si formano coniche degeneri, che chiamiamo retta o punto.

In particolare quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 𝛼 (escluso) e 90 gradi (incluso) abiamo un punto.

Si manifesta una sola retta quando 𝛽 coincide con 𝛼.

Mentre si formano due rette se 𝛽 è compreso tra 0 gradi (incluso) e 𝛼.

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IL CASO DELL’ELLISSE

Il caso dell’ellisse appare ai nostri occhi quando l’inclinazione di 𝛽 è compresa tra 𝛼e 90 gradi e il piano non passa per il centro del cono a due falde.

Questo è uno dei capitoli più belli di tutta storia della matematica e fu proprio Apollonio a cominciarlo.

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ELLISSE NEL PIANO – LUOGO GEOMETRICO

Apollonio di Perga diversamente dai suoi predecessori studiò le caratteristiche dell’ellisse all’interno del piano.

L’ellisse nel piano è intesa come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze dei fuochi rimane costante.

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ELLISSE NEL SISTEMA CARTESIANO

Circa 1800 anni dopo l’opera di Apollonio un matematico francese di nome Renato Cartesio conosciuto in Francia  anche come Renè Descartes (1596 – 1650) le opere greche antiche che erano sopravvissute.

Il suo scopo era quello di trasformare tutte le nozioni delle coniche in calcoli analitici (matematici).

Sempre in Francia qualche anno prima della sua morte erano nati i concetti di monomie polinomi grazie al genio del matematico Viete (1540 – 1603) 

Tali concetti furono in qualche caso applicati alle equazioni.

Cartesio completò l’opera.

Cominciamo con il fissare due punti detti fuochi all’interno del sistema cartesiano F1 e F2.

Per comodità li fissiamo sull’asse delle x equidistanti dal centro:

Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra ellisse che chiamiamo 𝛾

Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 2a.

Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:

Sviluppando i calcoli arriviamo all’equazione generica dell’ellisse:

Per quelli di voi che vogliono capire l’origine di questa formula ho creato un articolo apposito: dimostrazione della forma canonica dell’ellisse.

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SVOLGIMENTO 

Le coordinate dei due fuochi sono:

Consideriamo ora un punto P di coordinate generiche (x,y) che appartiene alla nostra ellisseche chiamiamo 𝛾

Imponiamo ora che la somma delle distanze dai fuochi risulti costante e pari a 10.

Applicando la definizione di distanza tra due punti possiamo perciò scrivere:

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CALCOLI MATEMATICI

Partendo dalla condizione iniziale:

Isoliamo una radice a sinistra e spostiamo l’altra a destra:

Eleviamo alla seconda entrambi i membri dell’equazione.

Sul lato sinistro la radice scompare mentre sul lato destro dobbiamo sviluppare un quadrato di binomio, quindi ci resta ancora una radice quadrata da eliminare.

Eliminiamo i termini simili a destra e sinistra e isoliamo la radice sul lato di sinistra:

Possiamo ora dividere entrambi i termini per 4

Eleviamo al quadrato per mandare via la radice sul lato di sinistra mentre a destra sviluppiamo un quadrati di binomio:

Infine riordiniamo tutti i termini di modo da avere i quadrati delle x e delle y a sinistra mentre la costante a destra.

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FORMA CANONICA DELL’ELLISSE

Ora riscriviamo l’equazione dell’ellisse nella forma canonica del tipo:

Dunque partendo dall’equazione ricavata:

Dividiamo entrambi i termini per 400 di modo da avere il numero 1 sulla destra:

Ed ecco che abbiamo ricavato l’equazione dell’ellisse cercata

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Riportiamone tutte le informazioni importanti

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