INDICE
FASCIO DI RETTE PROPRIO E IMPROPRIO
Un fascio di rette è un insieme di rette nel piano che hanno una caratteristica in comune.
Tali fasci di rette sono generati nel piano cartesiano da un’equazione parametrica.
I fasci di rette principali sono il fascio proprio e quello improprio.
In particolare il fascio proprio è l’insieme di tutte le rette che passano per un punto.
Mentre il fascio improprio è l’insieme di rette che risultano tutte parallele rispetto ad una retta data.
IL FASCIO DI RETTE PROPRIO
Il fascio di rette proprio è l’insieme di tutte le rette che passano per un dato punto.
In particolare se ci troviamo nel sistema cartesiano possiamo considerare il punto generico P:
$$ P(x_0,y_0) $$
L’equazione del fascio è quella che tiene fisse le coordinate del punto, mentre fa variare la pendenza ovvero il coefficiente angolare della retta.
$$ y-y_0 = \color{blue}{m} (x-x_0) \\ \ \\ \color{blue}{m} \ \text{ è il coefficiente angolare della retta (parametro) }$$
A queste rette dobbiamo ricordarci di aggiungere la retta verticale che è esclusa dal fascio:
$$ y-y_0 = \color{blue}{m} (x-x_0) \lor x=x_0 $$
IL FASCIO IMPROPRIO DI RETTE
Il fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette che sono parallele rispetto ad una retta data.
La sua equazione nel sistema cartesiano è la seguente:
$$ y = m_0 x + \color{blue}{q} \\ \ \\ \color{blue}{q}\ \text{ è l’ordinata all’origine (parametro)} $$
Ricordiamo che quando le rette sono verticali ovvero parallele all’asse y non possiamo usare questa formula.
In questo caso l’equazione del fascio diventa:
$$ x= k $$
FASCIO GENERATO DA DUE RETTE
La questione dei fasci non si esaurisce certamente con queste due formula, anzi possiamo dire che queste segnano solamente l’inizio.
Infatti dobbiamo considerare che possiamo generare un fascio di rette a partire da due rette.
Cominciamo dunque con il considerare due generiche rette r e s del sistema cartesiano di equazioni generiche:
$$ \begin{array}{l} r: \quad ax+by+c=0 \\ s:\quad a’x+b’y+c’=0 \end{array} $$
L’equazione che descrive il fascio generato dalle due rette è una combinazione lineare delle due rette:
$$ r+\color{blue}{k}s: \quad (ax+by+c)+ \color{blue}{k} (a’x+b’y+c’)= 0 \\ \ \\ r,s: \ \ \text{ rette generatrici del fascio } \\ \color{blue}{k}\ \text{ è il parametro}$$
Quando il parametro k tende a zero allora ci resta l’equazione della prima retta.
Mentre quando k diventa molta molto grande ovvero tende ad infinito ci avviciniamo progressivamente alla seconda generatrice.
$$ \begin{array}{l} k \to 0 & \to & r: & ax+by+c=0 \\ k \to \infty &\to& s: & a’x+b’y+c’=0 \end{array} $$
A seconda della posizione reciproca delle due rette possiamo distinguere i fasci generati da due rette in fasci propri e fasci impropri.
In particolare quando le rette generatrici risultano incidenti all’ora abbiamo un fascio proprio.
In questo fascio troviamo tutte le rette che passano per il punto P di intersezione tra le due rette (ad eccezione di una delle generatrici).
Tale punto P prende il nome di centro del fascio.
Mentre quando le rette generatrici risultano parallele tra di loro allora il fascio è improprioesprime tutte le rette che sono parallele a queste due.
ESEMPIO FASCIO PROPRIO
Cominciamo con il fare un esempio che riguarda il fascio proprio di rette
Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette di equazione:
$$ r: \ 3x+y-1=0 \quad s:\ x+2y+3=0 $$
Stabilisci se è proprio o improprio e studiane le caratteristiche.
