DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

La distanza tra un punto e una retta è il segmento che congiunge il punto alla retta che cade perpendicolarmente alla retta stessa.

Il punto che tocca la retta si chiama piede della distanza.

Possiamo anche dire che si tratta del segmento più breve che parte dal punto e tocca la retta.

Infatti lo possiamo vedere come un cateto di un triangolo rettangolo

 rispetto agli altri segmenti che sono le ipotenuse, che pertanto risultano sempre maggiori

Possiamo immaginare anche una circonferenza che ha come centro il punto e che risulta tangente alla retta.

DISTANZA PUNTO – RETTA NEL PIANO CARTESIANO

Se ci troviamo nel sistema cartesiano possiamo utilizzare una formula molto semplice per calcolare la distanza tra un punto e una retta.

In particolare consideriamo un punto P di coordinate generiche e l’equazione di una retta scritta nella forma implicita:

$$ P(x_0, y_0) \\ r: \quad ax+by+c=0 $$

La formula per calcolare la distanza tra il punto e la retta consiste in una frazione.

In cui al numeratore abbiamo in valore assoluto il polinomio implicito della retta in cui sostituiamo al posto della x e della y le coordinate del punto.

Mentre al denominatore la radice quadrata della somma delle componenti della x a e b:

$$ \overline{PH} = \frac{|ax_0 +by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

ESEMPIO DEL CALCOLO DISTANZA PUNTO RETTA

Calcola la distanza tra il punto P e la retta r:

$$ P(5,2) \quad r:\ 2x+y-3=0 $$

A questo punto applichiamo la formula per il calcolo della distanza punto-retta inserendo i dati:

$$ \begin{array}{l} \overline{PH}= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \overline{PH} = \frac{|2 \cdot 5 +2-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{9}{\sqrt{5}} \end{array} $$

Possiamo dunque razionalizzare il risultato e otteniamo:

$$ \overline{PH} = \frac{9}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{9}{5} \sqrt{5} $$

RAGIONAMENTO DIETRO AL CALCOLO DELLA DISTANZA PUNTO RETTA

Ma come abbiamo fatto ad arrivare alla formula della distanza punto retta?

Percorriamo il ragionamento che è stato applicato.

Cominciamo con il considerare i nostri dati di partenza ovvero il punto e la retta.

$$ P(x_0, y_0) \quad r:\ ax+by+c= 0 $$

Ora andiamo a scrivere l’equazione della retta nella forma esplicita:

$$ r: \quad y = mx+q $$

Consideriamo ora il fascio di rette passanti per P

$$ P(x_0, y_0) \overset{\text{fascio per $P$}}{\longrightarrow} y= y_0+m'(x-x_0) $$

(Ho chiamato m’ il coefficiente per distinguerlo da quello della retta r)

Di tutte le rette che passano per questo punto ci interessa quella che risulta perpendicolare alla retta r.

Dunque il coefficiente angolare che inseriamo deve essere necessariamente anti-reciproco di quello della retta r.

$$ m’ = m_{\perp} =\ – \frac{1}{m} $$

Chiamiamo questa retta del fascio la retta s:

$$ s: \quad y= y_0+m_{\perp} (x-x_0) $$

Ora andiamo a calcolare il piede dell’altezza che chiamiamo H, intersecando questa retta del fascio s con la retta r.

Dunque costruiamo il seguente sistema:

$$ H = r \cap s: \quad \begin{cases} y= mx+q \\ y= y_0 + m_{\perp} (x-x_0) \end{cases} $$

Dalla soluzione di questo sistema otteniamo il punto H:

$$ H = r \cap s: \quad \begin{cases} y= mx+q \\ y= y_0 + m_{\perp} (x-x_0) \end{cases} \to H(x_H, y_H) $$

Infine per calcolare la distanza tra il punto e la retta non ci resta altro da fare che determinare la distanza tra il punto P e il piede dell’altezza H.

Per farlo utilizziamo la formula di Pitagora:

$$ \begin{array}{l} P(x_0, y_0) \quad H(x_H, y_H) \\ \ \\ \overline{PH} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\ \overline{PH} = \sqrt{(x_H -x_0)^2 +(y_H-y_0)^2} \end{array} $$

Entrando nei dettagli di tutti i passaggi è possibile ricavare la formula sopra citata.

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ESEMPIO DISTANZA PUNTO RETTA CON IL FASCIO DI RETTE

Calcola la distanza tra il punto P e la retta r:

$$ P(5,2) \quad r:\ 2x+y-3=0 $$

Cominciamo con il ricavare l’equazione della retta nella sua forma esplicita:

$$ r: \quad y= -2x+3 $$

Rappresentiamo ora graficamente la situazione.

A questo punto notiamo immediatamente che il coefficiente angolare della retta r è –2:

$$ r:\ y = -2x+3 \to m_r= -2 $$

A noi interesse il coefficiente perpendicolare a tale retta che dovrà essere il suo anti-reciproco, perciò il suo valore è +1/2.

$$ m_{\perp} =\ – \frac{1}{m} =\ – \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} $$

Prendiamo ora inconsiderazione il fascio di rette passanti per il punto P:

$$ P(5,2) \to y= 2 + m(x-5) $$

 e andiamo ad inserire proprio il coefficiente della appena trovato, nominando questa retta s.

$$ y = 2 + \frac{1}{2} (x-5) $$

Qualche passaggio e possiamo facilmente scrivere la forma esplicita

$$ y = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} $$

Andiamo adesso a calcolare il punto di intersezione di tale retta s con la retta iniziale r, mettendo a sistema:

$$ H = r \cap s: \quad \begin{cases} y= -2x+3 \\ y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} \end{cases} $$

Possiamo dunque applicare il metodo del confronto e risolvere la conseguente equazione di primo grado:

$$ \begin{array}{l} -2x+3 = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \\ -4x+6= x-1 \\ 6+1 = x-1 \\ 6+1= 4x+x \\ 5x= 7 \\ x = \frac{7}{5} \end{array} $$

Ora sostituiamo le coordinate dell’ascissa trovata in una delle due rette (è indifferente), ad esempio nella retta r:

$$ y= \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \overset{x=\frac{7}{5}}{\longrightarrow} y = -2 \cdot \frac{7}{5} +3 = \frac{-14+15}{5} = \frac{1}{5} $$

Ed ecco che abbiamo svelato le coordinate dei piede H:

$$ H \left( \frac{7}{5}, \frac{1}{5} \right) $$

Ora non ci resta che infine calcolare il valore della distanza tra il punto e la retta applicando la formula di pitagora:

$$ \begin{array}{l} P(5,2) \quad H \left( \frac{7}{5}, \frac{1}{5} \right) \\ \ \\ \overline{PH} = \sqrt{\left( 5- \frac{7}{5} \right)^2 +\left( 2- \frac{1}{5} \right)^2 } = \sqrt{\left( \frac{18}{5} \right)^2 + \left( \frac{9}{5} \right)^2} \\ \overline{PH} = \sqrt{\left( \frac{9}{5} \right)^2 \cdot (2^2+1)} = \frac{9}{5} \sqrt{5} \approx 4,02 \end{array} $$

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