RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

In questo articolo vediamo la definizione di rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano.

RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI NEL PIANO CARTESIANO (DEFINIZIONE)

Due rette che appartengono ad una stesso piano si dicono parallele quando seguono la stessa direzione mentre sono perpendicolari quando formano almeno un angolo retto.

Nel sistema cartesiano due rette che sono parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

Se consideriamo due r e s rette scritte nella forma esplicita:

$$ r:\ y= m_r x + q_r \quad s:\ y= m_s x +q_s $$

 allora si verifica che:

$$ m_r = m_s \leftrightarrow r \parallel s \\ \ \\ \text{$m_r, m_s$ sono i coefficienti angolari} \\ \text{$\parallel$ è il simbolo di parallelismo} \\\text{$\leftrightarrow$ è il simbolo di coimplica} \\$$

Mentre risultano perpendicolari quando i loro coefficienti angoli sono anti-reciproci, il che significa che un coefficiente angolare è ottenuto facendo l’opposto del reciproco (invertiamo la frazione) dell’altro.

Scritto matematicamente diciamo che:

$$ m_r =\ – \frac{1}{m_s} \leftrightarrow r \perp s $$

RETTE SGHEMBE – NELLO SPAZIO

Ripartiamo ora dall’inizio.

Quando ci troviamo nello spazio la posizione più consueta tra due rette è quella sghemba.

Due rette si dicono sghembe quando non hanno punti di intersezione e nono seguono la stessa direzione, ovvero non risultano parallele.

Nella realtà possiamo osservare questo fenomeno in molte occasioni ad esempio quando osserviamo il movimento di un aereo in cielo con l’andamento di una macchina che viaggia su un’autostrada.

RETTE NEL PIANO CARTESIANO

Quando le due rette si trovano sullo stesso piano allora possiamo trovare due tipi di posizione: parallele e incidenti.

Due rette sono parallele quando seguono la stessa direzione, ovvero non si incontrano mai oppure al caso limite coincidono.

Nel caso in cui non troviamo punti di intersezione possiamo anche dire (paradossalmente) che le rette si incontrano all’infinito.

Il caso più frequente è comunque dato dalle rette incidenti che seguono direzioni diverse e che si intersecano i un punto

RETTE INCIDENTI E PARALLELE E I COEFFICIENTI ANGOLARI

Due rette di un piano risultano incidenti e dunque hanno un punto in comune  quando hanno coefficienti angolari diversi.

Questo significa che le rette non seguono la stessa direzione.

Matematicamente possiamo anche scrivere che:

$$ r \not \parallel s \leftrightarrow m_r \ne m_s \quad r,s \in \alpha $$

 che leggiamo:

” la retta r risulta non parallela (e dunque incidente) rispetto alla retta s quando hanno coefficienti angolari diversi e viceversa,  precisando il fatto che esse appartengono allo stesso piano 𝛼”

Ad esempio risultano incidenti le rette:

$$ \begin{array}{l} r:\ y= 4x-1 & s:\ y= -3x+2 \\ r:\ y= \frac{1}{3}x-1 & s:\ y= 5x+3 \\ r:\ y=-\frac{2}{5}x-4 & s:\ y=-\frac{3}{4}x+1 \end{array} $$

D’altro canto se non le troviamo incidenti esse sono parallele e troviamo questa condizione quando i loro coefficienti angolari coincidono.

$$ \parallel s \leftrightarrow r m_r = m_s $$

In questa situazione non dobbiamo precisare il fatto che esse appartengono allo stesso piano poiché per un antico postulato della geometria euclidea per due rette parallele passa un solo piano.

Esempio di rette parallele sono:

$$ \begin{array}{l} r:\ y= 4x-1 & s:\ y= 4x+2 \\ r:\ y= \frac{1}{3}x-1 & s:\ y= \frac{1}{3}x+3 \\ r:\ y=-\frac{2}{5}x-4 & s:\ y=-\frac{2}{5}x+1 \end{array} $$

CASI PARTICOLARI: RETTE PERPENDICOLARI E COINCIDENTI

Tra le rette incidenti e parallele riconosciamo dei casi particolari, ovvero le rette perpendicolari e quelle coincidenti.

Le rette perpendicolari sono casi particolari delle rette incidenti.

Questa situazione si verifica quando le due rette formano quattro angoli retti (con ampiezza 90 gradi).

Equivalentemente possiamo anche dire che si forma almeno un angolo retto oppure che le rette incontrandosi formano quattro angoli congruenti.

In questo caso la relazione che esiste tra i coefficienti angolari è ben precisa e il coefficiente di una retta risulta anti-reciproco (opposto del reciproco) rispetto all’altro.

$$ r \perp s \leftrightarrow m_r =\ – \frac{1}{m_s} $$

Detto in altre parole possiamo anche dire che il prodotto dei coefficienti angolari è pari a –1

$$ r \perp s \leftrightarrow m_r \cdot m_s = -1 $$

Le rette coincidenti sono invece un caso particolare di rette parallele.

