POSIZIONE PUNTO-CIRCONFERENZA

POSIZIONE PUNTO E CIRCONFERENZA

La posizione di un punto rispetto ad una circonferenza può essere di tre tipi: interno, appartenente ed esterno.

Un punto si dice interno alla circonferenza quando si trova nella parte di piano delimitata dalla circonferenza, dunque fa parte del cerchio.

È appartenente alla circonferenza se si trova sulla circonferenza, dunque è uno degli infiniti punti equidistanti dal centro.

Mentre è esterno quando si trova al di fuori del cerchio.

PUNTO E CIRCONFERENZA : CENTRO E RAGGIO

Per definire in maniera più precisa la posizione del punto rispetto alla circonferenza utilizziamo  il centro e il raggio della stessa.

In particolare un punto si dice interno alla circonferenza quando la sua distanza dal centro è inferiore al raggio.

Si trova sulla circonferenza (dunque appartiene ad essa) quando la sua distanza dal centro è uguale al raggio.

Mentre infine risulta esterno alla circonferenza quando la sua distanza dal centro è maggiore del raggio.

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PUNTO E CIRCONFERENZA NEL SISTEMA CARTESIANO

Se ci troviamo nel sistema cartesiano possiamo determinare in modo analitico ovvero con calcoli matematici la posizione del punto rispetto alla circonferenza.

Consideriamo una circonferenza gamma:

$$ \gamma : \quad x^2+y^2+ax+by+c=0 $$

 ed un punto P

$$ P(x_0, y_0 ) $$

Il centro della circonferenza risulta essere il punto O:

$$ O(\alpha, \beta ) = \left( – \frac{a}{2} , – \frac{b}{2} \right) $$

Mentre il suo raggio:

$$ r = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 -c} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} -c} $$

La chiave di volta per sbloccare il problema è calcolare la distanza tra il punto e il centro della circonferenza e confrontarla con il raggio.

Per calcolare tale distanza punto-centro applichiamo la regola di pitagora per la distanza tra due punti:

$$ \overline{PO} = \sqrt{(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2} $$

A questo punto abbiamo tre possibilità

$$ \begin{array}{l} \overline{PO}<r &\to& \text{interno} \\ \overline{PO}=r &\to& \text{sulla circonferenza} \\ \overline{PO}>r &\to& \text{esterno} \end{array} $$

ESEMPIO CALCOLO DISTANZA PUNTO-RETTA

Stabilire la posizione dei punti A,B, C rispetto alla circonferenza gamma.

$$ A(-1,1) \quad B(1,2) \quad C(3,1) \\ \gamma : \quad x^2+y^2-6x-4y+9 = 0 $$

Cominciamo con il rappresentare la circonferenza e i punti nel sistema cartesiano.

Le coordinate del centro della circonferenza sono determinate dai parametri a e b:

$$ C \left( – \frac{a}{2}, -\frac{b}{2} \right) = (3,2) $$

Mentre per calcolare il raggio sfruttiamo tutti e tre i parametri dell’equazione implicita:

$$ r = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 -c} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} -c} = \sqrt{3^2+2^2-9} = 2 $$

Infine posizioniamo i tre punti A,B e C.

$$ A(-1,1) \quad B(1,2) \quad C(3,1) $$

Calcoliamo ora la distanza tra il punto A e il centro:

$$ \overline{AO} = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}>2 \to \ \text{esterno} $$

Tale punto risulta esterno alla circonferenza poiché la sua distanza è maggiore del raggio. 

Ora passiamo alla distanza tra il punto B e il centro:

$$ \overline{BO} = \sqrt{2^2+0^2} = 2=2 \to \ \text{sulla circonferenza} $$

Questo punto risulta appartenente alla circonferenza poiché la sua distanza dal centro è esattamente pari al raggio.

Infine facciamo la stessa operazione per il punto C:

$$ \overline{CO} = \sqrt{0^2+1^2} = 1<2 \to \ \text{interno} $$

Quest’ultimo risulta interno alla circonferenza poiché la sua distanza dal centro è inferiore al valore del raggio.

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POSIZIONE PUNTO-CIRCONFERENZA CON L’EQUAZIONE

Un secondo modo più rapido per determinare la posizione tra un punto e una circonferenza sfrutta direttamente l’equazione della circonferenza:

$$ \gamma: \quad x^2+y^2+ax+by+c=0 $$

Preso il nostro punto P di coordinate:

$$ P(x_0,y_0) $$

Andiamo a sostituire le coordinate del punto nel polinomio implicito della circonferenza:

$$ x_0^2 + y_0^2+ax_0+by_0+c $$

In particolare se tale valore risulta minore di zero allora concludiamo che il punto è interno alla circonferenza.

$$ x_0^2 + y_0^2+ax_0+by_0+c <0 \to \text{interno}$$

Se invece il valore del polinomio è pari a zero il punto appartiene alla circonferenza:

$$ x_0^2 + y_0^2+ax_0+by_0+c =0 \to \text{sulla circonferenza}$$

Mentre infine se tale espressione restituisce un numero maggiore di zero il punto risulta esterno alla circonferenza:

$$ x_0^2 + y_0^2+ax_0+by_0+c >0 \to \text{esterno}$$

POSIZIONE PUNTO-CIRCONFERENZA CON L’EQUAZIONE: ESEMPIO

Proviamo a rifare l’esercizio di prima con questo nuovo metodo più rapido.

Stabilire la posizione dei punti A,B, C rispetto alla circonferenza gamma.

$$ A(-1,1) \quad B(1,2) \quad C(3,1) \\ \gamma : \quad x^2+y^2-6x-4y+9 = 0 $$

Sostituiamo dapprima le coordinate del punto A:

$$ \begin{array}{l} A(-1,1) : & (-1)^2+1^2-6(-1)-4 \cdot 1 +9 = \\ & 1+1+6-4+9 = 13>0 \to \text{esterno} \end{array} $$

Il punto A è esterno alla circonferenza poiché abbiamo ottenuto un valore positivo.

Proseguiamo inserendo le coordinate del punto B

$$ \begin{array}{l} B(1,2) : & 1^2+2^2-6\cdot 1-4 \cdot 2 +9 = \\ & 1+4-6-8+9 = 13=0 \to \text{sulla circonferenza} \end{array} $$

Siccome abbiamo ottenuto zero significa che tale punto appartiene alla circonferenza.

Infine procediamo allo stesso modo con il punto C:

$$ \begin{array}{l} C(3,1) : & 3^2+1^2-6\cdot 3-4 \cdot 1 +9 = \\ & 9+1-18-4+9 = -3<0 \to \text{interno} \end{array} $$

Quest’ultimo risulta interno alla circonferenza poiché il valore dell’espressione risulta negativo.

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