Determina inoltre l’equazione della retta del fascio passante per il punto P(4,1)
Andiamo per prima cosa a rappresentare graficamente le due rette.
A tal proposito risulta molto utile ricavare la forma esplicita delle due rette:
$$ \begin{array}{l} r:& 3x+y-1=0 &\to& y= -3x+1 \\ s:& x+2y+3=0 &\to& y=\ -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \end{array} $$
In secondo luogo andiamo a comporre l’equazione del fascio:
$$ r: \ 3x+y-1=0 \quad s:\ x+2y+3=0 \\ \ \\ r+ks: \quad (3x+y-1)+k(x+2y+3) = 0 $$
Svolgendo i conti possiamo ricavare l’equazione nella forma implicita raggruppando pria le x, pi le y ed infine i numeri:
$$ r+ks: \quad (k+3)x+(2k+1)y+(3k-1)=0 $$
Andiamo infine a calcolarci il centro del fascio, ovvero il punto di intersezione delle rette generatrici:
Per farlo mettiamo a sistema le equazioni delle due rette generatrici:
$$ \begin{cases} y = -3x+1 \\ y=\ -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \end{cases} $$
Applichiamo dunque il metodo del confronto eguagliando i due valori della y:
$$ \begin{cases} y = -3x+1 \\ y=\ -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \end{cases} \to -3x+1= -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} $$
Ora non ci resta che risolvere l’equazione di primo grado in x:
$$-6x+2= -x-3 \to 5x=5 \to x=1 $$
Andiamo quindi a sostituire il valore dell’ascissa trovata all’interno di una delle equazioni iniziali (ad esempio in quella della retta r), da cui ricaviamo il centro C del fascio.
$$ x=1 \overset{\begin{cases} y = -3x+1 \\ y=\ -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \end{cases}}{\longrightarrow} \begin{cases} y= -3 \cdot 1+ 1 = -2 \\ y= \ – \frac{1}{2} \cdot 1 – \frac{3}{2} = -2 \end{cases} \to C (1,-2) $$
Riepiloghiamo con lo schema sotti i risultati che abbiamo trovato sino a qui:
RETTA DEL FASCIO PASSANTE PER P (4,1)
L’esercizio ci chiede di determinare la retta del fascio che passa per il punto P(4,1).
Riprendiamo in mano l’equazione che abbiamo determinato inizialmente ed imponiamo la condizione di appartenenza del punto al fascio.
Si tratta quindi di sostituire la x e la y del punto al posto della x e la y del fascio.
$$ \begin{array}{l} (k+3)x +(2k+1)y +(3k-1)=0 \\ \to P(4,1) \to \begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases} \to \\ 4(k+3)+1(2k+1)+(3k-1)=0 \end{array} $$
Ora on ci rimane che risolvere l’equazione di primo grado in k:
$$ \begin{array}{l} 4k+12+2k+1+3k-1=0 \\ 9k+12=0 \to k=\ -\frac{12}{9} =\ – \frac{4}{3} \end{array} $$
Una volta determinato il valore del parametro lo andiamo a sostituire nell’equazione del fascio di rette:
$$ \begin{array}{l} (k+3)x +(2k+1)y +(3k-1)=0 \overset{k = \ -\frac{4}{3}}{\longrightarrow} \\ \ \\ \left( -\frac{4}{3} \right) x + \left( 2 \left( -\frac{4}{3} \right) +1 \right) y + \left( 3 \left( -\frac{4}{3} \right) -1 \right) =0 \\ \left( -\frac{4}{3} +3 \right) x + \left( -\frac{8}{3} +1 \right)y + \left( -\frac{12}{3} -1\right)=0 \\ \frac{5}{3} x – \frac{5}{3} y – \frac{15}{3} = 0 \\ x-y-3=0 \\ \ \\ y = x-3 \end{array} $$
Ecco la retta cercata!