In questo caso le rette risultano perfettamente sovrapposte dunque sono lo stesso oggetto.

Nelle rette coincidenti oltre che il coefficiente angolare hanno uguale anche l’intercetta all’origine:

$$ r \equiv s \leftrightarrow m_r = m_s \land q_r = q_s \\ \ \\ \text{$\equiv$ è il simbolo di coincidenza}$$

ESERCIZI SU RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Vediamo ora di svolgere esercizi pratici che riguardano le rette parallele e perpendicolari

ESERCIZIO UNO – RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Determina la posizione della retta r  rispetto alle rette t e s:

$$ r:\ y= -3x+1 \quad t:\ 3x+y-5=0 \quad s:\ x-3y+6=0 $$

SVOLGIMENTO 

Notiamo subito che la retta r

$$ r:\ y= -3x+1 $$

è già scritta nella sua forma esplicita e il suo coefficiente angolare vale –3.

Andiamo ora ad esplicitare le equazioni delle altre due rette, partendo dalla retta t:

$$ t:\ 3x+y-5=0 \to y= -3x+5 $$

In questo caso il coefficiente angolare della retta t vale –3 dunque la retta è parallela alla retta r.

$$ m_t = m_r = -3 \to m \parallel r $$

Le rette risultano distinte poiché hanno una diversa ordinata all’origine.

Esplicitiamo ora l’equazione della retta s:

$$ s:\ x-3y+6=0 \to 3y= x+6 \to y= \frac{1}{3} +2 $$

Il coefficiente angolare della retta s vale 1/3 è diverso da quello della retta r, dunque le rette sono incidenti.

Notiamo inoltre che questo coefficiente è anti-reciproco rispetto a quello della retta r dunque le rette risultano perpendicolari.

$$ m_s =\ -\frac{1}{m_r} =\ – \frac{1}{-3}= \frac{1}{3} \to t \perp r $$

ESERCIZIO DUE – RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Dal punto A(1,5) conduci le rette t e s rispettivamente parallela (∥) e perpendicolare (⟂) alla retta r di equazione:

$$ A(1,5) \quad r:\ 3x-4y+5=0 $$

SVOLGIMENTO

Andiamo per prima cosa a rappresentare l’equazione esplicita della retta r:

$$ r:\ 3x-4y+5=0 \to 4y= 3x+5 \to y = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} $$

Ne deriviamo dunque che il coefficiente angolare della retta vale 3/4.

$$ m_r= \frac{3}{4} $$

Dunque possiamo affermare che le rette parallele alla retta r hanno un coefficiente angolare di pari valore, mentre quelle perpendicolare hanno u coefficiente di valore anti-reciproco avvero –4/3.

$$ m_{\parallel r} = m_r = \frac{3}{4} \quad m_{\perp r} =\ – \frac{1}{m_r} =\ – \frac{4}{3} $$

Ora sfruttiamo la formula del fascio di rette passanti per un punto

$$ y-y_A = m (x-x_A) $$

 per determinare tutte  le possibili rette passanti per il puto A(1,5) 

$$ A(1,5) \overset{\text{fascio per A}}{\longrightarrow} y-5= m(x-1) $$

Per determinare la retta parallela che chiamiamo t sostituiamo in questo fascio il valore del coefficiente 4/3:

$$ \begin{array}{l} t \parallel r \to m_t = \frac{3}{4} & t: & y-5 = \frac{3}{4} (x-1) \\ & & y= 5 + \frac{3}{4}x – \frac{3}{4} \\ && y = \frac{3}{4}x – \frac{17}{4} \end{array} $$

Ecco che abbiamo determinato l’equazione nella forma esplicita!

Possiamo ricavare l’equazione esplicita moltiplicare per 4 e spostare tutto sul lato destro (leggendo poi d destra verso sinistra).

Per determinare la retta perpendicolare imponiamo sempre nell’equazione del fascio di rette passanti per A(1,5) :

$$ y-5= m(x-1) $$

Il coefficiente angolare della retta perpendicolare a r, ovvero -4/3:

$$ \begin{array}{l} s \perp r \to m_s = – \frac{4}{3} & s: & y-5 = -\ \frac{4}{3} (x-1) \\ & & y= 5 – \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \\ && y =- \frac{4}{3} x + \frac{19}{3} \end{array} $$

Per ricavare la forma implicita della retta moltiplichiamo per 3 e portiamo tutto alla sinistra dell’uguale:

$$ s: \quad 4x+3y-19=0 $$

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ESERCIZIO PARAMETRICO : RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Data la retta r di equazione:

$$ r:\ 4x-3y+1=0 $$

Determina i valori del parametro a tali per cui la retta parametrica s di equazione:

$$ s:\ (2a-1)x+(a+1)y-(3a+4)=0 $$

 risulti parallela e perpendicolare alla retta r.