Andiamo a riportare i risultati nel sistema cartesiano.
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ESEMPIO FASCIO IMPROPRIO
Scrivi l’equazione del fascio di rette le cui generatrici sono le rette:
$$ r:\ 3x+2y-1=0 \quad s:\ 6x+4y+3=0 $$
Stabilisci di che fascio si tratta e determina la retta del fascio che interseca l’asse y nel punto di ordinata 1.
Per prima cosa possiamo osservare immediatamente che le due rette risultano tra di loro parallele ma non coincidenti.
Questo lo si evince guardando i rapporti che ci sono tra i coefficienti associati ad ogni incognita e ai termini noti.
Infatti risulta che:
$$ \frac{6}{4} = \frac{4}{2} \ne \frac{3}{-1} $$
La cosa risulta ancora più evidente delle equazioni esplicite delle rette:
$$ \begin{array}{l} 3x+2y-1=0 &\to& y=\ -\frac{3}{2} x + \frac{1}{2} \\ 6x+4y+3=0 &\to& y=\ -\frac{3}{2} x -\ \frac{3}{4} \end{array} $$
I coefficienti sono infatti uguali tra di loro.
Andiamo ora a rappresentare le due rette nel sistema cartesiano.
Queste due rette sono le generatrici di un fascio improprio di rette.
L’equazione del fascio risulta il seguente:
$$ 3x+2y-1 +k(6x+4y+3)=0 $$
Quando k tende a zero abbiamo otteniamo l’equazione della prima retta, mentre quando k tende ad infinito il fascio si avvicina sempre di più alla seconda retta.
$$ \begin{array}{l} k\to 0 &: & 3x+2y-1=0 \\ k \to \infty &\to& 6x+4y+3=0 \end{array} $$
Un altro modo per riscrivere il fascio nella sua forma implicita è:
$$ (6k+3)x+(4k+2)y+(3k-1)=0 $$
Vogliamo ora che il fascio passi per il punto P(0,1):
$$ P(0,1) \in (6k+3)x+(4k+2)y+(3k-1)=0 $$
Andiamo quindi a sostituire le coordinate del punto all’interno dell’equazione del fascio.
In questo modo otteniamo una equazione in k di primo grado:
$$ \begin{array}{l} (6k+3)x+(4k+2)y+(3k-1)=0 \overset{\begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}{\longrightarrow} \\ \ \\ (6k+3) \cdot 0 +(4k+2) \cdot +(3k-1)=0 \\ 4k+2+3k-1=0 \\ 7k+1=0 \\ k=\ – \frac{1}{7} \end{array} $$
Questo è il valore di k che ci da la retta passante per P(0,1)
Per trovare la retta in questione sostituiamo nell’equazione del fascio questo valore del parametro k e risolviamo l’equazione.
$$ \begin{array}{l} (6k+3)x+(4k+2)y+(3k-1)=0 \overset{\begin{cases} k=\ – \frac{1}{7} \end{cases}}{\longrightarrow} \\ \ \\ \left( 6 \left( – \frac{1}{7} \right)+3 \right) x+\left( 4\left( – \frac{1}{7} \right)+2\right) y+\left( 3 \left( – \frac{1}{7} \right) -1 \right)=0 \\ \left( – \frac{6}{7} +3 \right)x +\left( – \frac{4}{7} +2 \right)y + \left( – \frac{3}{7} -1 \right) = 0 \\ \frac{-6+21}{7} x + \frac{-4+14}{7} y + \frac{-3-7}{7} = 0 \\ 15x +10y-10 = 0 \\ \ \\ 3x+2y-2=0 \end{array} $$
Se la scriviamo nella forma esplicita risulta:
$$ y=\ – \frac{3}{2}x + 1 $$
Riportiamo nel grafico i risultati trovati.
HAI QUALCHE DOMANDA SUI FASCI DI RETTE?
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti.
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