SVOLGIMENTO

Cominciamo con il determinare l’equazione in forma esplicita della retta r:

$$ r:\ 4x-3y+1=0 \to 3y=4x+1 \to y= \frac{4}{3} + \frac{1}{3} $$

Dunque possiamo affermare che il coefficiente angolare della retta r vale 4/3

$$ m_r = \frac{4}{3} $$

Successivamente andiamo ad esplicitare anche la retta s dipendente dal parametro a:

$$ \begin{array}{l} s: & (2a-1)x +(a+1)y-(3a+4)=0 \\ (a+1)y = -(2a-1)x +(3a+4) \\ y= -\ frac{2a-1}{a+1} x + \frac{3a+4}{a+1} \end{array} $$

Osserviamo quindi che il coefficiente angolare della retta s vale 

$$ m_s = – \frac{2a-1}{a+1} $$

CONDIZIONE DI PARALLELISMO

Affinché le due rette siano parallele deve valere la condizione che i coefficienti angolari delle rette siano uguali, dunque:

$$ m_r = \frac{4}{3} \quad m_s = – \frac{2a-1}{a+1} \\ s \parallel r \leftrightarrow m_s=m_r \\ -\frac{2a-1}{a+1} = \frac{4}{3} $$

Si tratta quindi di risolvere un’equazione fratta che ha come incognita il parametro a.

Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per il denominatore comune (a+1) e risolviamo la conseguente equazione di primo grado

$$ \begin{array}{l} -\frac{2a-1}{a+1} = \frac{4}{3} &\to& 3(2a-1) = -4(a+1) &\to& 6a-3=-4a-4 &\to& \\ 6a+4a= 3-4 &\to& 10a = -1 &\to& a=\ – \frac{1}{10} \end{array} $$

Questo è il valore del parametro reale a che rende parallele le due rette.

CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’

Se vogliamo invece che le rette risultino perpendicolari tra di loro imponiamo la condizione che i coefficienti angolari risultino anti-reciproci:

$$ m_r = \frac{4}{3} \quad m_s = -\frac{2a-1}{a+1} \\ s \perp r \leftrightarrow m_s=\ -\frac{1}{m_r} \\ -\frac{2a-1}{a+1} =\ – \frac{3}{4} $$

Anche in questo caso risolviamo l’equazione fratta:

$$ \begin{array}{l} -\frac{2a-1}{a+1} =\ – \frac{3}{4} &\to& 4(2a-1) = 3(a+1) &\to& 8a-4=3a+3 &\to& \\ 8a-3a= 4+3 &\to& 5a = 7 &\to& a= \frac{7}{5} \end{array} $$

Questo è il valore del parametro reale a che rende perpendicolari le due rette.

POSIZIONE RETTE CON EQUAZIONE ESPLICITA

La posizione reciproca di due rette nel piano può essere determinata anche a partire dalle equazioni scritte in forma implicita delle rette.

Consideriamo ad esempio le due rette r e s, scritte ella forma implicita:

$$ \begin{array}{l} r: \quad ax+by+c=0 \\ s: \quad a’x+b’y+c’=0 \end{array} $$

La principale distinzione tra le rette incidenti e quelle parallele dipende dai rapporti tra i coefficienti a e b, in particolare se:

$$ \frac{a}{a’} \ne \frac{b}{b’} \to \text{le rette sono incidenti} $$

Mentre se:

$$ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \ne \frac{c}{c’} \to \text{le rette sono parallele e distinte} $$

Il caso particolare della perpendicolarità (per rette incidenti) si verifica se:

$$ a \cdot a’ + b \cdot b’ = 0 \to \text{le rette sono perpendicolari } $$

Questa condizione è anche nota come il prodotto scalare nullo tra vettori.

Mentre il caso particolare delle rette coincidenti (per le rette parallele) si verifica quando all’eguaglianza dei rapporti delle a e delle b si affianca anche quello del parametro c:

$$ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \to \text{le rette sono coincidenti} $$

ESERCIZIO UNO – POSIZIONE DI RETTE CON EQUAZIONE IMPLICITA

Determina la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette:

$$ \begin{array}{l} r:\ 2x+y-1=0 & r’:\ x-y+1= 0 \\ s:\ 3x+y+1=0 & s’:\ 6x+2y-2= 0 \\ t:\ -3x+5y+3=0 & t’:\ 5x-3y+4= 0 \\ v:\ 4x-2y+7=0 & v’:\ 8x-4y+14= 0 \end{array} $$

Riporto direttamente i risultati senza commentarli

ESERCIZIO DUE : PARAMETRICO

Considera la retta r:

 e la retta parametrica s:

Determina il valore del parametro k affinché le due rette risultino:

•  incidenti
•  parallele
•  perpendicolari
•  coincidenti

Anche qui riportiamo subito i risultati:

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